幻方

幻方的研究与调查结果报告

西工大附中 初一（24）班 刘雨璇 指导老师：路树军

幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。

幻方，一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

幻方（OEIS中的数列A006052）的数目还没有得到解决。

1 种类 完全幻方 完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等。 乘幻方 乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。 高次幻方 n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的 n个数的和相等。例子：（三阶幻方，幻和为15，） 4 9 2 3 8 5 7 1 6 三阶幻方中间必填5 高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。 反幻方 反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。 反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。如下图3阶反幻方的比较。 反幻方 图中边框外围的数字之和就是幻和。红色为偶数，黑色为奇数。 可以说反幻方是一种特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以部分相同。如下图多种3阶反幻方。

多种反幻方

三阶幻方 8 1 6 3 5 7 4 9 2 如图，1和7相加除以2=4 1和3相加除以2=2 ?? 2起源记载 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方 九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。九宫之数源于易经中，《易经》。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。1975年上海人民出版社出版的自然辩证法丛书《自然科学大事年表》，对于幻方作了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图洛书纵横图，即为九宫算，被认为是现代‘组合数学’最古老的发现。”还附了全书唯一的插图！

2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数

杜勒的《忧郁》，内含四阶幻方

字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这是借鉴思维的开端。这种活化思维的方式已成为科学灵感的来源之一。从洛书发端的幻方在数千年后更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿。 3历史发展

幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于中国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。

幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。

大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的，这就是我们所称的幻方.也有人认为\洛书\是外星人遗物；而\河图\则是描述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂

的正面写着：「万物非主，惟有真宰，默罕默德，为其使者」，而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.

关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...

后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：

S=n(n^2+1) /2

其中n为幻方的阶数，所求的数为S.

幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。

而在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多年，印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字)十三世纪，东罗马帝国才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果.

直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符，也把它叫作「Magic Square」.

欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的，

上面有一个四阶幻方，而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514年）.这是欧洲最古老的幻方.

清末民初数学家寿孝天自攥：

1956年冬，陕西省西安市郊元朝安西王府出土的金属铁板：

4同词异义

玉器幻方

幻方，玉质。

它是伊斯兰教徒的护身信念物。

长方形，上有两个贯耳可以系绳佩挂。正面为圆凸面，印刻阿拉伯文，背面方框4行16格，每格填一个阿拉伯数字。

具有一定神秘性。[1]

5纪录编辑

中国幻方协会前十位大师级人物：李文，郭先强，潘凤雏，苏茂挺，钟明，吴硕辛，曹陵，牛国良，彭保旺，曾学涵，他们全是中国的草根幻方达人，在幻方的学术研究上取得了一系列重大成果，很多研究成果领先于世界幻方研究同行。许仲义，李抗强，王忠汉，郭大焱，林正录等幻方前辈，他们也为中国幻方的研究与发展作出了无私的奉献，还有很多我们可能已经忘记了他们的名字，或许他们过去的研究成果在今天看来已经平淡无奇，但他们的历史阶段为我们后来者的研究提供了积极的养分。本协会一系列的幻方研究者，为中国乃至世界幻方学术研究、推广普及事业一直不懈奋斗着并将继续努力奉献。

中国取得不少幻方世界纪录：幻方专家李文第一位构造成功10阶标准幻立方，第一位构造出最低阶729阶五次幻方,第一位构造出最牛的36阶广义五次幻方，第一位理论上证明了存在最难的完美平方幻方，和多项平方幻方世界纪录，幻方专家苏茂挺第一位构成功32阶完美平方幻方.等。

提醒大家注意，任意阶幻方构造法，任意维幻方构造法，任意次幻方构造法，都早已找到。

不存在最大阶幻方的世界纪录之类.

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