《物质结构导论》习题集+补充习题集
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《物质结构导论》习题集
第一章 量子力学基础
1. K的电子逸出功是2.2 eV,Ni的电子逸出功是5.0 eV,而1 eV=1.6×10 erg,波长为 4000 ?的紫光能否引起金属K和Ni的光电效应? 2. 考虑相对论效应,则以速度?运动的粒子的动能为
T??0c2-12
1??2c2??0c
122其中?0为粒子的静止质量。试证明当???c时,T??0?。
23. 计算红光?=6000 ?和X射线?=1 ?的一个光子的能量、动量和质量。 4. 试求下列各粒子的de Broglie波长
(a) 100 eV的自由电子。 (b) 0.1 eV,质量为1g的粒子。
5.质量为m的粒子,在弹性力?kx作用下运动,试写出其Schr?dinger方程。 6.写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的Schr?dinger方程,并求其解。 7.已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为??试计算:
(a)粒子动量的平方。 (b)n取何值时粒子在区间?0,??1?a?的几率最大。 4??n??其中a为势阱的长度。sin?x?,
aa??28.用不确定原理和virial定理判断下列论断是否正确:中子是由相距小于10-13cm的质子和电子用Coulomb力结合起来的粒子。
9.证明?(x)?e是Px的本征函数,并说明k的取值情况。 10.试计算Li2+离子2s和2p轨道上电子的电离能。
11.忽略电子的自旋轨道相互作用,但考虑电子的自旋状态,试确定主量子数是n的氢原子电子能级的简并度。
12.在求解氢原子电子的Schr?dinger方程时,曾忽略了万有引力的作用。质子和电子在万有引力作用下的势能为
kxV??GM?r
其中万有引力常数G=6.67×10-8 cm3.g-1.s-1。试计算V?所引起的电子能量的修正值。 ?的本征值和本征函数。?为任一常数c所对应的算符。??C?和H13.试比较能量算符H其中C
14.验证
??c1(1?c2r)e?ar
是氢原子Schr?dinger方程的解,并确定c1,c2,a和能量E。 15.求氢原子中处于?1s状态的电子矢径r的平均值r。
16.求氢原子中处于?1s状态的电子出现在r?2a0的球内的几率。 17.求氢原子中处于?18.求氢原子中处于?2pz状态的电子出现在??45?的圆锥内的几率。 状态的电子的角动量与z轴的夹角。
32119.处于l?2的电子,求其自旋角动量和轨道角动量的夹角。
20.比较H的2s电子、He+的2s电子和He(1s12s1)的2s电子能量的高低。 21.设氢原子的电子处在状态??c1?2210?c2?211?c3?31?1?,其中?,
210,?211 ,?31?1
2都是归一化的。试由c12,c2,c3的物理意义计算
①能量的平均值。 ②能量是?R4的几率。 ③角动量的平均值。 ④角动量是2?的几率。 ⑤角动量z分量的平均值。 ⑥角动量z分量是2?的几率。
第二章 多电子原子
1.1971年曾发表过一篇论文,该论文对氢原子应用了归一化的变分函数Ne?br?cr2,并说
将近似能量对参数b和c求极小值时,得到高于真实基态能量(核质量为无穷大)0.7%的能量。不做任何计算,说明为什么这个结果一定是错误的。
2.如果对一维无限势阱中的粒子用归一化的尝试变分函数
?3????3??l?12x, 0?x?l
则发现其近似能量为零,这比真实的基态能量低。试指出错在哪里。 3.一维谐振子的Hamilton算符为
?????2d222mdx2?2?m?x
222若选用??e?bax作为一维谐振子的尝试波函数,试用变分法计算其近似的基态能量。其
中b为参数,a??m?,m为谐振子的质量。 4.用变分法求锂原子的第二电离能。 5.写出锂原子基态的行列式波函数。 6.证明波函数
?(1,2)?11s(1)?(1)22s(1)?(1)1s(2)?(2)2s(2)?(2)
是氦原子忽略电子间相互作用的Schr?dinger方程的解,并求其本征值。
7.用Clementi和Raimondi给出的计算屏蔽常数的经验公式计算He原子的基态能量。 8.基态钇(Y)原子的可能价电子组态为
4d5s 或 4d5s
1221由光谱实验可确定其光谱基项为D32,试判断它的基态是哪种电子组态。 9.试写出Cl原子和As原子的光谱基项。
10.如果一个电子的状态不用量子数n,l,m,ms,来描述,而用n,l,j,mj四个量子数来描述,试证明一定n值的状态数目仍为2n个。 11.求pd电子组态的光谱项。
12.如果考虑自旋-轨道耦合,下列谱项各能级分裂成几个能级:1D,G,S。 13.组态p和pd的谱项之间允许的电子跃迁有哪些?
23226
14.谱项2P的轨道角动量与自旋角动量之间的可能夹角有哪些?
15.pd组态两个电子的自旋角动量之间可能的夹角有哪些?总自旋角动量与z轴可能的夹角有哪些?
16.对于给定的l值,求和
l2?m??lYlm(?,?)
与角度?和?无关。当l?1时,试验证这一结论的正确性。 17.一个含有N个电子的原子,则电荷密度为
?(1)?Ne??(1,2,?,N)d?2d?3?d?N
2若以?i表示电子的自旋-轨道,则电子密度也可以写为
N2?(1)?e??i(1)
i?1试验证:对于N?2 的闭壳层体系,以上这两个电荷密度的表达式等价。
18.利用以上两题的结果,说明闭壳层体系或半满壳层的原子体系的电荷密度是球对称的。
第三章 双原子分子
1.试写出H2 的Schr?dinger方程。
2.按分子轨道法写出Li2 的基电子组态和电子的总波函数。
3.用分子轨道能级图解释:N2的键能比N2大,而O2的键能比O2小。
4.如果分子轨道AB的成键轨道中的一个电子由90%的时间在A的原子轨道?a上,10%的时间在B的原子轨道?b上,若忽略重迭积分,试求出该分子轨道。 5.用分子轨道理论解释N2 ,O2 和F2分子键长的相对顺序。
6.B2 分子的基电子组态为??2?g2?u1?u,假定1?u简并轨道上各有一个电子,且自旋相反。试写出这个单重态的光谱项。
7.O2 分子的一种激发态电子组态为??2?g2?u3?g1?u1?g,试写出该电子组态的所有光谱项。
8按价键法的基态波函数验证:H2 分子的核间区的电荷密度大于未成键的两个氢原子的电
22233222+ +
荷密度之和。
9.N原子的各级电离能IP分别是
i IP(eV) 1 14.549 2 29.612 3 47.438 4 77.470 5 97.887 6 552.063 7 667.000 N2 分子离解能的实验值是9.902eV, 试计算N2分子的总能量。
10.试证明:只要带电粒子的总电荷等于零,则体系的偶极矩与坐标原点的选择无关。 11.设LiH分子的最高占据轨道为
2??c1?1s?H?c2?2s?Li
实验上测定Li-H键长为 Re=1.5853?,偶极矩为
??1.9607?10?29C?m,
电子电荷为e?1.6?10?19C,试确定c1,c2。
第四章 分子对称性和群论基础
1.分别给出下列分子的全部对称元素:(a)H2S; (b) NH3; (c) CHF3; (d) HOCl;
(e) 1,3,5-三氯苯;(f) CH2F2;(g)CHFClBr。
2. 对于SF6,下列成对的操作哪些可对易:
?(z),??(z),??(z),C?(x);(d)??h;(b)C?h,??(yz);(c)C?(yz); (a)C4422?h。 i,?(e)?3.(a)H2O2有一Sn轴吗?(b)它是光学活性的吗?解释之。 4.(a) 哪些点群的分子有偶极矩?(b) 哪些点群的分子有光学活性?
5.(a)存在Sn轴时,n是何值时意味着分子存在对称面?(b) 存在Sn 轴时,n是何值时意味着分子存在对称中心?(c) Dnd群有一S2n轴,n是何值时有一对称中心? 6.分别给出下列分子的所属的点群:(a)CH4; (b) CH3F; (c) CH2F2;(d)CHF3;(e) SF6; (f) SF5Br; (g) 反式-SF4Br2; (h) CDH3。
7.给出下列各分子的点群:(a) CH2=CH2; (b) CH2=CHF; (c) CH2=CF2;(d) 顺式-CHF=CHF;(e) 反式-CHF=CHF。
8.给出下列各分子的点群:(a) 苯;(b) 氟苯;(c) 邻-二氟苯;(d)间-二氟苯;(e)对-二苯;(f)1,3,5-三氟苯;(g)1,4-二氟-2,5二溴苯;(h) 萘;(i) 2-氟萘 。
9. 给出下列各分子的点群:(a)HCN;(b) H2S;(c)CO2 ;(d)CO;(e)C2H2;
(f)CH3OH;(g)ND3;(h)OCS;(i)P4;(j)PCl3;(k)PCl5;(l)B12Cl2-12;(m)UF6;(n)Ar。
10. 给出下列者的点群:(a) FeF6; (b) IF5; (c) CH2=C=CH2; (d) 立方烷C8H8;
(e)C6H5Cr(CO)3; (f) B2H6; (g) XeF4; (h) F2O; (i) 螺旋状戊烷。
11.二茂铁C5H5FeC5H5结构是一个铁原子夹心式地位于两个平行的正五边形中间。对
于重迭式构象,两个五边形的顶角排成一线;对于参差式构象,一个五边形相对于另外一个转动了2π/10弧度。电子衍射的结果指出气相平衡构象是重迭式,环的内旋转有非常低的势垒。(a)重迭式二茂铁和(b)参差式二茂铁各是什么点群? 12.三乙二胺钴(Ⅲ)络离子是什么点群?(每个NH2CH2CH2NH2基占据八面体配位空间的两个相邻的位置。)
13.在加、减、乘、除算术运算中,哪一种是可以结合的?
14.下面的集合何者是群?(a) 除零以外的全部有理数,结合规则是乘法。(b)1,0,-1,
结合规则是加法。(c)1,0,-1,结合规则是乘法。(d)1,-1,i,-i,结合规则是乘法。
15.令A和B是群的元素,试证明:?AB??13-
?BA。
-1-116.给出如下每个群的阶:(a) C1; (b) C40; (c) D40; (d) S40 。
17.试给出下列各群的乘法表:(a) C1; (b) C2h; (c) D3 。哪一个是阿贝尔群? 18.请问,(a) D2; (b) C3; (c) S4 点群有哪些子群? 19.点群C2和D2是同构的吗?请论证你的答案。
20.(a) 写出描写D2群对称操作对点(x, y, z)作用的3×3 矩阵。将此表示约化为不可约
表示的直接和。(b) 写出C4群对称操作对应的3×3矩阵,并将此表示表达为一些不可约表示的直接和。
21.试求具有如下阶和类数的群的不可约表示的维数:(a) 12阶,4类;(b) 24阶,5
类;(c) 32阶,11类(有两种可能的答案)。
22.下面给出某些可约表示的特征标值,试将每个表示写成不可约表示的直接和。 ? C?(z)?v(yz) ?v(xz) ? (a) C2v群 ? ?2 5 -3 3 -1
? 2C? 3??v (b) C3v群 ?3 292 -119 8
? C?2 ? C(c) C3群 ?33 4 1 1
?)。 23.求C3群的13?1?46?2?287?表示的?(C32*24.对于以下各分子,求用于最小基集合SCF-MO计算的ГAO的特征标。然后将
ГAO约化, 从而求出最低分子轨道的对称类。(按所示选择坐标轴)。(a) 乙烯(x轴垂直于分子的平面,z轴通过碳原子);(b) NH3 (c) CH4(x, y和z轴与S4轴重合);(d) 萘(x轴垂直于分子平面,z轴通过碳9和碳10);(e) C2H6;(f) 立方烷C8H8 (x, y和z轴与C4重合);(g) 乙炔。
*25 试求习题4.24中各分子的对称轨道(群轨道)。
*26 对于习题4.24中的每个分子,求Г3N的特征标,然后求出3N-6个简正方式的对称
类。指出每个分子有多少个不同的振动频率。
27 请将下面每个直积写成不可约表示的和: (a)C3v群的?2??;(b) ?d群的?1??;
(c)C3v群的?????;(d) D3h群的?????;(e) D3h群的???????;(f) C3群的
???(?1??2)。
?28.请求出以下组态的电子光谱项:(a) 水的……?3a1??1b1?22?4a1?组态;(b)水
?的……?3a1??1b1??2b2?组态;(c) H2O的最低组态;(d)乙烯的最低激发组态;
(e)反式-1,3-丁二烯的最低的激发组态。
29.对习题4.24中的各分子点群,求函数x2, xy, xz, y2, yz, z2 所属的对称类。 30.H2O分子振动能级如图4.32所示,振动能级用符号(υ1υ2υ3)表示。试指出H2O
分子中各振动能级之间可能出现哪些红外光谱跃迁。
图 4.32 H2O的振动能级
第五章 多原子分子
??1. 设H3和H3均为三角形构型,试用简单分子轨道理论(HMO)讨论H3和H3的相对
稳定性。
2. 设环丁二烯是四方形构型,用HMO法计算环丁二烯的?电子能级。 3. 用HMO法计算丙烯基分子CH2
度、键级、自由价,作出分子图。 4. 用HMO法比较丙烯基分子CH2
和丙烯基阴离子[CH2
CH
CH
CH2、丙烯基阳离子[CH2
CH
CH2]
+
CHCH2 ?电子能级和分子轨道,计算电荷密
CH2]- 的相对稳定性。
5. 设丁二烯分子中有一个电子从最高占据轨道跃迁到最低空轨道,试计算这种激发态丁
二烯分子的电荷密度、键级、自由价。
6. 试写出一个在?=45°,?=45°方向上的sp3杂化轨道。
7. 若令一个杂化轨道的方向与z轴正方向同向,另外两个杂化轨道在xoz平面上,求sp
三个杂化轨道。
8. 试估计BF4?的几何构型并说明其成键情况。 9.
B3H9分子尚未制备出来,试判定它的可能结构。
m2
10. 下列分子中哪些有大?键,并用?n符号表示之。
(1) CH2=CH-CH2-CH=CH2 (2) CH2=C=O (3) C6H5Cl (4)
OO
(5) HC≡C-C≡CH 11. 令s-p杂化轨道
??c1s?c2px?c3py?c4pz
的极大值方向的单位矢量为??x1,y1,z1?,若s轨道的成键能力为1,p轨道的成键能力为
3,则杂化轨道?的成键能力f?为
f??c1?试证明:
3?c2x1?c3y1?c4z1?
(1)f??c1?3(1?c1)
2 (2)等性杂化轨道sp, sp2, sp3 的成键能力都大于3。
第六章 络合物结构和配位场理论
1. 分别求出正四面体场强场和弱场中d5 , d6 和d7 组态的稳定化能。 2. 解释五个d轨道在平面正方形场中能量的相对高低。
3. 为什么正八面体络合物弱场的d4组态,强场的d7组态有Jahn-Teller效应。 4. 按配位场理论,在正四面体场中,d轨道的哪些组态没有高低自旋络合物之分。
第七章 分子光谱
1. 求波长为5?m的红外线的波数。
~?41.9cm2. HF的远红外光谱测得???1,计算分子的核间距。
~?2319v?49v2,v=1,2,3,…,试计算BH的振动频3. BH的近红外吸收谱带为?率,非谐性常数,力常数和零点振动能。
13?14. 已知H35Cl的振动频率?0?8.667?10s,试求H37Cl的振动频率。
~?2988.9cm5. H37Cl的?1?1~??51.60cm,?11?1,计算D35Cl 的基本谱带的波数。
2~?2885.9?20.577m?0.3034m6. HCl基本谱带的波数为?,m=±1, ±2, ±3, …,求振-
转 偶合常数?和平衡核间距。
7. 用汞的435.8nm谱线为光源照射CCl4, 观察到四条Raman 线为4399, 4418, 4446
和4507?, 计算CCl4的Raman位移。
~?1151.38cm8. SO2的基频是?1?1~?517.69cm,?2?1~?1361.76cm,?3?1。说明产生
三个吸收带1875.55,2295.88和2499.55 cm-1的原因。
《结构化学》补充习题
A1. 已知琴弦振动的驻波条件为n?2。按照―定态即驻波‖的?a(n=1,2,…, a为弦长)
说法,束缚在长度为a的一维势箱中的粒子(质量为m)的定态能量取值是多少? A2. 下列哪些函数不是品优函数,说明理由:f(x)?x2,e?|x|,Sin |x|,e?x A3. 试写出下列体系的定态薛定谔方程:(a)He原子(b)H2分子。
????2A4. 设A,B为厄米算符,证明: (1)A?B是厄米的; (2)
??????是厄米的。 ??A5. 1,3—丁二烯分子长度a≈7?,试用测不准关系估计其基电子态能级的大小(量级)。 A6. 一维势箱中的粒子基态波函数为?1=2/asin(?x/a),试画出其几率密度分布图(纵坐标以2/a为单位,横坐标以a为单位)。
A7. 试用一维势箱模型(6个 ? 电子)计算如下分子的电子光谱最大吸收波长(第一吸收
H3CNH3CHCCHCHCHN+CH3CH3l =8A峰)。
A8. 一维势箱(0,a)中的粒子处于?n态。试计算?x,?px ;并验证不确定关系。 A9. 一维势箱(0,a)中的粒子的状态为 ?(x)?ASin?xacos2?xa,计算:
能量的可能测量值及相应的几率;能量的平均值;求归一化系数A。
A10. 作为近似,苯中的6个π电子可看作在边长为0.35 nm的正方形二维势阱中运动。试
计算由基态跃迁到第一激发态所对应的光吸收的波长(nm)? A11. 设体系处于态??12(u1?u2),其中
u1, u2是体系哈密顿算符H的归一化的本征函数,
相应的本征值为E1,E2 。测量处于?态的体系的能量,测量出的可能值是什么?几率多大?测量平均值是什么?
A12. 写出角动量算符L及其分量Lz的球坐标表达式,试证L与Lz对易,有共同的本征
函数。 A13. 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表达式为H=L2/2I(L为角动量)。试求对
应的量子体系在下列情况下的本征能量和波函数:(1)转子绕一固定轴转动;(2)转子绕一固定点转动。
?????A14.证明:Lx,Ly?i?Lz 。
????22
A15. 验证下列函数的正交性:Y00,Y11,Y10 。 A16. 验证Y1,-1是L和Lz的本征函数。
?2?
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