三维热传导方程

第三章热传导方程

一、 小结

求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。 1．混合问题

一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题

?ut?a2uxx(t?0,0?x?l)??(I)?u(x,0)??(x) ?u(0,t)?u(l,t)?0??的级数形式解为

u(x,t)??Aken?0??(k?a2)tlsink?xl(1)

其中

Ak?2lk??(?)sin?d??0ll?(k?a2)tl(k?1,2,?)

1但由于（1）中含有指数因子：e，与弦振动方程不同，只要?(x)?C[0,l],且

?(0)??(l),形式解（1）就是问题（I）的解，且当t?0时，u?C?.

对于方程或边界条件是非齐次的情况,处理方法和弦振动方程类似,可通过适当变换、叠加原理、齐次化原理化为问题（I）。

对于高维热传导方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的问题。后者对某些特殊区域仍可用分离变量法求解。解本征值问题时，通常得到本征函数系是类特殊函数。

2．初值问题

目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用

第1 5卷第 1期2 0 1 2年 1月

高等数学研究STU D I ES I N C0 LLEGE M A T H EM A TI CS

VoI .1 5, No .1

J a n .,2 0 1 2

一

维热传导方程定解问题的两种积分变换解法金启胜(安庆职业技术学院公共基础部，安徽安庆 2 4 6 0 0 3 )

摘要利用 F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换的一些性质求解一维热传导方程的定解问题，将两种求解方法进行比较，给出两种求解方法的区别和联系 .

关键词 F o u r i e r变换； L a p l a c e变换；热传导方程中图分类号 O1 7 5 . 2 文献标识码 A 文章编号‘ 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 2 ) O l一 0 0 7 1— 0 2

F o u r i e r变换和 L a p l a c e变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系

程的初值问题

统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要的作用.人们在研究这些系统时，往往从实际问题出发，将研究的对象归结为一个数学模型，在通常情况下，这个数学模、

[ ㈤

],

【 u (

C-N格式MATLAB编程： clear;clc;

format short e

a=input('请输入系数a的值'); l=input('请输入长度l的值');

M=input('请输入将区间[0,1]等分的个数M '); ot=input('请输入时间增量ot的值'); n=input('请输入运行次数n的值'); ox=1/M;

x0=zeros(M+1,1) for ii=1:M

x0(ii+1)=ii*ox; end

u=sin(pi*x0/l); r=a*ot/(ox)^2; for ii=1:n

%数据的输入 B=zeros(M-1,1); A=zeros(M-2,1); C=zeros(M-2,1); S=zeros(M-1,1); for ii=1:M-2

B(ii)=1+2*r;A(ii)=-r;C(ii)=-r; S(ii)=u(ii+1,1); end

B(M-1,1)=1+2*r;S(M-1,1)=u(M,1);u(1,2)=0;u(M+1,2)=0; S(1,1)=S(1,1)+r*u(1,2);S(M

数学物理方程习题解(谷超豪) 第二章 热传导方程(来自网络)

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三维地学产品系列是在新一代面向网络超大型分布式地理信息系统基础平台K9基础上，实现综合地学数据的高效存储管理、更新维护、查询统计、地质成图成表、分析应用、专业评价及地质数据多元统计分析、三维地质建模、可视化及分析，面向地质人员、政府规划、建设部门、企事业单位以及社会公众等不同层次用户提供地质信息服务。

图 1三维地学产品系列建设目标

地学资料管理系统

地学资料管理系统C/S版

地学资料管理系统C/S版面向数据管理维护人员提供基础地理空间数据、各专题属性数据、成果图件、文档资料等各类资料的数据库管理维护及操作监测，辅助地学资料管理人员进行多元多尺度的可视化数据管理，包括地质数据库扩展与配置、地学资料的录入、导入导出、数据检查、显示查询浏览、钻孔地层交互式标准化、权限配置管理等。

图 2地学资料管理系统功能结构框架

地学资料管理系统B/S版

地学资料管理系统B/S版面向社会公众发布整理好的地学数据信息。通过MapGIS数据中心设计器自由定制数据的专业目录树，方便实时更新和发布；对大量地质资料元数据分类、分级管理，进行查询，发布；支持各种格式的地质资料的浏览；支持平面、球面模式下的三维模型展示和空间分析操作。

图 3数据查询结果显

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圆盘内的热传导问题

蔡晓君 物理学3班 20082301097

1、引言

圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题，本文通过建立模型并详细的解答问题，得出了此模型的通解，并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究。对我们生活及生产中热传导现象有实际的理解帮助。

2、模型介绍及问题的提出

圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上的温度为0，初始时刻圆盘内温度分布为1-r，其中r是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律。 圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与?无关，故温度U只是r，t的函数，由题意得，归结为下列定解问题

2?u?u1?u2?a(2?) r<1,t>0 ?t?rr?r2Ut?1?0 r?1 Ut?0?1?r2 r?1

运用分离变量法 令U（r,t）=F(r)T(t)

? F(r)T(t)? = a T(t)[F??（r）21F?(r)] r1??（r） F? F?(r) T?(t)r即2? aTF1??（r） F? F?(r) T?(t)r令2?=?? aTF则可得 rF??（r）?rF?(r)??rF(r)?0……① T?(t)??aT(t)?0……②

对②