理论力学题库第一章

应用物理专业理论力学题库-第一章

一、填空题

?1. 在质点运动学中r(t)给出质点在空间任一时刻所占据的位置，故其表示了

质点的运动规律，被称为质点的运动学方程。

2. 运动质点在空间一连串所占据的点形成的一条轨迹，被称为轨道。 3. 一个具有一定几何形状的宏观物体在机械运动中的物质性体现在：不能有两个或两个以上的物体同时占据同一空间；不能从空间某一位置突然改变到另一位置。

4. 质点的运动学方程是时间t的单值的、连续的函数。 5. 质点的运动轨道的性质，依赖于参考系的选择。 6. 平面极坐标系中速度的表达式是 ，其中 称为径向速度， 称为横向速度。 7. 平面极坐标系中，径向速度是由位矢的量值变化引起的，横向速度是由位矢的方向改变引起的。 8. 平面极坐标系中加速度的表达式是 ，其中 称为径向加速度， 称为横向加速度。

9. 自然坐标系中加速度的表达式是 ，其中两项分别称

为 和 。

10.自然坐标系中，切向加速度是由于速度的量值改变引起的，法向加速度是由于速度的方向改变引起的。 11.对于切向加速度a?与法向加速度an，质点运动时，只存在切向加速度，做变速率直线运动；只存在法向加速度，做匀速率曲线运动；切向加速度与法向加速度同时存在，则做变速曲线运动；切向加速度与法向加速度都不存在，则做匀速直线运动。

12.我们通常把物体相对于“静止”参考系的运动叫做绝对运动，物体相对于运动参考系的运动叫做相对运动，物体随运动参考系一起运动而具有相对于静止参考系的运动，叫做牵连运动。

13.绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。

14.绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。

15.已知a0是S?系相对于S系的加速度，在相对于S系作加速直线运动的参考系S?中观察质点的运动时，质点的速度??和加速度a?和在S系中所观察到的?和a不同，分别写出它们的关系式：???0???，a?a0?a?。 16.物体如果不受其他物体的作用，其速度将保持不变。

17.物体在不受其他物体作用时保持运动状态不变的性质，称为惯性。 18.物体的质量是物体惯性大小的量度。

19.已知某质点的运动方程为r?ect,??bt，式中b和c都是常数，则其速度的大小为 ，加速度的大小为 。

20. 某质点沿螺旋线x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t，则其速度大小为 ，加速度的大小为 。

21.牛顿运动定律成立的参考系是 参考系。 22.牛顿运动定律不成立的参考系是非惯性参考系。

23.对于一个相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系，其内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本身匀速直线运动的影响。

24.在所有相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系中的力学过程所遵从的规律，都与相对于静止参考系时完全一样。

25.相对于惯性参考系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性参考系。 26.一切惯性参考系对所有的力学过程都是等价的，此即 原理。 27.一切惯性参考系对所有的物理过程都是等价的，此即 原理。 28. 若质点不受任何约束而运动，称为自由质点。 29. 若质点受到某种约束，称为非自由质点。

30. 仅靠约束反作用力本身， （填“不能”或“能够”）引起质点的运动。约束反作用力是 （填“主动力”或“被动力”）。在无摩擦的情况下，约束反作用力的方向沿着曲面或曲线的 （填“切向”或“法向”）。

31.若在非惯性参考系中使牛顿运动定律形式上成立，需引入 。 32.惯性力是虚拟的力，没有施力物体，没有反作用力。

33.相对于惯性系作加速（加速度为a0）平动的参考系所要加的惯性力是 。

34.所作的功只取决于初末位置，而与中间路径无关的力称为 力，反之称为 力。 35. 判断一个力是保守力的条件是 。

36. 保守力与相应势能改变量之间的关系是 。保守力做正功，质点的势能减少，保守力做负功，质点的势能增加。 37. 质点动量定理的数学表达式是F?dP。 dt38. 质点不受外力作用时，其动量保持不变，质点作惯性运动。 39. 质点角动量定理的数学表达式是M?dJ。 dt40. 质点机械能守恒的条件是：质点受到的力中，只有保守力做功。 41.比耐公式的具体形式是 。

42.开普勒第一定律的内容是 。

43.开普勒第二定律的内容是 。 44.开普勒第三定律的内容是 。 45.理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学。它的内容包括 静力学 、 运动学 、 动力学 。

46、二力平衡公理与作用反作用公理都是指大小相等、方向相反、在同一作用线上的两个力。两个公理的最大区别在于( 二力平衡公理中二力作用于同一物体，而作用与反作用公理中作用力与反作用力作用于不同物体 )。

47、三铰铁两半拱分别作用大小相等、转向相反的力偶，不计自重，如图1－1所示，试确定A处反力的作用线和指向( 沿AB连线，由A指向B )

48、在曲线运动中，动点的加速度在副法线轴上的投影a b=( 0 )，说明加速度总是在( 密切)面内。 49、动点M自坐标原点O出发，沿X轴作直线运动，其运动方程为x=－9t＋t3，(t以s计，x以cm计)，则M点在最初6秒内所经过的路程为( 54cm )

50、图1－6所示，轮质量为M，半径R，现绕轴C作定轴转动，角速度为ω，绕在轮上的细绳连接一质量为m的物质A，A在水平面上作平动，则此系统动量大小为( mωR )

51、如图1.1所示结构,已知力F，AC＝BC＝AD＝a，则CD杆所受的力FCD＝（ 2

2F ），A点约束反力FAx=（ F ）。

52、如图1.2 所示结构，,不计各构件自重，已知力偶矩M，AC=CE=a，AB∥CD。则B处的约束反力FB=（

M3M ）；CD杆所受的力FCD=（ ）。 2a3aEMCA

53.如图1.3所示，已知杆OA长2L，以匀角速度ω绕O轴转动，如以滑块

60D60B A为动点，动系建立在BC杆上，当BO铅垂、BC杆处于水平位置时，滑块A的相对速度vr=（ Lω ）；科氏加速度aC=（ 2Lω2 ）。

BLAC

54.平面机构在图1.4位置时， AB杆水平而OA杆铅直，轮B在水平面上作纯滚动，已知速度vB，OA杆、AB杆、轮B的质量均为m。则杆AB的动能TAB=（

OOω1 2AB3 mvB2 ）。 455、如图1.5所示均质杆AB长为L,质量为m,其A端用铰链支承,B端用细绳悬挂。当B端细绳突然剪断瞬时, 杆AB的角加速度?=（ 3g/2L ， ），

02

当杆AB转到与水平线成30角时，AB杆的角速度的平方ω=（ 3g/2L ）。

mvB2， ），轮B的动能TB=（

A　1.5B

56、图1.6所示机构中,当曲柄OA铅直向上时,BC杆也铅直向上,且点B和点O在同一水平线上；已知OA=0.3m,BC=1m，AB=1.2m,当曲柄OA具有角速度ω=10rad/s时,则AB杆的角速度ωAB=（ 0 ）rad/s,BC杆的角速度ωBC=（ 3 ）rad/s。

AωOB1.6C

57、.自然坐标系中的法向加速度为

v2? ，切向加速度为

dv 。 dt58、.平面极坐标系中的径向加速度为 ??2 ，横向加速度为 r????2r? 。 ??r???r59.在介质中竖直上抛一质量为m的小球，已知小球所受阻力R??mv，若选择

坐标轴x铅直向上，则小球的运动微分方程为_ ____。

???60. 质量为0.5 kg的质点，受力F的作用，在光滑水平面上运动，设F?3ti?4j（t以s计，F以N计），初瞬间（t = 0）质点位于坐标原点，且其初速度

???2为零。则t时刻，质点的速度等于v?3ti?8tj(m/s)，位移等于

????r?t3i?4t2j(m) 。

???61．一质量为10kg的质点在力F?120ti?40j的作用下运动。已知，t=0时，

??质点位于原点，初速度为v?6i(m/s)．则质点在任意时刻的速度是

????2(6?6t)i?4tj(m/s) ，位置为 (6t?2t3)i?2t2j(m) ．

62. 质点的法向加速度等于零的运动可能是 直线运动 或 相对静止 。 63．一质量为m的小球，以速率为v0、与水平面夹角为60°的仰角作斜抛运动，不计空气阻力，小球从抛出点到最高点这一过程中所受合外力的冲量大小为

3mv02 ，冲量的方向是 沿 y 轴负方向 。

64．今有倔强系数为k的弹簧（质量忽略不计）竖直放置，下端悬挂一小球，球的质量为m0，开始时使弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到小球刚能脱离地面为止，在此过程中外力作功为 m2g22k 。

????65．一个质点在恒力F??3i?5j?9k(N)作用下的位移为：

?????r?4i?5j?6k(m)。则这个力在该位移过程中所作的功为：67J ，质点的动能变化为：67J。

66．一质点沿轴运动，其加速度为a = 4t (SI制)，当t = 0 时，物体静止于x = 10m处。则该质点的速度为：v?23t?10 。 3dx?2t2，位置x与时间t的关系式.为：dtx?67．质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标的关系为a = 3 + 6x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，则该质点在任意位置处的速度为：

ν?(6x?4x3)2 。

168．已知一物体质量m，沿水平方向运动，初速度为v0，所受阻力f??kv，则该物体停止运动时，运动的距离x为：

mv0。 k69．两个质量不等的物体，具有相等的动能，则质量 大 的物体的动量较大。（大或小）。

70．两个质量不等的物体，具有相等的动能，则质量 小 的物体的速度较大。（大或小）。

71．加速度为常量的质点运动形式有：匀变速直线、匀变速圆、抛体、匀变速螺旋线运动 。

72．势能存在的必要条件(即积分与路径无关的充要条件):是系统内力为

F=F(r) ，且满足：

?i????F??xFx?j??yFy?k?F?F??F?F??F?F???(z?y)i?(x?z)j?(y?x)k?0?z?y?z?z?x?x?yFz

73. 判断一个力是否为保守力的充要条件为：当Fx,Fy,Fz是坐标x,y,z的单值、

有限、可微函数时，等式

?Fy?Fz?Fy?F?F?F 、x?z、 x? 成立。 ??z?x?y?z?y?x74．有心力的作用线始终通过 一定点 ，所以该定点的力矩为 0 ，系统角动量 守恒 。 75．76．

粒子弹性散射的轨迹为：双曲线的右半支 。

粒子弹性散射的卢瑟福公式对 引力、斥力 库仑场都适用。

77．对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点 角动量 的增量。 78．当质点所受的对某定点的合外力矩为零时，质点对该定点的角动量为一 恒矢 量。

79.各质点对质心角动量对时间的微商等于 外力对质心的力矩 之和。

二、选择题

1. 以下关于惯性力的说法正确的是（ ）

A.

B. C. D.

惯性力在惯性系和非惯性系中都存在； 惯性力没有施力物体，不存在其反作用力； 惯性力是相互作用力，有其反作用力；

惯性力的具体表达式与参考系运动的方式无关。

2. 关于有心力，下列说法错误的是（ ） A B C D

有心力是保守力；

有心力对力心的动量矩守恒；

质点在有心力的作用下，必在一个平面上运动； 有心力的方向并不总是沿着质点和力心的连线。

3. r?x(t)i?y(t)j?z(t)k给出质点任意时刻在空间所占据的位置，它给出了质点的（ ） A B C D

质点的运动方程； 质点的轨道方程； 质点的平衡方程； 质点的动力学方程。

4. 以下关于惯性系的表述错误的是（ ） A B C

相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性参考系； 一切惯性参考系对所有物理过程都是等价的； 牛顿运动定律对任何参考系都成立；

D 牛顿运动定律不成立的参考系是非惯性系。

5. 以下不属于开普勒三定律的是（ ） A B C D

行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上； 行星在有心力的作用下，角动量守恒；

行星和太阳之间的连线，在相等的时间内扫过的面积相等； 行星公转的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

6.一质点以匀速率沿阿基米德螺线自外向内运动，则点的加速度:

【C】

A 不能确定； B 越来越小； C 越来越大； D 等于零。

7. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来

【C 】

A 分析力的变化规律； B 建立质点运动微分方程； C 确定积分常数； D 分离积分变量。

8.一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量

【B】

A 平行； B 垂直； C 夹角随时间变化; D不能确定。

9. 已知某质点的运动方程为S=a+bt（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹【A】。

10. 如图所示，三棱柱重P，放在粗糙的水平面上，重Q的匀质圆柱体静止释放后沿斜

面作纯滚动，则系统在运动过程中 【D】

A 是直线；B是曲线； C 不能确定；D抛物线。

A 动量守恒，机械能守恒；

B 沿水平方向动量不守恒，机械能守恒； C 沿水平方向动量守恒，机械能不守恒； D 以上说法都不正确。

11. 关于质心的概念中，下列说法中正确的是

【D】

A 质心就是物体的几何中心； B 质心就是物体的重量中心；

C 质心一定在物体上； 生变化。

D 物体的质心与物体的相对位置一定不发

12. 如图所示距地面H的质点M，具有水平初速度v0，则该质点落地时的水平距

离l与下列哪项成正比？

【D】

321/2A H； B H； C H； D H。

?13. 一运动质点在某瞬时矢径r(x,y) ，其速度大小为

dr(A) ；

dt?22?dr?dx??dy?dr (B) ； (C) ； (D) ?????。

dtdt?dt??dt? 【D】

???14. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为：r ? at2i ? bt2 j（其中a、b为常量）则该质点作 【B】 A．匀速直线运动； C．抛物线运动

15. 甲、乙、丙三物体的质量之比是1：2：3，若它们的动能相等，并且作用于每一个物体上的制动力都相同，则它们制动距离之比是： A．1：2：3； B．1：4：9； C．1：1：1； D．3：2：1 16 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑，在下滑过程中 A．它的加速度方向指向圆心，速率保持不变； B．它受到的轨道的作用力的大小不断增加；

C．它受到的合外力的大小变化，方向永远指向圆心； D．它受到的合外力的大小变化，速率不断增加。

【C】

；

B. 匀变速直线运动； D. 一般曲线运动。

【D】

17．如果一个质量为m的物体自空中落下，它除受重力外，设还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k（k为正常数），则该下落物体的收尾速度（即最后物体做匀速直线运动的速度）将是：

【A】

（A）

mg ； k（B） g； 2k （C）gk ； （D）gk.

18. ?射线与重金属原子相互作用后的轨迹一般为：【D】

A 椭圆；

B 抛物线；

C 双曲线的一支，焦点在凹方一侧； D双曲线的一支，焦点在凸方一侧。 19. 如果某质点的动能变大，则该质点的

【D】

A 动量变大； B 角动量变大；C 能量变大； D 不能确定。 20. 如果某质点所受合外力变大，则该质点的【D】 A 动量变大；B 角动量变大；C 动能变大；

21. 如果某质点的动量变大，则该质点的

【D】

D不能确定。

A 动能变大； B 角动量变大；C 能量变大； D不能确定。

22. 如果某质点的角动量变大，则该质点的

【D】

A 动量变大； B 动能变大；C 能量变大； D不能确定。

23 用水平力FN把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止。当逐渐增大

FN时，物体所受的最大静摩擦力Ff的大小 A．不为零，但保持不变；

B．随FN成正比地增大；

C．开始随FN增大达到某一最大值后，就保持不变； D．无法确定。 【B】 24．人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：

(A) 动量不守恒, 动能守恒； (B) 动量守恒, 动能不守恒； (C) 角动量守恒, 动能不守恒； (D) 角动量不守恒, 动能守恒。

【C】

25. 两个力，它们的大小相等、方向相反和作用线沿同一直线。这是 D

(A)它们作用在物体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件； (B)它们作用在刚体系统上，使之处于平衡的必要和充分条件；

(C)它们作用在刚体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件； (D)它们作用在变形体上，使之处于平衡的必要条件，但不是充分条件；

三、简答题

1. 平均速度与瞬时速度有何不同？在上面情况下，它们一致？

答：平均速度是运动质点在某一时间间隔内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

2.在内禀方程中， 法线方向的加速度是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线方向？当质点沿空间运动时，副法线方向的加速度等于零，而作用力在副法线方向的分量一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？

r?答：质点运动时，径向速度Vr和横向速度Vθ的大小、方向都改变，而ar中的????r??只是Vθ本身大小的改变。只反映了Vr本身大小的改变，a?中的r?事实上，?2就是反映这种改横向速度Vθ方向的改变会引起径向速度Vr大小大改变，?r??即变的加速度分量；经向速度Vr的方向改变也引起Vθ的大小改变，另一个r?????2r?.。这表示质点的?2，a??r???r??r?为反映这种改变的加速度分量，故ar??径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况

2. 雨点以匀速度落下，在一有加速度的火车中看，它走什么路经？ 答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度的匀

速水平直线运动的合成运动如图所示，

3. 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？ 不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的大小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。

4 在那些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明.

答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。 在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致，重力的方向决定了轨道的形状开口下凹，初速度的方向决定了射高和射程。 1.11 答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻

5 质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的将如何？

答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论 假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形状有关。 6为什么被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？

答：质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动 方向，故约束力不做功，动能定理或能量积分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能

定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出 a ，有牛顿运动方程 F R ma便可求出. R ，即为约束力

7.动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？

答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守恒。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的大小和方向每时每刻都在改变。

8. 在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？ 答平方反比力场中系统的势能，其势能曲线如图所示，

9.我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的交角为68．5，比苏联及美国第一次发射的都要大。我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？ 答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角越大，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越大，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越大，对地球的直接探测面积越大，其科学使用价值越高。

10.卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？

答：对库仑引力场有，轨道是双曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况下力心在双曲线凹陷方位内侧；若，轨道椭圆或抛物线，卢瑟福公式不适用， 仿照课本上的推证方法，在入射速度的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正， 负粒子的对撞试验可验证这一结论的近似正确性。 12人以速度向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？

答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6

V球对人V

V人对地题1-6图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直

接向篮筐投出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。

13雨点以匀速度落下，在一有加速度的火车中看，它走什么路经？

14答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示，

x?O?aa???a

V?y?题1-7图o?x?y?是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a???a，其相对运动方程

12??x??at2消去t的轨迹 ???y??vt2v2y??x?

a2如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a?垂直于V?方向的分量a?n在改变着V?的方向，该轨迹上凹。

15 某人以一定的功率划船，逆流而上.当船经过一桥时，船上的渔竿不慎落入河中.两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶.追到渔竿之处是在桥的下游600 米的地方，问河水的流速是多大？ v v a

答：设人发觉干落水时，船已上行s?，上行时船的绝对速度V船?V水，则 s??? V船?V水??2

①

船反向追赶竿的速度V船?V水，设从反船到追上竿共用时间t，则

( V船?V水)t?600?s?

②

又竿与水同速，则

（2?t)?600 V水 ③

① +③=②得

V水?150mmin

1. 推算极坐标系下质点速度的分量表示式。 2. 推算极坐标系下质点加速度的分量表示式。 3. 推算自然坐标系下质点加速度的分量表示式。 4. 根据牛顿第二定律证明质点的角动量定理。

5. 质点所受的力，若恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。 6. 推算比耐公式。

7. 由开普勒三定律推算万有引力定律。 三、计算题

1. 如质点受有心力作用而作双纽线r2?a2cos2?的运动时，试运用比耐公式证

3ma4h2明F??。

r72. 质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角?保持不变。求：质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为?0。

?。并由此推出径向加速度ar及横yx?及?3. 试自 x?rcos?,y?rsin? 出发，计算?向加速度a?。

4. 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。

?a? Fx?6abz3y?20bx3y2，Fy?6abxz3?10bx4y，Fz?18abxyz2 ?b? F?iFx?x??jFy?y??kFz?z?

5. 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1，而通过下一等距离s

2s?t2?t1?的时间为t2，试证明枪弹的减速度（假定是常数）为

t1t2?t1?t2?。

6. 一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r。

?????7.点沿空间曲线运动，在点M处其速度为v?4i?3j ，加速度a与速度v夹角且a?10m/s2。求轨迹在该点密切面内的曲率半径?和切向加速度a?。 ??300，

???答：由已知条件v?4i?3j得

v?42?32?5m/s 法向加速度an?asin300?5m/s2 v2则曲率半径???5m 切向加速度 a??acos300?8.66m/s2

an8.一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角?与其经过的那段圆弧对应的圆心角?之间有如下关系tan??2?

证明：设点M沿半径为R的圆作圆周运动，t时刻走过的路程为AM=s，速

度为v，对应的圆心角为?。由题设条件知

anv2tan????????a?a?Ra?a??dvdv?v?C?????b?dtds

C为常数 积分(b)式得?vdv??a?ds 所以v2?2a?s????c?

00vs将（c）式代入（a），并考虑s?R?，所以tan??2?

9.质点M的运动方程为x?3t(m),y?2t2(m) 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。

??3(m),y??4t?4(m) 所以有v?x?2?y?2?9?16?5m解：由于xss?2?y?2?9?16t2 则又：v?x?s?

1??9?16t2at?v2??1?12?32t?32t29?16t?122??3.2m?s?

???0,???4m,a???2???2?4mxyxyss

222an?a?at?16?3.2?2.4ms??????点M沿半径为R的圆周运动。如果

an，以初始位置为??K(K为已知常数）

a?原点，10.原点初速度为v0。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。

andvv2?a?????解：设点的初始位置为A。依题意 dtKKRRKv0dv1t11tdtv?积分上式?2?? 得 ???v0vKR?0KR?v0tv0vKRv则弧坐标形式的运动方程为s??当v?KRv0vt??dt?KRln?1?0?

0KR?kt?KR?0tv0KR时t? 2v011.一质点沿圆滚线s?4asin?的弧线运动，如??为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。式中?为圆滚线某点P上的切线与水平线（x轴）所成的角度，s

为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。

ds?cos??4a?cos? ?4a?解：因s?4asin? 故v?dt???=常量（题设） 式中?v2dvds2??4a?sin? an??4acos? 又a?? 而??dtd??16a2?2cos2?所以an???4a?2cos?

?4acos?2?4a?2sin2??cos2??4a?2=常数 结论得证 故a?a?2?anv2设质点沿螺旋线x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t运动，试求质点的速度、加速度和轨道的曲率半径。

解：因x?2sin4t,y?2cos4t,z?4t

??8cos4t?4y,y???8sin4t??4x,z??4 故x?2?y?2?z?2?4x2?y2?1?45 所以v?x??4y???16x,????4x???16y,???0 又?xyz?2???2???2?16x2?y2?32 xyz所以a??又a????2yy?dv12xx4xy?4xy?4??4??0

22dt2x2?y2?1x?y?1所以an?a?16x2?y2?32

v280而????2.5

an3212.小环的质量为m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x24ay，试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。 质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。

??证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢r与力F共线，则有

???M?r?F?0

?所以质点的动量矩守恒，即J?C ???C1..........??zyJx?m?yz..(1)??xz???C2..........其分量式为jy?m?zx...(2)

??yx???C3..........Jz?m?xy...(3)由x?(1)?y?(2)?z?(3)得到C1x?C2y?C3z?0

由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。 一物体质量m=10kg ,在变力F?10(1?t)N作用下运动。设物体初速度

v0?0.2m/s，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？

（知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题

vtdv?F 得 ?dv??10(1?t)dt 积分得 v??5t2?10t?0.2(m/s) 解答：由mv00dtst5再积分 ?ds??(?5t2?10t?0.2)dt 得 S??t3?5t2?0.2t(m)

003由 v??5t2?10t?0.2?0 解得 t?2.02s 再代入前式得 S=7.07 m

??13.质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量v与加速度矢量a正交。

??证明：采用自然坐标系，由题意知v?c? c为常量

????dvd?dc?d?d??(c?)???c?c于是有a? dtdtdtdtdt??d??n ??又在自然坐标系中dt????dvd??dc?d?d??n ?(c?)???c?c?c?所以a?dtdtdtdtdt????由于??n 故a?v 得证

1动点M以匀速v?5(m/s)沿轨迹y?x2运动，求当x?2m时动点M的速度沿x

3和y分量的大小，以及M的加速度

?2?y?2?25..........解：由v2?x(1)

1224??x?........(??xx?而x?2m时yx求导数得y2)

333162?2?x??25. （2）代入（1）得x9根据y???4(m./s) ??3(m/s)代入（2）得y整理得x又a??dv22?0 则a2?a?2?an即a?an ?andt又由数学知识知??x?2m时y??(1?y?)y??322 而根据y?1222x微分得y??x,y??? 当 33342,y??? 3332331625125(1?)2()22(1?y?)1259??9?27?所以有??

222y??18333故a?an?v2??25?3.6(m/s2) 12518

???????32214.某力场的力矢为F?(2xy?z)i?xj?3xzk 其中i,j,k分别为x,y,z轴的

单位矢，试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。 解：

???ijk???(3xz2)?(x2)???(2xy?z3)?(3xz2)?????j?? ??F??i?(???x?y?z?y?z?z?x?3222xy?zx3xz

???(x2)?(2xy?z3)????22 +k????i(0?0)?j(3z?3z)?k(2x?2x)?0

?y??x?故力场为保守力场。

?U?2xy?z3??????(1)?x?U?x2?????????(2) 由 Fy???y?UFz???3xz2????????(3)?zFx??（1） 式积分得：U??x2y?z3x?f(y,z)?????(4) 对（4）式求偏导数得：

?U??f(y,z)???f(y,z)???x2???x2 即?0 ?y?y?y上式得：f(y,z)?g(z) 代入（4）式得：U??x2y?z3x?g(z)??????(5) 对（5）式求偏导数得：

g(z)?c

?U??g(z)???g(z)???3xz2???3xz2即?0 积分得：?z?z?z代入（5）式得：U??x2y?z3x?c 取x?0,y?0,U?0 则c?0 所以势能函数为 U??x2y?z3x

某力场的力矢为Fx?6abz3y?20bx3y2,Fy?6abxz3?10bx4y,Fz?18abxyz2 试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。

??VF???x?2y?z?5.............(1)?x?x??V?F???2x?y?z.............(2) ?y?y??F???V?x?y?z?6..............(3)z??z?x2?2xy?xz?5x?f?y,z?????4? 积分（1）式得V??2（4）式对y偏微分=（2）式得积分得f(y,z)???V?f?y???2x???2x?y?z ?y?y12y?zy?g(z)????5? 2x2y2?2xy?xz?5x?yz?g(z)????6? 代（5）入（4）得V???22（6）式对z偏微分=（3）式得

?V?g?z???x?y???x?y?z?6

?z?zz2 积分得g?z????6z?c????7?

2x2y212?z?2xy?xz?5x?yz?6z?c????6? 代（7）入（6）得V???222取x?0,y?0,z?0,V?0 则c?0得势能函数为

x2y212V????z?2xy?xz?5x?yz?6z????6?

222又由x?cos?,y?sin?,z?7?知当??0时x?1,y?0,z?0；

??2?时x?1,y?0,z?14? 则由保守力与功的关系可知

W??(V2?V1)?V1?V2121212111x?y?z?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,0)?(?x2?y2?z2?2xy?xz?5x?yz?6z)(1,0,14?)22222211111?(??5)????(14?)2?14??5?84?????5??98?2?14??5?84??98?2?70?22222?(?18.一划平面曲线的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均为常数c，试证明

v3在此情形下，加速度的量值可用下式表示a?

c??2?y?2?x?2?c2..........证明1：由v2?x.......(1) （1）式求导得vdv??a） ?????ax? （因y??c,???0，故?x?xxydt?av2?c2dvax??........... 由此得出dtvv?v2??dv?2222?....(3) 又a?????a?an?a????..........dt?????22a2(v2?c2)v222（2）=（3）得?a?() 2?vv3整理得a? 结论得证

c?证明2：

????c,???0，故有a?axi 如图设v与y轴夹角为α，则由yyv2由图示几何关系知an?acos?? 即a?.............(1)

??cos?c.(2) 又vy?vcos??c 则有cos??..........vv2v3（2）代入（1）得a? 结论得证

c?

?19、船得一初速v0 ，在运动中受到水的阻力，阻力的大小与船速的平方成正比，而比例系数为km，其中m为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。（15分） 解：由题意知 阻力为f?kmv2 则船的运动方程为mdvdv??kmv2 即 2??kdt dtvv0tv0?22而t?0时v?v0 设船经历时间为t时，v? 积分上式得 ?vdv??k?dt 即

v002?21???????kt ?v0v0?从而得t?1 kv020.质点M在力X?Psin?t的作用下沿x轴作直线运动，在初瞬时t?0,v?v0，

x?x0。 求质点的运动方程。

??F?X?Psi?nt 积分 解：由mvm(v?v0)?P?vv0mdv??Psin?tdt ，得

0t???v?v0?(1?co?st) 即 xP(1?cos?t) 积分 m?xt?PPP?)t?sin?t ?dx??0?v0?(1?cos?t)?dt 得x?x0?(v0?2x00m?m?m????x??点在xy平面内运动，当0≤x≤4时，点的轨迹为y?3?1?cos?，当x＞4时，

4??轨迹为水21.平线（如图示）。点的x坐标按规律x?t3?3t变化，式中x以毫米计，t以秒计。求当t=2秒时，点的位置、速度和加速度。

?x?????解：当t=2秒时, x?t3?3t?8?6?2mm，y?3?1?cos??3?1?cos??3mm

4??2?????所以点的位置坐标为 r?2i?3j?mm?

??x????3t2?3?9mm,y??3sin?x??3sin?9?21.2mm 又 xss4442???故速度为v?9i?21.2jmms

?????????6t?12mm2 xs??3???x3??x3??x3????cos???????x?xsin??xsin??x?sin?12?28.3mm2

s444444442???所以加速度为：a?12i?28.3jmm2

s22、质量m=g kg的质点，在不均匀的介质中作水平曲线运动，阻力大小按规律???y????2v2gF?变化，其中vo 速度，s为经过的路程，g为重力加速度。设t=0时，

3?sv0?5m,s0?0，求质点经过的路程与时间的关系。

sd2s2v2g解：质点运动微分方程在切线方向的投影式为：m2?? 由于m=g kg

3?sdtd2s2v2d2sdvdvdsdvdv2v?????v代入上式得所以有2?? 由于2? ds3?s3?sdtdsdtdsdtdtdv2ds2d?3?s?????

v3?s3?svdvsd?3?s???2?积分得? 即lnv?ln5??2?ln?3?s??ln3? 5v03?s分离变量

v3?sv?3?s?或ln??2ln 同取以e为底的对数 ???535?3??2?9?3?s?2

因此得v?s45?3?s?22 或

tds452 分离变量???3?sd?3?s??45dt

dt?3?s?21?3?s?3?9?45t 3积分??3?s?d?3?s???45dt 即

00?3?s?3?135t?27?27?5t?1? 开立方得3?s?335t?1

故s?335t?1?1

已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2 (2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t

解（1）由x=4t-2t2 , y=3t–1.5t2??.（1） 两式相除得

x4?2t8?4t4(2?t)4???? y3?1.5t6?3t3(2?t)33x是一直线方程 4??所以轨迹方程为y?得

??4?4t?4(1?t),y??3?3t?3(1?t).........x...(2)

????4.????3..........xy............(3)?2?y?2?16(1?t)2?9(1?t)2?5(1?t) 所以速度为v?x?2???2?16?9?5 xy全加速度为a??dv??5，法线加速度an?a2?a?2?0 dt由此说明质点作匀减速直线运动。

（2） 由x=5cos5t2 , y=5sin5t2??.（1）

而切线加速度为a??得轨迹方程为x2?y2?25是一圆的方程，其半径R=5 由（1）式得

???50tsin5t2,y??50tcos5t2.........(x2)

?2?y?2?2500t2(sin25t2?cos25t2)?50t..........(3) 所以速度为v?x切线加速度为a??dv?50 说明质点作匀加速圆周运动 dt2500t2法线加速度为an???500t2

?5?2???2?2500?250000t4?501?100t4 xy全加速度为a??v2

（3） 由x=4cos2t, y=3sin2t??.（1）

x2y2??1为一椭圆方程 得轨迹方程为

169???8sin2t,y??6cos2t.......(x2)由（1）式得

????16cos2t,????12sin2t......(xy3)所以速度为

v??2?y?2?64sin22t?36cos22t?216sin22t?9cos22t..........x(3)

全加速度为

a???2???2?(?16cos2t)2?(?12sin2t)2?416cos22t?9sin22t.......(xy4)

如图6 -1 所示, 半径为R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知轮心C 的速度是常量u , 求轮缘上一点M 的轨迹, 速度和加速度及轨迹的曲率半径.

图6-1

解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的

原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为: x = ut -

Rsinφ

y = R - Rcosφ

因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,

??DMut?RR整理后得运动方程为 x?ut?Rsinut Ruty?R?cosRR?y R.即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦

从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为: x?y?2R?y??Rarccos??u?ucosvx?x??usinvy?yutRutR22分别为v?vx?vy?2usinut2R

vxut??sin?sinv2R2vyut?cos???cos?cosv2R2cos??M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为

u2ut?x????ax?vxsinRRu2ut?y????ay?vycosRRu222a?ax?ay?

Rautcos???x?sin?sin?aRayutcos????cos?cos?aR即各点加速度指向轮心

u2v2ut又a?a??a?,an?,而a??v,由此可求得: ??4Rsin

RR?22n23.证明：质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。

证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为

的弦上的运动，则在任意

位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得

质点加速度 a?gcos?，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运动方程为

s?1212at?gtcos? 22又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为

s?2rcos? 质量为m的质量从圆的最高点O由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间 t?2s?a4rcos??gcos?4r，与?无关，故质量为m的质量从圆的最高点Og由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。

重为P的小球位于半径为r的光滑球面顶点，小球从静止开始下滑，求小球脱离球面的位置。

解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。 设球面顶点处为零势能面 由机械能守恒定律有0?1P2?v?P(r?rcos?) 2g故v2?2gr(1?cos?).............(1)

Pv2小球在法向方向运动微分方程为??Pcos??N

gr小球脱离球面时N=0，所以有v2?grcos?.................(2) （1）代入（2）式有grcos??2gr(1?cos?)

22,??arccos?48011? 33r?h2r? （h为自球面顶点起下降高度）得h? 又由几何关系知cos??r33讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质量）有关。

整理有cos??

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