现代控制理论1-8三习题库 - 图文

信息工程学院 现代控制理论 课程习题清单

学分、学时 总章节或 总单元 命题教师 签名 3学分，48学时 6 课程归属自动化系 （系、专业） 授课周数 课程负责人 签名 16 授课专业 年级 教师教龄 教学副院长 签名 自动化大三 2 课程目标： 自动控制领域的科学研究方法，已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主，发展为现今的现代控制中以状态空间模型为主。因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的知识。“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步理解系统稳定性这一控制学科最为重要的概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态估计等核心方法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题方法灵活运用，分析解决实际问题。从宏观角度把握课程的体系结构，建立起现代控制理论的基本框架。主要培养学生以下三个方面的能力： 1、分析建模能力 根据系统的工作原理或实验数据，建立合理的数学模型。 2、认知和理解能力 理解与掌握能控性、能观测性与系统设计的关系，系统矩阵与稳定性的关系，输出反馈与状态反馈的关系。 3、设计实施能力 根据系统的不可变部分及给出的综合性性能指标，设计出满足控制系统要求的状态反馈矩阵，并画出模拟电路图。 第一章（单元）： 绪论 本章节（单元）教学目标： 主要介绍控制理论的产生背景及现代控制理论研究的主要内容，使学生对现代控制理论的发展及其所研究的主要问题有一个初步了解，并且复习、补充有关《线性代数》的内容。 重点内容：逆矩阵、线性无关与线性相关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性理论等。 预习题 复习题 练习题 1.控制一个动态系统的几个基本步骤是什么？ 1.系统的数学描述可分为哪两种类型？ 2.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别？ 1.现代控制理论研究的主要内容是什么？ 2.现代控制理论研究对象？ 3.现代控制理论所使用的数学工具有哪些？ 4.现代控制理论问题的解决方法是什么？ 第二章（单元）： 控制系统的状态空间表达式 本章节（单元）教学目标： 正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点内容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规范形式有何特点？ 预习题 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 1. 怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2. 若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3. 求下列矩阵的特征矢量 -10??1? A??202?????10?52??4. （判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5. （判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6. （判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输出关系的系统，表达为状态空间描述。 7. （判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8. 如果矩阵 A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为模态阵。 9. 动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要的。 10. 如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系统。 11. 线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12. 线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13. 若矩阵 A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对角阵，雅可比阵）。 14. 状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15. 以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性）空间，称之为______（传递函数，状态空间）。 复习题 1. 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 U(s)+-K1Kps?K1+-Kps?K1s+-1J1sKbJ2s2?(s)Kns 2. 有电路如图所示，设输入为 ，输出为 ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图R1u1uC1R2uC2u2 3. 有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电 练习题 容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1L2i1CUi2---------Uc---------R2图1-28 电路图 4. 建立图P12所示系统的状态空间表达式。 KB2M1B1M2f(t) 5. 两输入u1，u2，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 u1b1+---??y1a1a5a6?++a21u2b2+---?a3y2 a4图1-30双输入--双输出系统模拟结构图6. 系统的结构如图所示。以图中所标记的x1、x2、x3作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u、y分别为系统的输入、输出，?1、?2、?3均为标量。 du32?3x1?2x+1/sa3x3+1/sa2x2+?1x1/sa1+x1y 7. 试求图中所示的电网络中，以电感L1、L2上的支电流x1、x2作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是R3上的支路电压。 x1L1L2x2uR1R3yR2 ??????4y??5y?3u，yy8. 已知系统的微分方程?试列写出状态空间表达式。 ???3y??u???u，试列写出状态空间表达式。 y9. 已知系统的微分方程2????2???3y??5y?5????7u，试列写出状态空间yyu10. 已知系统的微分方程?表达式。 11. 系统的动态特性由下列微分方程描述 ?y?5y?7y?3y?u?3u?2u 6(s?1),试求出系统的约旦标准型s(s?2)(s?3)2......列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 12. 已知系统传递函数W(s)?的实现，并画出相应的模拟结构图 13. 给定下列状态空间表达式 ?1??010??x1??0??x?x?2????2?30??x2???1?u?????????3???x????11?3????x3????2??‘ ?x1?y??001??x2?????x3??（1）画出其模拟结构图；（2）求系统的传递函数 14. 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。 s3?s?1s2?2s?3(1)g(s)?3 (2)g(s)?3 22s?6s?11s?6s?2s?3s?115. 列写图所示系统的状态空间表达式。 u1-cs?ay1u2-ds?by2 16. 求下列矩阵的特征矢量 10??0A??302? ?????12?7?6??17. 将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）

?1??41?2??x1??31??x?x?2???102??x2???27?u?????????3???x???1?13????x3????53?? ?x1?y120?1???????y??011??x2?????2???x3?18. 试将下列状态方程化为对角标准形。 (1) ??x1??01??x1??0??????u ?????x2???5?6??x2??1?10??x1??23??x1??0?u1?????????02??x2???15??? (2) x2?3????u2?????????x?12?7?6x71?3????3???19. 试将下列状态方程化为约当标准形。 ?x1??41?2??x1??31??x???102??x???27??u1? ?2????2????u??2?????????x1?13x53?3????3???20. 已知系统的状态空间表达式为 ??5?1??2?x??x?u????3?1??5? y??12?x?4u求其对应的传递函数。 21. 设离散系统的差分方程为 y(k?2)?5y(k?1)?3y(k)?u(k?1)?2u?k? 求系统的状态空间表达式。 22. 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s) ?1?W1(s)??s?1?0?1??1s?2? W(s)??s?32?1s?1???s?2??s?11?s?4? ?0??试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 23. 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 ?1?W1(s)??s?1?0?求系统的闭环传递函数 24. 已知差分方程为 1?s? W(s)??10? 2?01?1????s?2??y(k?2)?3y(k?1)?2y(k)?2u(k?1)?3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 ?1?b??? ?1?25. 某机械位移系统，物体在外力小变动时，系统的动态方程为：作用下产生位移 ,当位移微 其中为物体质量,为弹性系数,1) 求取以 、为状态变量，以为外力。 =为输入，为输出的状态方程和传递函数； 2) 判断参数，对系统能控性和能观性有何影响。 26. 考虑以下系统的传递函数： Y(s)s?6?2 U(s)s?5s?6 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 27. 考虑下列单输入单输出系统： ????6???11y??6y?6u yy 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。 28. 考虑由下式定义的系统： ??Ax?Buxy?Cx式中 2??1A??，??－4－3??1?B???,?2?C?[11] 试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 29. 考虑由下式定义的系统： ??Ax?Buxy?Cx式中 ?－1A???1??00－201?0??，?3???0??,B??0????1??C?[110] 试求其传递函数Y(s)/U(s)。 30. 考虑下列矩阵： ?0?0A???0??1100?010?? 001??000? 试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。再求变换矩阵P，使得 P?1AP?diag(?1,?2,?3,?4)31. 试建立图示电路的状态空间表达式。 32. 试建立图示电路的状态空间表达式。 33. 试建立图示系统的状态空间表达式。 34. 已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。 ??4y??y?u 2?y35. 已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。 ?y???5???3y?u??3u y36. 已知系统的微分方程，试列写出状态空间表达式。 ?y???5???3y?3u y37. 设系统的微分方程为y?5y?8y?6y?3u,求系统的状态空间表达式。 38. 设系统的状态空间表达式为 ?0X???0???5.......10?310??x1??0??x???0?u 1???2????2????x3????1???x1?1??? x22??????x3???3y???2 求系统的传递函数。 39. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。 G(s)?3s?4 s(s?1)(s?3)40. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。 s2?2s?3G(s)? 3s?141. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。 10 G(s)?3s?5s2?4s?142. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。 G(s)?s?1 2s(s?2)(s?3)43. 试求图示机械系统的传递函数矩阵。 44. 已知系统的状态空间表达式为试求系统的传递函数矩阵。 ?10??01??x??x??u y??11?x ???23??12? 第三章（单元）： 控制系统状态空间表达式的解 本章节（单元）教学目标： 正确理解线性定常系统的自由运动和受控运动概念，熟练掌握矩阵指数的计算方法，掌握离散时间系统状态方程求解方法。 重点内容：状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，状态方程的求解公式；线性定常系统状态方程的求解方法 预习题 1. 线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为 运动 2. 线性定常续系统状态方程的解由哪两个部分组成？ 3. 线性变换的基本性质包括哪两个不变性？ 1. 写出线性定常连续系统齐次状态方程解的矩阵指数表达式 2. 写出线性定常连续系统非齐次状态方程解的矩阵指数表达式 复习题 3. 系统的状态变量与输入之间的关系用一组一阶微分方程来描述的数学模型称之为__________。 4. 线定定常连续系统状态方程的解由两部分相加组成，一部分是________________________，第二部分是____________________。 5. 对于任意时刻t，系统的输出不仅和t有关，而且与t时刻以前的累积有关，这类系统称为__________。 1. 试求下列矩阵对应的状态转移矩阵。 ?01? A????0?1?2. 试求下列矩阵对应的状态转移矩阵。 ?0?1?A??? 40?? 练习题 3. 已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解。 1??0?0??1???? xx?ux(0)????????2?3??1??0?4. 已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解和 输出响应。 1??0?2??1???? y??12?x xx?ux(0)????????5?6??1??1?

5. 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。 A=??11?? ?41?6. 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。 ?2e?t?e?2t??t????t?2t?e?e阵。 2e?2t?2e?t?? 2e?2t?e?t?7. 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A?1?t3t?2?e?e???t?????e?t?e3t??1??e?t?e3t???4? 1?t3t??e?e???28. 求下列状态空间表达式的解： ?01??0?x??x???1?u 00????y??1,0?x 初始状态x?0????，输入u?t?时单位阶跃函数。 ?1??1?9. 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u1和u2为分段常数。 u2-1/su1K/(s+1)x1Xx2+1+X+y2 图2.2 系统结构图 10. 用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。 ?06?A??? ?1?5??11. 用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。 ?010?? A??001?????6?11?6??12. 已知系统状态方程和初始条件为 ?100??x,x??010????012???1?? x?0???0????1??(1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵； (2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵； (3) 试用化 为有限项法求其状态转移矩阵； (4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。 13. 矩阵A是2?2的常数矩阵，关于系统的状态方程式x?Ax，有 ?e?2t??1?x(0)???时， x???2t? ??1???e??2e?t??2?x(0)???时， x???t? ??1???e?试确定这个系统的状态转移矩阵?(t,0)和矩阵A。 14. 已知系统x?Ax的转移矩阵?(t,t0)是 ?2e?t?e?2t?(t,t0)???t?2t?e?e2(e?2t?e?t)?时，试确定矩阵A。 ?2t?t?2e?e?15. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 ?01? A????00?16. 已知系统状态空间表达式为 ?01??1?x???x??1?u ?34????y??11?x (1) 求系统的单位阶跃响应； (2) 求系统的脉冲响应。 17. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 ?－20? A??? 0－1??18. 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。 ?1??b?a???a0?x???x??1?u 0?b??????a?b??19. 求下列系统在输入作用为：① 脉冲函数；② 单位阶跃函数；③ 单位斜坡函数下的状态响应。 1??0?0?x???x???u ?ab?a?b???1???20. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 ?0A????11? ?0?21. 线性时变系统x?t??A?t?x?t?的系数矩阵如下。试求与之对应的状态转移矩阵 (1) A?t????01??00? (2) ;At????? ??0t??t0?22. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 A???12? ??01?23. 已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解和输出响应。 1??0?2??1????x?x??1?u x(0)??1? y??12?x ?5?6??????24. 已知线性定常系统的状态空间表达式，求单位阶跃输入时状态方程的解。 1??0?0??1???? xx?ux(0)???1??0? ?2?3??????25. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 ??110??? A?0?10 ????00?2??26. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 ?100?? A??010????012??27. 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。 ?010?? A??001????000??28. 给定线性定常系统 ??Axx式中 1??0A??? ?3?2??且初始条件为 ?1?x(0)??? ??1?试求该齐次状态方程的解x(t)。 29. 已知系统方程如下 ?01??1????xx???0?u ?6?5????y??1?1?x求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。 ?1?1） u(t)?0,x(0)???； ?0??1??1? ?0? 2） u(t)?1(t),x(0)??? ?0? 4） u(t)?t?1(t),x(0)??? 3） u(t)?1(t),x(0)???； ?0??1?30. 验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，求相应的状态系数矩阵A。 ?1?t?3t(e＋e)?2??t?????e?t?e?3t?31. 求定常控制系统的状态响应 1?(?e?t?e?3t)?4? 1?t(e?e?3t)?2??01??0??1?x?t????x?t????u?t?,t?0,x?0????,u?t??1?t? ?1?2???1??0???Ax?t?，已知 32. 对线性定常系统x?e?2t??1?x?0???? 时 x?t????2t???1???e??2e??2?x?0???? 时 x?t????t???1???e?求系统矩阵A。 ?t 33. 已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵?(t,0)。 ?t0?1） A(t)???； 00???12） A(t)???t0? 1????A(t)x和其伴随方程z???AT(t)z，其状态转移矩阵分别34. 给定系统xT用?(t,t0)和?z(t,t0)表示，证明：?(t,t0)?z(t,t0)?I。 35. 求解下列系统的状态响应。 ?00??1????xx?u,????t0??1??1?x(1)???,?2?Tu(t)?1(t?1) 36. 已知如下离散时间系统， x(0)???11?，u(k)是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。 ?0.50.125??1?x(k?1)??x(k)???u(k) ??0.1250.5??1?37. 已知线性定常离散系统的差分方程如下： y?k?2??0.5y?k?1??0.1y?k??u?k? 若设u?k??1,y?0??1,y?1??0，用递推法求出y?k?,k?2,3, 10。38. 设线性定常连续时间系统的状态方程为 ?x1??01??x1??0??x???0?2??x???1?u， t?0 ??2????2??

?1?1??2??x???x??1?u 11????y???11?x 28. 给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。 10??0?0??? ??2?30?x??1? ux???? ????11?3???2??y??001? x29. 试将下列系统按能控性进行分解 ?12?1??0??,b??0?,C??1?11? A??010???????0?43???1??30. 试将下列系统按能观性进行结构分解 ?12?1??0??,b??0?,C??1?11? A??010???????0?43???1??31. 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解 ?100??1??,b??2?,C??112? A??223????????201???2??32. 求下列传递函数阵的最小实现。 1?11?w?s??? 11s?1???33. 设?1和?2是两个能控且能观的系统 1??0?0??1：A1??，b?，C1??21?1??? ??3?4??1??2：A2??2，b2?1，C2?1（1）试分析由?1和?2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； （2）试分析由?1和?2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。 34. 考虑由下式定义的系统 ??Ax?Buxy?Cx式中 ?－1A???0??1?2－10?2??2??0?,C?[110] 1?，B??????1???1?? 试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？ 35. 下列能控标准形 ??Ax?Buxy?Cx式中 ?0A???0???60??0??0?,C?[2091] 01?，B??????11?6???1??1是状态能控和状态能观测的吗？ 36. 考虑如下系统 ??Ax?Buxy?Cx式中 ?0A???0???60??0??1?,C?[c01?,B?1?????11?6???0??1c2c3] 除了明显地选择c1?c2?c3?0外，试找出使该系统状态不能观测的一组c1，c2和c3。 37. 给定线性定常系统 ??Ax?Bux y?Cx 式中 1???10?0??,B??0?,C??110? A??1?20??????0?3??0??1?? 试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。 38. 给定线性定常系统 ??Ax?Bux y?Cx 式中 1???10?0??,B??1?,C??111? A??1?20??????0?3??0??1?? 试将该状态方程化为能观测标准形。 第五章（单元）： 稳定性与李雅普诺夫方法 本章节（单元）教学目标： 正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义稳定性概念，熟练掌握李氏第一法,李氏第二法，掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳定性分析方法。 重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李雅普诺夫函数，线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别，李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。难点：李雅普诺夫函数的构造与选取，离散系统的稳定性定理及稳定判据。 预习题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 2. 3. 4. 何谓平衡态？ 李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的_______问题。 李氏函数具有什么性质？ 李亚普诺夫意义下稳定的含义？ 李雅普诺夫第一法的基本思想是什么？ 李雅普诺夫第二法的基本思想是什么？ 复习题 绘出二维平面上李氏渐近稳定平衡状态的轨迹图 绘出二维平面上李氏不稳定平衡状态的轨迹图 绘出二维平面上李氏稳定平衡状态的轨迹图 经典控制理论讨论的是___________稳定性问题，李氏方法讨论的是_______________稳定性问题。 5. 标量函数的定号性如何判断？ 1. 试确定下列二次型是否为正定的。 22Q?x12?4x2?x3?2x1x2?6x2x3?2x1x3 2. 试确定下列二次型是否为负定的。 练习题 22Q??x12?3x2?11x3?2x1x2?4x2x3?2x1x3 3. 试确定下列非线性系统的原点稳定性。 2?1??x1?x2?x1(x12?x2x)?2??x1?x2?x2(x?x)x 2V?x12?x2 2122 考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数： 4. 判断下列函数的正定性 V(x)?8x12?2x22?x32?8x1x2?2x1x3?2x2x3 5. 判断下列函数的正定性 V(x)?x12?x32?2x1x2?x2x3 6. 判断下列函数的正定性 V(x)?2x12?3x22?x32?2x1x2?2x1x3 7. 试写出下列系统的几个Lyapunov函数 ?1???11??x1??x?x???2?3??x? ???2??2?? 并确定该系统原点的稳定性。 ?1??x1?x2?x8. ①已知非线性系统 ? ??x2??2sinx1?a1x2试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的a1的范围。（5分） ② 判定系统??x1??x1?x2在原点的稳定性。 ?x2??2x1?3x2x1??x1?x2?x1(x12?x22)x2??x1?x2?x2(x?x2)2129. 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。 10. 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定： ??11?x??x ??2?3?11. 给定连续时间的定常系统 x1?x2x2??x1?(1?x2)2x2 试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性. 12. 试用克拉索夫斯基定理判断下列系统是否是大范围渐近稳定的。 x1??3x1?x2x2?x1?x2?x32 13. 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。 ??11?x???x 2?3??14. 试用克拉索夫斯基定理确定使下列系统 x1?ax1?x2x2?x1?x2?bx25 的原点为大范围渐近稳定的参数a和b的取值范围。 15. 下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式 dx1?ax1??x1x2dt dx2??x2??x1x2dt式中，x1、x2分别是生物个体数，?、?、?、?是不为零的实数。关于这个系统，(1) 试求平衡点；(2) 在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。 16. 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性 ?1??x1?2x2?2x ?2?x1?4x2?1x17. 设线性离散时间系统为 ?010??x(k) m>0 x(k?1)??001????0m20??试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。 18. 试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。 ??11?x???x 2?3??19. 试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。 ??11?x??x ???1?1?20. 已知二阶系统的状态方程: ?a11a12?x???x aa?2122?试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。 21. 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。 ?1?x1?3x2x ?2??3x1?2x2?3x3x22. 判断下列二次型函数的符号性质： 222（1）Q(x)??x1?3x2?11x3?2x1x2?x2x3?2x1x3

222（2）v(x)?x1?4x2?x3?2x1x2?6x2x3?2x1x3 23. 试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 ?x1?-x1?2x12x2 ?x2?-x2?24. 设非线性系统状态方程为： x1?x2x2??a(1?x2)x2?x1,a?0试确定平衡状态的稳定性。 25. 设二阶线性定常系统的状态方程为 X??.2 ?0?-11??32，实对称矩阵为：xP??12-1???12? 1??平衡状态是原点，试确定该系统的稳定性，求李雅普诺夫函数。 第六章（单元）： 线性定常系统的综合 本章节（单元）教学目标： 理解状态反馈的概念，掌握状态观测器的设计方法，了解通过状态反馈的手段进行系统的校正和解耦控制方法。 重点内容：实现与最小实现的特点和性质，状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理，单输入、多输出系统的极点配置，状态反馈的工程应用。难点：最小实现的定义和求解方法，状态反馈与输出反馈实现的充要条件，带观测器的闭环反馈系统设计。 预习题 1. 作为综合问题，必须考虑哪三个方面的因素？ 2. 系统综合问题主要有哪两个方面？ 3. 对线性定常连续系统，利用线性状态反馈矩阵能使闭环系统极点任意配置的充要条件是什么？ 4. 不完全能控的线性定常连续系统，采用状态反馈使闭环系统镇定的充要条件是什么？ 1. 系统∑(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是什么？ 2. 多变量系统实现解耦的基本思路是什么？主要实现方法及各存在哪些问题？ 3. 带渐近状态观测器的状态反馈闭环系统具有哪三个特性？ 4. 绘制MIMO系统的状态反馈结构图 5. 绘制MIMO系统的输出反馈结构图 6. 绘制开环状态观测器的结构图 7. 绘制渐近状态观测器的结构图 1. 给定线性定常系统 ??Ax?Bu x 式中 复习题 练习题 10??0?0??,B??0? A??001????????1?5?6???1?? 采用状态反馈控制律u??Kx，要求该系统的闭环极点为s = -2±j4，s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。 2. 已知线性定常系统如下。 ?0? X??0??-1.10-50??x1??0??x???0?u1???2??? ?6????x3????1??希望该系统的闭环极点为s=-2±j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。 3. 判断下列系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。 3??s2?2 1) G(s)???4s?1??s2?2s?12?s2?s?1?? 1??s??310??00????? 2) x=00?1x?10u ???????01?1???01???2?11?y???x 021??4. 给定系统的传递函数为 g(s)?(s?1)(s?2) (s?1)(s?2)(s?3)试问能否用状态反馈将函数变为： gk(s)?(s?1)(s?2)g(s)?(s?2)(s?3)和k(s?1)(s?3) 若有可能，试分别求出状态反馈增益阵k，并画出结构图。 5. 给定系统的传递函数为 G(s)?1 s(s?4)(s?8)试确定线性状态反馈律，使闭环极点为?2， ?4， ?7 6. 给定单输入线性定常系统为： 0??00?1??x??0?u x??1?60???????01?12???0??试求出状态反馈u??kx使得闭环系统的特征值为 *?1*??2, ?2??1?j, ?3*??1?j 。 7. 已知系统为 x1?x2x2?x3x3??x1?x2?x3?3u 试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是?3，并画出闭环系统的结构图。 8. 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。 ?12??1?x??x???0?u 31????9. 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。 ?100??10??x??01?ux??0?21???? ???00?2???00??10. 给定系统的状态空间表达式为 ??1x???0??1y??11?2?3??2??0?u?11?x?????0?1???1?? 0?x1) 设计一个具有特征值为?3， ?4， ?5的全维状态观测器； 2) 设计一个具有特征值为?3， ?4的降维状态观测器； 3) 画出系统结构图。 11. 给定系统的状态空间表达式为 ??1?20??2????x??0?11?x???0?u,???10?1???1??y??100?x 设计一个具有特征值为?1 ，?1 ，?1的全维状态观测器. 12. 给定系统的状态空间表达式为 ?310??00??2?11????00?1?x??10?u，y??x?x ????021?????01?1???01??试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦 13. 给定线性定常系统 ?1???1?x?x???0??2??1??x1??1??x???0?u 2???2??? 试证明无论选择什么样的矩阵K，该系统均不能通过状态反馈控制u??Kx来稳定。 14. 调节器系统被控对象的传递函数为 Y(s)10? U(s)(s?1)(s?2)(s?3) 定义状态变量为 ?1,x3?x?2 x1?y,x2?x 利用状态反馈控制律u??Kx，要求闭环极点为s??i (i=1,2,3)，其中 ?1??2?j22,?2??2?j22,?3??10 试确定必需的状态反馈增益矩阵K。 15. 已知系统： ?01??0?x???x??1?u00???? y??10?x试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0) 16. 设计一个前馈补偿器，使系统 ?1?s?1W(s)???1??s(s?1)解耦，且解耦后的极点为?1,?1,?2,?2。 1?s?2?? 1?s??17. 使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。 ??1?2?2??2??,b??0? A??0?11???????10?1???1??18. 设系统传递函数为 (s?1)(s?2) (s?1)(s?2)(s?3)试问能否利用状态反馈将传递函数变成 s?1 (s?2)(s?3)若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图. 19. 有系统： ??21??0?x??x???1?u0?1???? y??10?x（1） 画出模拟结构图。 （2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ (3)若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 20. 已知系统状态方程为： ?1?11??0??x??0?u x??011???????101???1??试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。 21. 给定线性定常系统 ??Ax?Bux y?Cx 式中 ??11??0?A??,B?,C??10? ????1?2??1? 试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为 ?1??5,?2??5。 22. 考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为???5，即最小阶观测器所期望的特征方程为s?5?0。 23. 给定线性定常系统 ??Ax?Bux y?Cx 式中 10??0?0??,B??0?,C??100? A??001????????5?60???1??假设该系统的结构与图4.5所示的相同。试设计一个全维状态观测器，该观测器的期望特征值为?1??10,?2??10,?3??15。 24. 给定线性定常系统 ?1??010??x1??0??x?x??x???0?u ?2???001?????2?????3??1.2440.3965?3.145????1.244???x???x3????x1?? y?[100]?x2????x3??该观测器增益矩阵的一组期望的特征值为 ?1??5?j53,?2??5?j53, ?3??10。试设计一个全维观测器。 25. 考虑习题4.11给出的同一系统。假设输出y可准确量测。试设计一个最小阶观测器。该最小阶观测器的期望特征值为 ?1??5?j53,?2??5?j53。 26. 考虑图4.17所示的I型闭环伺服系统。图中的矩阵A、B和C为 0??01?0??,B??0?,C??100? A??001???????0?5?6???1??试确定反馈增益常数k1,k2和k3,使得闭环极点为s??2?j4,s??10。试利用计算机对所设计的系统进行仿真，并求该系统单位阶跃响应的计算机解，绘出y(t)对t的曲线。

27. 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。参见图4.2所示的原理图。假设 M = 2千克，m = 0.5千克，l = 1米 定义状态变量为 x1??, 输出变量为 x2???,x3?x,? x4?xy1???x1,y2?x?x3 试推导该系统的状态空间表达式。 若要求闭环极点为 ?1??4?j4,?2??4?j4,?3??20,?4??20 试确定状态反馈增益矩阵K。 利用已被求出的状态反馈增益矩阵K，用计算机仿真检验该系统的性能。试写出一个MATLAB程序，以求出该系统对任意初始条件的响应。对一组初始条件 x1(0)?0,x2(0)?0,x3(0)?0,x4(0)?1米/秒 试求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)对t的响应曲线。 28. 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。假设M、m和l 的值与4.4节中的相同。对于该系统，状态变量定义为 x1??,x2???,x3?x,? x4?x 试求该系统的状态空间表达式。 假设采用状态反馈控制律u??Kx，试设计一个稳定的控制系统。考虑以下两种情况下的期望闭环极点 情况1：?1??1.3?j,?2??1.3?j,?3??20,?4??20； 情况2：?1??2,?2??2,?3??10,?4??10 试确定在这两种情况下的状态反馈增益矩阵K。再求设计出的系统对初始条件 ?(0)?0 ?(0)?0.1弧度,??(0)?0,x(0)?0,x 的响应，并比较这两种系统的响应。 29. 考虑4.7节讨论的倒立摆系统。设计一个状态反馈增益矩阵K，其中已知K??k1,k2,k3,k4?和积分增益常数kI。假设该系统的期望闭环极点为?1??2, ?2??2,?3??4??5??10。试利用MATLAB确定增益矩阵K和积分增益常数kI。再求当单位阶跃输入作用于小车位置时的阶跃响应曲线。 30. 设系统状态方程及边界条件为： x?u, x(0)?16, x(tf)?0 试求最优控制u(t)，使下列性能指标 J?tf?取最小值。 21tf2udt ?0231. 求从x(0)?1到直线x(t)?2?t之间距离最短的曲线及最优终端时间。 32. 系统状态方程及边界条件为： ?x1?x2 ? x?u?2 J??x1(0)?1 ?x(0)?1?2?x1(0)?0 ?x(0)?0?2试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。 112udt ?0233. 设系统状态方程及初始条件为 x?u;x(0)?1;x(tf)?0 tf未给定，试求最有控制及tf使下列指标取极值，并求出最优轨线。 34. 设系统状态方程及初始条件为： x1?x1, x1(0)?0 x2?u, x2(0)?0 中断状态受如下约束 M?x1(1)?x2(1)?1?0 试求最优控制是下列性能指标 取极小值，且求出最优轨线。 35. 设一阶离散系统方程为 J?1t2u(t)dt ?02x(k?1)?x(k)?au(k) 边界条件为：x(0)?1,x(10)?0。试求最优控制序列，使下列性能指标 192 J??u(k) 2K?0取极小值，并求出状态序列。 36. 设系统状态方程及边界条件为: x?u; x(t0)?x0,x(T)?0 1T2试求最优控制是指标J??udt取极值，并求出最优轨线及最优性能指2t0标。 37. 设系统状态方程及边界条件为: x?u;x(0)?1,x(tf)?0 试求最有控制及tf使J?tf?2?tf0u2(t)dt取极值。 38. 设系统状态方程为 x1?x2 x2?u 试确定最优控制u?t?，使下列性能指标 J???012x1?u2?dt ?2取极小值。 39. 设有下列受控系统状态方程： 1.??x1???10??x1??0??x1??10??x1??0? 2.??u?????u ?????????????x2??0?2??x2??1??x2??01??x2??1?3.??x1??01??x1??0????01??x???1?u x??2????2??试分别研究有无最优控制使下列性能指标 1?22J???x1?x2?u2?dt 20?？分析受控系统状态可控性、取极小值？是否存在正定矩阵K稳定性与最优解的关系。

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