Ansoft高级培训班教材

Ansoft高级培训班教材

Ansoft HFSS的有限元理论基础

谢拥军 编著

西安电子科技大学Ansoft培训中心

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目录

第一章 概述

第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析 2．1 电磁场边值问题及其变分原理

2．2 有限元方法的原理――从一维简单例子来看其建模过

程

2．3 三维时谐场有限元问题 2．4 有限元方程组的求解

第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方法 3．1 电磁内问题 3．2 电磁散射问题

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第一章 概述

Ansoft HFSS软件是应用有限元方法的原理来编制的，深入的了解有限元方法的理论基础，及其在电磁场与微波技术领域的应用原理，对于我们灵活、准确地使用Ansoft HFSS软件来解决实际工程问题能够提供帮助。

这一部分教材的内容就是在结合Ansoft HFSS软件中涉及到的有限元技术，力争在最小的篇幅和最短的时间里为学员建立理论结合实际的有限元方法的基本概念。

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第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析

有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术，大约有40年的历史。他首先在本世纪40年代被提出，在50年用于飞机的设计。在六七十年代被引进到电磁场问题的求解中。

2．1 电磁场边值问题及其变分原理

电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型中的边值问题一样，都可以用区域Ω内的控制微分方程（电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程和矢量波动方程等）和包围区域的边界Γ上的边界条件（可以是第一类的Dirichlet条件和第二类的Neumann条件，或者是阻抗和辐射边界条件等）来定义。微分方程可表示为：

L??f （2.1）

式中，L是微分算符，f是激励函数，?是未知量。

对于电磁场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。很多的时候我们采用基于变分原理的数值方法去求其近似解?，比如伽辽金方法。在伽辽金方法中，我们首先定义非零的残数：

~r?L??f?0 （2.2）

~?的最佳近似应能满足：

Ri?~?wrd??0 （2.3）

?i这里Ri表示残数加权积分（也可称为误差泛函），wi是所选择的加权函数。进一步地，我们可以将近似解?展开为：

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~???civi??v??c? (2.4)

Ti?1~N式中，vj是定义在区域Ω内的展开函数，cj是待定的展开系数。并且我们将加权函数选为：

wi?vi i?1,2,3,...,N （2.5）

这时，式（2.3）变为：

Ri????viL?v??c??vif?d??0 i?1,2,3,...,N （2.6）

T这样问题的求解就转化为能够使上式最小化的展开系数?c?的线性问题的求解，将（2.6）式写为矩阵形式：

?S??c???b? （2.7）

?S?的元素为：

Sij???vLv?d? （2.8）

?ij?b?的元素为：

bi??vfd? （2.9）

?i

2．2 有限元方法的原理――从一维的例子来看其建模的过程

从上一小节的内容我们可以看到电磁场边值问题变分解法的这样的两个特点：

（1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解变为求解在泛函意思下的弱解，这个解可以和原来的解式不一样的。

（2）在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数（也可成为试探函数）是由定义在全域上的一组基函数组成，这种组合必须能够表示真

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点，或材料的边缘和尖点上，场的某些分量可能变成无穷大。但在有限元分析中，因为是数值解，即使问题包含边缘和尖点，我们也要确定边缘和尖点的场，然而，我们也看到，通过结点场插值无法得到无穷大的场。

2．3．5 三维棱边元

上一世纪80年代以后，棱边元单元的出现解决了上面提到的这些有限元方法的缺点。Ansoft HFSS正是采用了棱边元（也称为矢量有限元）的方法，下面我们对其进行介绍。

考察矢量函数：

?eeeeW12?L1?L2?L2?L1 （2.37）

首先，容易看出

??ee??W12?0， ??W12?2?L1??L2 （2.38）

e?1表示从结点1指向结点2的单位矢量。其次，假设e因为L1是从

结点1处的1变化到结点2处的0的线性函数，Le2是从结点2处的1变化为结点1处的线性函数，所以，

?1??L1??1/l1， e?1??L1?1/l1 eeeee其中，l1e表示连接结点1和2的棱边长。因此

?1?e1?W12?e （2.39）

l1?它表示W12沿棱边（1，2）有一个常切向分量，沿其它5个棱边

没有切向分量。如果定义该棱边为1，则可以定义其矢量基函数为：

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?e?eN1?W12l1 （2.40）

类似可得到棱边i的矢量基函数为：

?e?eeNi?Wiili （2.41）

12其中棱边数及相关结点i1和i2定义在表2.1中。

表2.1 四面体单元的棱边定义

棱边i 1 2 3 4 5 6

在以上定义的基础上，适用于泛函（2.26）的四面体单元内的电场矢量可以表示为：

?E?6结点i1 1 1 1 2 4 3 结点i2 2 3 4 3 2 4 ?i?1?eNiEi （2.42）

E（其中，i＝1，…，6）就是单元内的未知量。这就是Ansoft HFSSi中使用的棱边元（对应其0th order basis function）。可以看到，这类矢量基函数在单元内自然满足散度为零，旋度不为零（见（2.38）式），其定义也正好是沿切向定义的，棱边元也避免了结点值，所以它能够去除我们上一小节所谈的结点值四面体的三个缺点。

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四面体单元在模拟任意形状的几何体时，特别是不规则的几何物体时，比矩形块、六面体等单元更加灵活和准确。虽然对于同样离散数，矩形块和六面体比四面体的未知数要少，但是，有趣的是，对于几乎同样的未知量数目，采用四面体的有限元数值解比采用矩形块和六面体的有限元数值解精度要高。应该说，四面体单元特别是四面体棱边元在解决三维问题时是较好的选择。

2．4 有限元方程组的求解

在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，我们就面临着求解以结点值为未知数的矩阵方程。我们将方程写为：

Ax?b （2.42）

式中系数矩阵A是一个n×n方阵，x是待求解的未知量，b表示已知向量。为了精确的描述电磁场工程中的实际问题，许多应用中的系数矩阵的维数（对应离散剖分的结点值未知量个数）非常大。结果，当我们利用计算机寻求数值解时，我们遇到庞大的计算机内存需求和过长的计算时间。幸好，正如我们在2.2节谈到的，有限元离散得到的矩阵总是稀疏的、对称的和带状的。如果我们充分的利用这些性质，就可以大大地节省存储量。比如说，一般的有限元矩阵每行的非零元素少于15个，如果我们只存储非零元素，由于对称性，我们只需要存储8个元素，因此，对于一个10000个未知量的方程，只有大约8×10000个非零矩阵元素需要存储。加上用于记号所需的两个

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整型数组，总存储量不到相应满秩矩阵存储空间的六百分之一。除存储量降低外，有限元矩阵的特殊性质也能减少计算时间。大量的零矩阵元素不需产生，加上适当设计算法，它们在解过程中的运算也可避免。因此，正是这一为矩量法等积分方程方法所不具备的特殊性质，使得有限元方法对分析电大尺寸问题时更有吸引力。

下面我首先介绍矩阵方程的解法，然后介绍在此基础上Ansoft HFSS为在一定精度的要求上最大限度的提高效率而设计的自适应迭代算法。

2．4．1 确定性问题矩阵方程求解的直接法

当式（2.42）右端的已知激励向量b不为零时，为确定性方程求解，也就是利用各种等效方法的对矩阵A求逆，其中最适用于有限元方法矩阵的是分解法，Ansoft HFSS就是采用的分解法。这其中，LU分解是最基础的一种方法，很多的快速分解方法都是在其基础上发展而来的，所以我们这里将介绍LU分解方法。

如果矩阵可以分解为

A＝LU （2.43） 其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。那么，先求解

Ly＝b （2.44） 然后求解

Ux＝y （2.45）

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即可得到（2.42）式的解。因为L是一个下三角矩阵，y可通过前向替代过程而高效地获得

y1?b1l11 （2.46）

i?11?yi??bi??likyk?? i?1 （2.47）

?k?1lii?然后，x可通过后向替代过程而获得

xn?ynunn （2.48）

? ?ux? i?n （2.49）

ikkk?i?1n1?xi??yi?uii??这种分解算法其计算的复杂度正比于O?N3?（N为矩阵的维数，也即未知数的数目），也并没有利用有限元带状稀疏阵的性质。进一步利用带状稀疏阵的分解算法能够有效地提高运算效率，降低计算复杂度。Ansoft HFSS的快速算法计算复杂度就在O?N3?以下。

2．4．2 确定性问题矩阵方程求解的迭代法

矩阵方程的迭代方法又可以分为直接迭代方法和共轭梯度法，特别是共轭梯度法现在被认为是求解矩阵方程的有效方法。共轭梯度法首先给出未知量的一个初始猜测，然后在一定的泛函空间中按照搜索向量进行迭代，直到达到设定的精度。共轭梯度法的计算复杂度正比于O?N2?。因为Ansoft HFSS使用的是分解法，这里对共轭梯度法不再详细介绍。

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2．4．3 本征值问题的解

当式（2.42）右端的已知激励向量b为零时，为对应腔体谐振和波导分析的本征值方程求解。一个标准的本征值问题由下式定义： Ax＝λx （2.50） 其中，A是一个n×n方阵，x是本征向量，λ表示对应的本征值。显然，仅当下式成立时

det?A??I??0 （2.51） （2.50）式才可能有非零解。在上式中，I表示单位矩阵。总的来说，本征值问题的解法很多，也比确定性问题更复杂，有些也是以矩阵分解为基础的。

有限元方法得到的一般是广义形式的本征值问题：

Ax＝λBx （2.52） 很明显，如果把B分解为B?LLT，其中L是一个下三角阵，那么广义本征值问题可以改为标准形式

LAL?1?T y??y， y?Lx （2.53）

TLanczos法是有效的求解带状稀疏矩阵的本征值问题的方法，大家可以在Ansoft HFSS的solver中找到。

2．4．4 Ansoft HFSS的自适应迭代算法

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从上面的讨论我们可以看出，矩阵方程的求解复杂度与有限元的剖分密度即未知数数目有很大的关系，未知数数目越多，求解所需的时间越长。然而，从另外一个方面来说，有限元方法求解的精度与也随着未知数数目的增加而更加准确。因此，有限元方法的求解时间与准确度是一对矛盾。为了在越短的时间内取得越大的精度，Ansoft HFSS采取了自适应迭代算法，如图2.5所示。该算法一开始先选用较粗的剖分，采用我们上面所谈的方法求解，然后看其进度是否满足要求。如不满足，进一步细化剖分，再次进行求解，知道达到给定的精度。

图2.5 Ansoft HFSS的自适应迭代算法

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第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方法

Ansoft HFSS是分析电磁场工程中的内问题和散射问题的有力工具，下面我们对其应用于电磁内问题和散射问题时的一些关键技术进行介绍。

3．1 电磁内问题

Ansoft HFSS可以分析封闭的各种传输线及其不连续性、谐振腔特性等。在工程上，我们尤其关心各种微波结构的网络特性，一般来说，我们使用S参数来描述这些网络特性。实际用户在使用Ansoft HFSS时有时会出现和预想的情况不太吻合，甚至出现?Sijj?1n2?1的不

合理情况。在本节中，我们着重讲述Ansoft HFSS计算微波网络S参数的一些问题，帮助用户分析实际使用中的一些问题。

3．1．1 Ansoft HFSS中S参数的定义

在我们建立了微波问题的有限元研究模型并求解其场结构以后，我们可以利用求得的场进一步求取其多端口网络参数。多端口网络的S参数描述的是多端口网络端口反射波和入射波之间的线性关系，比如一个二端口网络的S参数定义为：

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?b1??S11?????b2??S21S12??a1???? （3.1） S22??a2?Ansoft HFSS对其中各参数的定义为：

我们ai是端口i的入射波，其模值平方ai是激励功率，相位?ai是激励场相位（对于有耗端口模式和无耗传输模式定义为0，对于无耗截止模是90）。

bi是端口i的反射波，其模值平方bi是激励功率，相位?bi是反

22射场由于激励场而产生的相位。

Sij描述了端口j处的激励场反射或传输到端口i的比率和相移。

必须注意到，Ansoft HFSS定义的S参数是与模式有关的，其默认的S参数是主模的S参数，同时也具备计算高次模式的S参数。其计算的主要步骤如下：

·对系统结构进行有限元剖分。 ·计算端口处的模式

·在每个模式激励下的系统内的电磁场分布 ·根据计算的场求得端口间的反射和传输特性。

3．1．2 Ansoft HFSS中多口网络端口特性阻抗的定义

Ansoft HFSS端口的特性阻抗有Zpi，Zpv和Zvi三种阻抗定义，我们分别具体介绍如下。

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Zpi是由功率P和电流I来定义的：

Zpi?PI?I （3.2）

式中的功率P和电流I都可以由有限元方法计算的场来求得，功率P由下式计算：

??P??sE?Hds （3.3）

s表示端口表面积。电流I由下式计算：

? I??lH?dl （3.4）

l为端口环线积分。注意电流由流入和流出端口两种，Ansoft HFSS取其平均。

Zpv是由功率P和电压V定义的：

Zpv?V?VP （3.5）

式中功率P的定义和（3.3）式相同，电压V的定义为：

? V??LE?dL （3.6）

积分式在设定端口时定义的阻抗线上进行。

Zvi则是由前两个阻抗来定义的：

Zvi?ZpiZpv （3.7）

一般来说，对于TEM传输线，Ansoft HFSS选择使用Zvi作为特性阻抗的定义；对于微带线，Ansoft HFSS建议使用Zpi作为特性阻抗的定义；对于槽状结构的共面波导等，Ansoft HFSS建议使用Zpv作为特性阻抗的定义。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/s9a6.html