数学建模是怎么回事

2003

年11月号(创刊号)

同济大学数学建模协会

本期推荐

?? 数学建模是怎么回事

这是一篇比较全面介绍关于数学建模基本常识的文章，对于刚刚接触数学建模的同学来说，无疑是一个很好的入门老师。

?? 对SARS传播及其影响的分析

在今年的全国数学建模大赛中，我校取得了优异的成绩。这篇论文就是我校的一篇获奖论文。而SARS又是大家比较熟悉的话题。因此在第一期的“成果展示”版块中，我们选了这篇论文，就是希望大家能初步了解数学建模论文的一般结构、步骤，为有兴趣参加数学建模竞赛的同学提供一个参考。

?? 趣味数学

“加急电报：药品混乱了！”这是生活中遇到的一个问题，与数学有什么联系？怎样利 用数学知识快速的区分药品？相信你看完《药品混乱》这篇小文章就会清楚了。

爱美的女孩子要注意了，穿高跟鞋也是有学问的，穿多高的鞋才会让你看上去最美？ 《女孩子与高跟鞋》会告诉你答案。

?? 赌马中的数学问题

如果让你去赌马，你知道怎样下注吗？怎样才能确保自己是赌马场上的“常胜将军”？原来赌马中也蕴涵着数学问题。在“实例长廊”中，《赌马中的数学问题》会告诉你这一切。

封面题字------------------------------------------------------------周家伦 指导教师----------------------------------------------------李少华 李静茹 本期编辑----------------------------------------------------郝朝洋 顾晨洁 协助编辑--------------------------------------------朱钰哲 赵世海 黄巧珍 本期顾问----------------------------------------------------朱一峰 沈琪斌

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卷 首 语 经过很长一段时间的精心准备，同济大学数学建模协会终于成立了。近几年来，数学建模竞赛越来越受到大专院校的重视，有很多的同学希望能更全面透彻的了解数学建模。为了满足这些同学的愿望，同济大学数学系发起成立了数学建模协会。 同济大学数学建模协会是由同济大学数学系发起成立的面向全校大学生的课外学术性群众社团组织。本协会以宣传建模思想、加强数学应用、提高同济学子的实际应用能力、为全国建模竞赛储备后继人才为目的，以培养创新能力、倡导团队合作精神、丰富校园学术氛围为活动宗旨，大力推进数学建模活动在全校范围内全面的开展。 为了使同学更好的了解数学建模，增加数学方面的知识，本协会特地创立会刊《数学建模》。在今后的日子里，数学建模协会的会员每个月都会拿到一份我们精心为您准备的会刊。 《数学建模》主要包括趣味数学、数学家简介、会员论文刊登、建模心得、历年数学建模题选讲、建模界新闻要事记、数学软件使用讲解等多方面的内容，由协会下属学术部负责选稿，收集材料。 这是我们的第一份会刊，在很多方面，我们都还很生涩。但同时，这也是我们心血的结晶。或许，您对数学建模还不熟悉，那么在以后的日子，希望我们的会刊《数学建模》和您一起在数学的海洋里畅游，让我们共同成长！ 2

目录 2003年11月号（创刊号）

卷首语

卷首语---------------------------------------------------------------------------------------------------------1

知识苑

数学建模是怎么回事---------------------------------------------------------------------------------------3

热点聚焦

我校在“全国大学生数学建模竞赛”中获得优异成绩------------------------------7

成果展示

对SARS传播及其影响的分析---------------------------------------------------8

心得体会

竞赛心得-----------------------------------------------------------------------------------------------------23

趣味数学

药品混乱----------------------------------------------------------------------------------------------------24 生活中的数学——女孩子与高跟鞋-------------------------------------------------------------------25

实例长廊

赌马中的数学问题----------------------------------------------------------------------------------------26

资料库

同济大学数学建模协会章程----------------------------------------------------------------------------28

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知识苑

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数学建模是怎么回事

李尚志（中国科技大学）

一提起数学竞赛，人们脑海里就会浮想起这样的场面：考场里鸦雀无声，监考老师警惕的目光扫视全场。年轻的数学尖子们坐在各自的书桌前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书，希望能找到那一道道数学难题的正确答案。而那正确答案早已经由出题的专家们做出来，正锁在某—个保险柜里。

数学建模竞赛，或称数学模型竞赛，是不是也是这样的场面呢？你最好还是先到它的考场去见识见识吧。且慢！它并没有一个固定的考场。那么，参赛的选手们在哪里做题呢？到哪里去找他们呢？你可以到图书馆去试试，他们也许正在那里查阅资料，在那堆积如山的书堆中翻来翻去，希望从浩瀚的书海中打捞到自己需要的宝贝，你也可以到计算机房去看看，或许他们正在熟练地操纵着键盘，聚精会神地注视着计算机屏幕，屏幕上闪烁着的那些枯燥无味的数字和符号，简直就像侦探片、武打片或世界怀足球赛那样能抓住他们的心，让他们或欣喜若狂，或目瞪口呆，或颓丧万分。旁边居然还有一个选手在打瞌睡，小心别吵醒他，他已经连熬了两个通宵了！那边是谁在吵架？不，那是另外一队的选手在讨论问题，七嘴八舌，各有各的主意，要把这些互相冲突的意见统—在同一份答卷里可真是不容易，交卷的时间快到了，不再有争吵的声音，打印机均匀的嚓嚓声在选手们的耳朵里好像是世界上最美妙的音乐，他们打着哈欠检查着打印机吐出的—页页印刷精美的作品。你要问他们现在最想干的事情是什么，他们一定异口同声地回答：“睡觉！”

这像是考试吗？像数学竞赛吗？又是翻书查资料，又是相互讨论，到处跑来跑去也没人管，哪里还有一点考试的体统呢？不像考试像什么？也许你会想到，这有点像是一个科研课题组在突击完成一项任务。这算说对了。参赛选手们自己也这样说：“这不像是在考试，而像是在干活。”但它确实也是考试，是另一种形式的考试，姑且说是干活的考试吧，就是考一考谁千活干得更好。

再来看一看竞赛的题目吧，看它出了些什么样的数学题。以1993年我国大学生数学建模竞赛为例，它出了两个题，让每个参赛队选作其中一个。一个题是要为我国12支甲级足球队排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体育界的专家。另一个题目是卫星通讯的频率设计，你会怀疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里来当数学竞赛题了。再翻一翻以前各届国内外竞赛试题，就更是五花八门了。有动物保护、施肥方案、通讯网络、昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私船的策略、飞机场的管理、蛋白质分子的结构、供电系统的修复、堆肥的制作、运煤车场的计划安排、应急设施的选址，等等。你说这是数学竞赛题呢，还是物理、化学、电子、生物、医学、农业、企业管理的竞赛题呢？

数学建模竞赛就是这样。它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数学竞赛（那是纯数学竞赛）不同。它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的计算机竞赛，它涉及物理、化学、生物、医学、电子、农业、管理等各学科、各领域的知识，但也不是这些学科、领域里的纯知识竞赛，它涉及各学科、各领域，但又不受任何一个具体的学科、领域的局限。它要用到各方面的综合的知识，但还不限于此．选手们不只是要有各方面的知识，还要有驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。知识是无止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合能力。它的特点就是综合，它的优点也就是综合。在这个意义上看，

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它与任何一个学科领域内的纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点也就是不纯，综合就是不纯。

纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。特别是近若干年来我国选手在中学生国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名度，在全国各地的质量较高的中学中广泛开展。纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知识的掌握情况、逻辑推理及证明的能力和技巧、思维是否敏捷、计算能力的强弱等。试题都是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。参赛学生在规定的时间（一般每试为三小时）内独立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机或计算器。考题都有标准答案。当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。考试结果，对每个选手的答卷给出分数，按分数高低来判定优劣。尽管也要对参赛的团体（代表一个国家、地区或学校）计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。团体要获胜，主要先靠每名选手各自的水平高低，而不存在互相配合的问题（当然在训练过程中可以互相帮助）。这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对干培养数学家和数学专门人才，起了很大的作用。

随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于自然科学各学科、各领域，而且渗透到经济、军事、管理以至于社会科学和社会活动的各领域。但是，社会对数学的需求并不只是需要数学家和专门从事数学研究的人才，而更大量的是需要在各部门中从事实际工作的人善于运用数学知识及数学的思维方法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益和社会效益。他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题（就像在学校里做数学应用题），而是为了解决实际问题而需要用到数学。而且不止是要用到数学，很可能还要用到别的学科、领域的知识，要用到工作经验和常识。特别是在现代社会，要真正解决一个实际问题几乎都离不开计算机。可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。你所能遇到的都是数学和其他东西混杂在一起的问题，不是“干净的”数学，而是“脏”的数学。其中的数学奥妙不是明摆在那里等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。也就是说，你要对复杂的实际问题进行分析，发现其中的可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。模型这个词对我们来说并不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的。既然是仿造，就不是真的，只能是“假冒”。是“假冒”，但不能是“伪劣”，必须真实地反映所模仿的对象的某一方面的属性。如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起来像飞机就行了，可以摆在展览馆供人参观、照相，但不能飞。如果要模仿飞机的飞行原理，就得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞机有相似之外，但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机、至少不必有真的飞机那么大。可见，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。而数学模型，就是用数学语言（可能包括数学公式）去描述和模仿实际问题中的数量关系、空间形式等。这种模仿当然是近似的，但又要尽可能逼真。实际问题中有许多因素，在建立数学模型时你不可能、也没有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次要因素。数学模型建立起来了，实际问题化成了数学问题，就可以用数学工具、数学方法去解答这个实际问题。如果有现成的数学工具当然好。如果没有现成的数学工具，就促使数学家们（也包括建立数学模型的人）寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发展。例如，开普勒由行星运行的观测数据总结出开普勒三定律（这就是行星运

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行的数学模型），牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够用的，这促使了微积分的发明。求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行大量计算，这在电子计算机发明之前是很难实现的。因此，很多数学模型，尽管从数学理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。而电子计算机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。而在现在，要真正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。数学模型建立起来了，也用数学方法或数值方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢？不是。既然数学模型只能近似地反映实际问题中的关系和规律，到底反映得好不好，还需要接受检验，如果数学模型建立得不好，没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。因此，在得出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的检验，看它是否合理，是否可行，等等。如果不符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行，才能算是得到了一个解答，可以先付诸实施。但是，十全十美的答案是没有的，已得到的解答—定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进；或者暂时告一段落，待将来有新的情况和要求后再作改进。

上面所说的建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业各领域大量需要的，也是我们的学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情，所需要的远不只是数学知识和解数学题的能力，而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求，比对数学专门人才的需求要多得多。因此，作为教育部门，在学校里就应当努力培养和提高学生在这方面的能力。当然有多种形式来达到这个目的。比如开设数学模型方面的课程；让学生多接触实际工作，得到锻炼，等等。但是，既然开展数学竞赛能促进数学研究专门人才的培养，那么为什么不可以开展一项竞赛来促进数学应用人才的培养呢？

数学建模竞赛就是这样的竞赛。

正是由于认识到培养应用型数学人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当这个任务，从1983年起，在美国就有一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性。经过论证、争论、争取资助的过程，终于在1985年开始有了美国的第一届大学生数学建模竞赛，简称MCM（1987年以前的全称是Mathematical Competition in Modeling，1987年改为Mathematical Contest in Modeling，其缩写均为MCM）。竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办。从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五到星期日举行，到1996年已举行了12届。

这项竞赛的宗旨是鼓励大学生运用所学的知识（包括数学知识及其他各方面的知识）去参与解决实际问题的全过程。这些实际问题并不限于某个特定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围。这样来促进应用人才的培养。

比赛的形式：比赛是真正的团体赛，每个参赛队由三人组成，在规定的三天时间内共同完成一份答卷。每个参赛队有一个指导教师，在比赛前负责培训并接受考题，将考题在规定的时间发给学生，然后由学生自行做题，教师不得参赛。每次的考题只有两个题，都是来自实际的问题或有强烈实际背景的问题，没有固定的范围，可能涉及各个非常不同的学科、领域。每个参赛队从这两个考题中任意选做一个题。参赛队的三名队员可以相互讨论，可以查

阅资料，可以使用计算机和计算机软件。一言以蔽之：可以使用任何非生命的资源，但不允许三人以外的其他人（包括指导教师）帮助做题。参赛队的答卷应是，一篇完整的论文，包括对所选问题的重新阐述、对问题的条件和假设的阐明和必要补充甚至修改、对为什么要用所述模型的分析、模型的设计、对模型的测试和检验的讨论、模型的优缺点等，还要有一个不超过一页的论文内容的摘要。

比赛的结果：专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用

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“通过”、“失败”这种记分，而只是将论文分成一些等级：Outstanding（中国人称它为特等奖）、Meritorious（一等奖）、Honorable Mention（二等奖）、Successful Participation（成功参赛奖）。评卷的标准并不是看答案对不对，而主要看论文的思想方法好不好，以及论述是否清晰。Outstanding的论文作为优秀论文在专业杂志上发表。而所有参赛的队员和教练都能得到一张奖状。

翻开已发表的MCM的优秀论文，你会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀。在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是相对的。这在纯数学竞赛中是不可思议的。但既然数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些“非生命的资源”。同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错误，也没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样，但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只要能够言之成理。但如果你像解答纯数学题那样去做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验，即使答案正确，论文也很难评上好的等级。这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模竞赛，它看重的是三个步骤：

1、 建立模型：实际问题→数学问题； 2、 数学解答：数学问题→数学解；

3、 模型检验：数学解→实际问题的解决。

如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的时候容易犯这个错误），而对第一和第三这两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞赛的宗旨，当然就不能得到好的结果了。为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。—般也把它叫做数学模型赛，这也没有什么不对。但“模型”是“建模”的结果，而“建模”是建立模型的过程。竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这个过程，认为过程比结果更重要。所以，在竞赛中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实现的想法写成论文，参加评卷。虽然你的模型还没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处的论文。这充分体现了竞赛对建模过程的重视。从这点上说，把它称为“数学建模竞赛”比“数学模型竞赛”更贴切些。何况，它的英文名称MCM中的最后一个M是Modeling而不是Model。如果用Model，是名词，是指建立起来的模型。而Modeling是由动词Model变成的动名词，是指建立模型的过程，因此翻译成建模也更恰当些。（注：关于“模型”与“建模”的区别，这里采用的是北京理工大学叶其孝教授的观点。）

美国的MCM虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且有越来越多的国家的大学参加这一竞赛。因此，在某种意义上它已经是国际性的竞赛，我国最早是在1989年有北京的三所大学组队参加美国的MCM竞赛。到后来，我国参加MCM的学校越来越多。经过酝酿、筹备和在一些城市试办，从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生数学模型竞赛（CMCM），国家教委对这项活动十分重视，决定从1994年起由国家教委高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年一次，我国自己的MCM虽然举办的时间还不长，但发展非常迅速。在1995年的竞赛中，全国就共有259所高校、1234个队、3702名学生参加。可以预料，MCM在我国将得到更加蓬动、健康的发展。

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热点聚焦

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我校在

“全国大学生数学建模竞赛”

中获得优异成绩

2003年9月22日,为期三天的\全国大学生数学建模竞赛\拉开了序幕，李国强副校长，童副处长等校领导亲临竞赛现场为参加竞赛的学生们加油鼓劲，预祝他们取得优异的成绩。今年的建模大赛在校领导的关心和支持下，实现了全校范围内的总动员，共有24支队伍参加。

在这次的比赛中，我校取得了优秀的成绩，在本科组中，有三队同学获上海市一等奖、全国二等奖，六队同学获上海市二等奖。具体名单如下：

A题：

常 远 王赟杰 任浩然 上海市二等奖 朱一峰 王佳凯 梁喆敏 上海市二等奖

B题：

刘 月 梁伟韬 黄 捷 全国二等奖 上海市一等奖 方嘉伟 刘 黎 秦大伟 全国二等奖 上海市一等奖

金钟良 丁鲁明 岑志浩 全国二等奖 上海市一等奖

周 斌 梁海泉 萧文军 上海市二等奖 程 君 陈文祥 刘 畅 上海市二等奖 安文莹 戚艳艳 王文锦 上海市二等奖 陈明智 舒 杰 俞昊东 上海市二等奖

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成果展示

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对SARS传播及其影响的分析

第一作者简介：朱一峰，同济大学应用数学专业2001级学生，在2003年的全国大学生数学建模竞赛中获上海市二等奖。

摘要

本文首先对附件1中提出的早期模型的评价，指出其在对感染率K的处理中一些不妥之处。而在本题中感染率K是一个极其复杂的量，基于这一点，在下面建立我们自己的模型时，重点就在于对感染率K的考察和认识。同时我们还引进了潜伏期H、潜伏期的感染率δ1和发病期的感染率δ2等概念，这些都是为了能和实际情况更为符合，有助于模型的推广。根据这一基本思想，以及感染率K在疫情传播的不同时

期的变化，我们把疫情的传播分为四个阶段，即初发期（自由传播期）、高峰期、回落期和末期。根据每个阶段的不同情况，我们可以量化地描述感染率K的变动规律，避免了附件1中的早期模型中调整K值的随意性。

第一阶段我们仍保留了指数形式的模型,K取0.13913（附件1中的结论）。第二阶段我们对其进行了一些改进，引进了递减函数Z（t）,来体现次阶段中发病期的感染率δ2下降并趋于零的趋势，然后用MATLAB代定参数，大致算出潜伏期感染率δ1=0.087。但由于第二阶段初期数据可能并不准确，故一开始拟合地并不理想。第三阶段我们给出了一个离散化的递推模型，证实传染率按e-at形式递减的合理性。

接着，我们着重从旅游业入手。用二次函数拟合的方法估计出海外游客的数量将在9月份左右恢复到33万人。再根据经济学中的凯恩斯理论，建立了旅游业对整体经济影响的乘数效应模型，估计出北京市在这段时期国外旅游的损失约为65亿元。这一模型对服务行业中的长需求周期行业也同样适用。

关键词：数学模型

SARS 感染率 潜伏期 乘数效应

问题重述

2003年春，SARS的爆发和蔓延给我国带来了很大的影响。题目中已经给出了一个早期模型, 运用这个模型先分析了香港和广州的情况, 获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情的走势。

在下文中，我们将对这个模型进行评价，建立自己的模型，并讨论一些与SARS有关的经济问题。

符号及说明

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成果展示

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符号 δ1δ2

Ki （i=1,2,3,4）

L N(t)

Ni（i=1,2,3,4）

H

说明

潜伏期的平均传染率 发病期的平均传染率 四个阶段中各自的传染率 病人可以直接传染他人的天数

累计发病人数

各阶段初始累计发病人数

潜伏期天数

问题假设

1、由于在潜伏期内也有传染发生，故潜伏期H包含在病人可以直接传染他人的天数L中。

2、在本文中，根据附件1中早期模型的结论，假设病人可以直接感染他人的天

数为20天，又根据有关资料显示[1]，SARS的潜伏期H约在10—14天之间，而北京被感染者的平均潜伏期约为5天，故本题中假设潜伏期H为10天。（在最后的灵敏度分析中，我们将说明这样假设的合理性） 3、在本文中，我们不考虑二次传染。

问题一：对附件1提供的早期模型，评价其合理性和实用性。

首先让我们对这一早期模型重新做一审视。 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N（t）= N0 (1+K)t

如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 分析这个模型所得到的结果： 城市名 起点 达高峰前天数 K值 回落天数 K值 香港 03.2.15 45天 0.16204 40天 0.0273 广州 02.11.16 100天 0.0892 70天 0.031 由此可见，这个早期模型从形式上看比较简单，仅依赖与平均传染率K，通过取不同的K值，的确较好地拟合了香港和广州达到高潮前的情况。另一方面，注意到这个模型是指数形式的，在运用这个模型拟合从高潮回落的情况时，通过大幅度地调整K，也取得了不错的效果。

最后将此模型推广到北京，北京此时正处在疫情的高潮期，通过采用广州、香港情况下得到的K值，预测了北京最终的病例数分别为3800和3100左右。该预期虽和北京最后实际病例数有一定的差距，但它的确对政府有关部门做出及时的决策，采取更加严格的手段控制SARS的蔓延提供了依据。

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成果展示

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问题二：建立自己的模型，说明比附件1中的模型好在哪里？特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？并对于卫生部门所采取的某些措施做出评论。

在开始建立自己的模型之前，让我们再来分析一下早期模型对北京情况的拟合情况：

对北京疫情的分析

由于该图采用了分布极不均匀纵坐标轴，我们可以想见图上的微小偏离将造成较大的误差。又由于参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。故问题一中，在疫情回落阶段大幅度地调整K值的做法依据不足。下面我们将从疫情传播的阶段入手，对上面的早期模型进行修改。

现在我们将疫情的传播分成四个阶段：[1][2]

1、在SARS爆发初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度认识不足，病毒实际上处于自由传播的状态。

2、当公众发现感染者不断增加时，政府随即采取多种措施，疫情已经得到社会的重视，凡是发病人员在其发病期内逐渐被隔离，但是根据有关资料，此时处在潜伏期的人员并未受到关注，所以我们假设处在10天潜伏期的感染者均未被隔离。

3、在患者人数不降反增的情况下，被迫加大控制SARS措施的强度。此时我们认为处于潜伏期的感染者也将被逐渐隔离。

4、当高强度的措施实施20天左右，病毒扩散速度实际已经被控制，累计发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段，此时我们认为第四阶段的传染率K4≈0。（疫情出现反复的情况在这里不在展开讨论）

接下来我们就这四个阶段分别进行讨论： 第一阶段：

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成果展示

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在这个阶段疫情处于自由传播的状态，累积发病人数N（t）增加迅速，原题附件1中提出的早期模型已经能很好符合这一情况，故我们沿用这个模型。[3]

N(t)=N1×(1+K1)t ……(1) 其中，K1=0.13913 。

第二阶段（4月20日—5月10 日）：

根据有关资料显示[2]，该阶段的传染率K2是一个关于时间t的极其复杂的函数，不仅在每个阶段截然不同，而且在一个阶段内，也随时间t和其他各种因素改变。 下面我们主要对（1）中K1进行修改。

δ2在自由传播状态下是常数，但考虑到在这一阶段发病期病人已经逐渐被隔离，它真正的传染力随时间t呈下降趋势。为此我们引进函数Z（t），表示这一阶段在t(0≤t≤20)时刻发病期病人可直接感染他人的期限。我们希望它有如下性质：

Z（0）=10，Z（20）=0 并且Z（t）关于t单调递减。 令K2(t)=

10δ1+Z(t)δ2

,是潜伏期和发病期传染率的加权平均。

10+Z(t)

根据Z（t）的性质可知：

δ+δ2

当t?0时，K2(t)=1，可看作第一阶段自由传播的感染率K1。

2当t?20时，K2(t)=δ1，这说明到这一阶段末，发病期的病人均已隔离，此时只有潜伏期的病人具有传染能力。这与实际情况较为符合。 由此列出第二阶段累积发病人数N(t)满足的关系：

N(t)=N2×(1+K2)t=N2×(1+

10δ1+Z(t)δ2t

)

10+Z(t)

简化模型，我们尝试Z(t)=10?0.5t 为线性函数来编制程序（见附录一），不断调试δ1、δ2来拟合4月20日——5月10日这段时间的累计病例。由于4月20日——4月30日累计病例数据与实际发病情况出入较大，使得初值N2难以定夺。我们的拟合以符合5月1日——5月10日这一段情况为首要目标。由于

δ1+δ2=2K1，K1取附件1中的0.13913（因这一数据在前期较为可信），故我们只需调整N2、δ1即可。经过调试，我们发现当N2=420，δ1=0.087时，计算值

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成果展示

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与5月1日——5月10日的实际值拟合得相当好，而且初值420介于339与482之间，我们有理由相信，420作为4月20日这天实际发病数，比339这一数字更为准确。

具体的结果如下：

日期 公布病例数 计算病例数日期 公布病例数 计算病例数4.20 339 420 5.1 1553 1452 4.21 482 478 5.2 1636 1581 4.22 588 542 5.3 1741 1708 4.23 693 614 5.4 1803 1835 4.24 774 693 5.5 1897 1952 4.25 877 778 5.6 1960 2057 4.26 988 874 5.7 2049 2143 4.27 1114 976 5.8 2136 2204 4.28 1199 1086 5.9 2177 2235 4.29 1347 1203 5.10 2227 2228 4.30 1440 1325

第二阶段的拟合示意图如下：（程序见附录二）

第三阶段（5月11日—5月30日）：

此阶段中日增感染人数大幅下降，说明疫情已经得到充分的控制。只有处于潜伏期的病人才有传染能力，并且这种传染能力也随时间的增长大幅下降，故而适用在传染高速传播时的指数增长模型已无法满足要求，进而我们采用一个离散化的递推模型来表现这一阶段传染情况。

在这一阶段，根据附件2，总的发病人数最终将保持不变（

N(t+1)

→1），N(t)

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成果展示

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即传染率K3急剧下降（从δ1?0）。根据K3的这一特征,我们假设K3=δ1e?at。 我们可以得到一个离散化的公式：

N(t+1)

=1+δ1e?at ……(3) N(t)

那么只要参数a取得好，就能够较好地拟合这一阶段的情况。a的实际意义我们并不明了，但这一阶段的传染率K3近似按指数形式递减应是一个事实。 我们在MATLAB中进行调试（程序见附录三），仍取δ1=0.087，而a取为0.525，具体结果如下：

日期 公布病例数 计算病例数日期 公布病例数 计算病例数5.11 2265 2342 5.21 2444 2520 5.12 2304 2413 5.22 2456 2520 5.13 2347 2456 5.23 2465 2520 5.14 2370 2483 5.24 2490 2520 4.15 2388 2498 5.25 2499 2521 5.16 2405 2513 5.26 2504 2521 5.17 2420 2508 5.27 2512 2521 5.18 2434 2516 5.28 2514 2521 5.19 2437 2518 5.29 2517 2521 5.20 2444 2519 5.30 2520 2521

第二和第三阶段的总体拟合图象如下：（程序见附录四）

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成果展示

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图中画出了一条第二、第三阶段的分界线，我们可以发现K2、K3明显区别。

第四阶段（5月31日以后）：

此阶段的传染率K4≈0，累计发病人数几乎没有变动，若隔离与防疫措施能持续一段时间，应能防止疫情死灰复燃（关于疫情出现反复的情况在这里不在展开讨论）。

模型的推广

对于一种人类并不熟悉的传染疾病，认识它需要经历一个过程，故疫情的传播必然会经历上述的四个阶段，一旦我们了解了这种疾病的潜伏期天数H、病人可直接传染他人的天数L，并对传染率K有一个粗略的认识，我们就可以运用此模型。

具体的方法是：

1、先根据病人可直接传染他人的天数L，对疾病传播的过程进行分段。 2、第一阶段采取指数模型，根据初期情况调整K。

3、据潜伏期天数H，可仿照式（2）列出第二阶段的传染模型，函数Z（t）按实际需要可寻找更好的表达式。 4、由调整的K可估算出δ1，参照式（3）列出模型，调整参数a，预测第三阶段的发病情况。

至此，我们已经建立了疫情传播四个阶段的模型。

现在我们对这一模型做一简单的评价： 在建立SARS传播的模型时，我们遇到的主要困难就在于传染率K的复杂性。附件1中给出的早期模型由于是指数形式的，所以K的微小变化将导致结果的剧烈变化，而且它也没有说明K变动的内在性质和变动的实际意义。由于K主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，所以我们在没有彻底弄清K的变化规律前，通过分阶段的方法，近似的估计出各阶段K的变化规律，建立了自己的模型，以期能为预防和控制提供可靠、足够的信息。（关于这方面的可行性我们将在下文中继续说明）

我们所建立的模型的缺点主要在于：（1）简单地将Z(t)设为一线性递减函数，导致在第二阶段出现4月29日发病人数多于4月30日的反常情况。（2）从第二阶段到第三阶段δ1应已有所改变。我们为了更清楚地分清四个阶段，在第三阶段初期依旧保留其初值不变，导致有些数据偏差较大。

接下来，我们以第二阶段为例，依旧取K1=0.13913,δ1=0.087。只不过我们将采取隔离措施的天数提早或者延迟5天，绘制出在这两种情况下疫情的发展动态。（程序见附录五、六）

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成果展示

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从上两张图中，我们可以看到：提前五天逐步对发病病人进行隔离，则20天后累计发病人数为1150人左右；而推迟五天逐步对发病病人进行隔离，则20天后累计发病人数为4250人左右。由此可见，选择一个有利的时机对防止疾病的传

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成果展示

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染有极其重要的意义。而我们所建立的模型对政府有关部门的预测和决策有一定的指导意义。客观地说，北京对SARS的防治与隔离错过了最佳时机，以致造成大量病例的累积。但后期北京采取了严格的隔离措施，使得患病人数在短期内稳定下来。显然，后期的传染率K的估计值应比香港同期的更小。

问题三：搜集SARS对经济某个方面的影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

SARS对一些行业造成直接影响，最突出的有旅游、客运、百货、餐饮等，影响面从30～70%不等。其中对旅游业的影响是关注焦点，北京大学中国经济研究中心海闻教授等人的研究认为，SARS影响将使中国国内外旅游业的直接损失高达1400亿元，间接影响损失700亿元[4]。根据北京市的实际情况，4月20日起政府发布疫情公报，北京市的SARS疫情开始造成游客的心理恐慌，公众限制自己的活动范围,三月份SARS疫情已经存在，但处在初期，游客尚不太了解情况，公众的心理恐慌导致每个疫情阶段结束后，公众需要心理恢复正常的时间。根据有关资料，疫情虽然使旅游业停止了一个或更长的交易周期，但是由于需求周期长，这些需求量只是暂时的压缩，疫情过后，会重新释放。[4]

上图（程序见附录七）是我们以二次函数来拟合北京市2003年三月到八月接待海外旅游人数。结果我们发现到2003年九月旅游业已经基本能恢复到原先水平，这符合旅游业需求周期长的特点。我们将四到八月拟合数据与实际数据同

2002年这一时期数据进行比较，发现同期均下降了71.4%.。这说明二次函数能够大致符合长需求周期行业（如旅游业）在受到短期的突然冲击后，萧条又恢复

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成果展示

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的过程。

根据以上情况，我们建立长需求周期行业（如旅游业）对整个经济的影响的数学模型：Loss=K(B?A)×C。 ．．．．．．． （4）

式中，Loss代表GDP的损失，K代表乘数效应系数，A代表此行业的阶段消费人群损失余量，B代表近阶段消费人群，C代表个人平均消费水平。这是一个消费乘数模型，它的经济学基础是凯恩斯理论[5]。A可由上述二次拟合进行预测得到相关数据，B、C从有关行业的统计资料和相关的新闻报道得到。K值得斟酌，对相关资料[5]认为采用1.5作为乘数来估计旅游的乘数效应是合此次SARS的影响，理的。

对北京市的海外旅游市场进行具体分析，在4到8月B为143.5万，拟合后的A为41万。根据有关资料北京去年接待了310万境外游客，占全国接待境外游客人数的8%，估计全国今年的对外旅游收入将减少50-60%，按55%计算，损失将达900亿元[5]。 C可得4223元，根据公式(4), Loss≈65亿元，为北京市4到8月估计的对外旅游损失。

问题四：给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

自从人类有历史记载以来，传染病就相伴至今。从中世纪恐怖的黑死病，到后来在全球肆虐的霍乱、天花，每一种传染病都给人类带来极大的危害。所以预防、控制和消灭传染病成为全球科学工作者乃至于全人类共同奋斗的目标。在这些工作中，建立传染病数学模型，进而估计传染病的传播速度，危害程度，发病总人数，以及传染病所处的阶段，这样来确定当前工作的重点。数学模型也给了相关人员以具体的参考资料。

有了数学模型，相关人员可以将重点放在那些能影响染病人数的关键环节，即在数学模型中表现出来的各种系数，如感染率。方法可以是多种多样的，如尽快查出染病的人，尽早将其隔离；提高治愈率，减少在医院的交叉感染；减少公共场所人流量，提高通风程度，采取严格的消毒措施。有了数学模型，政府可以对传染病有一个大概的了解，及时公布这些信息，以减少公众的恐慌心理，澄清社会上的不实的报道，树立政府威信，提高公众对政府的信任度。

基于传染病的数学模型，结合有关数据，建立了相应的对经济某方面影响的数学模型。这样的话意义更大，可以推测出传染病对社会经济的影响程度，有利于相关人员及时改变策略，将传染病对经济的危害降到最小，以及在一段时间后作好经济重新振兴的准备。

基于SARS的传播的数学模型对今后预防、控制SARS有很强的指导意义，同时也对其他种类的传染病的预防、控制有指导意义。现在，虽然SARS对我国的影响已经逐渐消失，经济状况已好转，但人类与疾病的斗争还将继续进行下去。

灵敏度分析

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成果展示

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以第二阶段为例。

若潜伏期H=11，直接传染他人的天数L=20，通过作图程序，发现由公式得出的数据后期与实际数据拟合较好；若H=9,L=20，通过作图程序，发现由公式得出的数据与实际数据前期拟合较好。这说明累计发病人数对于潜伏期H的灵敏度不高，故我们取H=10是合理的，因为它与整体数据吻合较好。同时如果H变化，我们可以通过调整δ1的值，使得数据与实际情况更好符合。说明H=10,L=20完全合理。

拟合情况的变化如下二图所示（程序见附录八、九）

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成果展示

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参考文献

[1] 中国科学院研究生院管理学院“SARS”管理与控制研究小组, 《研究简报》第1期：SARS传播模式总

结, http://finance.sina.com.cn/roll/20030514/1506340394.shtml，访问时间（2003.9.24） [2] 版权所有：中国物资储运广州公司, SARS对中国经济的影响研究报告,

www.gzzc-logistics.com /0517.htm, 访问时间（2003.9.24）

[3] 姜启源 谢金星 叶俊， 《数学建模》（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8

[4] 中国科学院研究生院管理学院“SARS”管理与控制研究小组, 《研究简报》第4期：SARS的经济影响

方法分析，http://finance.sina.com.cn/roll/20030603/1029347910.shtml,访问时间（2003.9.24） [5] 海闻 赵忠 王健 侯振刚，“非典”流行对北京市及全国经济影响的初步分析，

http://www.bimba.edu.cn/NewsCenter/NewsView.php?ChannelID=1&NewsID=101,（2003.9.24）

（以下程序均为MATLAB程序,用文件名调用程序） 附录一（hb.m） function N=hb(No,x) N=[]; for t=1:20 z=-0.5*t+10;

Nold=No*((1+(10*x+z*(0.27826-x))/(10+z)))^t; N=[N,Nold]; end

% No 表示输入北京市染病人数初值，x 表示潜伏期的感染率，0.27826-x 表示发病期的感染率，且x < 0.27826-x

附录二(fig1.m) No=420; N1=[],T=[]; for t=1:20 z=-0.5*t+10;

Nold=No*((1+(10*0.087+z*(0.27826-0.087))/(10+z)))^t; N1=[N1,Nold]; T=[T,t] end hold on;

N2=[482,588,693,774,877,988,1114,1199,1347,1440,1553,1636,1741,1803,1897,1960,2049,2136,2177,2227];

plot(T,N2,'+m',T,N1,'d') % 第二阶段4月20日到5月10号北京市疫情统计 % 计算出的北京染病人数 legend('公布的数据','计算的数据'); xlabel('自4月20日起天数'); ylabel('人数');

title('第二阶段累计病例数','fontsize',20);

附录三(hb2.m)

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访

问

时

间

成果展示

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function N=hb2(No,x,a) N=[]; for t=1:20

Nold=No*(1+x*exp(-a*t)); No=Nold; N=[N,Nold]; end

%No表示第三阶段初期累计发病人数，x表示潜伏期传染率，a值的大小决定了日增病人数递减的速度。

附录四(fig2.m) No=420; N1=[],T=[]; for t=1:20 z=-0.5*t+10;

Nold=No*((1+(10*0.087+z*(0.27826-0.087))/(10+z)))^t; N1=[N1,Nold]; T=[T,t]; end No=2227; for t=1:20

Nold=No*(1+0.087*exp(-0.525*t)); No=Nold; N1=[N1,Nold]; T=[T,t+20] end

plot(T,N1,'d') hold on;

% 第二三阶段计算出的北京染病人数

N2=[482,588,693,774,877,988,1114,1199,1347,1440,1553,1636,1741,1803,1897,1960,2049,2136,2177,2227,2265,2304,2347,2370,2388,2405,2420,2434,2437,2444,2444,2456,2465,2490,2499,2504,2512,2514,2517,2520]; plot(T,N2,'+ m')

% 第二三阶段4月20日到5月30号北京市疫情统计 title('第二、第三阶段累计病例数','fontsize',20); xlabel('自4月20日起天数'); ylabel('人数');

legend('计算的数据','公布的数据');

附录五(fig3.m) No=420*(1+0.13913)^(-5); N=[],T=[]; for t=1:20 z=-0.5*t+10;

Nold=No*((1+(10*0.087+z*(0.27826-0.087))/(10+z)))^t; N=[N,Nold]; T=[T,t]; end

plot(T,N,'diamond');

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成果展示

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title('提前5天的情况（即从4月15日起对发病期病人逐渐隔离）','fontsize',20); xlabel('自4月15日起天数'); ylabel('人数');

% No 表示输入北京市染病人数初值，0.087为 表示潜伏期的感染率.

附录六(fig4.m)

No=420*(1+0.13913)^(5); N=[],T=[]; for t=1:20 z=-0.5*t+10;

Nold=No*((1+(10*0.087+z*(0.27826-0.087))/(10+z)))^t; N=[N,Nold]; T=[T,t]; end

plot(T,N,'diamond');

title('推迟5天的情况（即从4月25日起对发病期病人逐渐隔离）','fontsize',20); xlabel('自4月25日起天数'); ylabel('人数')

% No 表示输入北京市染病人数初值，0.087为 表示潜伏期的感染率.

附录七(fig5.m) x=[3 4 5 6 7 8 ];

y=[23.5, 11.6 ,1.78, 2.61, 8.8, 16.2 ]; a= polyfit(x,y,2) x1=[3:1:9];

y1=a(3)+a(2)*x1+a(1)*x1.^2; plot(x,y,'*')

% SARS出现后北京市实际每月接待海外旅游人数 hold on

plot(x1,y1,'o r -')

%二次拟合在SARS出现后三月到八月北京市接待海外旅游人数，来算出九月北京市接待海外旅游人数 hold on x2=[3:1:9];

y2=[23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4] plot(x2,y2,'+ k -.')

% 2002年北京市接待海外旅游人数（单位：万人） title('接待海外游客人数变化','fontsize',20); xlabel('月份');

ylabel('游客人数（万人）');

legend('2003年3至8月人数','拟合情况','2002年同期情况')

附录八(fig6.m) No=420; N1=[],T=[]; for t=1:20 z=-0.45*t+9;

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成果展示

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Nold=No*((1+(11*0.087+z*(0.27826-0.087))/(11+z)))^t; N1=[N1,Nold]; T=[T,t] end

plot(T,N1,'diamond') % 计算出的北京染病人数 hold on;

N2=[482,588,693,774,877,988,1114,1199,1347,1440,1553,1636,1741,1803,1897,1960,2049,2136,2177,2227];

plot(T,N2,'+ m') % 第二阶段4月20日到5月10号北京市疫情统计 title('潜伏期改为11天后的情况','fontsize',20); xlabel('自4月20日期天数'); ylabel('人数');

legend('计算的数据','公布的数据'); %将潜伏期改为11天后的情况

附录九(fig7.m) No=420; N1=[],T=[]; for t=1:20 z=-0.55*t+11;

Nold=No*((1+(9*0.087+z*(0.27826-0.087))/(9+z)))^t; N1=[N1,Nold]; T=[T,t] end

plot(T,N1,'diamond') % 计算出的北京染病人数 hold on;

N2=[482,588,693,774,877,988,1114,1199,1347,1440,1553,1636,1741,1803,1897,1960,2049,2136,2177,2227];

plot(T,N2,'+ m') % 第二阶段4月20日到5月10号北京市疫情统计 title('潜伏期改为9天后的情况','fontsize',20); xlabel('自4月20日期天数'); ylabel('人数');

legend('计算的数据','公布的数据'); %将潜伏期改为9天后的情况

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心得体会

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竞赛心得

朱一峰

风已过，天已凉，记忆同那些日子一起没入脑海之中。但是不能忘怀的是那种精神——数学建模竞赛中大家所体现出的吃苦耐劳的精神。得不得奖在于其次，竞赛中所爆发出的个人潜力让自己也难以置信。三天下来，真不敢相信眼前的文章竟出自三人小组之手，这与平时仅是读他人的文章完全是一种不同的感受。套用一句名言：如果没有经历过，你的人生不完整。

的确如此，幸运的是，自己所在的小组做出的文章得到了上海市二等奖。奖项不高，也只能是小有经验，多有教训。首先是比赛前的准备工作，主要是针对以前的竞赛题目类型及其所用到的数学知识，来弥补自身的不足。对于刚读完大二的学生讲，运筹学、图论都有必要再补一补。如果连竞赛所必须的数学知识都不知道，那就更别提运用了。我们小组的成员中有两人对运筹学不熟，最终放弃了B题，现在回想起来难免是一种遗憾。

组队的事也很重要，三人小组中不一定要求人人的数学功底都很强，关键在于各有所长。一人长于文字工作，一人长于数学推算，一人长于编程。如果能很好的组织起来，一定能取得不错的成绩。当然比赛前还有一些培训，针对自己来决定是否需要听。

比赛中，时间为72小时，这次比赛中，很多队员都没有睡过几个小时，但我认为前两天可以遵守正常的作息时间，而到了最后一天，无论如何也要拼一下。我们小组最后一天工作到凌晨5点，而不少其他小组到了那一刻还没有歇下。

竞赛中首先要选好题，本科组有两道题供选择——A题和B题，专科组也一样，不过是C题和D题。挑一个比较熟悉的题目一般来说有利于发挥。但是有时这种大众熟知的题目，如今年的A题——SARS，比赛前许多学校代表队就已练过，并做过深入分析，社会上也已有了许多很不错的模型，要再做出新意就比较难。所以并不一定选择了一个熟悉的题就能取得好成绩。我们在做A题时就觉得很头痛，现有的模型实在太多，最后我们选择了改进，来做出自己的模型，得到了一个不错的答案。但我们认为自己小组没有继续深入讨论下去，这也许是我们没能取得更好成绩的原因吧。比赛时，队员之间或许有些争执，但一定要迅速决定下来，要不然会影响思路的展开与继续做题。

总之，一定要使文章有闪光点，有不同于他人之处，这也是数学建模老师一直谆谆教导我们的。以上仅是我的个人见解，不妥之处望多多包涵。希望后继者能取得比我们这一次更好的成绩，为同济争光！

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趣味数学

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药 品 混 乱

一家药店收到运来的某种药品十瓶。每瓶装药丸1000粒。药剂师怀特先生刚把药瓶送上架子，一封电报接踵而来。怀特先生把电报念给药店经理布莱克小姐听。 怀特先生：“特急！所有药瓶须检查后方能出售。由于失误，其中有一瓶药丸每粒超重10毫克。请即退回分量有误的那瓶药。怀特先生很气恼。 怀特先生：“倒霉极了，我只好从每瓶中取出一粒来秤一下。真是胡闹。 怀特先生刚要动手，布莱克小姐拦住了他。布莱克小姐：“等一下，没必要秤十次，只需秤一次就够了。这怎么可能呢？

布莱克小姐的妙主意是从第一瓶中取出1粒，从第二瓶中取出2粒，第三瓶中取出3粒，以此类推，直至从第十瓶中取出10粒。把这55粒药丸放在秤上，记下总重量。如果重5510毫克，也就是超过规格10毫克，她当即明白其中只有一粒是超重的，并且是从第一瓶中取出的。

如果总重量超过规格20毫克，则其中有2粒超重，并且是从第二瓶中取出的，以此类推进行判断。所以布莱克小姐只要秤一次，不是吗？

六个月后，药店又收到此种药品十瓶。一封加急电报又接踵而至，指出发生了一个更糟糕的错误。

这一次，对超重药丸的瓶数无可奉告。怀特先生气恼极了。怀特先生：“布莱克小姐，怎么办？我们上次的方法不中用了。布莱克小姐没有立即回答，她在思索这个问题。 布莱克小姐：“不错。但如果把那个方法改变一下，我们仍然只需秤一次就能把分量有误的药品识别出来。这回布莱克小姐又有什么好主意？

在第一个秤药丸问题中，我们知道只有一瓶药丸超重。从每瓶中取出不同数目的药丸（最简单的方式就是采用计数序列），我们就可使一组数字和一组药瓶成为一一对应的关系。 为了解决第二个问题，我们必须用一个数字序列把每瓶药单独标上某个数字，且此序列中的每一个子集必须有一个单独的和。有没有这样的序列？有的，最简单的就是下列二重序列：1，2，4，8，16，。。。这些数字是2的连续次幂，这一序列为二进制记数法奠定了基础。 在这个问题中，解法是把药瓶排成一行，从第一瓶中取出1粒，从第二瓶中取出2粒，从第三瓶中取出4粒，以此类推。取出的药丸放在秤上秤一下。假设总重量超重270毫克，由于每粒分量有误的药丸超重10毫克，所以我们把270除以10，得到27，即为超重药丸的粒数。把27化成二进制数：11011。在11011中自右至左，第一，二，四，五位上的“1”表示其权值分别为1，2，8，16。因此分量有误的药瓶是第一，二，四，五瓶。

在由2的幂组成的集合中，每个正整数是单一的不同组合中的元素之和。鉴于这一事实，二进制记数法极为有用。在计算机科学和大量应用数学领域中，二进制记数法是必不可少的。在趣味数学方面，同样也有难以计数的应用。 这里有一个简单的扑克魔术，可叫你的朋友莫名其妙。这个戏法也许看上去与药瓶问题毫无关系，但他们的依据是相同的，都是二进制原理。

请别人把一副牌洗过，然后放进你的口袋，再请人说出一个1至15以内的数字。然后你把手插进你的口袋里，一伸手就取出一组牌，其数值相加正好等于他所说的数字。

此秘密简单的很。在耍魔术之前，预先取出A，2，4，8各一张放入口袋。这副牌缺少区区四张，不大可能为人察觉。洗过的牌放入口袋后，暗中将其排置于原先已经放在口袋中的四张牌的后面。请别人说出一个数字，你用心算将此数表示成2的幂的和。如果是10，那

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趣味数学

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你就应想到：8+2=10，随即伸手入袋，取出2和8的牌示众。

卜算卡片的依据也是二进制原理，准备六张卡片，分别记为A，B，C，D，E，F。然后将一些数字填写在卡片上，确定每张卡片上的数字集合的规则是这样的：在一个数的二进制表示中，若右起第一位是“1”，则此数字就在卡片A上。该卡片上的数字集合自1起始，全部数字就是1至63范围内所有的奇数；卡片B则包括1至63范围内的二进制记数法中右起第二位为“1”的全部数字；卡片C包括1至63范围内的二进制记数法中右起第三位为“1”的全部数字；卡片D，E，F以此类推。注意：63这个数字的二进制记数法是“111111”，每一位都是“1”，因此每张卡片上都有这个数字。

这六张卡片可以用来确定1至63范围内的任意一个数字。请一位观众想好此范围内的一个数字（例如某个人的年龄），然后请他把所有上面有此数字的卡片都交给你。你随即说出他心中所想的那个数字。秘诀就是把每张卡片上2的幂的第一个数字相加。例如，如果把卡片C和F交给你，你只要将上面第一个数字4和32相加，便知道别人心中所想的数字是36。 有时，魔术师为了使得这个戏法显得更加玄妙，故意把每张卡片涂上各种不同的颜色。他只需记住每种颜色所代表的2的幂。例如，红卡片代表1，橙卡片代表2，黄卡片代表4，绿卡片代表8，兰卡片代表16，紫卡片代表32（可依据彩虹的诸色顺序）于是，魔术师站在大房间的一头，请人想好一个数字，并且把上面有此数字的卡片置于身旁，他即可根据那人身旁的卡片的颜色随口说出别人心中所想的数字。

生活中的数学

——女孩子与高跟鞋

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实例长廊

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赌马中的数学问题

随着中国的改革开放，境外许多事物渐渐被生活在大陆的人知晓诸如赌马、六合彩等

常在媒体中提及。对我们来说，了解一些原来不熟悉的东西也是必要的。其实，一些博彩游戏和古老的赌博有许多相似之处，我们可以用初等概率知识对其中的现象作一定的分析。 我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参加比赛。通过对决定马匹胜负的各因素的研究以及对以往赛事胜负情况的统计分析，我们可得出两匹马各自胜出的实际概则另一匹马胜出的实际概率为1?p。率。不失一般性，设其中一匹马胜出的实际概率为p，那么，参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢？

要解决这个问题必须先弄明白庄家的赔率是如何设定的。所谓赔率，是指押注一元钱于胜方所获得的总金额。举例来说，若赔率为1.65元，则如押注一元的一方恰好胜出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注负方，则会失去所押注的1元，但不须另外再输钱。现在，我们知道了马匹胜出的实际概率，知道了庄家设定的赔率，就可以分析参赌者该如何下注。这里，设总金额为1元，并设在第一匹马上押注a元，则在第二匹马上押注1?a。至于具体押注多少，参赌者可以将总金额按该比例分配给这两匹马。于是，可得下表：

马匹 胜出的实际概率 庄家设定赔率（元）

押注（元）

如果第一匹马赢，参赌者可得到r1a元，再减去付出的1元，参赌者的收益为(r1a?1)元；同理，如果第二匹马赢，参赌者收益为(r2(1?a)?1)元。考虑到两匹马胜出的实际概率分别为p和1?p，参赌者的期望收益为

第一匹

p

第二匹

1?p

r2 1?a

r1 a

D=p(r1a?1)+(1?p)(r2(1?a)?1)=a(pr1?(1?p)r2)+(1?p)r2?1

，其中a∈(0,1)。另外，若参赌者把所有钱都押注于第一匹马时期

望收益为p(r1?1)；若参赌者把所有的钱都押注于第二匹马时，期望收益为(1?p)(r2?1)。 自然，参赌者希望收益D>0，这样，他们才能以一个正的概率赢利。所以要求：

D=a(pr1?(1?p)r2)+(1?p)r2?1>0,a∈(0,1)。

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实例长廊

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1）当pr1?(1?p)r2>0，且(1?p)r2?1>0，即当pr1?(1?p)r2>0且r2>

11?p

时，不论a取何值，D恒大于0，且当a趋向1时，D趋向于极大值pr1?1。实际上，当a=1，即参赌者把钱全押注于第一匹马上时，有收益p(r1?1)>pr1?1，所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹马上。

2）当pr1?(1?p)r2<0且(1?p)r2?1>0，即当pr1?(1?p)r2<0且r2>

1

时，1?p

收益D随着a的变大而变小，且当a趋于0时，D趋于极大值(1?p)r2?1。实际上，当

a=0，即参赌者把钱全押注于第二匹马上时，有收益(1?p)(r2?1)>(1?p)r2?1。所以

参赌者应当把钱全押在第二匹马上。

3）当pr1?(1?p)r2>0，(1?p)r2?1<0时，为使D>0，应满足： a>

1?(1?p)r2111

。又∵01，即r1>。即当r1>，且r2<

pr1?(1?p)r2pp1?p

1?(1?p)r2

分配赌注可期望赢利。且当a趋向于1时，收益D趋于极

pr1?(1?p)r2

时，参赌者按a>

大值pr1?1。同1）情况可知，这时，参赌者应把钱全押注于第一匹马上，有收益p(r1?1)。 4）当r1<

11

，且r2<时。 p1?p

这时不论赌注如何分配，参赌者的期望收益恒为负。在这情况下，参赌者介入其中是不

理智的行为。

以上是参赌者在已知胜出概率及赔率时选择的策略。同样，庄家在设置赔率时，一定会对实际各匹马胜出的概率作一番认真研究，由此设定相应赔率。这样，他才有可能不赔本。由此当庄家设置一个赔率时，我们也可以反推庄家所估计的各匹马胜出的概率。例如，庄家

赔率设定为15，则我们大致可以知道该马匹胜出概率大致应小

于

1

。 15

其实，在其它涉及赔率、押注的简单模型中，我们也可以用相应的方法进行分析。当然，这只是对实际情况的一种简化。现实生活中的赌马不会仅有两匹，并且要求出各马匹实际胜出的概率是件非常困难的事，在一般情况下，只能求得近似解。

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资料库

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为了使同学们更加了解数学建模协会，在我们创刊号资料库这个版块中，我们特意把《同济大学数学建模协会章程》刊登出来。我们以后的工作都会以这个章程

为指导，希望我们的工作能得到大家的监督和支持！

同济大学数学建模协会

章 程

第一章 总 则

同济大学数学建模协会是由同济大学数学系发起成立的面向全校大学生的课外学术性群众社团组织。本协会以宣传建模思想、加强数学应用、提高同济学子的实际应用能力、为全国建模竞赛储备后继人才为目的，以培养创新能力、倡导团队合作精神、丰富校园学术氛围为活动宗旨，大力推进数学建模活动在全校范围内全面的开展。

本协会接受同济大学团委的领导，遵守《同济大学社团管理条例》，贯彻我校“知识、能力、人格”三位一体的人才培养模式，为提高同济学子的科学文化素质及实际应用能力做出自己的贡献。

同济大学数学建模协会所有活动均在本章程的指导下开展，本协会的组织管理与成员活动必须遵循本章程。

第二章 组织机构与会员管理

第一条：同济大学数学建模协会由应用数学系李少华老师任顾问，李静茹老师任秘书长。

第二条：本协会会员面向同济大学所有在籍学生公开招募，包括硕士、博士研究生（但硕士、博士研究生按规定不能参加全国数学建模大赛）。凡是本协会会员，皆有以下义务与权利：参与和监督协会的工作，有权提出批评和建议；自觉遵守理事会的各项决议和安排，维护本协会名誉与利益，承认并遵守本章程。

第三条：同济大学数学建模协会设立理事会负责协会的所有事务，正式成立前暂由数学系学生会负责，成立后，将在协会会员公开招聘理事会成员。理事会部门机构拟订如下：

理事会主席团组织部 宣传部学术部

说明： 主席团设理事长一名，副理事长一名，秘书长一名。下设组织、宣传、学术三个部门，每个部门各

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资料库

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设一名部长。组织部负责各次会员活动的筹划与实施，宣传部负责海报宣传以及会员联络工作，期刊室主要负责会刊《数学建模》的采集、编辑和发行。

第四条：《数学建模》是本协会唯一指定的会刊。该刊物定位为学术刊物，主要内容包括古典趣味数学、数学家简介、会员论文刊登、建模心得、历年数学建模题选讲、建模界新闻要事记、数学软件使用讲解等等。

第三章 工作方向与重点

第五条：同济大学数学建模协会定位于学术研究，将邀请校内外知名专家作报告讲座，组织会员参加数学建模相关知识的培训，讲解相关软件的使用，进行有关建模知识的展出，组织校内竞赛，进行丰富多彩的系列活动，开拓第二课堂，培养创新能力，发扬团队合作精神，活跃校园学术文化氛围，为广大同学提供一个展示自己才华的舞台。

第六条：积极开展与校内校外相关社团或组织的合作，加强联系，交流经验，让每一位会员都能在第一时间获得关于数学建模最新的动态和发展。

第七条：邀请在全国数学建模大赛中获奖同学与会员见面，召开座谈会，倾谈他们的亲身感受。

第八条：组织优秀会员假期集训，为每年9月的全国数学建模大赛培养参赛人才。

第九条：协助搞好全国数学建模大赛的后勤服务工作。 附注：

1 . 本章程自同济大学数学建模协会正式成立之日起生效。 2 . 未尽事宜建模理事会负责解释。

同济大学数学建模协会 2003年4月15日

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资料库

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设一名部长。组织部负责各次会员活动的筹划与实施，宣传部负责海报宣传以及会员联络工作，期刊室主要负责会刊《数学建模》的采集、编辑和发行。

第四条：《数学建模》是本协会唯一指定的会刊。该刊物定位为学术刊物，主要内容包括古典趣味数学、数学家简介、会员论文刊登、建模心得、历年数学建模题选讲、建模界新闻要事记、数学软件使用讲解等等。

第三章 工作方向与重点

第五条：同济大学数学建模协会定位于学术研究，将邀请校内外知名专家作报告讲座，组织会员参加数学建模相关知识的培训，讲解相关软件的使用，进行有关建模知识的展出，组织校内竞赛，进行丰富多彩的系列活动，开拓第二课堂，培养创新能力，发扬团队合作精神，活跃校园学术文化氛围，为广大同学提供一个展示自己才华的舞台。

第六条：积极开展与校内校外相关社团或组织的合作，加强联系，交流经验，让每一位会员都能在第一时间获得关于数学建模最新的动态和发展。

第七条：邀请在全国数学建模大赛中获奖同学与会员见面，召开座谈会，倾谈他们的亲身感受。

第八条：组织优秀会员假期集训，为每年9月的全国数学建模大赛培养参赛人才。

第九条：协助搞好全国数学建模大赛的后勤服务工作。 附注：

1 . 本章程自同济大学数学建模协会正式成立之日起生效。 2 . 未尽事宜建模理事会负责解释。

同济大学数学建模协会 2003年4月15日

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/yd47.html