2016中考数学复习专题—二次函数
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2016中考数学复习专题—函数二
知识点13、二次函数的定义
形如:y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)那么y叫做x的二次函数,它常用的三种基本形式。
一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0) 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)( a≠0,x1、x2是图象与x轴交点的横坐标) 知识点14、二次函数的图象与性质
bb4ac?b2,二次函数y=ax+bx+c(a≠0)的图象是以(?)为顶点,以直线y=?2a2a4a2
为对称轴的抛物线。
b4ac?b2当a>0,在x=?时,y有最小值,y最小值=,
2a4ab4ac?b2当a<0,在x=?时, y有最大值,y最大值=。
2a4a知识点15、二次函次图象的平移
二次函数图象的平移只要移动顶点坐标即可。
知识点16、二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点。
(1)与y轴永远有交点(0,c)
(2)在b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,A(x1,0)、B(x2,0)这两点距离为AB=|x1-x2|,(x1、x2是ax2+bx+c=0的两个根)。
在b2-4ac=0时,抛物线与x轴只有一个交点。 在b2-4ac<0时,则抛物线与x轴没有交点。 知识点17、求二次函数的最大值
b4ac?b2,常见的有两种方法:(1)直接代入顶点坐标公式(?)。 2a4a(2)将y=ax2+bx+c配方,利用非负数的性质进行数值分析。 两种方法各有所长,第一种方法过程简单,第二种方法有技巧。 【例题精讲】
例1、如图,直线y?x?m和抛物线y?x2?bx?c都经过点A(1,0),B(3,2). ⑴ 求m的值和抛物线的解析式;
⑵ 求不等式x2?bx?c?x?m的解集.(直接写出答案)
例2、抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点,(1)求出m的值并画出这条抛物线;(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标;(3)x取什么值时,抛物线在x轴上方?(4)x取什么值时,y的值随x的增大而减小?
1、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(—1,0)、 C(0,—3)两点,与x轴交于另一点B. (1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90°的点P的坐标.
y
x=1 B x A O C
2(m?1)x?(m?2)x?1?0(m为实数) x例2、已知:关于的一元二次方程
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
2y?(m?1)x?(m?2)x?1总过x轴m(2)在(1)的条件下,求证:无论取何值,抛物线
上的一个固定点;
2(m?1)x?(m?2)x?1?0有两个不相等的整xm (3)若是整数,且关于的一元二次方程
2y?(m?1)x?(m?2)x?1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式. 数根,把抛物线
0)B(1,,0)C(0,?2)三点. 7.如图,抛物线经过A(4,,
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM?x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
O B 1 ?2 C 4 A x y 二次函数的综合题及应用
【重点考点例析】
考点一:确定二次函数关系式
2
例1 (2013?牡丹江)如图,已知二次函数y=x+bx+c过点A(1,0),C(0,-3) (1)求此二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10,请直接写出点P的坐标.
思路分析:(1)利用待定系数法把A(1,0),C(0,-3)代入)二次函数y=x+bx+c中,即可算出b、
2
c的值,进而得到函数解析式是y=x+2x-3;
(2)首先求出A、B两点坐标,再算出AB的长,再设P(m,n),根据△ABP的面积为10可以计算出n的值,然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标.
点评:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,以及求点的坐标,关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式. 对应训练
2
1.(2013?湖州)已知抛物线y=-x+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0). (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线的顶点坐标.
考点二:二次函数与x轴的交点问题
2
例2 (2013?苏州)已知二次函数y=x-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关
2
于x的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根是( ) A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
22
思路分析:关于x的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x-3x+m(m为常数)的图象与x轴的两个交点的横坐标.
点评:本题考查了抛物线与x轴的交点.解答该题时,也可以利用代入法求得m的值,然后来求关于x
2
的一元二次方程x-3x+m=0的两实数根. 对应训练
2
2.(2013?株洲)二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示,则m的值是( ) A.-8 B.8 C.±8 D.6
2
考点四:二次函数综合性题目 2例4 (2013?自贡)如图,已知抛物线y=ax+bx-2(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且D(2,3),tan∠DBA= 1. 2(1)求抛物线的解析式; (2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值;
(3)在(2)中四边形BMCA面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.
思路分析:(1)如答图1所示,利用已知条件求出点B的坐标,然后用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)如答图1所示,首先求出四边形BMCA面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值; (3)本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解.如答图2所示,首先求出直线AC与直线x=2的交点F的坐标,从而确定了Rt△AGF的各个边长;然后证明Rt△AGF∽Rt△QEF,利用相似线段比例关系列出方程,求出点Q的坐标.
点评:本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等重要知识点,涉及考点众多,有一定的难度.第(2)问面积最大值的问题,利用二次函数的最值解决;第(3)问为存在型问题,首先假设存在,然后利用已知条件,求出符合条件的点Q坐标. 对应训练
2
4.(2013?张家界)如图,抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC. (1)求直线CD的解析式; (2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO; (4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
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