2016离散数学作业5答案

★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业5

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f,c}．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 所有结点的度数全为偶数 ． 5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿回路．

6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W?S ．

7．设完全图Kn有n个结点(n?2)，m条边，当n为奇数时，Kn中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足 e= v－1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1

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1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．． 答：不正确，图G是无向图，当且仅当G是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图G是否是连通的。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

答：错误。

因为图G为中包含度数为奇数的结点

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

G

答：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点bd各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图． 答：错误。若G是连通平面图，那么若v?3,就有e?3v?6， 而16>3×7－6，所以不满足定理条件，叙述错误。

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

答：正确。因为连通平面图满足欧拉公式。即：v?e?r?2。由此题条件知6-11+7=2成立。

三、计算题

1．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

答：（1） v1°

v2

° °v3

2

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v4° °v5

?00100??00110???（2） A(D)??11011?

??01101????00110??

（3） deg(v1)?1、deg(v2)?2、deg(v3)?4、deg(v4)?3、deg(v5)?2

（4） °v1

v2° °v3

v4° °v5

2．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵； （3）求出G权最小的生成树及其权值． b c

解：（1） 。 。

2 1 a。 6 4 2 1 3 。 。 e 5 d

?0?1?（2） A(D)??1??0??1

1101? 0011??0011?

?（3） b c 1101? 。 。 1110??3

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2 1 3

a。 1 。 。 e d 其权值为：7 3．已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．

答：(1)

1 2

7

5 3

(2) 权值为18。

4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

解： 65

17 48

5 12

17 31

2 3 5 7

权值为65。 四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：设a为G中任意一个奇数度顶点，由G定义，a仍为G顶点，为区分起见，记为a’, 则deg(a)+deg(a’)=n-1, 而n为奇数，则a’必为奇数度顶点。由a的任意性，容易得知结论成立。

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加使其成为欧拉图．

证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，则k是

k条边才能2 2

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偶数。又由欧拉图的充要条件是图G中不含奇数度结点。因此，只要在每对奇数度结点间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。故

k最少要加条边才能使其成为欧拉图。

2 2

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