小波变换在图像处理中的应用毕业论文

本科生毕业设计（论文）

题 目： 小波变换在图像处理中的应用

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小波变换在图像处理中的应用

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本毕业设计（论文）是我个人在导师指导下完成的。文中引用他人研究成果的部分已在标注中说明；其他同志对本设计（论文）的启发和贡献均已在谢辞中体现；其它内容及成果为本人独立完成。特此声明。

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小波变换在图像处理中的应用

摘要

近年来小波变换技术已广泛地应用于图像处理中。小波分析的基本理论包括小波包分析、连续小波变换、离散小波变换。小波变换是一种新的多分辨分析的方法，具有多分辨率和时频局部化的特性，可以同时进行时域和频域分析。 因此不但能对图像提供较精确的时域定位,也能提供较精确的频域定位。经过小波变换的图像具有方向选择、多分辨率分析的特点。小波变换基于这些良好特性，在数字图像处理领域中取得良好的实际效果。本文基于小波变换研究了图像压缩、图像增强、图像去噪、图像融合、图像分解、图像重构等方法，并利用MATLAB进行仿真验证，最后，用GUI实现了人机交互，简单、易操作、美观。

关键词：小波变换，图像处理，增强，压缩，融合，去噪，分解，重构

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小波变换在图像处理中的应用

The Application of Wavelet Transform in Image Processing

Abstract

In recent years, the technique of wavelet transform has been widely used in image processing. The basic theory of wavelet analysis, wavelet packet analysis including the continuous wavelet transform, discrete wavelet transform. Wavelet transform is a multiresolution analysis is a new method, has the characteristics of multi-resolution and time-frequency localization, both in time domain and frequency domain analysis. It can not only provide accurate positioning of the image in time domain, frequency domain can provide accurate positioning. After image wavelet transform has the characteristic of direction, multi resolution analysis. Based on the good properties of wavelet transform, obtain good actual effect in the field of digital image processing. In this paper, based on the wavelet transform of the image compression, image enhancement, image denoising, image fusion, image decomposition, image reconstruction method, and simulated by MATLAB software, finally, using GUI to achieve human-computer interaction, simple, easy operation, beautiful appearance.

Keywords: Wavelet Transform, Image Processing, Enhancement, Compression, Denoising, Fusion,Decompo- sition, Reconstruction

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目 录

第一章 绪论 ................................................................. 1

1.1 研究背景 ............................................................ 1 1.2 研究现状 ............................................................ 1 1.3 研究意义 ............................................................ 2 1.4 论文内容与结构 ...................................................... 2 第二章 小波变换的基础理论 ................................................... 3

2.1 小波变换 ............................................................ 3 2.2 连续小波变换 ........................................................ 3 2.3 离散小波变换 ........................................................ 3 2.4 小波包分析 .......................................................... 6 第三章 小波变换在图像处理中的应用 ........................................... 7

3.1 小波阈值法进行图像压缩 .............................................. 7

3.1.1 实现压缩的主要函数 ............................................. 8 3.1.2 实现压缩的算法流程 ............................................. 8 3.2 二维小波分析进行图像增强 ............................................ 9

3.2.1 实现增强的主要函数 ............................................ 10 3.2.2 实现增强的算法流程 ............................................ 10 3.3 小波包图像去噪 ..................................................... 10

3.3.1 实现去噪的主要函数 ............................................ 11 3.3.2实现去噪的算法流程 ............................................ 11 3.4 小波变换用于图像融合 ............................................... 12

3.4.1 实现融合的主要函数 ............................................ 13 3.4.2实现融合的算法流程 ............................................ 13

结论 ....................................................................... 15 参考文献 ................................................................... 16 致 谢 ...................................................................... 17 附录 英文文献及翻译 ........................................................ 18

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第一章 绪论

1.1 研究背景

近年来，网络技术以及信息技术的快速发展，使得小波变换技术被广泛的应用于图像识别领域和图像处理方面，成为处理信号强有力的工具。小波变换是以克服短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷为基础发展而来的一种新的变换方法。小波变换又被称为多分辨率分析，在时域、频域同时具有良好的表征信号局部特征的能力，因此被广泛地应用于信号处理、语音分析、图像处理和模式识别等专业中。

1910年，被Haar首次提出的小波规范正交基是最早的小波基。1936年，Paley与Littlewood通过傅立叶级数对频率进行二进制分量分组，构造了Littlewood-Paley基，这是首次有人提出多尺度分析理念，使得函数的大小不再受傅立叶变换的影响，从而为小波理论的发展铺垫了理论基石。在1946年时，加窗的傅立叶变换理论被Gabor提出，使得对信号的表示具有时域、频域局部变化特征能力，此时虽然不能完全解决傅里叶变换的缺陷，但是已经取得比较好的改善效果。而后，1982年，在分析地质波时，法国地质学家Morlet通过使用高斯余弦函数得到一组函数系，小波分析的概念被首次提出了。1985年，第一个光滑的正交小波被数学家Meyer构建出来。后来，1986年，Meyer与Mallat建立了构造小波基的统一方法，同年，多尺度分析的基本思想被提出。1988年，科学家Daubechies建立了构建正交小波基的通用渠道，提出了首个光滑正交小波基Daubechies基，其具有紧支撑的特点。后来，信号分析专家Mallat构建了著名的快速小波算法--Mallat算法（FWT），提出了多分辨分析的概念。至此，小波理论的发展开始从理论研究走向实际应用方向，并获得突破性的发展，广泛应用于人们的生活中。

1.2 研究现状

人们为了对图像进一步分析并能使用机器更好地自动读取图像数据，并对图像数据进行存储、传输以及显示，由此产生了对图像处理方法的研究。随着科学技术的发展，图像处理技术发展十分迅速。图像处理技术不但已经成功应用在医学和空间项目等高新的领域上，而且在工业、生物科学等其他更多的交叉学科领域中也已广泛的应用。

早在上世纪六十年代，美国喷气推进实验室就运用有效地图像处理技术对太空飞船发回的大批月球照片进行处理了。此后图像处理技术在各行各业都得到了不同速度的发展和应用，例如在宇宙探测中的星体图像处理；在生物医学领域中的细胞分析、各种CT、放射图像等方面的处理；在通信领域中图像信息传输、卫星通信方面的图像压缩处理数据、动

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小波变换在图像处理中的应用

态图像序列的传送；以及信息隐藏、数字水印、图像检测、图像识别和检索。目前发展研究趋势表明，图像处理技术以爆炸式速度在增长，并在未来有稳定、长远的发展前景。

近年来，图像处理技术的发展带来许多新的图形表示方法，用以适应人类的视觉特性要求，其包括余弦包、边缘小波、脊波、曲线波等。在图像处理领域中，小波变换作为新兴的信号处理技术，在时域频域都有表征信号局部化的能力，多分辨率分析的特性，因此得到了广泛应用。

1.3 研究意义

在小波理论迅速发展的同时，在图像处理方面上，已成熟应用于图像的压缩、增强、去噪、重构、分解、融合等方面。由于小波分析在时间和频率上局部化分析的特点使它优于傅立叶分析。在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而傅立叶分析较为理想的是处理稳定的信号。小波分析具有类似分析信号的“数学显微镜”的功能，因此可以生成满足不同要求的各种分辨率的图像，可以将图像分层；根据实际应用中对图像信号处理的要求，结合图像的性质，按照实时需求来处理。基于小波变换的优点，使得小波的应用研究在数学、信号处理和图像处理等领域快速地展开。其应用范围包括信号分析、图像处理、电子对抗、计算机识别、地震勘探数据处理、纹理分析、边缘检测、音乐与语音人工合成、军事智能化、医学成像、机械故障诊断等多个方面。

1.4 论文内容与结构

第一章：绪论。主要介绍基于小波变换的图像处理技术的研究背景、现状及意义。 第二章:小波变换理论简介。对小波变换相关理论知识进行了简要的介绍，简单阐述了连续小波变换、离散小波变换、小波包分析的基本原理，为全文的理论运用夯实了基础。 证了小波变换在图像处理中的各种应用。

第四章:总结。对整篇论文所做的主要工作做简要的总结。

第三章:使用了MATLAB编程工具将理论运用到实践中，以GUI人机交互界面的形式论

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第二章 小波变换的基础理论

2.1 小波变换

小波变换是在克服短时傅立叶变换在单分辨率缺陷的基础上发展起来的，它的时间窗和频域窗均可根据信号的具体形态进行动态调整。在低频处（信号比较平稳）取宽的时（空）间窗，在高频处（频率变化不大）取窄的时（空）间窗，适合处理非平稳信号。小波变换是对信号时间尺度上的一种分析方法，具有多分辨率分析（MRA）的特点，而且在时域和频域信号都具有表征局部特征的能力[1]。它通过伸缩和平移等运算对函数或信号进行多尺度的细化分析，可以探测到正常信号中的瞬态，同时显示其频率成分，小波变换解决了许多傅立叶变换不能解决的问题。

设?(t)?L2(R),L2(R)表示一维平方可积实函数集，?(t)的Fourier变换为?(?)，并满足容许性条件：

|?(?)|2C???d??? (2-1)

??|?|?则称?(t)为基本小波或母小波 [2]。小波变换具有放大、缩小和平移的数学显微镜的功能，可以方便地产生各种分辨率的图像，从而适应于不同分辨率的图像I/O设备和不同传输速率的通信系统。

[3]

2.2 连续小波变换

连续小波变换也称为积分小波变换。将L2（R）空间的任意函数f（t）在小波基下进行展开，称为函数f（t）的连续小波变换CWT，变换式为：

WTf(?,?)?1??Rf(t)??(t???)dt??f,??,?? (2-2)

的相似度。连续小波变

式(2-2)中，<·>表示内积运算[6]。数学上的内积表示f（t)与

换具有线性、平移不变性、伸缩共变性、自相似性、冗余性的重要性质。

2.3 离散小波变换

在连续小波变换中，由于伸缩参数和平移参数连续取值不利于计算机处理，因此连续小波变换主要用于理论分析，在实际应用中离散小波变换更适用于计算机处理[7]。在计算机上实现时，连续小波必须离散化，这一离散化只是针对连续尺度参数和连续平移参数的。离散小波变换可以减少小波变换系数的冗余度。离散小波变换DWT定义为

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WTf(m,n)??f(t)??m,n(t)dt (2-3)

R在实际应用中，不管是图像还是音频信息，都是经过采样量化后得到的一些离散数据。因此，我们一般采用离散小波变换对信号进行处理。离散小波变换是指在特定子集上采取平移和缩放的小波变换，是一种兼具时域和频域多分辨率能力的信号分析工具。

离散小波变换在图像处理中的基本思想是把图像进行多分辨率分解，分解为不同的空间和独立的频率带的子图像，然后对子图像的系数进行处理。利用塔式分解算法，通过一级小波变换，原始图像被分解为4个一级子图：即1个低频子图LL和3个高频子图：HL1（水平方向），LH1（垂直方向），HH1（对角线方向）。若对低频子图LL 再进行小波分解又得到低分辨率的4个二级子图（LL2、HL2、LH2、HH2），如图2-1和2-2所示。如此重复，可以对图像进行多级小波分解，其中最底层的低频子图集中了被分解图像的绝大部分信息，显示了图像的主要特征，故称为被分解图像的近似子图；各高频子图分别保持了被分解图像各方向的边缘细节，显示了被分解图像的边缘细节特征，所以称为被分解图像的细节子图[9]。低频子图抵抗外来影响的能力较好，高频子图的边缘细节容易受到外来噪声和常规图像处理等因素影响，稳定性差。小波重构是小波分解的逆过程。

图2-1 图像的一级DWT分解 图2-2 图像的二级DWT分解

下面以“wbarb”图像为例，进行一级小波分解与重构的演示。图2-3为原图，图2-4、 图2-5、图2-6、图2-7分别为分解后的近似分量图、水平细节分量图 、垂直细节分量图、 对角细节分量图，图2-8为重构图像。

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图2-3 原始图像 图2-4 近似分量

图2-5 水平细节分量 图2-6 垂直细节分量

图2-7 对角细节分量 图2-8 重构图像

由实验结果的图2-3、图2-4、图2-5、图2-6、图2-7可知，原始图像被成功根据不同的方向单尺度分解成四个子图像，近似分量图像和原始图像的相比，其信息的丢失并不多，具有高度相似。也恰恰体现了对图像小波分解后，表征图像最主要的部分是低频部分（即近似部分）。由图2-3和图2-8可知，重构图像和原始图像的完全一样。这些实验结果都体现了小波变换理论在图像分解和重构上的应用效果很好。

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2.4 小波包分析

多分辨分析的尺度函数是以二进制形式变化的，所以进行时频分解时，在高频段其频率分辨率较差。小波包分解能够把频带进行多层次划分，能进一步分解多分辨分析中没有细分的高频段，同时根据被分析信号的特点自适应地选择对应的频段，使其与信号频谱匹配，进而提高时频分辨率，是一种更加精细的分析方法。

小波包分解关系可以表示为：S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3 其中，A表示低频，D表示高频，末尾序号数表示小波分解的层数（也称尺度数）。 以下用一个三层小波包分解树图来进一步理解小波包分析：

图2-9 三层小波包分解树

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第三章 小波变换在图像处理中的应用

在本章节中，我们将使用目前应用最广泛的科学与工程计算机软件MATLAB来对图像进行处理。MATLAB集成了二维和三维图形，以完成相应数值可视化的工作，并提供了一种交互式的高级编程语言——M语言，利用M语言可以通过编写脚本或者函数文件实现用户自己的算法[4]。

在软件使用过程中，我们运用了MATLAB编程，以GUI的形式展示出图片处理效果，GUI界面见图3-1。在GUI设计中我们提供了压缩、增强、去噪、分解、重构、融合六种图像处理来体现小波变换的在图像处理领域的应用。

图3-1 GUI界面

3.1 小波阈值法进行图像压缩

对于图像来说，如果需要进行快速或实时传输以及大量存储，就需要对图像数据进行

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压缩。在同样的通信容量下，如果图像数据压缩后再传输就可以传输更多的图像信息。

图像数据往往存在各种信息的冗余，如空间冗余、信息熵冗余、视觉冗余和结构冗余等。所谓压缩就是去掉各种冗余，保留有用信息。将小波变换引入图像压缩的范畴，是通过多分辨率分析过程将一副图像分为近似和细节两部分，细节对应的是小尺度的瞬变，它在本尺度内很稳定。因此将细节存储起来，对近似部分在下一个尺度上进行分解，重复该过程即可。对图像小波分解后，可以得到一系列不同分辨率的子图像，表征图像最主要的部分是低频部分，高频部分的大部分点的数值均接近于0。图像压缩本质上就是利用小波分解去掉图像的高频部分而保留图像的低频部分。

在图像的压缩过程中通常采用小波阈值法，小波变换可以将信号的能量集中到少数的小波系数上，即信号的小波变换系数集中在频率空间上的有限部分。小波阈值法利用信号和噪声小波系数幅值上的差异，通过选择一个合适的阈值，对小波系数进行处理，以达到去除噪声又保留有用信号的目的。小波压缩的特点在于压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰等。

3.1.1 实现压缩的主要函数

(1)在MATLAB的小波工具箱中，提供了获取压缩阈值的函数ddencmp，其调用格式为： [THR,SORH,KEEPAPP]=ddencmp(IN1,IN2',X)

说明：其中X为一维或二维信号，THR是阈值，SORH表示选择软阈值或硬阈值（分别取值为?s?和?h?），KEEPAPP允许用户保存低频系数，IN1为?cmp?时表示压缩，IN2为?wv?时表示小波。

(2)实现图像压缩的函数为wdencmp，其调用格式为：

[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp('gbl',C,L,'wname',N,THR,SORH)

说明：其中Wname为所用的小波函数，gbl为全局阈值，阈值向量THR的长度为N,XC压缩后的图像，[CXC,LXC]是XC的小波分解结构，PERF0和PERFL2为压缩和恢复L^2的范数百分比。[C,L]是X的小波分解结构，则PERF0=100*(小波分解系数里值为0的系数个数/全部小波分解系数个数)，PERFL2=100*(CXC向量的范数/C向量的范数)^2[1]。

3.1.2 实现压缩的算法流程

首先对图像进行多层小波分解，然后利用wavedec2函数来运用db3小波进行2层小波分解，并通过ddencmp函数获取全局阈值，对阈值进行处理，而后用wdencmp函数压缩处理，对所有的高频系数进行同样的阈值量化处理，最后显示压缩后的图像并与原始图像比较，同时在显示相关的压缩参数。

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图3-2 原始图像 图3-3 经压缩后恢复的图像

图3-4 压缩后图片的相关参数

由图3-2、图3-3、图3-4所示可知，小波分解系数中置0的系数个数百分比（即压缩率）为：47.081%，压缩后图像的剩余能量百分比（即恢复率）为：99.996 %。由此可知，压缩后的图像保留了原始图像47%的系数，但却保留了99.99%以上的能量。可见，虽然没有进行完美的压缩，但是已经取得了很好的压缩效果。通过观察对比压缩前后的图像可知，压缩后图像质量并未出现明显变化。

3.2 二维小波分析进行图像增强

图像增强主要目的是提高图像的视觉质量抑或凸显某些特征信息。图像增强是图像分析处理与计算机视觉问题中的重要环节，能够有效地增强图像，改善图像质量。为了更有利于计算机处理图像、提高图像的可理解程度，往往通过增加图像的细节动态范围实现。图像增强就是不考虑图像质量降低的因素，衰减掉多余的图像信息，运用了一系列技术将用户感兴趣的某些特征有选择的凸显出来。

图像在本质上是一个二维的信号f（x，y），可以通过二维小波变换对其进行分解和重构。离散小波变换将二维图像信号分解为大小、位置和方向都不同的分量，得到四个子图像：一个低通图像和三个高通图像，对低通图像可以根据需要继续进行分解，从而实现

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小波变换在图像处理中的应用

f（x，y）的多级小波分解。在对小波系数做逆变换之前可以改变小波变换域中某些系数的大小，这样就能够有选择的放大所感兴趣的分量而减小不需要的分量。由于图像经过二维小波分解后，图像的轮廓主要体现在低频部分，而细节部分则体现子高频部分。因此，可以通过对低频分解系数进行增强处理，对高频分解系数进行衰减处理，达到图像增强的作用。

3.2.1 实现增强的主要函数

在MATLAB中提供了wavedec2函数实现多尺度二维离散小波分解，其调用格式为： [C,S]=wavedec2(X,N,’wname’)

说明：其中N为严格的正整数，wname为小波函数[1]。

3.2.2 实现增强的算法流程

首先用wavedec2函数对图像用db5小波进行2层分解，而后分别对低频（近似）系数和高频(细节)系数乘上不同数值，用来弱化不重要的分解系数,突出轮廓部分，弱化细节部分。最后对分解系数进行重构并显示增强后的图像。

图3-5 原始图像 图3-6 增强后的图像

由图3-5、图3-6可知，达到了图像增强的效果图像对比更加明显，但是由于细节上的弱化，使得图像给人以模糊的感觉。可见图像增强可以有效凸显了原图的某些特征信息。

3.3 小波包图像去噪

在图像的预处理中，消除图像的噪声，提高图片质量是重要的一种数据处理。降低噪声同时保留细节是图像去噪中的难题。在过去图像处理领域的发展中，根据图像的特性、频谱分布的规律以及噪声统计特征，产生了多种图像去噪的方法。其中，基于小波变换的

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图像去噪利用小波具有的低熵性、去相关性、多分辨率、选基灵活性等特点得到了广泛成功的应用。小波去噪本质上是信号滤波问题，其综合运用了小波变换的低通滤波和信号特征提取功能，利用小波对含噪信号的处理，有效地滤除噪声，保留高频信息，从而更好的恢复原始信号。因此小波变换成为近年来图像去噪的重要手段。下图为小波去噪的原理：

图3-7 小波去噪原理框图

3.3.1 实现去噪的主要函数

在MATLAB小波工具箱中提供了wpdec2函数实现二维小波包分解，wbmpen实现阈值获取，提供wpdencmp函数专门用来利用小波包分解实现消噪和压缩处理的，其调用格式为：

(1) T=wpdec2(X,N,?wname?);

说明：返回矩阵X利用小波包?wname?进行N层分解的小波包树T。 (2) THR=wbmpen(C,L,SIGMA,ALPHA)

说明：返回去噪的全局阈值THR。THR通过给定的一种小波系数选择规则计算得到，小波系数选择规则使用Birge-Massart的处罚算法。[C,L]是进行去噪的图像的小波分解结构；SIGMA是零均值的高斯白噪声的标准偏差；ALPHA是用于处罚的调整参数，它必须是一个大于1的实数。

(3) [XD,TREED,PERFO,PERFL2]=wpdencmp(TREE,SORH,CRIT,PAR,KEEPAPP) 说明：SORH指定选取软阈值（SORH=?s?）或者硬阈值（SORH=?h?）；N为小波分解的层数；wname指定分解时所用的小波；CRIT和PAR定义了熵标准；TREE是小波包分解树结构。（PERFO、PERFL2是做压缩图像处理时使用，为返回压缩比例系数）KEEPAPP表示保存低频信号[1]。

3.3.2实现去噪的算法流程

首先用wpdec2函数对图像用coif2小波进行3层分解，获得小波包分解系数，利用中值函数median估计噪声标准差，并用wbmpen获取阈值，对于每一个小波包分解系数，选择一个恰当的阈值通过wpdencmp函数对系数进行阈值量化。根据最底层的小波包分解系数和经过量化处理系数，进行小波包重构图像。

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小波变换在图像处理中的应用

图3-8 原始图像 图3-9 含噪图像

图3-10 去噪后的图像

由图3-8、图3-9、图3-10可知，通过小波包去噪处理后的去噪图像与含噪图像比，清楚了非常多，由于原始图像本身也含有些许的噪声，所以，去噪图像也比原始图像清晰光滑。可见小波包分析在图像去噪处理方面达到了明显的消噪效果，有很好的应用前景。

3.4 小波变换用于图像融合

图像融合是指将两个或者多个图像进行数据处理，将关于某两个图像的信息加以综合，处理掉冗余的数据信息，得到拥有目标信息的图像数据，图像的缺陷得以克服，强化了有用的信息，可以获得被准确、全面表示的目标图像。图像融合在信息融合中是重要的，在目标识别、机器视觉、智能系统、医学图像处理等领域被广泛应用。传统的图像融合是在时间域运用算术运算实现融合，有着算法点单直观，处理速度快，实时性强等优点，但没有考虑频率的变化。

基于小波变换的多分辨率分析算法则是在频率域实现了图像的融合，有效帮助理解图像并快速获取感兴趣的信息。小波变换进行图像融合的原理是将融合方法应用到原始图像的小波分解的低频分量和高频分量中。通常有两种融合方法：简单融合法和参数独立法。本文用简单融合法来体现小波变换在图像融合中的应用。

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3.4.1 实现融合的主要函数

在MATLAB中实现图像融合的函数是wfusimg，其调用格式为： XFUS=wfusimg(X1,X2,WNAME,LEVEL,AFUSMETH,DFUSMETH)

说明：返回将原始图像X1和X2融合后的图像XFUS，参数LEVEL是指X1和X2分解的层次，参数WNAME指定分解小波，矩阵X1和X2的大小必须相同。AFUSMETH和DFUSMETH分别定义了低频和高频分量的融合方法，在简单融合法中，它们的有效值包括max、min 、mean、img1、img2和rand[1]。

3.4.2实现融合的算法流程

使用sym4小波对待融合图像进行5层小波分解，获得得相应的分解系数，并取细节和近似信号相应系数的最大值利用融合函数wfusimg进行融合，最后重构并显示融合后的图像。

图3-11 原始图像1 图3-12 原始图像2

图3-13 融合图像

由图3-11、图3-12、图3-13可知，可以成功实现两幅不同图像的融合。除此之外，通过小波变换也可以实现两幅模糊图像的融合。

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小波变换在图像处理中的应用

图3-14 原始图像1 图3-15 原始图像2

图3-16 融合后的图像

由图3-14、图3-15、图3-16可知，将完全不同的两幅图像或者两幅模糊在不同位置的图像进行小波融合，可以发现融合后的图像清楚地表现了对象特征，比原来的任何一幅图像都更容易为人们所理解。基于小波变换的图像融合可以应用在采用不同成像机理得到的同一物体部件的图像上，例如：多频谱图像理解、医学图像处理等。

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结论

本文通过对小波变换的研究，介绍了小波变换技术在国内外的发展概况，阐述了其基本理论及其在图像处理方面的应用，包括了小波变换的基本概念、特征、分类。简单介绍了从传统傅立叶变换到小波变换的技术发展，体现小波变换在图像处理上的优越性。使用MATLAB编程的方法实现小波变换在图像压缩、图像增强、图像去噪、图像融合、图像分解和图像重构的算法，说明了小波变换在图像处理方面的重要性。简单扼要地介绍了一些处理图像的关键小波函数的调用方法，体现运用小波变换对算法的简化效果十分明显。为了验证本文算法可行性，对其进行了仿真实验，并把整个实验的算法做成了人机交互界面（GUI）,直观、方便。

本文算法相对较为简单明了，虽然有待进一步对小波变换理论深入研究，但却已然表现了小波变换和传统变换相比的优越性，同时体现了小波变换已经可以广泛应用在图像处理领域中，并占据重要作用，拥有广大的发展前景。

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参考文献

[1] 张德丰.详解MATLAB数字图像处理，电子工业出版社，2010 [2] 刘刚.王立香，董延，MATLAB数字图像处理，机械工业出版社，2010 [3] 郑阿奇，曹戈.MATLAB实用教程（第3版）.北京：电子工业出版社，2012 [4] 董长虹，高志等.MATLAB小波分析工具箱原理与应用.北京：国防工业出版社，2004 [5] 赵小川等.MATLAB数字图像处理实战，机械工业出版社，2013 [6] 张汗灵.MATLAB在图像处理中的应用，清华大学出版社，2008 [7] 刘贵忠，邸双亮.小波分析及其应用.西安电子科技大学出版社，1992 [8] 成礼智，王红霞，罗永.小波的理论与应用.北京：科学出版社，2004 [9] 成礼智，郭汉伟.小波与离散变换理论及工程实践〔M].清华大学出版社，2005 [10] 赵书兰.MATLAB R2008 数字图像处理与分析实例教程.北京:化学工业出版社，2009.6

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致 谢

时光匆匆，美好的四年大学生活转瞬即过。在本文完成之际，衷心感谢我的指导老师杨艺敏老师的教导和帮助。杨老师用渊博的专业知识，严谨的治学态度在毕业设计和毕业论文的完成过程中给予了耐心的指导和督促，在我遇到程序算法问题及论文问题的时候，细心给我指出问题的错误点，并提供了许多的参考建议和改善方向，杨老师精益求精的工作作风对我毕业后的工作生活树立了一个良好的榜样。

最后，感谢我的母校的传道、授业、解惑。感谢所有在大学给我过教育指导的老师对我的精心栽培。感谢所有在大学四年互帮互助的同学，让我在阳光和笑容中收获珍贵的友谊和宝贵的知识。

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附录 英文文献及翻译

MATLAB wavelet analysis and image compression

Abstract

Wavelets provide a powerful and remarkably flexible set of tools for handling fundamental problems in science and engineering, such as audio de-noising, signal compression, object detection and fingerprint compression, image de-noising, image enhancement, image recognition, diagnostic heart trouble and speech recognition, to name a few. Here, we are going to concentrate on wavelet application in the field of Image Compression so as to observe how wavelet is implemented to be applied to an image in the process of compression, and also how mathematical aspects of wavelet affect the compression process and the results of it. Wavelet image compression is performed with various known wavelets with different mathematical properties. We study the insights of how wavelets in mathematics are implemented in a way to fit the engineering model of image compression. 1. Introduction

Wavelets are functions which allow data analysis of signals or images, according to scales or resolutions. The processing of signals by wavelet algorithms in factworks much the same way the human eye does; or the way a digital camera processes visual scales of resolutions, and intermediate details. But the same principle also captures cell phone signals, and even digitized color images used in medicine.Wavelets are of real use in these areas, for example in approximating data with sharp discontinuities such as choppy signals, or pictures with lots of edges.

While wavelets is perhaps a chapter in function theory, we show that the algorithms that result are key to the processing of numbers, or more precisely of digitized information, signals, time series, movies, color images, etc. Thus, applications of the wavelet idea include big parts of signal and image pro-cessing, data compression, fingerprint encoding, and many other fields of science and engineering. This thesis focuses on the processing of color images with the use of custom designed wavelet algorithms, and mathematical threshold filters.

Although there have been a number of recent papers on the operator theory of wavelets, there is a need for a tutorial which explains some applied tends from scratch to operator theorists. Wavelets as a subject is highly interdisciplinary and it draws in crucial ways on ideas from the outside world. We aim to outline various connections between Hilbert space geometry and image processing. Thus, we hope to help students and researchers from one area understand what is going on in the other. One difficulty with communicating across areas is a vast difference in

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lingo,jargon, and mathematical terminology.

With hands-on experiments, our paper is meant to help create a better understanding of links between the two sides, math and images. It is a delicate balance deciding what to include. In choosing, we had in mind students in operator theory,stressing explanations that are not easy to find in the journal literature.

Our paper results extend what was previously known, and we hope yields new insight into scaling and of representation of color images; especially, we have aimed for better algorithms. The paper concludes with a set of computer generated images which serve to illustrate our ideas and our algorithms, and also with the resulting compressed images. 1.1. Overview.

Wavelet Image Processing enables computers to store an image in many scales of resolutions, thus decomposing an image into various levels and types of details and approximation with different valued resolutions. Hence, making it possible to zoom in to obtain more detail of the trees, leaves and even a monkey on top of the tree. Wavelets allow one to compress the image using less storage space with more details of the image.The advantage of decomposing images to approximate and detail parts as in 3.3 is that it enables to isolate and manipulate the data with specific properties. With this, it is possible to determine whether to preserve more specific details. For instance, keeping more vertical detail instead of keeping all the horizontal, diagonal and vertical details of an image that has more vertical aspects. This would allowthe image to lose a certain amount of horizontal and diagonal details, but would not affect the image in human perception.

As mathematically illustrated in 3.3, an image can be decomposed into approximate, horizontal, vertical and diagonal details. N levels of decomposition is done. After that, quantization is done on the decomposed image where different quantization maybe done on different components thus maximizing the amount of needed details and ignoring ?not-so-wanted? details. This is done by thresholding where some coefficient values for pixels in images are ?thrown out? or set to zero or some ?smoothing? effect is done on the image matrix. This process is used in JPEG2000. 1.2. Motivation.

In many papers and books, the topics in wavelets and image processing are discussed in mostly in one extreme, namely in terms of engineering aspects of it or wavelets are discussed in terms operators without being specifically mentioned how it is being used in its application in engineering. In this paper, the author adds onto [Sko01], [Use01] and [Vet01] more insights about mathematical properties such as properties from Operator Theory, Functional Analysis, etc. of wavelets playing a major role in results in wavelet image compression. Our paper aims in

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same time.Here wavelet decomposition of images was performed the number of times the image can be divided by 2 ie. (floor(log2(min(size of Image)))) times. The averaged image of the previous level is decomposed into the four subimages in each level of wavelet image decomposition.Applying further wavelet decomposition on image in Figure 2 would result in images Figure 3 and Figure 4. Note that the image on the top left most corner get blurrier as it gets “averaged” out and also note the horizontal, vertical and diagonal components of the image. A better example where the horizontal, vertical and diagonal components are more explicitly shown in images Figure 6 and Figure Notice that the horizontal, vertical and diagonal components in the rectangular duster in the picture. 4.3. Conclusion.

Wavelet compression did show remarkable performance especially with smaller threshold value; it was not differentiable in between the original image and the compressed image for some cases.

However, more improvements can still be made. As it is mentioned in [Sko01] there is more room for improvement by adding more stages to the compression such as quantization, entropy encoding, etc. Also, we have not covered all the wavelets that is out there, that it cannot be decided as to which one performs the best image compression.

Mathematical aspects of wavelets play a very significant role in differing the results of engineering applications. I hope to study the mathematical properties of wavelets and their applications in various parts of engineering.

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小波变换在图像处理中的应用

MATLAB小波分析与图像压缩

摘要

小波分析提供了一种强大的和非常灵活的工具集，来处理在科学和工程方面基本的问题，比如音频消噪、信号压缩、目标探测和指纹压缩、图像去噪、图像增强、图像识别、诊断心脏病和语音识别等等。在这里,我们要集中精力解决应用程序领域的小波图像压缩,以观察如何实现小波变换的应用到一个图像压缩的过程中,如何利用数学方面的小波影响压缩的过程和结果。小波图像压缩的小波进行各种已知与不同的数学性质。我们研究的见解如何实现小波在数学的方式来适应图像压缩的工程模型。 1 介绍

小波函数,允许数据分析的信号或图像,根据鳞片或决议。处理的信号,通过小波算法在factworks一样的人类的眼睛并;或数码相机处理视觉尺度的决议,以及中间的细节。但同样的原则也抓住了手机信号,甚至数字化彩色图像用于医药。小波是真正的使用在这些领域,例如在逼近数据与剧烈波动如波涛汹涌的信号,或者图片大量的边缘。

小波也许一章函数论,我们证明了算法,结果是关键的处理数字,或更准确的信息的数字化、信号时间序列,电影,颜色,图片等等。因此,应用小波变换的想法包括大的部分对信号和图像、数据压缩、指纹编码,和其他很多领域的科学和工程。本论文重点对彩色图像的处理与使用定制的设计小波算法,和数学阈值过滤器。

尽管有最近的一系列文章,对小波算子理论,需要一个教程这解释了一些应用往往从起步到运营商理论家。小波分析作为一门学科是高度跨学科和它吸引了至关重要的途径从外部世界的想法。我们的目的是列出各种希尔伯特空间几何之间的联系和图像处理。因此,我们希望能帮助学生和研究人员从一个地区了解正在进行中的其他。沟通的困难之一是一个巨大的地区差异在术语、行话、数学术语。

有亲自动手实验,我们的报纸是为了帮助创造一个更好的了解,双方之间的联系,数学和图像。这是一个微妙的平衡决定包含什么。在选择我们所想要的学生在算子理论,强调解释,不容易找在我们的论文结果扩展以前是已知的,我们希望收益率新的见解的缩放和表示的彩色图像，特别是，我们已经有更好的算法。

最后，计算机生成的图像以说明我们的想法和我们的算法,并使用生成的图像压缩。 1.1 综述

小波图像处理使计算机存储图像在许多规模的决议,因此图像分解成不同层次和类型的细节和近似具有不同价值的决议。因此,使其能够放大,以获取更多细节,树木的叶子,甚至一只猴子在树顶。小波图像压缩允许使用更少的存储空间和更详细的图像。

作为数学上,一个图像可以分解成近似、水平、垂直和对角的细节。N分解层级的完成。在那之后,量化工作是在分解的图像位置不同的量化也做不同的组件,从而最大限度地发挥需要的数量细节和忽视“not-so-wanted的细节。这是通过一些系数阈值的像素值图像是“扔掉”或设置为零或者一些“平滑”效应的工作是在图像矩阵。这个过程是用在JPEG2000标准。

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1.2 目标

在许多论文和书籍,主题在小波图像处理中所讨论的主要是在一个极端,即在工程方面的方面或小波进行了讨论,在条件操作符没有被明确的提到它是如何被用于其在实际工程中的应用。在本文中,作者补充说到[Sko01],[Use01]和[Vet01]更深入的数学性质,如属性从算子理论、泛函分析等,对小波起主要作用的结果在小波图像压缩编码。我们研究的目的在建立(如果尚未建立或改善之间的连接的数学方面的小波图像处理等方面的应用。同时,我们的论文探讨图像是用计算机程序实现,以及如何进行小波分解的数字化图像的计算机程序而言,在数学方面,希望数学和工程学之间的沟通将会得到改善,从而将带来更大的收益,数学家和工程师。 2 彩色图像小波压缩

整个过程的小波图像压缩是执行如下:一个输入图像被计算机,前锋小波变换进行了数字图像,阈值可以对数字图像,熵编码工作是在图像在必要的地方,因此压缩图像是在电脑上完成。然后使用压缩图像,重建图像小波变换完成,然后逆小波变换进行图像,因此图像重建。在某些情况下,分块算法[Sha93],并且用已知有更好的压缩和分块算法实现了,但它不是。 2.1 提出小波变换.

各种小波变换用于这一步。即Daubechies小波、Coiflets,双正交小波、和Symlets。 这些不同的转换是实现观察各种数学性质,如对称,号码消失的时刻和正交压缩图像的不同结果。优点是它可以保存短支持本地。使用正交小波的Daubechies,所以做Coiflets。 Symlets拥有的特性接近对称。双正交小波的是垂直的,但不是必须正交提供了更多的选项来各种过滤器如对称过滤器从而允许他们拥有对称的财产。

MATLAB有一个叫做wavedec2子例程执行分解的图像为你到给定的期望水平(N)与特定需要小波(wname)。因为有三个组件来处理,应用小波变换componentwise。“wavedec”是一个二维小波分析功能。[C,S]= wavedec2(X,N,的wname”)返回小波分解矩阵的X在级别N,利用小波中指定字符串' wname”将是分解矢量C和correspondingbookkeeping矩阵[MatlabUG]。 这里的图象为X的矩阵。 2.2 阈值

因为这个项目的目的是比较每个图像压缩的性能使用不同的小波、固定阈值被使用。MATLAB里被称作wthrmngr的子程序，已经叫它可计算全局阈值或依赖阈值水平根据选项和方法。可用的选项是全球性的阈值和阈值水平依赖,和全球阈值是程序中使用。然而,一个固定阈值是用给定的条件相同的每个小波变换来比较不同条件下的性能。在这里,固定阈值10,20人被使用。对于无损压缩0作为阈值,原因很明显。 2.3 重建图像

小波变换和逆小波变换在这一步,意义的地图是采取与振幅小波系数的非零价值,小波转换图像重建。逆小波变换.小波参数转换为一个图像几乎相同,原始图像。有多少相同,那么它们将取决于是否有损压缩或无损。

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小波变换在图像处理中的应用

2.4 Coiflets设计

Coiflets设计,以维护一个接近的匹配值之间的趋势和原始信号的值。所有的coiflets,CoifI,我= 6、12、18,24岁,30定义在一个类似的方式,但他们有一些Daubechies小波不同的属性。Coif6转换产生一个更接近的比分subsignals之间趋势和原始信号的价值观匹配的DaubJ转换可以产生。这意味着Coifman小波系统类似于Daubechies小波系统(等级2),都拥有最大数量的消失的时刻,但是消失的时刻是平均分布在这个尺度函数和小波函数。相比之下的案例Daubechies小波、没有公式的Coiflets任意属,没有正式的证明它们的存在为任意属在这个时候。有数值解的方法,用牛顿的工作很好,直到出现舍入错误给问题,约20(roundoff属错误也是一个问题在计算数值超过这个Daubechies缩放向量相同的范围与光谱分解,即使公式并给出一个arevalid存在定理为每一个种类[Res98]。如果我们使用小波Daubechies以同样的方式,一个人不能获得同样的近似结果,除了低阶。 2.5 小波

支撑小函数定义在一个有限的时间间隔和拥有一个平均的值为零。基本的想法的小波变换来表示任意函数f(x)的叠加一组这样的小波或基函数。这些基本功能是获得原型叫做母亲英格尔小波小波ψ(x),通过dilations或缩放和翻译。小波基非常擅长有效地代表函数平滑除了少量的间断。 2.6 双正交小波

双正交小波分析的基础,在定义弱定义依据正交小波基地。尽管正交小波滤波器的self-duality只有,双正交小波滤波器的二元性。自正交小波滤波器的使能源保护证实在[Wal99],双正交小波不是能源保护。

当前压缩系统使用双正交小波代替正交小波,尽管事实上它不是能源保护。双正交小波的事实不是能源保护不是一个大问题,因为有线性相位双正交滤波器系数是“接近”被正交[Use01]。的主要优点是双正交小波变换,它允许使用更高级别的过滤器,这类包含对称过滤器。双正交小波变换是有利的,因为它可以使用线性相位滤波器提供对称输出当面对对称输入。这种转变被称为对称小波变换和它解决了问题的扩张和边界断层系数。这里的图像进行小波分解的次数的图像能够除以2 ie。(地板(log2(min(大小的图像))))倍。平均的上一级的图像分解成四个subimages在每个级别的小波图像分解。

进一步对图像进行小波分解应用在图2将会导致图像图3和图4。请注意,上的图片左上角最角落得到模糊“平均”时,还要注意水平、垂直、对角线图像的组件。一个更好的例子,其中的水平、垂直和对角组件更明确地显示在图6和图图像7.注意,水平、垂直和对角组件在矩形掸子图中。 3 图像的数学表示法

在这一节中,我们将探讨了数字图像背后表示和数学。MATLAB是一个互动的系统,它的基本数据元素是一个数组,它不需要尺寸。这使得制定解决许多技术的计算问题,特别是那些涉及矩阵表示,在很短的需要花费一些时间来编写一个程序在一个标量交互式语言如C

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或Fotran。

MATLAB的名字代表矩阵实验室。在大学环境中,MATLAB是标准的计算工具和高级课程介绍数学、工程和科学。在工业上,MATLAB是计算选择的工具对研究、开发和分析。MATLAB辅以一个家庭的特定于应用程序的解决方案称为工具箱;在这里,用小波分析工具。

3.1 数字图像表示法

一个图像被定义为一个二维的函数ie。一个矩阵,f(x,y),x和y会是空间坐标,振幅的f在任何一对坐标(x,y)称为强度或灰度图像的点。彩色图像是由结合个人二维的图像。例如,在RGB颜色系统、彩色图像由三个即红色,绿色和蓝色的个别组件图片。因此许多技术开发的黑白图像可以扩展到彩色图像进行处理的三个组件分别图像。当x,y和振幅值f的都是有限的,离散的物理量,映像称为数字图像。数字图像处理领域是指处理数字图像通过数字计算机。一个数字图像是由一个有限数目的元素,每个元素都有一个特定的位置和价值。这些元素被称为图像元素,图像元素,针对和像素。因为像素是最广泛使用的术语,这些元素将被标记为像素从现在开始。

一个图像也许持续对y-coordinates x和,并在振幅。数字化坐标以及振幅会影响这种形象的转换到数字形式。在这里,数字化的坐标值是称为采样;数字化振幅值被称为量化。一个数字图像是由一个有限数目的元素,每个元素都有一个特定的位置和价值。数字图像处理领域是指处理数字图像通过数字计算机。 3.2 MATLAB里读取图片

图像是读进MATLAB环境下使用函数叫做imread。语法如下:imread(文件名)这里,文件名是一个字符串,该字符串包含完整的图像文件的名字包括任何适用的扩展。例如,命令行> > f = imread(lena.jpg);读取JPEG图像莉娜分为图像数组或图像矩阵f。因为有三种颜色组成的形象,即红色,绿色和蓝色分量,图像分为三个不同颜色矩阵fr，fg和fb。 3.3 图像的小波分解。

颜色转换，图像压缩的过程中,应用压缩图像的RGB组件会导致不良的颜色变化。因此,图像转化成它的强度,色调和色彩饱和度组件。颜色转换用于JPEG - 2000标准[Sko01]已经被采用。 4 结果和讨论 4.1 该计划的实施

这个计划执行,使用MATLAB与不同的子程序,使得小波变换、图像压缩和阈值计算信号的小波变换的工具包。 4.2 讨论

有损压缩，有多种影响因素的图像压缩。正如上面提到的第二部分,nonorthogonality小波可能会引起压缩是有损的。当阈值应用于压缩,一些“微不足道的系数被扔掉从而导致有损压缩。同时,层级的数量将小波变换应用会影响压缩质量。尽管lossiness所引起的非正交

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小波变换在图像处理中的应用

小波是不可以避免某些小波时被使用,试图最小化了lossiness数量的层部分下降到单个像素级当小波变换应用(floor(log2(min(大小的图像))))。除了应用各种阈值lossiness观察。

一个有损压缩方法倾向于生产中的错误解压映像。有损压缩方法时使用这些错误是如此的小,以致他们难以察觉。如果那些无法察觉的错误是可以接受的技术是有利的损耗比无损的,就可以达到更高的压缩比。

为了支持所宣称的比较结果的图像和理论知识,我们获得了文本特征,比较了数值。他们的压缩率,均方根误差,rms,两个规范的相对差异,D,和峰值信噪比,PNSR。

各种小波变换具有两种不同thresholdings被用来压缩和8位lena.png彩色图像。有一件事可以马上指出通过查看图像,图像压缩与较小的阈值为10看起来更接近原始图像。

现在,考虑在每个小波变换的表演获得相同的阈值,bior 2.2(双正交小波),sym5(Symlet)和Coif3(Coiflet)似乎已经产生了更少的完美的图像压缩的小波相比,所有其他的在小波db2似乎产生了最完美的图像压缩;同意上面讨论什么是在db2 Daubechies小波被更好的信号压缩比db1(哈尔)。考虑到错误和压缩比的感知sym5形象将是最好的选择小波,在那些被用于图像压缩。因此,在这种情况下,sym5非常接近对称小波做了一份更好的工作,在图像压缩。同样,让额外的属性如前所述Coiflets下段由在图像压缩Coif3执行得更好。有biorothogonal属性似乎也导致更好的图像压缩。另一方面正交小波Daubechies似乎并不比coiflets表现更好,symlets双正交小波。而且,有再支持比例为小波的顺序,似乎导致企业绩效的不断恶化的图像压缩。与阈值10,当一个Daubechies小波,压缩比使用db1 34.2627而db2 38.4340了。 一个Coiflet Coif1导致压缩率为37.0173,而发型3导致压缩率为26.8321。 双正交小波bior1.1和bior2.2给了34.2627和30.2723的压缩率分别。 Symlets sym2和sym5导致压缩率分别为38.4340倍和34.3523倍。 现在,用更高的阈值,因为更多的日期被丢失,压缩比的增加而增大。然而,图像的质量的同时减少了。 4.3 结论

小波压缩确实展现出非凡的性能，尤其是较小的阈值，它并不是在原始图像之间的可微的,那么图像压缩为某些情况下。

然而,还可以进行更多的改进。作为里提到[Sko01]有更多的改进的空间通过添加更多的阶段到压缩如量化、熵编码等。同时,我们没有涉及到所有的小波,就在那里,它不能决定是哪一个表现最佳的图像压缩。

数学方面的小波扮演一个重要的不同结果的工程应用。我希望研究的数学性质及其应用小波在不同地区的工程研究。

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小波变换在图像处理中的应用

小波是不可以避免某些小波时被使用,试图最小化了lossiness数量的层部分下降到单个像素级当小波变换应用(floor(log2(min(大小的图像))))。除了应用各种阈值lossiness观察。

一个有损压缩方法倾向于生产中的错误解压映像。有损压缩方法时使用这些错误是如此的小,以致他们难以察觉。如果那些无法察觉的错误是可以接受的技术是有利的损耗比无损的,就可以达到更高的压缩比。

为了支持所宣称的比较结果的图像和理论知识,我们获得了文本特征,比较了数值。他们的压缩率,均方根误差,rms,两个规范的相对差异,D,和峰值信噪比,PNSR。

各种小波变换具有两种不同thresholdings被用来压缩和8位lena.png彩色图像。有一件事可以马上指出通过查看图像,图像压缩与较小的阈值为10看起来更接近原始图像。

现在,考虑在每个小波变换的表演获得相同的阈值,bior 2.2(双正交小波),sym5(Symlet)和Coif3(Coiflet)似乎已经产生了更少的完美的图像压缩的小波相比,所有其他的在小波db2似乎产生了最完美的图像压缩;同意上面讨论什么是在db2 Daubechies小波被更好的信号压缩比db1(哈尔)。考虑到错误和压缩比的感知sym5形象将是最好的选择小波,在那些被用于图像压缩。因此,在这种情况下,sym5非常接近对称小波做了一份更好的工作,在图像压缩。同样,让额外的属性如前所述Coiflets下段由在图像压缩Coif3执行得更好。有biorothogonal属性似乎也导致更好的图像压缩。另一方面正交小波Daubechies似乎并不比coiflets表现更好,symlets双正交小波。而且,有再支持比例为小波的顺序,似乎导致企业绩效的不断恶化的图像压缩。与阈值10,当一个Daubechies小波,压缩比使用db1 34.2627而db2 38.4340了。 一个Coiflet Coif1导致压缩率为37.0173,而发型3导致压缩率为26.8321。 双正交小波bior1.1和bior2.2给了34.2627和30.2723的压缩率分别。 Symlets sym2和sym5导致压缩率分别为38.4340倍和34.3523倍。 现在,用更高的阈值,因为更多的日期被丢失,压缩比的增加而增大。然而,图像的质量的同时减少了。 4.3 结论

小波压缩确实展现出非凡的性能，尤其是较小的阈值，它并不是在原始图像之间的可微的,那么图像压缩为某些情况下。

然而,还可以进行更多的改进。作为里提到[Sko01]有更多的改进的空间通过添加更多的阶段到压缩如量化、熵编码等。同时,我们没有涉及到所有的小波,就在那里,它不能决定是哪一个表现最佳的图像压缩。

数学方面的小波扮演一个重要的不同结果的工程应用。我希望研究的数学性质及其应用小波在不同地区的工程研究。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/bk5g.html