63徐州市2012-2013学年高三（上）期中数学试卷（文科）

2012-2013学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷（文科）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，A∩B= {0，1} ． 考点： 交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 根据交集的定义，由集合A、B，分析A、B的公共元素，并用集合表示即可得答案． 解答： 解：根据题意，A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}， 集合A、B的公共元素为0、1， 则A∩B={0，1}； 故答案为{0，1}． 点评： 本题考查交集的计算，关键是理解交集的定义． 2．（5分）命题“?x∈（1，2），x＞1”的否定是 ?x∈（1，2），x≤1 ． 考点： 全称命题；命题的否定． 专题： 计算题． 分析： 利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可． 2解答： 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈（1，2），x＞1”的否定是：?x∈2（1，2），x≤1． 2故答案为：?x∈（1，2），x≤1． 点评： 本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用． 3．（5分）设

（i为虚数单位），则a+b= ．

2

2

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 利用复数的分母实数化，然后通过复数的相等求出a，b即可求解a+b的值． 解答： 解：因为===， 所以a=，b=， a+b=． 故答案为：． 点评： 本题考查复数的相等，复数代数形式的混合运算，考查计算能力． 4．（5分）在等差数列{an}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6= 24 ．

1

考点： 等差数列的前n项和；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由等差数列的前n项和公式结合S10=120可得a1+a10=24，然后由等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10，可得答案． 解答： 解：由题意可得：S10==5（a1+a10）=120， 故a1+a10=24，而由等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10， 故a5+a6=24． 故答案为：24 点评： 本题考查等差数列的性质以及求和公式，正确运用性质和公式是解决问题的关键，属基础题． 5．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 探究型． 分析： 若“⊥”可得“?=0”可以求出m的值，再根据充分必要条件的定义进行求解； 解答： 解：已知=（1，2m），=（2，﹣m）， ∵“⊥”，∴?=0， 2∴2﹣2m=0解得m=±1， ∴“m=1”?“⊥”， ∴“m=1”是“⊥”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要； 点评： 此题主要考查向量垂直的性质以及内积的运算法则，是一道基础题； 6．（5分）设直线是y=3x+b是曲线y=e的一条切线，则实数b的值是 3﹣3ln3 ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的概念及应用． x0分析： 先设出切点坐标P（x0，e），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由x直线是y=3x+b是曲线y=e的一条切线，求出实数b的值． x解答： 解：∵y=e， x∴y′=e， x0设切点为P（x0，e）， x0x0则过P的切线方程为y﹣e=e（x﹣x0）， 整理，得y=﹣?x0+xx

， ∵直线是y=3x+b是曲线y=e的一条切线， ∴=3，x0=ln3， 2

∴b=﹣?x0+=3﹣3ln3． 故答案为：3﹣3ln3． 点评： 本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题． 7．（5分）在△ABC中，a=14，b=7，B=60°，则边c= 7（1+） ． 考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 在△ABC中，a=14，b=7，B=60°，利用正弦定理可求得A，从而可求C，再利用正弦定理即可求得c． 解答： 解：∵在△ABC中，a=14，b=7，B=60°， ∴=，即，又a＜b， =， ∴sinA=∴A＜B，故A=45°． ∴C=75°． ∴由正弦定理得：∴c=14sin75° =14sin（30°+45） =14（×+×） ===14， =7（1+）． 故答案为：7（1+）． 点评： 本题考查正弦定理，求得角A是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运

动，则w=的取值范围是 [﹣7，3] ．

考点： 简单线性规划的应用． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 根据已知的约束条件，画出可行域，分别求出各角点的坐标，代入目标函数w=中，比较后，得到目标函数的最值，进而可得取值范围． 3

解答： 解：不等式组表示的平面区域如下图所示： ∵动点P（a，b）在可行域运动 故当P与A重合时，w=，当P与B重合时，w=3，当P与C重合时，w=﹣7 故w=的取值范围是[﹣7，3] 故答案为：[﹣7，3] 点评： 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中角点法是解答此类问题最常用的办法，一定要熟练掌握． 9．（5分）下列四个命题：

①函数f（x）=xsinx是偶函数；

②函数f（x）=sinx﹣cosx的最小正周期是π； ③把函数f（x）=3sin（2x+象；

④函数f（x）=sin（x﹣

）在区间[0，π]上是减函数． ）的图象向右平移

个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图

4

4

其中是真命题的是 ①②③ （写出所有真命题的序号）． 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 探究型；函数的性质及应用． 分析： ①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之； ②先化简表达式，变成一个角的三角函数，再根据公式求出周期； ③函数f（x）=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]，由此结合函数图象平移的规律，即可得到结论； ④化简函数，利用余弦函数的单调性，可得结论． 解答： 解：对于①，由于f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数，

4

①正确； 对于②，∵f（x）=sinx﹣cosx=（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）=sinx﹣cosx=﹣cos2x，∴f（x）的最小正周期是T=π，故②正确； 对于③，函数f（x）=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]，图象向右平移个单位长度44222222可以得到f（x）=3sin2x的图象，故③正确； 对于④，函数f（x）=sin（x﹣）=﹣cosx，在区间[0，π]上是增函数，故④不正确， 综上，真命题为①②③ 故答案为：①②③ 点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性，图象的变换规律，涉及知识点多，综合性强． 10．（5分）（2008?长宁区二模）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为 8 ． 考点： 基本不等式． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4++，利用基本不等式求得结果． 解答： 解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1， 则+=+=4++≥4+2=8，当且仅当 时， 等号成立， 故答案为：8． 点评： 本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4++解题的关键． ，是11．（5分）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有an﹣an+1≠1，anan+1an+2=an+an+1+an+2，则S2012= 4023 ． 考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 综合题；等差数列与等比数列． 分析： 分别表示出anan+1an+2=an+an+1+an+2，an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3，两式相减可推断出an+3=an，进而可知数列{an}是以3为周期的数列，只要看2006是3的多少倍，然后通过a1=1，a2=2，求得a3，而2012是3的670倍余2，由此能求出S2012． 解答： 解：依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2， an+1an+2an+3=an+1+an+2+an+3， 两式相减得an+1an+2（an+3﹣an）=an+3﹣an， ∵an+1an+2≠1， ∴an+3﹣an=0，即an+3=an，

5

∴数列{an}是以3为周期的数列， ∵a1a2a3=a1+a2+a3，∴a3=3 ∴S2012=670×（1+2+3）+1+2=4023 故答案为：4023． 点评： 本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 12．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足

，则

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由向量式变形可推得点P在CM上，而而=2可得答案． 解答： 解：由题意可得：∴，又的最小值是 ﹣2 ．

=，故夹角为π，由数量积的定义结合基本不等式， ，又sinθ+cosθ=1 22所以P、M、C三点共线，即点P在CM上， 而=2∵≤故答案为：﹣2 =，故cosπ=﹣2=2， ，由基本不等式可得： =1，故﹣2≥﹣2 点评： 本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．

6

13．（5分）若函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为 3 ． 考点： 函数的零点． 专题： 函数的性质及应用． 3分析： 由题意根据函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间[﹣10，10]上的最大值，然后再进行判断． 33解答： 解：∵函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，又f（x）=x﹣ax=x（x﹣a）=0，令f（x）=0，∴x=0，或x=±． 3函数f（x）=x﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，∴∵f′（x）=3x﹣a，令f′（x）=0，解得 x=±当x＜﹣，或 x＞223

≤10，∴a≤100． ． ＜x＜时，时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．当﹣f′（x）＜0，函数f（x）是减函数． 故当x=﹣∵时，函数取得极大值为f（﹣）=≤． 3＜1000，∴f（10）=1000﹣10a＜1000，结合函数的单调性以及f（x）=x﹣ax（a＞0）， 32知方程f（x）=1000有正整数解在区间[10，+∞）上，此时令x﹣ax=1000，可得 x﹣a=． 2此时有a=x﹣，由于x为大于10的整数，由上知 x﹣2≤100，令x=11，12，13时，不等式成立， 当x=14时，有142﹣=196﹣71＞100，故可得a的值有三个， 故答案为 3． 点评： 此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间[﹣10，10]上的值域，是一道好题，属于基础题． 14．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b= 4 ． 考点： 两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 利用f（m）=g（m），推出?sin（m﹣θ）=b（1﹣a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可． 解答： 解：由f（m）=g（m）， 即a（b+sinm）=b+cosm asinm﹣cosm=b﹣ab

7

?sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=∵﹣1≤sin（m﹣θ）≤1 ∴﹣≤b（1﹣a）≤ ] ∵a，b均为大于1的自然数 ∴1﹣a＜0 b（1﹣a）＜0， ∴b（1﹣a）≥﹣b（a﹣1）≤ ， b≤=． ∵a≥4时 ，b＜2 ∴a＜4 当a=2时 b≤，b=2 当a=3时 b≤ 无解 综上：a=2，b=2 a+b=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）（2010?苏州一模）已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{bn}满足bn=anan+1

*

（n∈N）．

（1）若{an}是等差数列，且b3=12，求a的值及{an}的通项公式； （2）若{an}是等比数列，求{bn}的前项和Sn． 考点： 等比关系的确定；等差关系的确定． 专题： 计算题． 分析： （1）先根据{an}是等差数列表示出通项公式，再根据b3=12求得a3a4的值从而可确定a的值，求得{an}的通项公式． （2）先根据{an}是等比数列表示出通项公式，进而可表示出bn的表达式，根据2=a2可确定数列{bn}是首项为a，公比为a的等比数列，再对公比a等于1和不等于1进行讨论，即可得到最后答案． 解答： 解：（1）∵{an}是等差数列，a1=1，a2=a（a＞0），∴an=1+（n﹣1）（a﹣1）． 又b3=12，∴a3a4=12，即（2a﹣1）（3a﹣2）=12，

8

解得a=2或a=﹣， ∵a＞0，∴a=2从而an=n． n﹣12n﹣1（2）∵{an}是等比数列，a1=1，a2=a（a＞0），∴an=a，则bn=anan+1=a． =a∴数列{bn}是首项为a，公比为a的等比数列， 当a=1时，Sn=n； 当a≠1时，Sn==． 22点评： 本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和．高考对数列的考查无外乎通项公式的求法和前n项和的求法，对经常用到的常用方法要熟练掌握． 16．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC． （1）求角B的大小； （2）设 考点： 正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数． 专题： 计算题． 分析： （1）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，所以（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，由sinA＞0，所以cosB=．由此能求出B的大小． （2）因为，所以=3sinA+cos2A=﹣2（sinA，试求

的取值范围．

﹣）+2，由，得 30°＜A＜90°，从而，由此能求出的取值范围． 解答： 解：（1）因为（2a﹣c）cosB=bcosC， 所以（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，…（3分） 即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA． 而sinA＞0， 所以cosB=…（6分） 故B=60°…（7分） （2）因为所以=3sinA+cos2A…（8分） ， 9

=3sinA+1﹣2sinA=﹣2（sinA﹣）+22…（10分） 由 得所以30°＜A＜90°， 从而故的取值范围是， …（12分） ．…（14分） 点评： 本题考查正弦函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用． 17．（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？

考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 分析： 设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案． 解答： 解：设箱底边长为x，则箱高为h=×（0＜x＜a），…（2分） 箱子的容积为V（x）=a），． …（6分） 由V′（x）=且当x∈（0，=0解得x=0（舍），x=）时，V′（x）＞0；当x∈（，…（8分） ，a）时，V′（x）＜0， =（0＜x＜所以函数V（x）在x=处取得极大值，…（10分） 10

这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（（12分） 答：当箱子底边长为）==．…时，箱子容积最大，最大值为． …（14分） 点评： 本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键． 18．（16分）已知二次函数f（x）=ax﹣bx+1．

（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；

（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值． 考点： 一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值． 专题： 计算题． 2分析： （1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值； （1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案． 解答： 2解：（1）不等式ax﹣bx+1＞0的解集是（，）， 故方程ax﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=， 所以=x1x2=，=x1+x2=， 22

所以a=12，b=7． （2）∵b=a+2， ∴f（x）=ax﹣（a+2）x+1=a（x﹣对称轴x=当a≥2时，x==+， =+∈（，1]， 2）﹣2+1， ∴f（x）min=f（当a=1时，x=）=1﹣=﹣1，∴a=2； =+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立． 综上可得：a=1或a=2． 点评： 本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．

11

19．（16分）各项为正数的数列{an} 的前n项和为Sn，且满足：Sn=（1）求an； （2）设函数f（n）=

，cn=f（2+4（n∈N），求数列{cn} 的前n

n

*

2

++（n∈N）

*

项和Tn；

（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，求实数λ的最大值． 考点： 数列与不等式的综合；分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的函数特性． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 2*（1）由已知可得Sn=++（n∈N）从而导出，（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，而an为正数，所以an﹣an﹣1=2（n≥2），由此推出an的通项公式． （2）先求出{cn}的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可，注意讨论n； （3）根据不等式Sm+Sn＞λSk恒成立，将参数λ分离出来，研究不等式另一侧的最值，又m+n=3k且m≠n，利用基本不等式即可求出最值，从而求出实数λ的最大值． 解答： 2*解：（1）由Sn=++（n∈N）…① 得n≥2时，Sn﹣1=2++（n∈N）…② *①﹣②化简可得，（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0 又an＞0，所以当n≥2时，an﹣an﹣1=2 ∴数列{an} 成等差数列，公差为2 又∴an=2n﹣1 （2）由f（n）=， 则a1=1 可得c1=f（6）=f（3）=a3=5 c2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1 当n≥3时 cn=f（2+4）=f（2故当n≥3时 Tn=2+n ∴ nnn﹣1+2）=f（2n﹣2+1）=2（2n﹣1+1）﹣1=2n﹣1+1 12

（3）Sm+Sn＞λSk?md+nd＞c?kd?m+n＞λ?k，222222222恒成立． 又m+n=3k且m≠n，， 故，即λ的最大值为 ． 点评： 本题考查数列的性质和应用，以及最值的研究，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，属于中档题． 20．（16分）设函数y=f（x）=x﹣bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称．又y=f（x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|． （1）求b及k的值；

（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值； （3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：

+

考不等式的证明；二次函数的性质． 点： 专综合题． 题： 分（1）已知函数y=f（x）=x2﹣bx+1，根据偶函数的性质，f（﹣x）=f（x），求出b值，2析： 设方程x+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=，可以求出k值； （2）由（1）可知，将f（x）和g（x）代入F（x），对F（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，从而求解； （3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x）（2﹣x）≥222

+≤．

恒成立，可以转化为≤（2x﹣x），利用此不等式进行放缩，从而进行证明； 2解解：（1）由已知，y=f（x）=x﹣bx+1为偶函数，所以b=0； …（2分） 2答： 设方程x+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=得： |x1﹣x2|=2== 解得k=﹣1； …（4分） （2）由（1）知f（x）=x+1，g（x）=﹣x+2，故F（x）=f（x）g（x）=﹣x+2x﹣x+2， 由F′（x）=﹣3x+4x﹣1=0，解得x1=1，x2=，…（6分） 列表如下： x 0 F′（x） 232（0，） ﹣ （，1） + 1 13

F（x） 2 减函数 增函数 2 所以，函数F（x）在区间[0，1]上的最小值为f（）=分） ； …（10（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x）（2﹣x）≥所以≤（2﹣x），有≤（2x﹣x），…（12分） 22恒成立， 当sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1时， +=+≤[2（sinα+sinβ+sinγ）﹣（sinα+sinβ+sinγ） 222…（14分） 2222又1=（sinα+sinβ+sinγ）≤3（sinα+sinβ+sinγ）， ∴sinα+sinβ+sinγ≥， ∴++≤（2﹣）=， 222当且仅当sinα=sinβ=sinγ=时，等号成立．…（16分） 点此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其最值问题，解题的过程中用到了转化的思评： 想，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，是一道难题，同学们要认真做好笔记；

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/5t33.html