高数期末复习题 第十一章 曲线积分与曲面积分

第十一章 曲线积分与曲面积分试题

一．填空题（规范分值3分）

11.1.1.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x轴的转动惯量Ix=。?y2?(x,y)ds

L11.1.2.2 设在xoy平面内有一分布着质量的曲线L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x=；y=。

x?(x,y)dsy?(x,y)ds??yx=；= ??(x,y)ds??(x,y)dsLLLL11.1.3.1在力F?F(x,y,z)的作用下，物体沿曲线L运动。用曲线积分表示力对物体所做的功W?。?F(x,y,z)?dr

L?x?x(t)11.1.4.2 有向曲线L的方程为???t??，其中函数x(t),y(t)在??,??上一阶导数连

y?y(t)?续，且?x?(t)?2??y?(t)?2?0，又P(x,y),Q(x,y)在曲线L上连续，则有：

?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???P(x,y)cos??Q(x,y)cos??ds，

LL那么cos?=；cos?=。

cos?=

x?(t)?x?(t)???y?(t)?22cos?=

y?(t)?x?(t)???y?(t)?22

11.1.5.1 设L为xoy平面内直线x?a上的一段，则曲线积分?P(x,y)dx=。0

L11.1.6.2 设L为xoy平面内，从点(c,a)到点(c,b)的一线段，则曲线积分

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy可以化简成定积分：。?Q(0,y)dy

aLb11.1.7.2 第一类曲线积分?(x2?y2)ds的积分值为。其中曲线L为圆周

?x?acost(0?t?2?)2?a3 ??y?asint11.1.8.3 第二类曲线积分?x3dx?3zy2dy?x2dz的积分值为。其中空间曲线L是从点A(3,2,1)到点O(0,0,0)的线段AO。?87 4111.1.9.3 第一类曲面积分??ds的积分值为。

z?其中曲面?是球面x2?y2?z2?a2被平面z?h(0?h?a) 截出的顶部（图-1）。2?aln

11.1.10.3 第二类曲面积分??x2dydz的积分值为。其中曲面?是长方体Ω的整个表面的外侧，

?a h???(x,y,z)0?x?a,0?y?b,0?z?c?。a2bc

11.1.11.3 当曲面?为xoy平面内的一个单连通闭区域时，第二类曲面积分??R(x,y,z)dxdy可

?以化成二重积分，那么化成的二重积分为。???R(x,y,0)dxdy

?

x?(x,y)dsy?(x,y)ds??答案：1.?y?(x,y)ds 2. x=；y= 3.?F(x,y,z)?dr

??(x,y)ds??(x,y)ds2LLLLLL4. cos?=

x?(t)?x?(t)???y?(t)?22cos?=

y?(t)?x?(t)???y?(t)?22 5.0 6.?Q(0,y)dy

ab7.2?a3 8.?a87 9.2?aln 10.a2bc 11.???R(x,y,0)dxdy

h4?二．选择题（规范分值3分）

11.2.1.1 在第一类曲线积分的定义中，极限?f(x,y)ds?limL??0?f(?,?)?siii?1ni中的?代表的含

义是（ ）。 D 难度值1

A.微弧的长度； B.微弧的面积； C.微弧的体积； D.微弧长度的最大值。 11.2.2.1 在第二类曲线积分的定义中，极限?P(x,y)dx?limL??0?P(?,?)?x中的?代表的含

iiii?1n义是（ ）。 D 难度值1

A.微弧长度的最大值； B.微弧面积的最大值；

C.微弧起点与终点构成向量长度的最大值； D.微弧在x轴上投影长度的最大值。

?x?x(t)11.2.3.2 当f(x,y)?0时，L是xoy平面内的连续曲线，方程???t??，则第一类

?y?y(t)曲线积分?f(x,y)ds的几何意义是（ ）。 C 难度值2

LA.曲面z?f(x,y)与xoy坐标平面所围成图形的体积； B.曲面z?f(x,y)在xoy坐标平面中投影区域的面积；

C.以L为准线的柱面被xoy平面和曲面z?f(x,y)截成的一部分柱面的面积；

?z?f(x(t),y(t))?D.空间曲线?x?x(t)??t??，在L上定义的一部分曲线的长度。

?y?y(t)??x?x(t)?11.2.4.2 若空间曲线L是光滑曲线，那么要求曲线L的参数方程?y?y(t)??t??(???)的

?z?z(t)?函数x(t),y(t),z(t)在闭区间??,??上满足的条件是（ ）。 D 难度值2

A.函数x(t),y(t),z(t)一阶可导； B.函数x(t),y(t),z(t)一阶导数连续； C.函数x(t),y(t),z(t)二阶可导； D.函数x(t),y(t),z(t)二阶导数连续。 11.2.5.1 曲线积分?1L1?L2。 A 难度值1 f(x,y)ds??f(x,y)ds?（ ）

L21212A.?Lf(x,y)ds B.?Lf(x,y)ds C.?L?Lf(x,y)ds D.?L?Lf(x,y)ds

211.2.6.1 若曲线积分?f(x,y)ds=5，?g(x,y)ds??3，则??2f(x,y)?5g(x,y)?ds?（ ）。

LLLA. -5 B. 5 C. -10 D. 10 A 难度值1

11.2.7.2 第一类曲线积分?yds的积分值为（ ）。其中曲线L为从点O(0,0)到点A(0,1)，

L再从点A(0,1)到点B(1,1)的折线段。 C 难度值2 A.0.5 B.1 C.1.5 D.2

11.2.8.2 第二类曲线积分?ydx?xdy的积分值为（ ）。其中曲线L为从点O(0,0)到点

LA(0,1)，再从点A(0,1)到点B(1,1)的折线段。 B 难度值2 A.0 B.1 C.2 D.3

11.2.9.3 第一类曲面积分??xyzds的积分值为（ ）。其中曲面?是由平面x?0,y?0,z?0及

?x?y?z?1所围成的四面体的整个边界曲面。 D 难度值3

A.

3333 B. C. D. 306090120?11.2.10.3 第二类曲面积分??xyzdxdy的积分值为（ )。其中曲面?是球面x2?y2?z2?1，在x?0,y?0部分的外侧。D (难度值3) A.

2222 B. C. D. 911131511.2.11.4 设曲面?是上半球面x2?y2?z2?R2(z?0)，曲面?1是曲面?在第一卦限中的部分，则下列各式成立的是（ ) C 难度值4

A.??xds?4??xds B.??yds?4??xds

??1??1C.??zds?4??xds D.??xyzds?4??xyzds

??1??111.2.12.2 下列函数P(x,y),Q(x,y)的曲线积分?P(x,y)dx?Q(x,y)dy与路径无关的是（ ）。 A.P(x,y)?x?y?yx B.B 难度值2 ,Q(x,y)?P(x,y)?,Q(x,y)?22222222x?yx?yx?yx?y?xyyx D. ,Q(x,y)?P(x,y)?,Q(x,y)?x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2C.P(x,y)?答案1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.B

三．计算题（规范分值6分）

11.3.1.2 计算第一类曲线积分?(x?y)ds。其中L为从点

L(0,0)到点(1,0)，再从点(1,0)到点(1,1)的折线段。难度值2

解：设L?L1?L2（如图2）

L1的参数方程： L2的参数方程： ?x?t?x?1；（1分）0?t?10?t?1（1分） ???y?0?y?t?L(x?y)ds=?(x?y)ds+?(x?y)ds=?tdt??(1?t)dt=2（4分）

L1L21100

11.3.2.3 求第一类曲线积分?y2ds。其中L为摆线的一拱

Lx?2(t?sint),y?2(1?cost)(0?t?2?)。难度值3

解：由化第一类曲线积分为定积分的公式：

?Lf(x,y)ds??f(x(t),y(t))?x?(t)???y?(t)?dt（1分）

22???dx??dy?2ds??????dt?22?1?cost??22sin2tdt?221?costdt（1分）

?dt??dt?22所以?y2ds=?22(1?cost)2?221?costdt?82?(1?cost)dt（2分）

L2?2?52002?2?2048ttt256 =82?(2sin2)dt?16?8?sin5?d?。（2分） ?8=

001522215

5211.3.3.2 计算第一类曲线积分?eLx2?y2ds。其中L为x2?y2?4的圆周。难度值2

?x?2cost解：圆周x?y?4的参数方程为：?0?t?2?（2分）

y?2sint?22?Lex2?y2ds=?e02?4cos2t?4sin2t4sint?4costdt（2分）=?222?02e2dt=4?e2（2分）

11.3.4.2 计算?(x?y)ds,其中L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.难度值2

L

解法一：直线L的方程为y?1?x?0?x?1?.(2分)

??x?y?ds???x??0?x??L011???1?dx（2分）=?2102dx?2（2分）

?x?t解法二：直线L的参数方程为?(0?t?1)

y?1?t??L?x?y?ds??0?t??0?t??L11???1?dt（2分）=?2102dt?2（2分）

11.3.5.2 计算?2xydx?x2dy,其中L为抛物线y2?x上从点O?0,0?到点B?1,1?的一段弧.

解法一：化为对y的积分，L：x?y2,10y从0变到1（2分）

124242xydx?xdy=（2分）=5y2y?y?2y?ydy?L?0dy?1（2分）难度值2 ???解法二：抛物线L：y2?x 从点O?0,0?到点B?1,1?的一段弧的参数方程：

?x?t20?t?1dx?2tdt,dy?dt代入积分得（2分） ??y?t1124242xydx?xdy=（2分）=??5t2t?t?2t?tdt??dt?1（2分） ?L0011.3.6.2 计算?yzdx?2zxdy?3xydz。其中曲线L为从点A(1,1,2)到点B(2,3,4)的有向线段。

L解：线段AB的参数方程为：x?t?1,y?2t?1,z?2t?2，0?t?1（2分）难度值2 所以?yzdx?2zxdy?3xydz=??(2t?1)(2t?2)?2(2t?2)(t?1)2?3(t?1)(2t?1)2?dt（2分）

L10 =?(6t?13t?7)dt=13.5（2分）

0111.3.7.4 证明第二类曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy在整个xoy平面内积分与路径无关。然

L后再求积分的值。其中曲线L为从点（0，1）到点（1，3）的任意光滑曲线。难度值4

解：设P(x,y)?x?y,Q(x,y)?x?y，

则函数P(x,y),Q(x,y)在整个xoy平面内具有一阶连续的偏导数，（1分） ?p?q??1，由积分与路径无关的条件，且（1分） 所以?ydx?xdy积分与路径无关。（1分）

L?y?x?x?t 设L是点(0,0)到点(1,3)的有向线段，则参数方程为：?0?t?1（1分）

y?3t?111所以?(x?y)dx?(x?y)dy=?(t?3t)dt?(t?3t)dt?2tdt?t2?1（2分）

L000

11.3.8.2 应用格林公式计算：?(2xy?x2)dx?(x?y2)dy，其中L是由抛物线y?2?2(x?1)2L和y?0所围成区域D的正向边界曲线。难度值2 解：设P(x,y)?2xy?x2,Q(x,y)?x?y2 , ?Q?P?1,?2x（2分） 则?x?y??Q?P??由格林公式：?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?????dxdy ?LD??x?y??所以：?(2xy?x2)dx?(x?y2)dy=??(1?2x)dxdy（2分）

LD =?(1?2x)dx?022?2(x?1)20228dy??(1?2x)(2?2(x?1)2)dx=?(4x3?10x2?4x)dx=?（2分）

003

xx 11.3.9.4 利用格林公式计算曲线积分：[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dy　,其中a,b为?L正的常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的一段弧. 难度值4

解：补充积分路径L1：从点O(0,0)沿X轴到点A(2a,0)的有向线段, 由格林公式得

???(DL?L1xx??[esiny?bx?y]dx?(ecosy?ax)dy ??Q?P??)dxdy????b?a?dxdy?a2?b?a?（2分） ?x?y2Dxx2a其中D为曲线y?2ax?x2与X轴所围成的半径为a的半圆域. 而?[esiny?b?x?y?]dx?(ecosy?ax)dy??L1L0??bx?dx??2a2b（2分）

则?[exsiny?b(x?y)]dx?(excosy?ax)dy　, = =

L?L1xxxx ????[esiny?bx?y]dx?(ecosy?ax)dy?[esiny?bx?y]dx?(ecosy?ax)dy ??L1?????a2?b?a???2a2b???2?a2b?a3.（2分） 22?2???

11.3.10.4 计算第二类曲线积分?(2y?x2y3)dx?(ey?3x?x3y2)dy　,其中L为圆周

Ly?2x?x2上的从点(2,0)到点(0,0)的一段弧。难度值4

解：补充一段弧L1：在x轴上从点(0,0)到点(2,0)的有向线段

?Q?p?由格林公式得 ?(2y?x2y3)dx?(ey?3x?x3y2)dy???(?)d????d??（2分）

?x?y2L?LDD1?Q?P?(ey?3x?x3y2)?(2y?x2y3)????(3?3x2y2)?(2?3x2y2)=1 ?x?y?x?y 其中D为半圆周y?2x?x2与x轴围成的区域

?x?t L1的参数方程：?=0（2分） 0?t?2，所以?(2y?x2y3)dx?(ey?3x?x3y2)dy　y?0?L1 从而?(2y?x2y3)dx?(ey?3x?x3y2)dy　,

L =

23y3223y32(2y?xy)dx?(e?3x?xy)dy　=?0?（2分） (2y?xy)dx?(e?3x?xy)dy???22L?L1L??

111.3.11.4 利用高斯公式计算??(z3?x)dydz?zdxdy，其中?为旋转抛物面z?（x2?y2)介于

h?z?0及z?h(h?0)之间部分的下侧。 难度值4

解：设平面??为：?x,y,z?x2?y2?h2,z?h（1分）

??则原式= =

????33(z?x)dydz?zdxdy?(z?????x)dydz?zdxdy（1分）

??3hdxdy??h（4分） ?????0dv??x2?y2?h2?P?Q?R??)dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?x?y?z???P?Q?R3???1?1?0） （P?z?x,Q?0,R??z,?x?y?z

11.3.12.4 利用高斯公式计算曲面积分：??xdydz?2ydzdx?3?z?1?dxdy，其中?是锥面

（高斯公式）

???(?z?x2?y2?0?z?1?的下侧.难度值4

解：补充辅助积分曲面?1：??x,y,z?x2?y2?1z?1，取上侧，由高斯公式知：

???P?Q?R?12????xdydz?2ydzdx?3z?1dxdy???dv?（1?2?3）dv?6???1?1?2???????????x?y?z?3????1???（3分）

3z-1）dxdy? 而??xdydz?2ydzdx?（?1x2?y2?1??3?1-1?dxdy?0（2分）

??xdydz?2ydzdx?3?z?1?dxdy

?=

???1??xdydz?2ydzdx?3?z?1?dxdy-??xdydz?2ydzdx?3(z-1)dxdy=2??0?2?.（1分）

?111.3.13.3 利用高斯公式计算曲面积分：??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是半球面

?z?1?x2?y2 的上侧.难度值4

解：补充积分曲面?1?由高斯公式知：

??x,y,z?x2?y2?1z?0，并取该曲面的下侧. （2分）

???P?Q?R?143??xdydz?ydzdx?zdxdy???dv?3dv?3????1?2?（2分） ??????????x?y?z?23????1??? 而??xdydz?ydzdx?zdxdy?0 则原式=2??0?2?. (2分)

?1

四．综合应用题（建议分值7分）

11.4.1.2 一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周 x2?y2?R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功。 难度值2

???解：由题设条件，可以设力为 F?Fi?0j，质点运动曲线L的参数方程为：

???x?Rcost??dsdrdw?F?dr， 在一微小弧上力所作的微功（为微位移） 0?t??2?y?Rsint?? 所以场力对质点m所作的功为：w??F?dr（3分），

L????????? 而dr?idx?jdy， F?dr?(Fi?0j)?(idx?jdy)?Fdx（1分）

????2 所以 w??F?dr=?Fdx???FRsintdt?FRcost02??FR（3分）

LL0

11.4.2.2 求抛物面壳z?12(x?y2)(0?z?1)的质量，此壳的面密度为?(x,y,z)?z。 2难度值2

解：设曲面??(x,y,z)2z?x2?y2,0?z?1。由微元法，微元ds的质量为?ds?zds

?? 所以 抛物面壳的质量 m???zds（第一类曲面积分）（3分）

??z2?z2)?()dxdy?1?x2?y2dxdy（1分） ?x?y2?212?1222222d?r1?rrdr(63?1)（3分） 则m???zds=??==(x?y)1?x?ydxdy?0?02152?x2?y2?2ds?1?(

11.4.3.3 求质量均匀曲面z?a2?x2?y2的质心坐标。难度值3

x?dsy?dsz?ds??????解：由质心坐标公式x?,y?,z?,由曲面质量均匀，可设??1 ???ds???ds???ds???????z?x?z?y，?， ?222222?x?ya?x?ya?x?ya则ds?1?zx2?zy2dxdy?dxdy（3分）

222a?x?y2?aaa所以曲面的质量 m???ds???rdr?2?a2（1分） dxdy=?d??00a2?r2a2?x2?y2?x2?y2?a22?aaa且??xds???xdxdy??cos?d??r2dr?0，同理??yds?0（1分）

00a2?x2?y2a2?r2??x2?y2?a2由

??zds??x2?y2?a2??a2?x2?y2aa2?x2?y2dxdy?x2?y2?a2??adxdy??a（1分）

3?a3a)?(0,0,)（1分） 故曲面的质心坐标为 (x,y,z)?(0,0,22?a2

11.4.4.3 求微分方程(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0得通解。难度值3

解：设P(x,y)?5x4?3xy2?y3,Q(x,y)?3x2y?3xy2?y2

?P?Q?6xy?3y2? 则 ，从而存在u(x,y)使得du?Pdx?Qdy，积分与路径无关，（3分） ?y?x(x,y)所以u(x,y)?x(0,0)?(5x44?3xy3?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy

y23 =?(5x?3xy?y)dx??y2dy?x5?003221xy?xy3?y3（2分） 23 故原微分方程得通解为 x5?3x2y2?xy3?1y3?C（2分）

23

二．证明题（建议分值7分）

xdx?ydy11.5.1.4 证明：2在整个xoy平面除去y轴的负半轴及原点的区域G内是某一个二元2x?y函数u(x,y)的全微分；并求出一个这样的二元函数u(x,y)。难度值4

证明：因为G为除去y轴的负半轴及原点外的整个xoy平面，所以G为单连通区域

xyQ(x,y)? 设P(x,y)?2，，

x?y2x2?y2 所以函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续的偏导数； ?P(x,y)?2xy?Q(x,y)?2xy?P(x,y)?Q(x,y)?2??且，，所以 ?y(x?y2)2?x(x2?y2)2?y?x由定理，可得P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G内为某一个二元函数u(x,y)的全微分

xdx?ydy即：du(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy=2，此时积分与路径无关 2x?y取(x0,y0)?(1,0)，则对任意(x,y)?G

则：u(x,y)??x1(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy??x(x,y)(1,0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy

??P(x,0)dx??y0Q(x,y)dy??1y1ydx??2dy

0x?y2xx1y1?lnx?ln(x2?y2)?ln(x2?y2)。

1202

11.5.2.2 设L为xoy平面内，x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一线段，P(x,y)在L上连续，证明： 第一类曲线积分?P(x,y)ds、第二类曲线积分?P(x,y)dx与定积分?P(x,0)dx满足下列等式：

LLba?LP(x,y)ds=?P(x,y)dx=?P(x,0)dx难度值2

Lba

证明：由L为xoy平面内，x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一线段，可以设L的参数方程为： ?x?ta?t?b，所以ds?x?(t)2?y?(t)2dt?dt；dx?dt，将L的方程带入 ??y?0所以?P(x,y)ds=?P(t,0)dt=?P(x,0)dx；?P(x,y)dx=?P(t,0)dt=?P(x,0)dx

LbbbbaaLaa故：?LP(x,y)ds=?P(x,y)dx=?P(x,0)dx。

Lba

11.5.3.3 设闭区域G是xoy平面内由分段光滑的曲线L围成，L的方向为逆时针方向，证明

xdy?ydx?0； ⑴ 当原点(0,0)不在G内部时，?Lx2?y2xdy?ydx?2?难度值3 ⑵ 当原点(0,0)在G内部时，?Lx2?y2

yx,Q(x,y)?证明：设P(x,y)??2 222x?yx?y⑴ 当原点(0,0)不在G内部时，x2?y2?0，P(x,y),Q(x,y)在G上具有一阶连续的偏导数，

?P(x,y)y2?x2?Q(x,y)y2?x2?P(x,y)?Q(x,y)??2?且，，所以 222?y?x?yx?y?xx?y?Q(x,y)?P(x,y)?)dxdy 由格林公式：?P(x,y)dx?Q(x,y)dy???(LG?x?yxdy?ydx?Q(x,y)?P(x,y)?(所以：???G?x??y)dxdy???G0dxdy?0 Lx2?y2⑵ 当原点(0,0)在G内部时，P(x,y),Q(x,y)在原点(0,0)没有定义，取适当小的r>0在区域G内部作圆周L1：x2?y2?r2，由L和L1围成的闭区域记为G1，则函数P(x,y),Q(x,y)在复连通

?P(x,y)?Q(x,y)?区域G1上具有一阶连续的偏导数，且，由格林公式 ?y?x22222?rcos??rsin?xdy?ydxxdy?ydxd??2?

?Lx2?y2??L1x2?y2??0r2

?????11.5.4.4 设向量场A(x,y,z)?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，定义向量场A(x,y,z)的旋

???ijk??R?Q??P?R??Q?P?????)i?(?)j?(?)k，或写成：rotA=度为：rotA=(?

?x?y?z?y?z?z?x?x?yPQR??????设?,?为向量场，证明：rot(???)?rot??rot?。 难度值4

????????证明：设??pi?qj?rk，??fi?gj?hk，其中p,q,r,f,g,h是x,y,z的函数

?????则????(p?f)i?(q?g)j?(r?h)k，由旋度的定义

??ij????rot(???)=

?x?yp?fq?g?? =rot??rot?

?k?（由行列式的性质）=?zr?h?i??xp?j??yq??ki??+?z?xrf?j??yg?k? ?zh

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