王铭物理习题答案3-13章

第三章 流体的运动

习题解答

1．应用连续性方程的条件是什么？ 答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？ 答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。

答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。

解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54－2×2=50mm，v2=1.4m/s，根据连续性方程知：

S0v0= S1v1+S2v2 +……+Snvn，则

12?dv2S2v2422d2v2502?1.4v1?????0.72 m/s

12n1d12n1S119?162n1?d14

5．水管上端的截面积为4.0×10－4m2，水的流速为5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面积为8.0×10－4m2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa，求下端的压强。

解：(a)已知S1=4.0×10－4m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×10－4m2，p1=1.5×105Pa ，根据连续性方程：S1v1=S2v2 知：

S1v14.0?10?4?5.0v2???2.5( m/s）

S28.0?10?4

1

(b) 根据伯努利方程知：

103 kg/m3

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，h2=0，?水=1.0×22p2?1212?v1??gh1?p1??v2??gh22211水??1.0?103?52?1.0?103?10?10?1.5?105??1.0?103?2.526．

22?2.6?105(Pa)平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s

和1.96×105Pa，那么水在细处的流速和压强各是多少？

解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，p1=1.96×105Pa，根据连续性方程知：S1v1=S2v2

12?dvS1v1411d12v1(2d2)2v2???2??1.00?4.00(m/s) 212S2d2d2?d24112(b) 根据伯努利方程知（水平管）：?v12?p1??v2?p2

2211211p2??v12?p1??v2??103?1.002?1.96?105??103?4.002?1.885?105(Pa)

2222

7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时，问筒内空气的压强比大气压高多少？

解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，p1=p0，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2 22 由于S1<< S2，则v2=0，因此

11p2?p0??v12??gh1??103?1.22?103?9.8?0.6?6.6?103 (Pa)

22

8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m，细颈处的直径为0.10m，如果水在主管的压强为5.5×104Pa，在细颈处的压强为4.1×104Pa，求水的流量是多少？

解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，p1=5.5×104Pa，p2=4.1×104Pa，根据汾丘里流速计公式知：

2

Q?S1S22(p1?p2)1222(p1?p2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?(5.5?4.1)?10422 ??3.14?0.25?0.1?344410?(0.25?0.1)?4.2?10?2(m3/s)

9．一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm，2处压强计中水面高度差h2=-98mm（负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q。

解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，?=0.645kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=-98mm=-0.098m，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1-p2)1222?'g(h1?h2)??d1d222?(S1?S2)4?(d14?d24)12?1.0?103?9.8?(0.040?0.098)22 ??3.14?0.2?0.1?4440.645?(0.2?0.1)?0.525(m3?s )

10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm，求水速。

解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根据比托管流速计公式知：

v?2g(h1?h2)?2?9.8?(0.054?0.005)?0.98(m/s)

11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm，采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度为2kg/m3。

解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，?=2kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，根据比托管流速计公式知：

v?2?'gh??2?1.0?103?9.8?0.02?14(m/s)

2所以5min采集的CO2为：

V?Svt?10?10?4?14?5?60?4.2(m3)?4.2?103 (L)

3

12．水桶底部有一小孔，桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。

解：(a)已知h1=0.30m，p1?p2?p0，S1>> S2，桶是静止时，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，由于S1>> S2，则v1=0，因此 22v2?2gh1?2?9.8?0.3?2.42 (m/s)

(b)桶匀速上升时，v2=2.42 (m/s)

13．注射器的活塞截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用f=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？

解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加压强：

?p?f4.94??4.08?10(pa)，根据水平管的伯努利方程知： ?4S11.2?10112?v12?p1??v2?p2 22 由于p1?p0??p，p2?p0，S1>> S2，则v1≈0，因此

v2?2?p1?p2)??2?p??2?4.08?104?9 (m/s) 31?10根据连续性方程知：S1v1=S2v2

S2v20.25?10?6?9v1???0.0188(m/s)

S11.2?10?4t?l0.04??2.13(s) v10.0188

14．用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最高点在容器的水面上1.20m处，出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。

解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10－4m2，hB=1.20m，hD=－0.60m，SA>> SD，如图3-10所示，选取容器内液面A为高度参考点，对于A、D两处，pA?pD?p0=1.013×105 Pa，应

1122用伯努利方程，则有：?vA??ghA??vD??ghD

22vD?2g(hA?hD)?2ghAD?2?9.8?0.6?3.43 (m/s)

4

B、D两处（均匀管）应用伯努利方程得： ?ghB?pB??ghD?pD

pB?pD??g(hD?hB)?1.013?105?103?9.8?(?0.60?1.20)?0.84?105(pa)

(b)Q=SDvD= 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m3/s)

15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q=150 cm3/s，容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。

解：已知Q=150 cm3/s=1.5×10－4m3/s，S2=0.5cm2=5.0×10－5m2，因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：

v2?2gh和Q2?S22gh

2Q2(1.50?10?4)2h?2??0.45(m) ?52S2?2g(5.0?10)?2?10

16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h，问E管中液体上升的高度H是多少？

解：已知截面积SC?S1SD，由连续性方程得vC?DvD?2vD，考虑到A槽中的液面

SC2流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得

vD?2gh

对C、D两点列伯努利方程：

pC?1122 ?vC?pD??vD22因为，pD?p0(大气压），所以，pC?p0?3?gh，即C处的压强小于p0，又因为F槽液面的压强也为p0，故E管中液柱上升的高度H应满足：

pC??gH?p0

解得 H?3h

17．使体积为25cm3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa的截面移到压强为1.1×105Pa的截面时，克服摩擦力做功是多少？

5

解：已知V=25 cm3=2.5×10－5m3，p1=1.3×105Pa，p2=1.1×105Pa，由实际流体运动规律知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2?w 22w?p1?p2?1.3?105?1.1?105?2.0?104(Pa)（水平均匀管）

W?w?V?2.0?104?2.5?10?5?0.50(J)

18．为什么跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒的降落速度？

答：跳伞员从高空降落时，最后达到一个稳恒降落速度的原因主要是跳伞员的重力、受到浮力和空气阻力达到平衡，沉降速度恒定。

19．20℃的水，在半径为1.0cm的水平管内流动，如果管中心处的流速是10cm/s。求由于粘性使得管长为2.0m的两个端面间的压强差是多少？

解：已知R=1.0 cm，vmax=10cm/s=0.10m/s，L=2.0m，t=20℃，查表知20℃时水的黏度系数为：?水?1.005?10?3 Pa?s，由泊肃叶定律的推导知：

v?p1?p22(R?r2) 4?L(p1?p2)R2??0.10m/s

4?L当r=0，vmax4?Lv4?1.005?10?3?2?0.10p1?p2???8.04(Pa)

R2(1.0?10?2)2

20．图3-3为粘性流体沿水平管流动时，压强沿管路降低的情况。若图中h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm。求液体在管路中流动的速度。 已知：h=23cm；h1=15cm；h2=10cm；h3=5cm；a=10cm 求：v=?

解：由实际流体运动规律知：1，2两处（水平均匀管）

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2?w 22w?p1?p2??g(h2?h1)??g?h(J/m3)

容器开口液面处与圆管出口处应用实际流体运动规律知：

1?gh?p0??v2?p0?4w

2

6

得： v?2g(h?4?h)?2?9.8?(0.23?4?0.05)?0.77(m/s)

21．直径为0.01mm的水滴，在速度为2 cm/s的上升气流中，能否向地面落下？设空气的η=1.8×10－5Pa?s。

解：已知d=0.01mm=105m，v=2 cm/s=0.02 m/s，η=1.8×105Pa?s，水滴受力分析：重

－

－

力、浮力、粘性阻力，由斯托克斯定律定律知：

f阻?6??rv?6???????????0.5?10?5?0.02?1.08??10?11(N)

mg?f浮?131?d????')g???(10?5)3?103?10?0.17??10?11 (N)

22．水从一截面为5cm2的水平管A，流入两根并联的水平支管B和C，它们的截面积分别为4cm2和3cm2。如果水在管A中的流速为100cm/s，在管C中的流速为50 cm/s。问：(a)水在管B中的流速是多大？(b)B、C两管中的压强差是多少？(c)哪根管中的压强最大？

解：(a)已知SA=5cm2，SB=4cm2，SC=3cm2，vA=100cm/s=1.00m/s，vC=50cm/s=0.50m/s，根据连续性方程知：SAvA= SBvB+SCvC

vB?SAvA?SCvC5?1?3?0.5??0.875(m/s)

SB4(b) 根据伯努利方程知：

1122A、B两处： ?vA??ghA?pA??vB??ghB?pB

221122A、C两处： ?vA??ghA?pA??vC??ghC?pC

221122因此，pB?pC??(vC?vB)??103?(0.52?0.8752)??258(Pa)

22(c)由以上两个方程可知：vA?vB?vC则：pA?pB?pC，即C管压强最大。

23．如图3-4所示，在水箱侧面的同一铅直线的上、下两处各开一小孔，若从这两个小孔的射流相交于一点，试证：h1H1=h2H2。

证明：根据小孔流速规律v?2gh知：v1?2gh1和v2?2gh2 再根据平抛运动规律知：

x=vt和H?联立以上关系式得：

4hH?x2

7

12gt 2由于 x1=x2 所以 h1H1=h2H2 证毕。

24．在一个顶部开启高度为0.1m的直立圆柱型水箱内装满水，水箱底部开有一小孔，已知小孔的横截面积是水箱的横截面积的1/400，(a)求通过水箱底部的小孔将水箱内的水流尽需要多少时间？(b)欲使水面距小孔的高度始终维持在0.1m，把相同数量的水从这个小孔流出又需要多少时间？并把此结果与(a)的结果进行比较。

解：(a)已知h1=0.1m，S2= S1/400，随着水的流出，水位不断下降，流速逐渐减小，根据小孔流速规律知在任意水位处水的流速为：v2?2gh，该处厚度为dh 的一薄层从小孔流出时间为：

dt?整个水箱的水流尽所需时间为

S1dhS1dh ?S2v2S22ght1??h10S1dhS22gh??0.10400dh2?9.8?h?4002?9.8?2h0.10?57(s)

(b) 水面距小孔的高度始终维持在0.1m，则小孔速度始终不变为v2?2gh1 则相同数量的水从这个小孔流出又需要时间为：

t2?S1h1?S2v2400?0.12?9.8?0.1?28.5(s)

比较(a)、(b)知：t1?2t2

8

第四章 振动和波

习题解答

1．一振动的质点沿x轴作简谐振动，其振幅为5.0×10-2m，频率2.0Hz，在时间t=0时，经平衡位置处向x轴正方向运动，求运动方程。如该质点在t=0时，经平衡位置处向x轴负方向运动，求运动方程。

解：已知A?5.0?10?2m,??2.0Hz,t=0时v>0。

通解方程式为x?5.0?10?2cos(2??2?t??0)?5.0?10?2cos(4?t??0) 由t=0时x=0 有cos?0?0,速度表达式为v??0???2

dx??4??5.0?10?2sin(4?t??0) dt根据已给条件t=0时v>0 有

sin?0?0，考虑?0???2,?0???2。

∴运动方程为x?5.0?10?2cos(4?t?

?2)m

22．质量为5.0×10-3kg的振子作简谐振动，其运动方程为x?6.0?10?2cos(5t?π)

3式中，x中的单位是m，t的单位是s。试求：(a)角频率、频率、周期和振幅；(b)t=0时的位移、速度、加速度和所受的力；(c)t=0时的动能和势能。

解：(a)根据已给条件??5rad??5,??A?6.0?10?2m。

?52?2?，?,T??2?2??5 (b) 将条件t=0带入方程

2?x?Acos()??6.0?10?2?0.5??3?10?2m/s

3dx2?2?v???A?sin(?t?)??6.0?10?2?5?sin??0.26m/s

dt33dv2?2?a???A?2cos(?t?)??6.0?10?2?5?5?cos??0.75m/s

dt331 (c) 动能Ep?mv2?0.169?10?5J

211 势能Ek?kx2??2mx2?5.625?10?4J

22

3．一轻弹簧受29.43N的作用力时,伸长为9.0×10-2m,今在弹簧下端悬一重量P=24.5N

9

的重物，求此这重物的振动周期。

k?解：由胡克定律 F??kxF29.43?x9

2??2?m k??kmT??带入相关数值 T?2?

m24.5/9.82.5?2??2? ?2k32729.43/9?104．续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下6.0×10-2m,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。

5．经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1.0m/s2，乘客就不会有不舒服的感觉。若车辆竖直的振动频率为1.5Hz，求车辆振动振幅的最大允许值。

解：由加速度a?A?2有

A?a?1?1.13?10?2m

?2?2??1.5?2

6．质量为m、长圆管半径为r的比重计，浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为

T?

2πm

rg?证：设坐标x向下为正。以比重计在水中的平衡位置为坐标零点，比重计被向下压入

水中偏离平衡位置的位移为x，比重计排开水的体积为V??r2x，其所受浮力为

F??V?gx???r2?gx

其中负号表示力的方向与位移相反。由牛顿第二定律F?ma有

d2xF???r?gx?ma?m2

dt2d2x?r2?gx?0 整理有 2?mdt令

?r2?gmd2x??，方程化为振动方程2??2x?0

dt2 10

则 T?

2???2?m?r2?g?2m? 证毕

r?g7.当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是多少?找出dT/T与dg/g之间的关系式。

解：单摆周期与加速度关系为T?2?l1g?3/2

两边取微分，则当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是

dT??2?l?g?dg

dT/T与dg/g之间的关系式

dT2?l?g???TT

?3/2dg??ldg 2g8．两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x1=4cos(3πt+π/3)和x2=3cos（3πt－π/6），试求它们的合振动的运动方程。

解：由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有

A?2A12?A2?2A1A2cos??42?32?2?3?4?cos(?)?5

36???3sin(?)?136?0.128???tan??4cos?3cos(?)36合振动方程为：x?5cos(3?t?0.128?)

4sin??rad

9．设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示，其运动方程为x=Asinωt+Bsin2ωt。(a)写出该质点的速度和加速度表示式；(b)这一运动是否为简谐振动？

解：(a)

v?dx?A?cos?t?2Bcos2?tdt

dva???A?2sin?t?4B?2sin2?tdt(b)不是简谐振动

11

10．已知平面波源的振动方程为y=6.0×10-2cos

π

t（m），并以2.0m/s的速度把振动传9

播出去，求：(a)离波源5m处振动的运动方程；(b)这点与波源的相位差。 解：(a)

由已给方程可直接得到：??将x=5m代入波动表达式

?9,???11?,T??18s 2?18?m

?x?5y?6.0?10?2cos(t??)?6.0?10?2cos(t??)9u9185(b)相位差????

18

11．一平面简谐波，沿直径为0.14m的圆形管中的空气传播，波的平均强度为8.5×10-3Js-1m-2 ，频率为256Hz，波速为340ms-1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的空气中有多少能量？

解：已知D=0.14m，平均强度I=8.5×10-3Js-1m-2，ν=256Hz,u=840m/s。 (a)平均能量密度和最大能量密度

I8.5?10?3W???2.5?10?5J?m?3 u340Wmax?2W?5.0?10?5J?m?3(b)两个相邻相面间的空气能量E

Du0.142340E?W??()2?2.5?10?5?()?5.11?10?7J

2?2256

12．为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率，如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m和1.00m处的能流密度（设介质不吸收能量）。

解：平均能流密度等于单位单位面积上的功率，因此5m处的能流密度为

I?P4?2??1.273Wm 224?x4?(0.5)同理有：1m处为0.318Wm-2

13．设平面横波1沿BP方向传播，它在B点振动的运动方程为y1=2.0×10-3cos2πt，平面横波2沿CP方向传播,它在C点振动的运动方程为y2=2.0×10-3cos（2πt+π），两式中y的单位是m，t的单位是s。P处与B相距0.40m，与C相距0.50m，波速为0.20m/s，求：(a)两波传到P处时的相位差；(b)在P处合振动的振幅。

解：(a)求两波在P点相位差： 1点在P点引起的振动为：

12

y1p?2.0?10?3cos(2?t?2?0.40)?2.0?10?3cos(2?t?4?) 0.202点在P点引起的振动为：

y1p?2.0?10?3cos(2?t?2?0.50??)?2.0?10?3cos(2?t?4?) 0.20相位相同，相位差???0。

(b)合振动振幅：由于相位相同，合成波的振幅为两波振幅相加

A?4.0?10?3m

14．平面波斜入射到两种介质（各向同性）的界面，进入到介质2时将发生折射，设该波在介质1和介质2的波速比为5：3，试用惠更斯原理作图画出折射后波的传播方向。

解：注意两波在不同介质中的波速不一样。图4-1以波在介质1中波速快为例作图。

15．已知飞机马达的声强级为120dB，求它的声强。 解：已知声强级为120dB，由声强级定义可知

120dB?10logI,I0?10?12Wm?2I0 logI?logI0?12?0I?1Wm?2

16．两种声音的声强级相差1dB，求它们的强度之比。 解：设两种声音的声强级分别为A和A+1，

A?1?10log导出 I(A?1)?10A?110I(A?1)I0

I0

IA I0A?10logA10IA?10I0

消去I0,有

I(A?1)IA?10A?110A10?10110?1.26

10

17．频率为50000Hz的超声波在空气中传播，设空气微粒振动的振幅为0.10×10-6m，求

13

其振动的最大加速度和最大速度。

解：

vmax?A??A2???0.10?10?6?2??50000?3.14?10?2ms?2amax?A??A(2??)?9.97?10ms

223?2

18．装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为241Hz的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s。

解：本题中的潜水艇接收探测器的超声波然后再反射，所以潜水艇首先是接收者，其次是发射者，这是一个双向多普乐效应问题。设超声波波速为u,潜水艇速度为ν，运用双向多普乐公式，再根据拍频的定义有：

u?v????241 u?v解出??6ms?1

19．对遥远星系发来的光谱分析表明，有一些在实验室已确认的谱线显著地移向了长波端，这种现象叫做谱线红移。谱线红移可以解释为由于光源的退行速度所引起的多普勒频移。例如，钾光谱中易辨认的一对吸收线K线和H线，在地面实验室中是出现在395nm附近；在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm处观测到了这两条谱线。试问该星云正以多大的速度离开地球？

解：多普乐效应可以应用在光学问题上，但应考虑相对论效应，应用光学多普乐公式

?'?对于本题?'?447nm,?=395nm 代入公式解出u=0.123c。

c?u? c?u 14

第五章 分子物理学

习题解答

1．压强为1.32×107Pa的氧气瓶,容积是32×10-3m3。为避免混入其他气体，规定瓶内氧气压强降到1.013×106Pa时就应充气.设每天需用0.4m3、1.013×105Pa的氧，一瓶氧气能用几天？

解：用可以使用的气体总量除以每天的使用量即可得到使用的天数。设气体总量为PV，可以用到的最小数值为P*V*，设每天的使用量为Δ(PV)。则可以使用的天数n为：

PV?P*V*132?105?10.13?105n???32?9.6

?(PV)1.013?105?0.4一瓶氧气可以使用大约9.6天。

2．一空气泡，从3.04×105Pa的湖底升到1.013×105Pa的湖面。湖底温度为7℃，湖面解：设气体在湖底时的状态参量为p1V1T1，在湖面时的状态参量为p2V2T2，设气体为理

温度为27℃。气泡到达湖面时的体积是它在湖底时的多少倍？ 想气体，满足理想气体方程，考虑到气体总量不变，应有

p1V1p2V2? T1T2V2p1T23.04?105?300所以 ???3.22 5V1p2T11.013?10?280气体到达湖面时体积扩大为湖底的3.22倍。

3．两个盛有压强分别为p1和p2的同种气体的容器，容积分别为V1和V2，用一带有开关的玻璃管连接。打开开关使两容器连通，并设过程中温度不变，求容器中的压强。

解：设气体的摩尔质量为μ，质量分别为M1和M2，由理想气体方程有

p1V1?M1?1RT p2V2?M2?2RT

相通合并后气体压强相同，总质量为M1+M2，总体积为V1+V2，应用理想气体方程有

p(V1?V2)?M1?M2?RT?p1V1?p2V2

?p?p1V1?p2V2

V1?V2

4．在推导理想气体动理论基本方程时，什么地方用到了平衡态的条件？什么地方用到

15

了理想气体的假设？什么地方用到了统计平均的概念？

简答：考虑分子速度无宏观定向运动、运动分组时用到了平衡态的条件，讨论容器体积、分子的平均冲量时用到了理想气体假设（分子自身线度忽略、分子除碰撞瞬间外无相互作用力），对所有分子的集体作用进行叠加时用到了统计平均的概念。

5．将理想气体压缩，使其压强增加1.013×104Pa,温度保持在27℃，问单位体积内的分子数增加多少?

解：由理想气体压强公式p?nkT有

?p1.013?10424?3?n???2.45?10m ?23kT1.38?300?10

6．一容器贮有压强为1.33Pa,温度为27℃的气体,(a)气体分子平均平动动能是多大? (b)1cm3中分子的总平动动能是多少?

解：气体分子的平均平动动能为

133mv2?kT??1.38?10?23?300?6.23?10?21J 2221pV33平均总动能为Ek?nmv2??kT??1.33?10?6?2.0?10?6J

2kT22

7．大瓶容积为小瓶容积的两倍，大瓶中理想气体的压强为小瓶中同种理想气体的一半，它们的内能是否相等？为什么？

答：理想气体内能为E?MiMRT，将理想气体方程pV?RT代入，有 ?2?ipV 2pV乘积相等，同种气体自由度相等，所以内能相等。

E?

8．一容积V=11.2×10-3m3的真空系统在室温（23℃）下已被抽到p1=1.33×10-3Pa。为了提高系统的真空度，将它放在T =573K的烘箱内烘烤，使器壁释放吸附的气体分子。如果烘烤后压强增为p2=1.33Pa,问器壁原来吸附了多少个分子？

n1?解：由理想气体压强公式

p1p n2?2 kT1kT2p?nkT

1?p2p1?11.33?300?1.33?10?3?57320??n?n2?n1?????1.7?10 ?23??k?T2T1?1.38?10300?573N??n?V?18.8?1017

16

9．温度为27℃时，1g氢气、氦气和水蒸汽的内能各为多少？

解：氢气、氦气和水蒸汽分别为双原子、单原子和三原子分子，其自由度分别为5、3、

Mi?RT有 ?26。根据内能定义E?EH2?EHeEH2O

15??8.31?300?3.1?103J 2213???8.31?300?9.35?102J 4216???8.31?300?4.16?102J 16210．计算在T=300K时，氢、氧和水银蒸汽的最概然速率、平均速率和方均根速率。

解：最概然速率vp?2RT8RT3RT，平均速率 v?，方均根速率v2?。 u???代入相关数据：

vpH2?vH2?2vH?22?8.31?3003?1?1.58?10ms ?32?108?8.31?3002?1?1.76?10ms ?3??2?103?8.31?3003?1?1.98?10ms ?32?102?8.31?300?3.95?102ms?1 ?332?108?8.31?300?4.45?102ms?1 ?3??32?10vpO2?vO2?2vO?23?8.31?300?4.83?102ms?1 ?332?102?8.31?300?1.58?102ms?1 ?3200.6?108?8.31?3002?1?1.78?10ms ?3??200.6?10vpHg?vHg?2vHg?3?8.31?3002?1?1.93?10ms ?3200.6?10

11．某些恒星的温度达到`108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。试求：(a)质子的平均平动动能是多少电子伏特？(b)质子的方均根速率有多大？

解：质子可以看作质点，自由度为3。单个质子的平均平动能为

33Eki?kT??1.38?10?23?108?2.07?10?15J?1.29?104eV

2217

v2?3?8.31?3006?1?1.57?10ms ?271.67?10

12．真空管中气体的压强一般约为1.33×10-3Pa。设气体分子直径d = 3.0×10-10m。求在27℃时，单位体积中的分子数及分子的平均自由程。

解：由理想气体压强公式有

p1.33?10?317?3n???3.21?10m ?23kT1.38?10?300??

12?dn2?12?(3.0?10?102)?3.21?1017?7.79ms?1

13．一矩形框被可移动的横杆分成两部分，横杆与框的一对边平行，长度为10cm。这两部分分别蒙以表面张力系数为40×10-3和70×10-3N/m的液膜，求横杆所受的力。

解：表面张力与表面张力系数关系为F??l，考虑液膜为双面有F?2?l，则横杆所受力为F?2?70?10?3?0.1?2?40?10?3?0.1?60?10?3N

14．油与水之间的表面张力系数为18×10-3N/m，现将1g的油在水中分裂成直径为2×10-4cm的小滴，问所作的功是多少（假设温度不变，已知油的密度为0.9g/cm3）？

解：一个小油滴表面能为Ei?S??4?r2?N

分裂过程中质量不变，一个大油滴可以分裂成的小油滴个数

MN??Mi1?10?3?2.7?1011 4900??r33所需能量为E?Ei?N?4?(1.0?6)2?18?10?3?2.7?1011?6.1?10?2J。

由于一个大油滴的表面能远小于分裂后的表面能，忽略大油滴的表面能，故破碎一个大油滴所需能量为6.1?10?2J。

15．在水中浸入同样粗细的玻璃毛细管，一个是直的，另一个是顶端弯曲的。水在直管中上升的高度比弯管的最高点还要高，那么弯管中是否会有水不断流出？为什么？

答：水与玻璃浸润产生弯曲液面，此弯曲液面产生的附加压强使毛细管中液面上升。当水上升到毛细管管口时，弯曲液面的曲率发生改变，附加压强变小，所以水不会继续上升或向管口处继续流动。

18

第六章 静电场 习题解答

1．真空中在x-y平面上，两个电量均为10-8C的正电荷分别位于坐标 (0.1, 0) 及(－0.1, 0)上，坐标的单位为m。求： (a) 坐标原点处的场强； (b) 点 (0, 0.1) 处的场强。

解：设E1，E2为两点电荷产生的场强，其合场强为

E=E1+E2

(a)

在原点处，E1与E2的大小相等，方向相反，即：

E=E1＋E2=0

故合场强为零。

q10?8?84.5?10N/C (b) 此时 E1=E2===22-124πε0r?4π?8.85?10??2?0.1?故合场强的大小：

E=2E1cos450=6.36?103V/m

方向为沿Y轴正方向。

2. 设匀强电场的大小为3×105 V/m，方向竖直向下。在该匀强电场中有一个水滴，其上附有10个电子，每个电子带电量为e =－1.6×10-19C。如果该水滴在电场中恰好平衡，求该水滴的重量。

解：设水滴重量为G,则由力的平衡得

G=qE=4.8?10?13N

3．真空中在x-y平面上有一个由三个电量均为＋q的点电荷所组成的点电荷系，这三个点电荷分别固定于坐标为(a, 0) 、(－a, 0)及(0, a)上。(a) 求y轴上坐标为(0, y)点的场强 (y＞a)；(b) 若y＞＞a时，点电荷系在(0, y)点产生的场强等于一个位于坐标原点的等效电荷在该处产生的场强，求该等效电荷的电量。

解：(a) 根据电荷分布的对称性，在点（o,y）处（y>a）的合场强的大小为

E=

方向沿y方向。

19

2qy224πεo??a?y??32?q 24πεo(y?a)(b) 当y>>a时

E=

故等效电量为3q。

4．空中均匀带电直线长为2a，其电荷线密度为?，求在带电直线的垂直平分线上且与带电直线相距为a的点的场强。

解：由对称性可得(r?R) 令cos??a，则可得：

(a2?l2)1/2?λ2λ4E＝＝ cos?d?4πε0a2πε0a?03q

4πε0y2

5. 真空中一个半径为R的均匀带电圆环，所带电荷为q。试计算在圆环轴线上且与环心相距为x处的场强。

解：圆环电荷线密度为??为?，cos??x

(R2?x2)1/2q2?R，则dE??dl4??0(R2?x2)a，a为单位向量，与轴线夹角

且E??dE，由对称性得合场强方向在轴线方向上，且当ｑ为正时，场强由圆心指向该点，反之相反。

大小为E??

6. 上题中设均匀带电圆环的半径为5.0cm，所带电荷为5.0×10-9C，计算轴线上离环心的距离为5.0cm处的场强。

解：利用上题公式： E＝

7. 真空中长度为l的一段均匀带电直线，电荷线密度为?。求该直线的延长线上，且与该段直线较近一端的距离为d处的场强。

解：长度元dx上的电荷dq??dx，它在该点产生的场强为：

qx＝6.36?103V/m，方向沿轴线，由圆心指向该点。 223/24??0(x?R)2?R?xdl4??0(R2?x2)3/20?qx 223/24??0(R?x) 20

空间。设S = 200cm2，d = 5.00mm，d1 = 2.00mm， ?r?= 5.00，?r?= 2.00，求(a)该电容器的电容；(b) 如果将380V的电压加在该电容器的两个极板上，那么第一层电介质内的场强是多少？

解：(a)此时电量不变， q??C?1.2?10?4C

EEq?0?0 S为极板，插入电解质后，场强 E??0?rS?r2 （b）此时电压不变，插入电解质后，电容 Cb??rC?2C

?441C0 于是电量 qb??Cb?2?C?2.?2qq??E0，故场强不变。 此时场强 E??0?rS?0S

22. 三个电容器其电容分别为C1=4?F，C2=1?F，C3=0.2?F。C1和C2串联后再与C3并联。求(a)总电容C；(b)如果在C3的两极间接上10V的电压，求电容器C3中储存的电场能量。

解：未插入金属板时的电场能：

q2?drq22W?q/2C0 W??dW??02?R8??0r8??0R插入金属板后，因电量不变，则金属板间的场强不变，则两极板间的电势差为：

q12qU?(d?d)?，

?0S33?0Sq3?S3则此时 C??0?C0

U2d2q22?W0 电场能 W?2C3

23. 有一平行板电容器，极板面积为S，极板间的距离为d，极板间的介质为空气。现将一厚度为d/3的金属板插入该电容器的两极板间并保持与极板平行，求(a)此时该电容器的电容；(b) 设该电容器所带电量q始终保持不变，求插入金属板前后电场能量的变化。

? 解：该点场强为 E?

2??0?rr1?22?1.995?10?6J/m3 故电场能体密度为 ???0?rE?2228??0?rr

24. 一个无限长均匀带电直线的电荷线密度为?=1.67×10-7C/m，被相对电容率?r=5.00的无限大均匀电介质所包围，若a点到带电直线的垂直距离为2m，求该点处的电场能量密度。

解：距球心为r(r?R)处的场强为

26

E?q4??0r2

12则在半径为ｒ厚度为dr的同心薄球壳中的电场能为：

q2dW??dV?dr 28??0r电场中储存的能量

q2?drq2 W??dW??2?R8??0r8??0R

25. 真空中一个导体球的半径为R，带有电荷为q，求该导体球储存的电场能量。 解： 该处的电场能体密度

???0E2

qdqq2 W??Vdq???4??R8??R0000本题也可用对电场能量密度积分的方法（方法见下题），结果是一样的。

26. 一个半径为R的导体球带电为q，导体球外有一层相对电容率为?r的均匀电介质球壳，其厚度为d，电介质球壳外面为真空，充满了其余空间。求(a)该导体球储存的电场能量；(b)电介质中的电场能量。

解：电场能量等于电场能量密度对所考虑空间的积分，题中所给各处电场为： 导体内： E=0； 电介质球内：E?q2qq4??0?rrq电介质球外：E?； 24??0rR；

11(a)：W???0?rE2dV???0?rE24?r2dr?220R?d?R11?0?rE24?r2dr???0E24?r2dr 22R?d?11q2= (?)?8??0?rRR?d8??0(R?d)(b)

q

27

第七章 直流电路

习题解答

1．把截面相同的铜丝和钢丝串联起来，铜的电导率为5.8?107Sm，钢的电导率为

0.2?107Sm，横截面积为2mm2，如通以电流强度为1?A的恒定电流，求铜丝和钢丝中的

电场强度。

解：铜丝中的电场强度E1??I??8.6?10?9V/m ?1?1S钢丝中的电场强度E2?

?I??2.5?10?7V/m ?2?2S2．平板电容器的电量为2?10?8C，平板间电介质的相对介电常数为78.5，电导率为

2?10?4Sm，求开始漏电时的电流强度。

解：电介质中的场强为E?q?0?rS

则电流密度为：???E??q ?0?rS漏电时的电流强度I??S?

?q?5.76?10?3A ?0?r3．一个用电阻率为?的导电物质制成的空心半球壳，它的内半径为a，外半径为b，求内球面与外球面间的电阻。

解：厚为dr，半径为ｒ的薄同心半球壳的电阻为dR??则所求电阻为R??dR?

4．两同轴圆筒形导体电极，其间充满电阻率为10?m的均匀电介质，内电极半径为

dr 22?r?2??R2R1dr?11?(?) 2r2?ab10cm，外电极半径为20cm，圆筒长度为5cm。(a)求两极间的电阻；(b)若两极间的电压为8V，求两圆筒间的电流强度。

解：设内圆筒半径为R1，外圆筒半径为R2，圆筒长为Ｌ。电阻率为?，则半径为ｒ，长为l厚度为dr的薄同心圆筒的电阻为：

28

dR??dr,R1?r?R2 2?rlR2?Rdr??ln?22?

2?l?Rr2?lR121电极间的电阻为R??dR?两筒间电流强度为I?

U8??0.36A R225.图7-3中E1?24V，r1?2?，E2?6V，r2?1?，R1?2?，R2?1?，R3?3? 求：(a)电路中的电流；(b)a、b、c和d点的电势；(c)Uab和Udc。

解：(a)电路中电流为I? (b) 因ｅ接地 Ue?0

a点电势为：Ua?Uae?IR2?2V

b点电势为：Ub?Ube?IR2?Ir1??1??18V c点电势为：Uc?Ucb?Ube?IR1?Ub??14V d点电势为：Ud?Ude??IR2??6V (c) Uab??1?Ir1?20V，Udc??2?Ir2?8V

6.图7-4中E1?12V，r1?3?，E2?8V，r2?2?，E3?4V，r3?1?，R1?3?，

R2?2?，R3?5?，I1?0.5A，I2?0.4A，I3?0.9A。计算Uab、Ucd、Uac和Ucb。

5 解： Uac?I1R1?Ir2?1(??)?11V?3(???2)??6 Ucb??I2r2?IR2?2Ir23VUab?Uac?Ucb?9V Ucd?I3R3?4.5V

?1??2r1?r2?R1?R2?R3?2A

7．图7-5中 E1?4V，r1?2?，E2?4V，r2?1?，E3?6V，r3?2?，

E4?2V，r4?1?，E5?0.4V，r5?2?，R1?3?，R2?4?，R3?8?，R4?2?，R5?5?，

29

计算Uab、Ubc、Uad、Uac和Ued。

?????解：?1aR3?3bR2?2R1环路电流I?123r1?R3?r3?R

2?r2?R?0.1A，方向逆时针。1则 Uab?I(R3?r3)??3?V7 Ubc?I(R2?r2)??2??3.5V Uad?Uab?Ubd?Uab??4?9V Uac?Uab?Ubc?3.5V Ued???5?IR2??4?1.2V

8．图7-6中E1?6V，r1?0.2?，E2?4.5V，r2?0.1?，E3?2.5V，r3?0.1?，R1?0.5?，R2?0.5?，R3?2.5?，求通过电阻R1、R2、R3的电流。

解：通过R1,R2,R3的电流为I1,I2,I3，方向如书中的图。 则由基尔霍夫定律得：

I1R1?I2R2?I3R3?0

??2??1?I1R1?(I1?I2)r2?(I1?I3)r1 ??3??2?I2R2?(I2?I3)r3?(I1?I2)r2

则可解得I1?2A,I2?3A,I3?1A，均为正值，表示电流方向与假设方向相同。

9．图7-7中，已知支路电流I13A，I11?2?2A。求电动势E1，E2。

解：?2?I2(r2?R2)?I3R3?9V

?1?I1(r1?R1)?I3R3?6V

10．求图7-8中的未知电动势E。 解：I2?I1?I3

?2??I2(r2?R2)?I3R3

30

故 I3??109A 又 ?1??2?I(1r?1R)?1I(2?r2R )故 ?641?3V

11．直流电路如图7-9所示，求a点与b点间的电压Uab。 解： I?12?810?5?0.5?0.5?0.25A

Uab?0.25(5?0.5)?(4?8)?5.37V

12．直流电路如图7-10所示，求各支路的电流。

解：设左右侧电池电动势分别为?3,?1，则由基尔霍夫定律得：

?1??3?I1?1?(I1?I2)?2?I3?1??

1?3?I1?1?I2?3?(I1?I2?I3)?2?I3?1?1?I1?1?I2?3 则可得I561?41A,I??3641A,I1456203423??41A,I1?41A,I1?I2?41A,I1?I2?I3?41A

13．在图7-11中，要使Ib?0，试问R1的值应为多少？

证明：根据基尔霍夫定律，

I1R?IRi??1 I2R?IRi??2I

3R?IRi??3I?I1?I2?I3由以上各式得IR?3IRi??1??2??3

(a) 当R?1??2??3i?R，4IR??1??2??3，即U?IR?4

(b) 当RiR，IR??1??2??3，则U?IRi?RiR(?1??2??3)

14．蓄电池E2和电阻为R的用电器并联后接到发电机E1的两端，如图7-12

31

所示，箭头表示各支路中的电流方向。已知E2?108V，r1?0.4?，r2?0.2?，I2?10A，

I1?25A，试确定蓄电池是在充电还是在放电？并计算E1、I和R的值。

解：根据基尔霍夫第二定律

IR1?R2(I?Ib)?6R2(I?Ib)?0.7又Ib?0，故

I?7?10?5A

R1?76k?

15．图7-13的电路中含三个电阻R1?3?，R2?5?，R3?10?，一个电容C?8?F，和三个电动势E1?4V，E2?16V，E3?12V。求：(a)所标示的未知电流；(b)电容器两端的电势差和电容器所带的电量。

解：(a)由基尔霍夫定律得

I1?I2?I3

?1??2?I2R2?I1R1

0?I2R2?I3R3

则可得I1?1.89A,I2??1.26A,I3?0.63A 回路中存在电容器相当于断路，故I4?0

(b) 电容器两端电压Uc??3?I3R3?5.7V

则所带电量为q?CUc?4.56?10?5C

16．温差电偶与一固定电阻和电流计串联，用来测量一种合金的熔点，电偶的冷接头放在正溶解的冰内，当电偶的热接头相继地放入在100C的沸水和327C的熔化的铅中，电流计的偏转分别为76和219分度，如果将热接头放在正熔化的该合金中，则电流计偏转为

175分度。设温差电动势和温度的关系遵守

E?a(T1?T2)?b(T1?T2)2

求该合金的熔点。

32

12解：不论热接头处于何种温度下，热电偶电路中的电阻值不变，则可设??kI，而

I??M,M为偏转分度。即??CM,C为常数。则原方程可写成

1CM?a(T1?T2)?b(T1?T2)

2带入数值，得

176C?100a?1002b2

1219C?327a?3272b2ab?0.80,??0.00079 CC故当M＝175时， 解得

1175?0.80T??0.00079T2

24（T?17760C?3270C舍去） 解得 T?249.0C

17．当冷热接头的温度分别为0C及tC时，康铜与铜所构成的温差电偶的温差电动势可以用下式表示：

E(?V)?35.3t?0.039t2

今将温差电偶的一接头插入炉中，另一接头的温度保持0C，此时获得温差电动势为

28.75mV，求电炉的温度。

解：将已知值带入方程，得

t?4.6?028.75?103?35.3t?0.039t2

解得 t?516.70C（另一值为负值，舍去）

18．使RC电路中的电容器充电，试问要使这个电容器上的电荷达到比其平衡电荷（即

t??时电容器上的电荷）小1.0％的数值，必须经过多少个时间常量的时间？

解：由q?Q(1?e?t/RC)及q?0.99Q得：

e?t/RC=0.01

t/RC?4.6

t?4.6?0

故需经4.6个时间常数的时间。

33

第八章 磁场 习题解答

1. 一个速度为v?5.0?107m?s-1的电子，在地磁场中垂直地面通过某处时，受到方向向西的洛仑兹力作用，大小为3.2?10?16N。试求该处地磁场的磁感应强度。 解： 电子电量大小为1.6×10-19C，该处磁感应强度大小为

f3.2?10?16B???4.0?10?5T ?197qv1.6?10?5.0?10 因电子带负电垂直向下运动，所以B的方向向北。

2. 几种载流导线在平面内分布(图8-1)，电流均为I，求他们在O点的磁感应强度。 解： (a) O点的磁感应强度等于载流圆环与无限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

载流圆环在圆心O处的磁感应强度：B1??0I2R, 方向为垂直图面指向外；

无限长直导线在圆心O处的磁感应强度：B2?故：BO?B1?B2，BO?B1?B2??0I，方向为垂直图面指向外。 2?R?0I(1??)，方向为垂直图面指向外。 2?R(b) O点的磁感应强度等于两段半无限长直载流导线与1/4载流圆环在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

由于O点在其中一段半无限长直载流导线的延长线上，所以该半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度B1?0；

另一段半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B2?垂直图面向外；

1/4载流圆环在O点产生的磁感应强度：B3?故：BO?B1?B2?B3，BO?B1?B2?B3??0I1?0I，方向为??2?R24?R?0I2R?1?0I，方向为垂直图面指向外。 ?48R?0I(??2)，方向为垂直图面指向外。 8?R(c) O点的磁感应强度等于两段半无限长直载流导线与1/2载流圆环在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

上半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B1?图面向外；

下半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B2?

?0I1?0I??，方向为垂直2?R24?R?0I1?0I??，方向为垂直2?R24?R34

图面向外；

1/2载流圆环在O点产生的磁感应强度：B3?故：BO?B1?B2?B3，BO?B1?B2?B3?

3. 将通有电流强度I的导线弯成如图8-2所示的形状，组成3/4的圆 (半径为a ) 和3/4 的正方形 (边长为b )。求圆心O处的磁感应强度。

解：O点的磁感应强度等于3/4载流圆环与四段有限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

由于O点在两段有限长直载流导线的延长线上，故它们在O点所产生的磁感应强度均为零，即B1?B2?0。

另两段有限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的方向均为垂直图面指向外，大小分别为：

B3??0I2R?1?0I，方向为垂直图面指向外。 ?24R?0I(??2)，方向为垂直图面指向外。 4?R?0I?I?32?0I， (cos?1?cos?2)? 0(cos?cos?)?4?b4?b248?bB4??0I?I??2?0I。 (cos?1?cos?2)?0(cos?cos)?4?b4?b428?b2a48a3/4载流圆环在O点所产生的磁感应强度：B5??0I?3?3?0I， 外。

故：BO?B1?B2?B3?B4?B5，BO?B1?B2?B3?向外。

方向为垂直图面指向

?0I3?2(?)，方向为垂直图面指4?2ab4. 两根长直导线互相平行地放置在真空中，如图8-3所示 ，其中通以同方向的电流I1

= I2 = 10 A。已知r = 1.0 m。求图中M、N点的磁感应强度。

解：（1）I1在M处产生的磁感应强度：B1??0I1，方向沿I2M由M点指向外；

22?rI2在M处产生的磁感应强度： B2??0I1，方向由M点指向I1。

22?rB1、B2大小相等，方向夹角为900，故M处的磁感应强度为

?0I12?0I14??10?7?10BM?2B1cos?2???2.0?10?6 T， ?方向为水平向左。

422?r2??1.022?r?

35

（2）I1在N处产生的磁感应强度：B1?I2在N处产生的磁感应强度：B2??0I1，方向由N点指向M点； 2?r?0I1，方向沿MN由N点指向外。 2?rB1、B2大小相等，方向相反，故N处的磁感应强度BN?B1+B2，BN?B1?B2?0。

5. 有一无限长直导线，载有5.0 A电流，试用安培环路定理计算与此导线相距 10 cm 的P点的磁感应强度。

解：选过P点作半径为R的圆环为积分路径，积分路径的绕行方向与电流方向成右手螺旋，根据安培环路定理：

?LB?dl??0?Ii

?LBcos0dl??0I

?0I4??10?7?5.0B???1.0?10?5T

2?R2??0.1根据右手螺旋法则可知电流与磁感应线成右手螺旋，P点的磁感应强度方向为磁感应线在该点的切线方向。

6. 已知一螺线管的直径为 2.0 cm，长为100 cm，匝数为 1000，通过螺线管的电流强度为 5 .0A。求通过螺线管每一匝的磁通量。

解：通电螺线管内磁场可看视为均强磁场，螺线管轴线上的磁感应强度：

N1000B??0nI??0I?4??10?7?5.0??6.28?10?3T，方向为沿轴线方向。

L1.00通过螺线管每一匝的磁通量：

????B?S?BScos0?Bd2?6.28?10?3??0.0202?1.97?10?6Wb

44

7. 两平行长直导线相距 40 cm (图8-5) ，每条导线载有电流I1 = I2 = 20 A，求：(a) 两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感应强度大小和方向；(b) 通过图中斜线所示面积的磁通量。

解：(a)两长直导线到A点的距离相等，故电流I1、I2产生的磁感应强度在A点大小相等，方向相同。

?0I4??10?7?20?4.0?10?5 T，方向垂直图面指向外。 B1?B2?， BA?2B1?2?2??0.202?R(b) 因长直导线在其周围产生的磁场为非均匀磁场，故在距长直导线为x处的矩形面积

36

?0I。 2?xa?L?I?0I101?1??Bx?dS??hdx??hdx，

SS2?xa2?xa?L?I?I02同理， ?2??Bx?dS??02hdx??hdx

SS2?xa2?x 因电流I1、I2在此处产生的磁感应强度方向相同。所以有 中取一小面积元ds?hdx ，在此处的磁感应强度为Bx????1??2?2?

a?La?0I1?ILhdx?201hln(1?)2?x2?a

4??10?7?200.2 ?2??0.25ln(1?)2?0.1 ?2.2?10?6Wb

8. 一长直导线载有电流30A，离导线30cm处有一电子以速率2.0?107m?s?1运动，求以下三种情况作用在电子上的洛仑兹力。

（1）电子的速度v平行于导线； （2）速度v垂直于导线并指向导线；

（3）速度v垂直于导线和电子所构成的平面。 解：长直载流导线周围的磁感应强度大小为B?系。

运动电子在磁场中所受的洛仑兹力：f?qv?B??ev?B

（1）v平行于导线，则v与B垂直

?0I，方向与电流的方向成右手螺旋关2?r?0Iev4??10?7?30?1.6?10?19?2.0?107?17 f?evBsin???6.4?10N

22?r2??30?10?2?方向：若v与I同向，则F垂直于导线指向外面；若v与I反向，则F垂直指向导线。

（2） 此时v与B互相垂直，所以洛仑兹力大小同上，f?6.4?10?17N，方向与电流的方向相同。

（3）此时v与B同向，洛仑兹力f?0。

9. 电量为2.0?10?4C、质量为 2.0?10?9g的带电粒子，在磁感应强度为1.0?10?3T的匀强磁场中运动，其初速度为1.0?106cm?s?1，方向与磁场成 30?，求其螺旋线轨道的半径是多少？

37

mv2.0?10?12?1.0?104sin??sin30o?5.0?10?2m 解：螺旋线轨道的半径为：R??4?3qB2.0?10?1.0?10

10. 电子在磁感应强度B?2.0?10?3T的匀强磁场中，沿半径R = 5.0 cm的螺旋线运动(如图8-6)，螺距 h = 31.4 cm。求电子的速度。

解：螺旋线轨道的半径和螺距分别为：

mv2?mR?sin?，h?vcos?

qBqB即 qBR?vmsin?——（1）

qBh?mvcos?——（2） 2?R5.0?（1）÷（2）得 tg???2???2?3.1?4，1??

h31.44把???4代入（1）式便可求出电子的速度：

qBR1.6?10?19?2.0?10?3?5.0?10?27?1v=??2.5?10m?s

msin?9.1?10?31?2/2

11. 利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度。设一用金属材料制成的霍尔元件，其厚度为0.15mm，载流子数密度为1.0?1025m?3，将霍尔元件放入待测的匀强磁场中，测得霍尔电势差为40?V、电流为10mA，求待测磁场的磁感应强度。

解：霍尔电势差为 Uaa??1IB? nqdnqdUaa?1.0?1025?1.6?10?19?0.15?10?3?40?10?6??0.96T 则待测磁场的磁感应强度：B?I10?10?3

12. 电子在磁场和电场共存的空间运动，如图8-7所示，已知匀强电场强度

E?3.0?102N?C?1，匀强磁场B?2.0?10?3T，则电子的速度应为多大时，才能在此空间作

匀速直线运动？

解：当电子受到的电场力和洛仑兹力大小相等、方向相反时才能作匀速直线运动，由

eE?eBv

E3.0?1025?1?1.5?10m?s得： v??

B2.0?10?3

38

13. 一无限长载流直导线通有电流I1，另一有限长度的载流直导线AB通有电流I2，AB长为l。求载流直导线AB与无限长直载流导线平行和垂直放置，如图8-8(a)、(b)所示时所受到的安培力的大小和方向。

解：(a) 载流直导线AB与无限长载流直导线平行放置时，距无限长载流直导线为a处

?I的AB的磁感应强度大小均为B?01，方向垂直图面向里。

2?a?II载流直导线AB所受到的安培力的大小为F?I2Bl?012l，方向垂直AB水平向右

2?a(b) 载流直导线AB与无限长载流直导线垂直放置时，AB上各处的磁感应强度不同。

以长直导线为原点作OX坐标轴，根据安培环路定律，距长直导线为x处的磁感应强度B??0I1 2?x该处电流元Idx所受安培力的大小为 df?I2Bdx 整条载流直导线AB所受合力为：

a?la?l?II?II?IIla?l012 F??df??I2Bdx??dx?012lnxa?012ln(1?)

aa2?x2?2?a方向垂直AB竖直向上。

14. 在图8-9中，一根长直导线载有电流I1=30A，与它同一平面的矩形线圈ABCD载有电流I2=10A，已知d=1.0cm，b=9cm，l=20cm。求作用在矩形线圈的合力。 解：根据上题的结果可得： FAB?FCD??0I1I2ln(1?b)，

2?d?0I14??10?7?30 FAD??10?0.20?1.2?10?3N； I2l?2??0.0102?dFBC4??10?7?20?10?0.20?1.2?10?4N。 ?I2l?2??(0.01?0.09)2?(d?b)?0I1 根据安培定律，F AB方向竖直向上，FCD方向竖直向下，FAD方向水平向左，F BC方向

水平向右。

因为FAB??FCD，所以作用在矩形线圈的合力为：

F?FAD?FBC?1.2?10?3?1.2?10?4?1.08?10?3N，方向水平向左指向导线。

15. 长方形线圈abcd 可绕y轴旋转，载有10A的电流，方向如图8-10所示。线圈放在磁感应强度为0.2 T、方向平行于x轴的匀强磁场中。问：( a ) 线圈各边受力的大小和方

39

向；( b )若维持线圈在原位置时，需要多大力矩？( c )线圈处在什么位置时所受磁力矩最小？

解：( a ) Fab?BIl1sin90??0.2?10?0.08?0.16N，z方向；

Fbc?BIl2sin30??0.2?10?0.06?0.5?0.06N，y方向； Fcd?Fab?0.16N，-z方向；

Fda?BIl2sin(180??30?)?0.2?10?0.060?0.5?0.06N，-y方向。

( b ) 线圈磁矩M?pm?B

M?Il1l2Bsin(90??30?)?10?0.08?0.06?0.2?sin120??8.31?10?3N?m，方向为+y方向。

要维持线圈在原位置时，则外加的力矩必须大小相等，方向相反。即需要的力矩为

8.31?10?3N?m，-y方向。

(c) 当pm与B方向相同或相反时，即线圈的法线方向与B的夹角为0或 ?时，所受的力矩M?0，最小。

16. 如图8-11所示为一正三角形线圈，放在匀强磁场中，磁场方向与线圈平面平行，且平行于BC 边。设I = 10A，B = 1T，正三角形的边长l = 0.1m，求(a)线圈所受磁力矩的大小和方向；(b)线圈将如何转动？

解：(a) 线圈磁矩M?pm?B

13?0.1?4.3?10?2N?m，方向向上。 M?ISBsin90??10??0.1?22(b) 当

pmpm与B方向相同时，所受的力矩最小。故线圈将绕OO′轴逆时针方向转动至

与B方向相同。

17. 一个具有铁心的螺绕环，每厘米绕有10匝导线，当通以2.0 A的电流时，测得螺

绕环内部的磁感应强度B为1.0 T。试计算：( a ) 放入或移去铁心两种情况下的磁场强度；( b ) 铁心的相对磁导率。

解：(a) 磁场强度H与磁介质无关，不管有无铁芯，环内的磁场强度均为：

N10H?I??2.0?2.0?103A?m?1

L0.01B1.0??398 (b) ?r??73?0H4??10?2.0?10

40

第九章 电 磁 感 应

习题解答

1．线圈在长直载流导线产生的磁场中运动，在下列图示的哪些情况下，线 圈内将产生感应电流？并请标出其方向。

(a)线圈在磁场中平动（如图9-1）

(b)线圈在磁场中绕oo′轴转动（如图9-2） 2．长20cm的铜棒水平放置（如图9-3），绕通过其中点的竖直轴旋转，转速为每秒5圈。

竖直方向上有一均匀磁场，磁感应强度为1.0?10?2T。求棒的一端A和中点间的感应电势差及棒的两端A、B间的感应电势差。

解：已知L=20cm，转速n=5, B?1.0?10?2T 求?AO和?ABd??2?nxBdx (0?x?0.1L )2所以：?AO?0.12?220.1?32?nxBdx??nxB?3.14?5?10?x|?1.57?10(V) 0?0而?AB?

?0.1?2?nxBdx??nx2B?3.14?5?10?2?x2|0.1?0.1?0(V)

3．如图9-4所示，铜盘半径R?50cm，在方向为垂直盘面的均匀磁场中，沿逆时针方向绕盘中心转动，转速为n?100? rads。设磁感应强度B?1.0?10?2T。求铜盘中心和边缘之间的感应电势差。

解： 半径方向上长度元产生的电势差为d??B2?ndx 故??2?nB?xdx?0.393

00.3

4．一长直导线AB，通有电流I?5A，导线右侧有一矩形线圈cdef（如图9-5）。图中

a?6cm，b?15cm，l?20cm。线圈共有N?1000匝，以速度v?3ms向右运动（速度方向与导线AB垂直）。求：(a)当线圈运动到如图所示位置时的感应电动势；(b)若线圈在如图所示的位置不动，导线AB中通以交流电I?5sin100?t A时，线圈中的感应电动势。

?I直流电在长直导线中形成的磁场B?0 r为离导线的距离

2?r解：(a)导线cd与导线ef不切割 即v?B与dl夹角为90度，故产生的电动势为零，对于cf有：

41

B??0I?I ?a?0lv 2?a2?a对于de段 有： ?I?IB?0 ?a??0lv

2?b2?b所以总电势

?0I114??10?7?5?0.2?311?1?N?a?N?b?Nlv(?)?1000?(?)?6?10?3V(b)由(a)

2?ab2?0.060.15知 B??0I5?0sin100?t r仍为离导线的距离 ?2?r2?rb由此可得单线框的磁通量????0I5?lsin100?tbldr??0ln 2?r2?aa5?lbdd?b??N0ln(sin100?t)??250N?0llncos100?t dt2?adta0.15代入数值得 ?2??250?1000?4??10?7?0.2lncos100?t??5.75?10?2(V)

0.6

?2??N5．设某线圈的自感系数L?0.5H，具有电阻R?5?，在下列情况下，求线圈两端的电压。

dI?0； dtdI(b)I?1A,?2As；

dtdI(c)I?0,?0；

dtdI(d)I?0,?2As；

dtdI（e）I?1A,??2As。

dtdI解：Uab?IR?L

dt(a)I?1A,

(a)Uab?5V (b)Uab?6V (c) Uab?0 (d)Uab?1V （e）Uab?4V

42

6．螺线管长为15cm，共绕120匝，截面积为20cm2，内无铁芯。当电流在0.1s内自5A减少为零，求螺线管两端的自感电动势。

解：对于空心螺线管，L??0n2V 其中n?所以 L?4??10?7?(N V为螺线管体积 l120244 )?20?10??0.15?2.41?10?H0.15dI0?5相应的感应电动势：???L??2.41?10?4??1.205?10?2V

dt0.1?0

7．一线圈的自感系数为5?10?2H，接上电源后，通过电流I?15sin100?t A。问线圈中感应电动势的最大值是多少？

dI解：?L??L??L15?100?cos100?t

dt则?Lm?L15?100??236V

8．如图9-6所示，线圈自感系数L?3.0H，电阻R?6.0?，电源电动势E?12V，线圈电阻和电源内阻均略去不计。求(a)电路刚接通时，电流增长率和自感电动势EL；(b)当电流I?1.0A时的电流增长率和A、B两端的电势差；(c)电路接通后经0.20s时电流的瞬时值；(d)当电流达到恒定值时，线圈中储有的磁场能量。

解：在RL回路中，有IR??(1?e所以

R?tL)

dI??IR ?dtLdI12?0?6.0dI(a) t=0s,I=0A时 ??4A/s ?L??L??3.0?4??12V

dt3.0dtdI12?1.0?6.0dI(b) I=1.0A 时 ??2A/s Uab?IR?L?1?6?3??2V12dt3.0dt(c) 由IR??(1?eR?tL6.0??0.2123.0) 可得I??(1?e)?0.659A

6.0(d) 电流稳恒后，自感现象消失 所以电流I?磁场能量 W?

?R?12?2A 6.0121LI??3.0?22?6J 229．一个线圈的电阻和电感分别为R?10?和L?58mH。当把电路接通加上电压后，经过多长时间，线圈中的电流将等于恒定电流值的一半？

解：I?I0(1?e

R?tL)

43

R?t11L当I?I0时，eL?，即t?ln2?4.0?10?3s

22R

10．电子感应加速器中的磁场在直径为0.5m的圆柱形区域内是均匀的。设这一磁场随时间的变化率为1.0?10?2 T/s。计算距离磁场中心为0.10m、0.50m、1.0m处各点的涡旋电场强度。

解：、用高斯定律可以求得介质中的电场强度 E介?Q 其中l为电缆长度 r为到轴心的距离 2?r?lbb所以电缆电势 U=?E介dr??aaQQbdr?ln 2?rl?2?l?aQ2?l? ?Ulnba112?l?电场能量 W电?CU2?(IR)2

22lnba?I介质中磁感应强度为：B?

2?r电缆间的电容为：C?b所以磁通量 ???BdS?a?lIbln 2?a自感系数 L???lb?ln I2?a12?lI2bln 磁场能量W磁?LI?24?aln令W磁?W电并简化得：R?

ba2?? ?11. 一电子在电子感应加速器中沿半径为1.0m的轨道上作圆周运动。如果它每转一周动能增加700ev，试计算电子轨道内磁通量及磁感应强度的平均变化率。

证明：设导线半径为R，导线内部某点到轴心距离为r，则r处的磁感应强度为

?0I'?0IB2B??r，?m?

2?2?r2?R2 44

Wm???mdV??VR01B22?rdr?2?02?0?R0?0I2?0I2(r)2?rdr? 2?R216?12．一环状铁芯，绕有线圈1000匝，环的平均半径r?8cm，环的截面积S?1cm2，铁芯的相对磁导率?r?500。试求：(a)线圈的自感；(b)当线圈通以1A电流时，磁场能量的总能量和磁场能量体密度。

解：对于RL回路， 有IR??(1?e(a)0.3秒后电功率 P??I?R?tL)

?2R(1?eR?tL10??0.33.02)?(1?e3.0)?0.569W

10R?tL210??0.33.02)?(1?e3.0)2?0.36W

10(b)电阻上的热功率 P热?RI?(c)电流恒定时 I?2?2R(1?e3.0?0.3A

R1011 磁场中的能量为：W磁?LI2??3.0?0.32?0.135J

22

??13．什么是位移电流？什么是全电流？位移电流和传导电流有什么不同？

答：位移电流不是电荷作定向运动的电流。变化电场，例如电容充电放电引起的电场变化，相当于一种电流，这种等效的电流我们称之为位移电流 全电流是指位移电流和传导电流之和。

位移电流和传导电流本质区别是电流是否发生定向移动，而表观的区别是通过导体时是否有热效应。

14．试证明：平行板电容器中的位移电流可写为

dU Id?Cdt式中，C是电容器的电容，U是两极板间的电势差。

dq证明：由电流定义得Id?，

dtdqdU又由电容器电容C? 得 Id?C

dUdt 45

第十章 光的波动性

习题解答

1. 将杨氏双缝实验的全套装置，一切相对位置不变地放在充有折射率为n的介质中，对干涉条纹有无影响？ 解：在杨氏双缝干涉中，有?x?D?x?D?b若放置在水中波长变为

? 于是条纹间距变为 n?nb即干涉条纹有变化，由于n一般大于1，故对实验产生影响为条纹变密。

2．在杨氏双缝实验中，如其中的一条缝用一块透明玻璃遮住，对实验结果有无影响？

答：使用玻璃遮住一条缝使得通过该缝的光线光程变化，从而使得干涉条纹的位置发生变化。另一方面由于D 到达光屏的光的波长以及缝宽不变所以条纹间距不变。

3．波长为690nm的光波垂直投射到一双缝上，距双缝1.0m处置一屏幕。如果屏幕上

21个明条纹之间共宽2.3?10-2m，试求两缝间的距离。

2.3?10?2解：已知??690nm D=1.0m，相邻两条纹的间距为 ?x? 求缝宽b

206.9?10?7?4?1.0?6?10m ?x?D 所以 b?D?22.3?10?xb20??

4. 在杨氏双缝实验装置中，若光源与两个缝的距离不等，对实验结果有无影响？ 答：有影响，会出现中央亮条纹不在中间位置，条纹不对称，而会偏离一定的角度，因为在到达双缝前，光程差已经存在。但由于相位关系固定，仍然可以观察到干涉。

5. 一平面单色光波垂直投射在厚度均匀的薄油膜上，这油膜覆盖在玻璃板上，所用光

=1.50，求油

源的波长可以连续变化，在500nm和700nm这两个波长处观察到反射光束中的完全相消干涉，而在这两个波长之间没有其它的波长发生相消干涉。已知n油=1.30、n膜的厚度。

解：欲符合干涉相消则：

玻璃

k1?1 （1） 2k?2?2?2en2?n12sin2i?22 （2）

22?1?2en2?n12sin2i?联立（1）（2）：

46

k2?2k1?1k? 欲使e最小 则需k1、k2 以及11最小。即取?1、?2的最小公倍数。 ?222?9175?010?7?2??1?1750nm。代入（1）或（2）即可得 e? ??6.73?102n22?1.30?1

6. 用白光垂直照射在折射率为1.58，厚度为3.8?10-4mm的薄膜表面上，薄膜两侧均为空气。问在可见光范围内，哪一波长的光在反射光中将增强？

2解：光程差：??2en2?n12sin2i??2?2n2e??2 当??k?时得到明条纹：

k?1时 ??2400nm

k?2时 ??800nm k?3时 ??480nm

即只有??480nm在可见光范围内。

7. 为了利用干涉来降低玻璃表面的反射，透镜表面通常覆盖着一层n =1.38的氟化镁薄膜。若使氦氖激光器发出的波长为632.8nm的激光毫无反射地透过，这覆盖层至少须有多厚？

632.8?10?9??1.146?10?7m 解：全透的条件为：2ne? 所以e?4n4?1.382??

8．单缝宽度若小于入射光的波长时，能否得到衍射条纹？ 解：能够得到 ，但光强相对较弱。

9．有一单缝宽度a = 2.0?10-4m，如垂直投射光为 ?=500nm的绿光，试确定? =1?时，

在屏幕上所得条纹是明还是暗？

解：由衍射公式：asin??k? 代入数据 得 k?asin??2?.0?41?0?75?10sin1?6.9?8 7?为奇数所以得到的是暗条纹。

10．?=589.3nm的钠黄光垂直照射一狭缝，在距离80cm的光屏上所呈现的中央亮带的

x D47

宽度为2.0?10-3m，求狭缝的宽度。

??? 有图可知：sin??解：由衍射公式 asin

D?589.3?10?9?0.8?4??4.71?10所以 a?m ?32.0?10x2

11．在双缝干涉实验中，若两条缝宽相等，单条缝（即把另一条缝遮住）的衍射条纹光答：光强分布按衍射图案分布，且明暗条纹位置有的与干涉位置相同有的不同。双缝

强分布如何？双缝同时打开时条纹光强分布又如何？

打开后，按干涉团分布，但由于两条缝的衍射，从而出现缺级现象。

12．衍射光栅所产生的?=486.1nm谱线的第四级光谱与某光谱线的第三级光谱相重合，

求该谱线的波长。

解：由光栅公式 asin??k? 知：k1?1?k2?2 代入数据得

k1?14?486.1?10?9?2???648.1nm

k23

13．有两条平行狭缝，中心相距6.0?10-4m，每条狭缝宽为2.0?10-4m。如以单色光垂

直入射，问由双缝干涉所产生的哪些级明条纹因单缝衍射而消失？

解：由于 dsin??k'? 时产生干涉明条纹。 asin??k?时 产生衍射暗条纹。

dk'k'6.0?10?4?3 所以 ? 代入数据：??4akk2.0?10所以合乎条件的3、6、9等级的明条纹消失。

14．用单色光照射光栅，为了得到较多级条纹，应采用垂直入射还是倾斜入射？ 答：光栅零级极大的位置处于等光程位置，当光线倾斜入射时零级位置偏向一方，从而

在另一方得到更多级数的条纹。注意：虽然可以得到更多级数的干涉条纹，但由于零级位置的改变，总条纹数目并不增加。

15．在X射线的衍射实验中，射线以30?的掠射角射在晶格常数为2.52?10-10m的晶体解： 由：2dsin??3? 代入数据：

2dsin?2?2.52?10?10sin30????8.4?10?11m

33上，出现第三级反射极大，试求X射线的波长？

48

16．自然光通过两个相交60? 的偏振片，求透射光与入射光的强度之比。

设每个偏振片因吸收使光的强度减少10%。

解：设透射光强为I2 入射光强为I1 则：

I2?所以

1I1cos260?2 2I21132?cos260(1??)2?()?(1?10%)?0.101 I12217．三个偏振片叠置起来，第一与第三片偏振化方向正交，第二片偏振化方向与其它两

片的夹角都是45?，以自然光投射其上，如不考虑吸收，求最后透出的光强与入射光强的百分比。

18．一束线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的双折射晶片上，光的振动面与晶片主截面的夹角为30?角。试求：透射出的“寻常光”与“非常光”的强度之比。

解：在双折射晶体中，o光光强为：Io?Icos2(90?30) e光光强：Ie?Icos230

解：由马吕斯定律得：

I2111?cos245cos245?()3? I12281IIcos(90?30)41 所以o??? 233IeIcos3042 19．线偏振光通过方解石能否产生双折射现象？为什么？

答：能够产生双折射现象，线偏振光在双折射晶体中各个角度的折射率也不尽相同。

当其正振动面与主截面有一定夹角时。仍然存在o光和e光。

21．石英晶片对不同波长光的旋光率是不同的，如波长为546.1nm单色光的旋光率为25.7?/mm；而波长为589.0nm单色光的旋光率为21.7?/mm。如使前一光线完全消除，后一种光线部分通过，则在两正交的偏振片间放置的石英晶片的厚度是多少？

解：在题设条件下，欲使d最小则：

49

20．有一束光，只知道它可能是线偏振光、圆偏振光或椭圆偏振光，问应如何去鉴别？ 答：用检偏振器，如果旋转检偏器，存在消光现象的为线偏振光。有光强变化但没有消

光现象的为椭圆偏振光。没有光强变化的为圆偏振光。

?1d?180 所以d?180/?1?180/25.7?7.004mm

此时?2d?21.7?7.004?151.99 光部分通过符合题意。 所以石英的最小厚度为7.004mm

22．某蔗糖溶液在20?C时对钠光的旋光率是66.4?cm3/g?dm。现将其装满在长为0.20m的玻璃管中，用糖量计测得旋光角为8.3?，求溶液的浓度。

旋光度公式为：???cl 代入??8.3、??66.4cm3/gdm、l?2dm得： 溶液浓度 c?

23．将光轴垂直于表面的石英片放在两偏振片之间，通过偏振片观察白色光源，问旋转答：如果石英片的光轴放置位置与入射光平行或垂直则仅出现消光现象。其他位置则出现色偏振。

24．光线通过一定厚度的溶液，测得透射光强度I1与入射光强度I0之比是1/2。若溶液的浓度改变而厚度不变，测得透射光强度I2与入射光强度I0之比是1/8。问溶液的浓度是如何改变的？

解：光的吸收定律

I111?e??c1l? 取自然对数得ln???c1l（1） I022I211?e??c2l? ln???c2l （2） I088??l?8.3?0.0625hcm?3

66.4?2其中的检偏器时将看到什么现象？

浓度改变后 联立（1）（2）得：

1c 2?8?3 所以溶液的浓度变为原来的三倍

c1ln12

ln

25．光线通过厚度为l，浓度为c的某种溶液，其透射光强度I与入射光强度I0之比是解：浓度改变之前：有光吸收定律：

I1I?e??cl 两侧取自然对数得ln1???cl（1） I0I01/3。如使溶液的浓度和厚度各增加一倍，这个比值将是多少？

同理浓度改变为2c，厚度变为2l时

50

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