常微分方程练习题

习题一

一、单项选择题.

1. 微分方程y???y?3?2cosy??y5的阶数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 克莱罗方程的一般形式是（ ）.

A. y?xy???(y?) B. x?xy???(y?) C. y?xy???(x) D. x?xy??(y?) 3. 下列方程中为全微分方程的是（ ）. A.

xdy?ydxxdy?ydx?0 B. ?0 22x?yx?y22C. xdy?ydx?0 D. xdy?ydx?0

2x*4. 用待定系数法求方程y???2y??y?xe的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）. A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

5．Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件. A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、填空题

1． 方程y??xtany的所有常数解是 . *2x*22x*2x*2xx3x2??C满足的一阶方程是 . 2．函数y?523．设y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e?x?e2x为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .

24．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . ?dx?x??dt5．系统?的零解的是 稳定的.

dy??y??dt三、求下列一阶微分方程的通解.

dyy??4x2y2?1?0 dxxdy?y?y2(cosx?sinx) 2. dx1.

3. (x?2y)dx?xdy?0.

四、求下列高阶方程的通解. 1. y???y?1

cosx2. 试用观察法求方程 (1?lnx)y???11y??2y?0的通解． xx?x??y?5z?五、求解微分方程组?y???5x?3y的通解.

?z??x?3z??dx33??x?y??dt六、判定系统?的零解稳定性.

dy???3x3?y3??dt七、证明题

1．设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程

x???dy?y?f(x)的任意解y?y(x)均dx有limy(x)?0.

x???2. 假设m不是矩阵A的特征值，试证非齐线性方程组其中C,P是常数向量.

dX?AX?Cemt，有一解形如：?(t)?Pemt.dt习题二

一、单项选择题 1. 微分方程

dy?y2?x2的阶数是（ ）. dxA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 克莱罗方程的一般形式是（ ）.

A. y?xy???(y?) B. x?xy???(y?) C. y?xy???(x) D. x?xy??(y?)

3. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件.

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. n阶齐次线性常微分方程的任意n?1个解必定（ ）.

A. 可组成方程的一个基本解组 B. 线性相关 C. 朗斯基行列式不为0 D. 线性无关

5．用待定系数法求方程y???2y??y?xe的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）.

A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

二、填空题.

1．当n? 时，微分方程y??P(x)y?Q(x)y为伯努利方程．

n*2x*22x*2x*2xx*

2．在方程x???p(t)x??q(t)x?0中，当系数满足 条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.

3．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

24．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .

5．设x0?I，Y1(x),?,Yn(x)是区间I上线性齐次微分方程的n个解，则Y1(x),?,Yn(x)在区间I上线性相关的 条件是向量组Y1(x0),?,Yn(x0)线性相关. 三、求下列一阶微分方程的通解.

1. xy??y?(x?y)ln2.

x?y xdy?y?y2(cosx?sinx) dx3. (y?e?x?ey)dx?(1?ey)dy?0 四、求下列高阶方程的通解. 1. y??xy??y?0 2. y???y?21 cosx?dx?5y?4x??dt五、求解微分方程组?的通解.

dy??4y?5x??dt?dx33??x?y??dt六、判定系统?的零解稳定性.

dy???3x3?y3??dt七、证明题. 1．设分因子.

f(x,y)及

?f连续,试证方程dy?f(x,y)dx?0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积?yd2ydy?p(x)?q(x)y?0中，p(x)在区间I上连续且恒不为零，2. 设在方程 试证它的任意两个线

dxdx2性无关解的朗斯基行列式是在区间I上严格单调函数．

习题三

一、单项选择题.

1. 微分方程y????x?xsiny的阶数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 下列方程中为全微分方程的是（ ）.

A.

xdy?ydxxdy?ydx?0 B. ?0 22x?yx?yC. xdy?ydx?0 D. x2dy?y2dx?0 3. 微分方程y??P(x)y?Q(x)y，当n?1时为（ ）. A. 一阶线性齐次微分方程 B. 一阶线性非齐次微分方程 C. 伯努利方程 D. 里卡蒂方程

4. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件.

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5．用待定系数法求方程y???2y??y?(x2?2x)ex的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）.

A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

二、填空题.

1．函数x?c1cost?c2sint(其中c1,c2为任意常数)满足的一阶方程是 . 2．方程tanydx?cotxdy?0所有常数解是 ．

3．设y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e?x?e2x为某一常系数二阶非齐次方程的三个解，则此方程为 .

2 4．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .

n**2x*2x*2x*22x 5．与初值问题x???2x??7tx?e?t,x(1)?7,x?(1)??2等价的一阶方程组的初值问题为 .

三、求下列一阶微分方程的通解.

1. (x?1)y??2xy?0 2.

22dy?y?y2(cosx?sinx) dx3. (x?4y)y??2x?3y?5 四、求下列高阶方程的通解. 1. tx???2tx??2x?0 2. x????x???2x?0

2?x??y?5z?五、求解微分方程组?y???5x?3y的通解.

?z??x?3z?

?dx33??x?y??dt六、判定系统?的零解稳定性.

dy???3x3?y3??dt七、证明题.

1．设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?0，求证：方程

x???dy?y?f(x)的任意解y?y(x)均dx有limy(x)?0.

x???2. 证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数．

习题四 一、单项选择题

1. 微分方程y????xy???x2的通解中含有任意常数的个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 当n?1时，微分方程y??p(x)y?q(x)yn最确切的名称为（ ）.

A. 一阶线性齐次微分方程 B. 伯努利方程 C. 一阶线性非齐次微分方程 D. 里卡蒂方程

3. Lipschitz条件是一阶微分方程存在唯一解的（ ）条件.

A. 充分条件 B. 必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在整个数轴上线性无关的一组函数为（ ）.

A. x,C. ex?2,x?1,x?1 B. 0,x,x2,x3

ex?2 D. e2?x,*ex?2

5．用待定系数法求方程y???2y??y?x2ex的特解y时，下列特解的设法正确的是（ ）.

A. y?(ax?bx?c)e B. y?x(ax?bx?c)e C. y?x(ax?b)e D. y?x(ax?bx?c)e

二、填空题.

1. 方程tanydx?cotxdy?0所有常数解是 ． 2．若y?y1(x),y?y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．

23．方程y??1?y满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .

*2x*2x*2x*22x

4．已知cost和sint是二阶齐次线性方程x???a(t)x??b(t)x?0的两个解，则a(t)? ． 5．如果常系数线性方程组x??Ax的特征值的实部都是负数，则该方程组的任一解当t???时收敛于 ．

三、求下列一阶微分方程的通解 1.

dyyy??tan dxxxdyyx22. ??dx2x2y3. (y?e?x?ey)dx?(1?ey)dy?0 四、求下列高阶方程的通解 1. tx???3tx??5x?0 2. x''?x?tant

2?dx?4x?5y??dt五、求解常微分方程组?.

?dy?4y?5x??dt?x???y?ax3六、判定系统 ?（这里的a??）的零解稳定性. 3??y?x?ay七、设y(x)在[0,??)上连续可微，且有lim[y?(x)?y(x)]?0，试证：limy(x)?0.

x???x???

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