2019考研数学一真题及答案解析参考
更新时间:2023-10-16 10:35:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2019年考研数学一真题
一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.当x?0时,若x?tanx与xk是同阶无穷小,则k? A.1. C.3.
2.设函数f(x)??B.2. D.4.
?xx,x?0,?xlnx,x?0,则x?0是f(x)的
A.可导点,极值点. C.可导点,非极值点.
B.不可导点,极值点. D.不可导点,非极值点.
3.设?un?是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是
uA.?n. n?1n?B.
?(?1)nn?1??1. un?un?C.??1??u??. n?1?n?1??D.
??un?12n?12. ?un?4.设函数Q(x,y)?x,如果对上半平面(y?0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有2y?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,那么函数P(x,y)可取为
Cx2
A.y?3.
y
C.
1x2B.?3. yyD.x?11?. xy1. y25.设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵.若A?A?2E,且A?4,则二次型
xTAx的规范形为
222A.y1. ?y2?y3222C.y1. ?y2?y3222B.y1. ?y2?y3222D.?y1. ?y2?y36.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程
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ai1x?ai2y?ai3z?di(i?1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则A.r(A)?2,r(A)?3. B.r(A)?2,r(A)?2. C.r(A)?1,r(A)?2. D.r(A)?1,r(A)?1.
7.设A,B为随机事件,则P(A)?P(B)的充分必要条件是 A.P(A?B)?P(A)?P(B). B.P(AB)?P(A)P(B). C.P(AB)?P(BA). D.P(AB)?P(AB).
8.设随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布N(?,?),则PX?Y?1 A.与?无关,而与?有关. B.与?有关,而与?无关. C.与?,?都有关. D.与?,?都无关.
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9. 设函数f(u)可导,z?f(siny?sinx)?xy,则
2222
2??1?z1?z???= . cosx?xcosy?y210. 微分方程2yy'?y?2?0满足条件y(0)?1的特解y? . (?1)nnx在11. 幂级数?(0,??)内的和函数S(x)? . (2n)!n?0?启航考研http://www.qihang.com.cn
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12. 设?为曲面x2?y2?4z2?4(z?0)的上侧,则13. 设??为3阶矩阵.若 (?1,?2,?3)性方程组?x?0的通解为 .
??z4?x2?4z2dxdy= . ?1,?2线性无关,且?3???1?2?2,则线
?x?14. 设随机变量X的概率密度为f(x)??2??0,0?x?2F(x) 为X的分布函数,
,其他,?X为X的数学期望,则P?F(X)??X?1?? . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分10分)
设函数y(x)是微分方程y'?xy?e(1)求y(x);
(2)求曲线y?y(x)的凹凸区间及拐点.
16.(本题满分10分)
设a,b为实数,函数z?2?ax?by在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l??3i?4j的方向导数最大,最大值为10.
(1)求a,b;
22(2)求曲面z?2?ax?by(z?0)的面积.
22?x22满足条件y(0)?0的特解.
17.求曲线y?esinx(x?0)与x轴之间图形的面积.
18.设an??x?10xn1?x2dx,n=(0,1,2…)
n?1an?2(n=2,3…) n?2(1)证明数列?an?单调减少,且an?(2)求limann??an?1.
219.设?是锥面x2??y?2??(1?z)2(0?z?1)与平面z?0围成的锥体,求?的形心
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坐标.
TTTT??(1,2,1),??(1,3,2),??(1,a,3)3??(1,1,1)123R20.设向量组,为的一个基,在
T(b,c,1)这个基下的坐标为.
(1)求a,b,c.
(2)证明a2,a3,?为R的一个基,并求a2,a3,?到a1,a2,a3的过度矩阵.
3
??2?21??210?????x?2?与B??0?10?相似21.已知矩阵A??2?0?00y?0?2?????
(1)求x,y.
(2)求可可逆矩阵P,使得P?1AP?B.
22.设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为1的指数分布,Y的概率分布为
P?Y??1??p,P?Y?1??1?p,(0?p?1),令Z?XY
(1)求z的概率密度.
(2)p为何值时,X与Z不相关. (3)X与Z是否相互独立?
23.(本题满分11分) 设总体X的概率密度为
??(x?u)2?f(x,?2)???e?2?2?0?x??, x??,其中?是已知参数,??0是未知参数,?是常数,X1,X2,…Xn来自总体X的简单随机样本.
(1)求?;
(2)求?的最大似然估计量
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2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析(数学一)
1.C 9.
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.C
8.A
yx ?cosxcosy10.3ex?2 11.cosx 12.
32 3k为任意常数. 13. k(1,?2,1)T,14.
2 3?xdx15. 解:(1)y(x)?e?(?e?x22e?dx?c)?exdx?x22(x?c),又y(0)?0,
故c?0,因此y(x)?xe(2)y??e1?x2221?x22.
?(1?x)e321?x22?xe21?x221?x22,
y????2xe1?x22?(1?x)xe?(x?3x)e1?x22?x(x?3)e21?x22,
令y???0得x?0,?3
x (??,?3) ?3 (?3,0) 0 (0,3) 3 (3,??) y?? y ? 凸 0 拐点 ? 凹 0 拐点 ? 凸 0 拐点 ? 凹 所以,曲线y?y(x)的凹区间为(?3,0)和(3,??),凸区间为(??,?3)和(0,3),拐点为(0,0),(?3,?3e),(3,3e16. 解:(1)gradz?(2ax,2by),gradz?32?32).
?(6a,8b),
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