时间序列测验2解答 北师珠 时间序列

时间序列分析 教案

测试2 解答 （第三、四章）

-11. 设{xt}为一时间序列，且?xt?xt?xt-1，?pxt??p（ ?xt），?kxt?xt?xt-k，2?？ 。 Bxt?xt-1，记?（??（B）xt， 则?（B）3?xt）2?（1?B3）（1?B）解：根据k步差分和p阶差分与延迟算子之间的关系，得?（B）。

2. 已知AR（1）模型为：xt?0.7xt-1??t，?t~WN(0,??2)。 求： E(xt),Var(xt),?2和?22。

解：(1) 由平稳序列E（xt）?E（xt-1）和E（?t）?0，得E（xt）?0 或 ???01??1????p?0 P. 47 （??0?0）(2) Var(xt)?0.72Var(xt?1)?Var(?t)?0.49Var(xt)???2

1?0.490.51k(3) AR（1）模型?k??1（k?0），?2??12?0.72?0.49 P. 50 (4) AR（1）模型偏自相关系数截尾: ?22?0 P. 54-55。

3. 分别用特征根判别法和平稳域判别法检验下列四个AR模型的平稳性。

即 Va(rxt)=

??2???2?1.96??2 P.49

（1）xt??0.8xt-1??t， （2）xt?1.3xt-1??t， （3）xt?11xt-1?xt-2??t， （4）xt?xt-1?2xt-2??t， 66 其中，{?t}均为服从标准正态分布的白噪声序列。

解：AR（p）模型平稳性的特征根判别法要求所有特征根绝对值小于1；

AR（1）模型平稳性的平稳域判别法要求|?1|?1，

AR（2）模型平稳性的平稳域判别法要求：|?2|?1,?2??1?1。

(1) ?1??0.8 特征根判别法：平稳；|?1|?0.8?1，平稳域判别法：平稳； (2) ?1?1.3 特征根判别法：非平稳；|?1|?1.3?1，平稳域判别法：非平稳；

11(3) 特征方程为: 6?2???1?0即(2??1)(3??1)?0,?1??,?2?

32 由特征根判别法：平稳；

11|?2|??1,?2??1??1,?2??1?0?1,平稳域判别法：平稳；

63(4) 特征方程为: ?2???2?0即(??1)(??2)?0,?1??1,?2?2 由特征根判别法：非平稳；

|?2|?2?1,?2??1?3?1,?2??1?1不小于1,平稳域判别法：非平稳。 P．46

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xt?4. 求平稳AR（2）模型：

51xt-1?xt-2??t，?t~WN(0,??2)的自协方差函数?k， 66自相关系数 ?k。

解：(1) 平稳AR（2）模型的自协方差函数?k递推公式为

1??2?2????0(1??)(1????)(1????)?21212???? ??1?10

1??2???k??1?k?1??2?k?2，k?2??51 将?1?，?2??， 代入上式，得

661?1?(?)?216??2???2??0?1515110?(1?(?))(1??(?))(1??(?))?66666? ????1?0?3?2

?1?1??22??51?????k?2，k?2?kk?166????（2）平稳AR（2）模型的自相关系数?k递推公式为

???0?1?5?5?6 ??1? ?17?1?（?）6??51??k??k?1??k?2，k?266?P. 50

5. 给出下列平稳AR模型的偏自相关系数。

（1）xt?0.8xt-1??t， （2）xt?xt-1?0.5xt-2??t，其中?t~WN(0,??2) 解：(1) 平稳AR(1)模型的偏自相关系数：

??11??1?0.8 ???kk?0，?12????11?1??23? ??????0.5222???0，k?2?kk?k?1k?2

(2) 平稳AR(2)模型的偏自相关系数：

P. 55

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6. 已知MA(2)模型为：xt??t-0.7?t-1?0.4?t-2，?t~WN(0,??2)。 求：E(xt),Var(xt),及?k（k?1。 ）解：(1) 由平稳序列E（?t-2）?E（?t-1）?E（?t）?0，得E（xt）?0 P. 56

222(2) Var(xt)?（1??1????q）??2?（1?（?0.7）?0.42）??2?1.65??2 P.56

(3) MA（2）模型自相关系数（q阶截尾）：

k?0?1，???1??1?2?0.7?（?0.7?0.4)?0.98????0.594，k?1?221.651.65?1??1??2 ?k????20.4???0.242，k?2221.65?1??1??2?k?2?0，P. 57

7. 已知ARMA（1，1）模型为：xt?0.5xt-1??t?0.8?t-1形式与逆转形式。

解：（1）ARMA（1，1）模型xt??1xt-1??t??1?t-1 （1??1B）xt?（1??1B）?t

的传递形式：

，试着推导给出它的传递

（1??1B）2 xt??t?（1??1B）（1??1B??1B2??）?t（1??1B）

232kxt?[1?（?1??1)B?（?1??1?1)B2?（?1??1?1)B3???（?1??1?1)Bk??]?t代入 ?1?0.5,?1?0.8，得

k?1

xt?[1?0.3B?0.15B2?0.3?0.52B3???0.3?0.5k?1Bk??]?t（2）ARMA（1，1）模型xt??1xt-1??t??1?t-1 （1??1B）xt?（1??1B）?t

的逆转形式：

（1??1B）2 ?t?xt?（1??1B）（1??1B??1B2??）xt（1??1B）

232kk?1?t?[1?（?1??1)B?（?1??1?1)B2?（?1??1?1)B3???（?1??1?1)Bk??]xt

代入 ?1?0.5,?1?0.8，得

?t?[1?0.3B?0.24B2?0.3?0.82B3???0.3?0.8k?1Bk??]xt第 2 页 共 4 页

P. 64

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8. 给出AR（p）序列预测xt(l)的公式，及其在正态假定下置信水平是1??的置信区间。

解：（1）AR（p）序列预测xt(l)的公式：

xt(l)??1xt(l?1)??2xt(l?2)????pxt(l?p)

^?? 式中 ：xt(k)??xt(k)，k?1

??xt?k,k?0^^^^^^^ （2）AR（p）序列预测xt(l)的置信水平是1??的置信区间： （x(l)?zP． 87

^^1??2?(1?G1???Gl?1)??,x(l)?z2212^1??2?(1?G1???Gl?1)??)

2212

9. 简述非平稳序列确定性分析的主要思想和方法。

解：非平稳序列确定性分析的主要思想是根据Cramer分解定理： 任何一个时间序列{xt}都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分。

传统的确定性因素分解归纳为四大类因素：长期趋势、循环波动、季节性变化和随机波动；但是，由于实际分析时发现，没有固定周期的循环波动与长期趋势的影响很难严格分解开，而有固定周期的循环波动和季节性变化又很难严格分解开，所以现在通常把确定性因素分解归纳为三大类因素的综合影响：长期趋势波动、季节性变化和随机波动，此外可以考虑交易日因素。

主要分析方法有：（1）趋势分析，a)趋势拟合法：即利用线性或非线性模型拟合趋势；b）平滑法：即利用移动平均法、指数平滑法来作预测。（2）季节效应分析，即构造季节指数，消除季节影响或进行季节预测。（3）综合分析，即利用加法、乘法和混合模型对长期趋势波动、季节性变化和随机波动进行综合分析。（4）X11过程，即时间序列的季节调整过程。

P．106-122

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