初三相似三角形难题集

【章节训练】第27章 相似-8

一、选择题（共15小题） 1．（2011?惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）

A． 2.5AB B．3 AB 3.5AB C． D．4 AB 2．（2012?深圳二模）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2

面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，则Sn等于（ ）

A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC?BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（ ）

A． 1个 C． 3个 D．4 个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是（ ）

B．2 个

①②③ ④ ③④⑤ ⑤ A． B．② ③C． D．① ③ 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：（1）△BEA与△ACD；（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（ ）

A． （1）（4） B．（ 1）（2） C． （2）（3）（4） D．（ 1）（2）（3） 6．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．

正确的有（ ）

A． 1个 B．2 个 C． 3个 D．4 个 7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=的面积是19cm，则△ABC的面积是（ ）

2

，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR

A． 38 45.6 C． D．4 7.5 8．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论： ①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形； ③PC?OA=OE?PB；④CE+PC的值不变．

B．4 2.8

A． 1个 B．2 个 C． 3个 D．4 个 9．如图，D为⊙O的直径AB上任一点，CD⊥AB，若AD、BD的长分别等于a和b，则通过比较线段OC与CD的大小，可以得到关于正数a和b的一个性质，你认为这个性质是（ ）

A． B． C． D． 10．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（ ）

A． B． C． D． 11．（2011?綦江县模拟）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=a，AB=b，BF=c，下列结论：

①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a+b=c；④△A′B′E∽△B′CD； 其中正确的是（ ）

2

2

2

②④ ②③ A． B．① ④C． D．① ③ 12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（ ）

A． B． C． D． 13．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE?HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（ ）

A． 1个 C． 3个 D．4 个 14．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH=HE?HB．

2

B．2 个

A． 1个 B．2 个 C． 3个 D．4 个 15．（2011?金平区二模）如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（ ）

A． 0对 C． 2对 D．3 对 二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．（2012?舟山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论： ①=

；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=

AB；⑤S△ABC=5S△BDF，

B．1 对 其中正确结论的序号是 _________ ．

17．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H．下列结论：

①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④．

其中正确的结论有 _________ ．

18．（2012?泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= _________ ．（用含n的式子表示）

19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD?BC=BE?DE；④CD=AD+BC．其中正确的有 _________ ．

20．（2011?盘锦）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、AB的中点，连接DF、CE，DF与CE交于点H，则下列结论：①DF⊥CE；②DF=CE；③=

；④=

．其中正确结论的序号有 _________ ．

21．（2011?内江）在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 _________ ．

22．（2010?淮安）已知菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部（包括边界）任取一点P，得到△ACP

2

并涂成黑色，使黑色部分的面积大于6cm的概率为 _________ ．

23．（2010?江津区）已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是 _________ ．

三、解答题（共7小题）（选答题，不自动判卷）

2

24．（2011?营口）如图（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值． （图（2）、图（3）供画图探究）

25．（2011?莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断

是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

26．（2011?盐城）情境观察

将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC相等的线段是 _________ ，∠CAC′= _________ °．

问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论． 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

27．（2011?义乌市）如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F． （1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在 _________ 关系（填“相似”或“全等”），并说明理由； （2）如图2，设∠ABP=β．当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面积为S，求S关于x的函数关系式．

28．（2011?钦州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：AC平分∠DAB；

（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （3）若CD=4，AC=4，求垂线段OE的长．

29．（2011?西宁）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， （1）求证：△ABE∽△ADB； （2）求AB的长；

（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

30．（2011?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是． （1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【章节训练】第27章 相似-8

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题） 1．（2011?惠山区模拟）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）

A． 2.5AB B．3 AB 考点： 勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题；证明题；压轴题． 分析： 过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可． 解答： 解：过点B作BM∥AD， ∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形， ∴AB=DM，AD=BM， 又∵∠ADC+∠BCD=90°， ∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC C．3 .5AB

D．4 AB

4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是（ ）

①②③ A． 考点： ④ B．② ③正方形的性质；相似三角形的性质． 压轴题． 本题为选择题，做选择题是要有技巧，像排除法，假设法都可以用，先看选项因为都有③选项故③可作为已知条件求解， △DHB∽△CHG根据面积比等于相似比的平③④⑤ C． ⑤ D．① ③专题： 分析： 方可得S△CGH：S△DBH=1：2故选项有⑤， 然后再看①④中间哪个正确，先看①过G作GO⊥CD于O，设正方形边长为1，则，可求得CH===OC=﹣=，=所以，OD=1，又

==所，以DH=DO=DH﹣OH=1﹣，可解答： 得DO=OH，△DGH为等腰三角形，∠GDH=∠GHD，①正确． 解：（1）∵选项都有③，故可确定EG=CH． （2）由题意可得四边形BCED为平行四边形，进而推出△DHB∽△CHG，==， ∵面积比等于相似比的平方 ∴S△CGH：S△DBH=1：2． （3）先看①设正方形边长为1．则=求得CH===OD=1﹣=H===，=所以，又∴D．DO=可=DH﹣OH=1﹣∴可得

DO=OH，△DGH为等腰三角形，即得∠GDH=∠GHD，①正确 故选D． 点评： 本题考查的知识点比较多，正方形四边相等的性质及等腰三角形两底角相等的性质，面积比等于相似比的平方，相似三角形的比例关系要熟练掌握，另外还要掌握做选择题的一些方法，可是选择题的解答即快又准． 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：（1）△BEA与△ACD；（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF与△CFB，其中相似的有（ ）

A． （1）（4） B．（ 1）（2） 考点： 矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 根据题意，分别寻找各对三角形相似的条件，运用判定方法判断．∠EFC=∠ADC=90° C． （2）（3）（4） D．（ 1）（2）（3）

∴∠DCA+∠FED=180° ∵∠FED+∠AEB=180° ∴∠AEB=∠DCA，∠CDA=∠DAB=90° ∵∠DAC=∠ABE∴△BEA∽△ACD． 再利用相似三角形相似的判定证明△FED与△DEB，△CFD与△ABG相似，而（4）不成立． 解：（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB=∠CDA=90°， ∴∠BAF+∠CAD=90°， 又∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠CAD=∠ABF， ∴△BEA与△ACD相似；故此选项正确； （2）△FED与△DEB相似．理由：DE=AE=EF?EB，∠DEF=∠BED；故此选项正确； （3）△CFD与△ABG相似．理由：∠CDF=90°﹣∠EDF，∠AGB=90°﹣∠EBG， 由（2）的结论得：∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此选项正确； 22解答：

（4）△ADF与△CFB不具备相似条件． 故选D． 点评： 本题主要考查了三角形相似的判定． 6．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF．

正确的有（ ）

A． 1个 考点： B．2 个 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． C． 3个 D．4 个 专题： 分析： 解答： 压轴题． 根据已知对结论进行分析，从而得到答案． 解：作BG⊥CG，交CF的延长线于点G， ∵∠CGB=90°，CF⊥AD ∴∠1=∠2 ∵AC=BC ∴△ACD≌△CBG ∴CD=BG，∠CDA=∠CBG ∵CD=BD ∴BG=BD ∵∠3=∠4，BF=BF ∴△BFG≌△BFD ∴∠FGB=∠FDB ∴∠ADC=∠BDF

（故②正确） 如图2，作GB⊥BC，交CF延长线于点G， ∵∠ACB=90°，BG⊥BC ∴AC∥BG，∠CAB=∠3，∠AFC=∠BFG ∴△BFG∽△AFC ∵BE=BD=BC=AC ∴== ∴AF=2BF（③正确） 所以正确的有两个． 故选B． 点评： 此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形全等及相似求解． 7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=的面积是19cm，则△ABC的面积是（ ）

2

，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR

A． 38 考点： B．4 2.8 三角形的面积；相似三角形的判定与性质． 压轴题． 通过求出△QPR的面积和△ABC面积的比，即可求出△ABC的面积． 解：过P作PM⊥BC于M，过A作AN⊥BC于N ∴△BMP∽△BNA ∴PM：AN=BP：BA=2：3 设△ABC的面积为S，则45.6 C． D．4 7.5 专题： 分析： 解答： S△BQP=BQ?PM=?（BC）?（AN）=BC?AN?=S 同理可得出：S△QRC=S， 同理，过P作PE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F． 则S△APR=S S阴影=S﹣S△BQP﹣S△QRC﹣

S△APR=S=19 ∴△ABC的面积S=12×19÷5=45.6． 故选C． 点评： 已知部分求整体，可通过求得部分占整体的比重来求出整体的值． 8．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论： ①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形； ③PC?OA=OE?PB；④CE+PC的值不变．

A． 1个 考点： B．2 个 相似三角形的判定与性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心． 几何综合题；压轴题． ①由于外心是三角形三边中垂线的交点，显然点E是AB、BP两边中垂线的C． 3个 D．4 个 专题： 分析：

交点，因此符合△ABP外心的要求，故①正确； ②此题要通过①的结论来求，连接AE，根据三角形的外心的性质可知：AE=PE=BE，即∠EPA=∠EAP，∠EAB=∠EBA，再结合三角形的内角和定理进行求解即可； ③此题显然要通过相似三角形来求解，由于OA=OB，那么可通过证△OEB∽△CPB来判断③的结论是否正确； ④此题较简单，过E作EM⊥OC，交AC于M，那么MC=CE，因此所求的结论可转化为证PM是否为定值，观察图形，可通过证△PEM、△BEC是否全等来判断． 解：①∵CO为等腰Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CO垂直平分AB； 又∵DE平分PB，即E点是AB、BP两边中垂线的交点， ∴E点是△ABP的外心，故①正确； ②如图，连接AE； 由①知：AE=EP=EB，则解答：

∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA； ∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°， 由三角形内角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°， ∴△PEB是等腰直角三角形；故②正确； ③∵∠PBE=∠ABC=45°， ∴∠EBO=∠PBC=45°﹣∠CBE， 又∵∠EOB=∠PCB=90°， ∴△BPC∽△BEO，得：，即PC?OB=OE?BC?PC?OA=OE?BC； 故③错误； ④过E作EM⊥OC，交AC于M； 易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°； ∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC， 又∵EC=ME，PE=BE， ∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值； 由于PM=CM+PC=

EC+PC，所以CE+PC的值不变，故④正确； 因此正确的结论是①②④，故选C． 点评： 此题主要考查了三角形的外接圆、等腰直角三角形的性质、全等三角形及相似三角形的相关知识等，综合性强，难度较大． 9．如图，D为⊙O的直径AB上任一点，CD⊥AB，若AD、BD的长分别等于a和b，则通过比较线段OC与CD的大小，可以得到关于正数a和b的一个性质，你认为这个性质是（ ）

A． 考点： B． C． D． 专题： 分析： 解答： 圆周角定理；垂径定理；射影定理． 压轴题． 连接AC，BC；根据射影定理求解． 解：连接AC，BC． 根据AB是直径，因而∠ACB是直角，CD是直角三角形斜边上的高线，因而

CD2=AD?DB，即CD2=ab，CD=． 而OC=，并且OC≥CD，则≥． 故选A． 点评： 本题主要考查了圆中直径所对的弦是直径，并且考查了垂径定理． 10．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（

A． B． C． D． 考点： 勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF：FG=3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长，求出的值即可． 解答： 解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接

）

矩形，EF：FG=3：1，AB：BC=2：1， ∴∠HEA+∠FEB=90°， ∵∠FEB+∠EFB=90°， ∴∠HEA=∠EFB， ∵∠HAE=∠B， ∴Rt△HAE∽△EBF， ∴===， 同理可得，∠GHD=∠EFB，HG=EF， ∴△GDH≌△EBF，DH=BF，DG=EB， 设AB=2x，BC=x，AE=a，BF=3a， 则AH=x﹣3a，AE=a， ∴tan∠AHE=tan∠BEF， 即=，解得：x=8a， ∴tan∠AHE===． 故选A 此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比，根据各边之间的关系列出方程解答． 点评： 11．（2011?綦江县模拟）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=a，AB=b，BF=c，下列结论：

222

①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a+b=c；④△A′B′E∽△B′CD；

其中正确的是（ ）

②④ A． 考点： B．① ④翻折变换（折叠问题）；勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定． 几何综合题；压轴题． 由折叠前后对应线段相等可得①成立，那么只要判断③成立与否即可． 解：根据题意，结论①B′E=BF正确； 连接BE， 根据折叠可知：BF=B′F，∠BFE=∠B′FE， 又∵EF=EF ∴△B′EF≌△BEF（SAS）， ∴B′E=BE，∠B′FE=∠BFE， 又∵AD∥BC， ∴∠B'EF=∠BFE， ∴∠B′FE=∠B′EF②③ C． D．① ③专题： 分析： 解答： ， ∴B′F=B′E， ∴B′E=BF， ∴BE=B′F=BF=c， 在Rt△ABE中，根据勾股定理222可得，a+b=c； 故选D．

点评： 此题主要考查图形的折叠问题，同时考查了平行线的性质和等角对等边等知识点．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化． 12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（ ）

A． B． C． D． 考点： 专题： 分析： 相似三角形的性质；动点问题的函数图象． 综合题；压轴题． 过点O分别作OF⊥AB与F，OE⊥BC与E，易证明△NOF∽△MOE，利用相似比作为相等关系即可得到关于x，y

的方程，整理即可得到函数关系式从而判断图象． 解：过点O分别作OF⊥AB与F，OE⊥BC与E ∵∠POQ=∠EOF=90° ∴∠NOF=∠MOE ∵∠NFO=∠MEO=90° ∴△NOF∽△MOE ∴= 解答： ∵AB=4，AD=6，BM=x，AN=y ∴NF=2﹣y，ME=3﹣x，OF=3，OE=2 ∴= ∴y=x﹣（0＜x＜6） 故选C． 点评： 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用． 13．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE?HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（ ）

A． 1个 考点： B．2 个 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质；圆周角定理． 压轴题；动点型． ①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠C． 3个 D．4 个 专题： 分析： EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确； ②若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的． ③此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关

系； ④若BE平分∠DBC，那么H是DG的中点；易证得△ABH∽△BCE，得BD?BC=BE?BH，即BC=BE?BH，因此只需求出BE?BH的值即可得到正方形的面积，可先求出BE、EH的比例关系，代入已知的乘积式中，即可求得BE?BH的值，由此得解． 解：①正确，证明如下： ∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°， ∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG， ∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°， ∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确； ②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上； 由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正确； ③由②知：A、B、C、D、H五点2解答：

共圆，则∠BAH=∠BDH； 又∵∠ABD=∠DBG=45°， ∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM； 故③正确； ④过H作HN⊥CD于N，连接EG； 若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，已知：BH垂直平分DG； 得DE=EG，H是DG中点，HN为△DCG的中位线； 设CG=x，则：HN=x，EG=DE=x，DC=BC=（+1）x； ∵HN⊥CD，BC⊥CD，∴HN∥BC， ∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB， ∴△BEC∽△HEN，则BE：EH=BC：HN=2+2，即EH=； ∴HE?BH=BH?=4﹣2，即BE?BH=4； ∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，

∴△DBH∽△EBC，得：DB?BC=BE?BH=4， 即2BC=4，2得：BC=4，即正方形ABCD的面积为4； 故④正确； 因此四个结论都正确，故选D． 点评： 本题主要考查三角形相似和全等的判定及性质、正方形的性质以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键． 14．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）

①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH=HE?HB．

2

A． 1个 考点： B．2 个 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形中位线定理；相似三角C． 3个 D．4 个

形的判定与性质． 几何综合题；压轴题． 根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．①作EJ⊥BD于J，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论； ②根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出结论； ③根据OH是△BFD的中位线，得出专题： 分析： GH=CF，由GH＜BC，可得出结论； ④由相似三角形的判定定理得出△DHG∽△BDH，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 解：作EJ⊥BD于J，连接EF ①∵BE平分∠DBC ∴EC=EJ， ∴△DJE≌△ECF ∴DE=FE 解答：

∴∠HEF=45°+22.5°=67.5° ∴∠HFE=22.5° ∴∠EHF=180°﹣67.5°﹣22.5°=90° ∵DH=HF，OH是△DBF的中位线 ∴OH∥BF ∴OH=BF ②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线， ∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°， ∵CE=CF， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴∠EBC=∠CDF=22.5°， ∴∠BFH=90°﹣∠CDF=90°﹣22.5°=67.5°， ∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF， ∴OH是CD的垂直平分线， ∴DH=CH， ∴∠CDF=∠DCH=22.5°， ∴∠HCF=90°﹣∠DCH=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠CHF=180°﹣∠HCF﹣∠BFH=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，故②正确； ③∵OH是△BFD的中位线， =

∴DG=CG=BC，GH=CF， ∵CE=CF， ∴GH=CF=CE ∵CE＜CG=BC， ∴GH＜BC，故此结论不成立； ④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线， ∴∠DBH=22.5°， 由②知∠HBC=∠CDF=22.5°， ∴∠DBH=∠CDF， ∵∠BHD=∠BHD， ∴△DHE∽△BHD， ∴= ∴DH=HE?HB，故④成立； 所以①②④正确． 故选C． 点评： 解答此题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答． 15．（2011?金平区二模）如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（ ）

A． 0对 考点： B．1 对 相似三角形的判定；等腰直角三角形． 几何图形问题；压轴题． 根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 解：∵△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90° ∴∠C=∠B=∠FAG=∠G=45° ∵∠CEA=∠B+∠EC． 2对 D．3 对 专题： 分析： 解答： AB，∠DAB=∠FAG+∠EAB ∴∠CEA=∠BAD，又∵AC=BC， ∴△CAE≌△BAD； ∴△BDA∽△ADE； ∴△CAE∽△ADE； ∴图中不全等的相似三角形有2对． 故选：C． 点评： 此题考查了相似三角形的判定： ①如果两个三角形的三组对应

边的比相等，那么这两个三角形相似； ②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似． 二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．（2012?舟山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论： ①=

；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=

AB；⑤S△ABC=5S△BDF，

其中正确结论的序号是 ①②④ ．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 压轴题． 由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确； 由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，专题： 分析：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f1y3.html