圆锥练习

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1．能分析动点所满足的几何条件，根据动点满足的条件指定动点的轨迹图形，会用椭圆、双曲线和抛物线的定义判定曲线的形状。

2．利用运动变化的观点思考解决问题，利用数学研究运动变化的现实世界，运用画图操作探究与椭圆、双曲线、抛物线定义相近的点的轨迹。

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椭圆【双基再现】

1．★已知点F1(?5,0)，F2(5,0)且有PF1?PF2?10，则P点的轨迹是（ ）

A．椭圆B．双曲线C．线段D．两射线

2．★一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为（ ）

A．椭圆B．双曲线C．线段D．圆

3．★若?ABC的周长为16，且BC?6，则顶点A的轨迹是（ ）

A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

4．★★已知定直线l和l的一定点A，过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是（ ）

A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线

5．★已知双曲线的两个焦点为(?3,0),(3,0)，则双曲线的焦距为 。 6．★★★点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x?5?0的距离小1，求点M的轨迹。

【变式教学】

7．★★★（教材习题2。1第1题的变式）已知?ABC中，B(?4,0)，C(4,0)，AB,BC,AC成等差数列，求点A的轨迹。

8．★★★（教材P22练习2的变式）已知定点F和定直线l，动圆M过F且与直线l相切，求圆心M的轨迹。

【实践演练】

9．★★★已知以C为圆心、半径为R(?6)的一个圆内有一个定点A且AC?6，如果圆P过定点A且与圆C相切，求圆心P的轨迹。

10．★★★A,B是两个定点，以AB为一条底边作梯形ABCD，使DC的长为定值，AD与BC的长之和也是定值，则C点的轨迹是什么曲线？ 双曲线

1．掌握双曲线的标准方程的推导方法，进一步熟悉双曲线的定义及应用。

2．应当牢记双曲线的标准方程，熟悉标准方程中a,b,c的含义以及它们之间的关系，并注意与椭圆相区别。

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【双基再现】

1．★“ab?0”是方程ax2?by2?c表示双曲线的（ ）

A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

x22．★已知双曲线方程是

20?y25?1，那么它的焦距是（ ）

A．10B．5C．15D．215 x23．★★若方程

k?2?y25?k?1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）

A．(??,?2)B．(?2,5)C．(??,?2)??5,???D．(5,??)

4．★★已知双曲线的焦点分别为(0,?2)、(0,2)，且经过点P(?3,2)，则双曲线的标准方程是（ ）

x2A．

3?y?1B．

2y23?x?1C．y?22x23?1D．

x22?y22?1

5．★★已知双曲线的焦点在y轴上，且a?c?9，b?3，则它的标准方程为 。 6．★★根据下列条件，求双曲线的标准方程。

x2（1）与双曲线【变式教学】

16?y24（2）经过点P(?3,27)和点Q(?62,7) ?1有公共焦点，且过点(32,2)；

7．★★（教材P34练习3的变式）已知双曲线8kx?kx?8的一个焦点为?3,0?，求k的值。

228．★★（教材P34习题2。3练习5的变式）已知方程范围。

【实践演练】

x22?k?y2k?1?1表示焦点在x轴上的双曲线，求k的

9．★★已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0,?5)，双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

10．★★已知椭圆的标准方程为：求双曲线的标准方程。

x24?y23?1，一个过点P(2,?3)的双曲线的长轴的端点为椭圆的焦点，

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1．求双曲线的标准方程的方法主要有：定义法和待定系数法，其中定义法要紧扣两个定义；面待定系数法主要用的是方程组的思想，关键是找到关于a,b,c的等量关系。

2．在求双曲线标准方程的过程中，焦点F1,F2的位置决定了双曲线的标准方程的类型，如果知道焦点的位置，或能够根据已知条件确定焦点在哪个坐标轴上，则双曲线的标准方程只有一种形式；如果不知道焦点的位置，则要分类讨论，也可设方程的形式为mx2?ny2?1来避免讨论。 【双基再现】 1．★已知双曲线

xa22?yb22?1的焦点为F1,F2，弦AB过F1且在双曲线的一支上，若AF2?BF2?2AB，

则AB等于（ ） A．2aB．3aC．4aD．不能确定

2．★平面内与两个定点F1(0,?13),F2(0,13)的距离的差的绝对值等于24的点的轨迹是（ ）

y2A．

144?x225?1 B．

y225?x2144?1 C．

x2144?y225?1D．

x225?y2144?1

3．★若k?1，则关于x,y的方程(1?k)x2?y2?k2?1所表示的曲线是（ ）

A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线

x24．★双曲线

16?y29?1上一点P到点(5,0)的距离为15，那么该点到(?5,0)的距离为（ ）

A．7B．23C．5或25D．7或23

5．★★（2003年江苏省高考题）已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(7,0)，直线y?x?1与其相交于M,N两点，MN中点的横坐标为?x223，则此双曲线的方程是（ ）

2A．

3?y24?1B．

x24?y23?1C．

x5?y22?1D．

x22?y25?1

6．★★求以椭圆【变式教学】

x216?y29?1的两顶点为焦点，以椭圆

x216?y29?1的焦点为顶点的双曲线方程。

7．★★★（教材P34习题2。3练习3的变式）椭圆

x225?y2b?1与双曲线x?15y?15且有相同的焦点，

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求b值。

8．★★★（教材P34习题2。3练习4的变式）求过点?3,2?且与椭圆4x2?9y2?36有相同焦点的双曲线的方程。

【实践演练】

9．★★★★已知直线l:5x?7y?0与标准型双曲线C交于A,B两点，点P(5,14)与A,B构成以AB为斜边的等腰直角三角形，求双曲线的方程。

10．★★★★给出问题：设F1,F2是双曲线

x216?y220?1的焦点，点P是双曲线上的动点，点P到焦点F1的

距离等于9，求点P到F2的距离，某同学的解答如下：双曲线的实轴长为8，由PF1?PF2?8即9?PF2?8，得PF2?1或PF2?17。试问该同学的解答是否正确？若正确，请说明依据，若不正确，请

说明理由。

A8 双曲线的几何性质 1

【名师点金】

1．熟记双曲线的几何性质，结合图形，熟练掌握焦点在x轴上的双曲线的几何性质，另一种形式的方程的双曲线的几何性质与第一种类似，只需将性质中含有x,y的地方x换成y，y换成x即可。双曲线的几何性质与椭圆有相似的地方，可以在对比中进行学习。 2．共渐近线的双曲线是以y??式可简化过程。 【双基再现】

1．★双曲线3x?y?3的渐近线方程是（ ）

1322bax为渐近线的双曲线，它的方程可写成

xa22?yb22??(??0)，用这一形

A．y??3xB．y??xC．y??3xD．y??33x 132．★★如果双曲线经过点P(6,3)，渐近线的方程为y??x，则此双曲线的方程为（ ）

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A．

x218?y23?1B．

x29?y?1C．

2x281?y29?1D．

x236?y29?1

3．★★已知F是双曲线x2?y2?1的左焦点，P是双曲线上第三象限内的任意一点，则斜率kPF的取值范围是（ ）

A．k?0或k?1B．k?0或k?1C．k??1或k?1D．k??1或k?1

4．★★★已知F1,F2是双曲线的两个焦点，PQ是过点F1且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，

?PF2Q?90，则双曲线的离心率为（ ）

0A．2B．2?1C．2?1D．

2232?1

5．★★★若双曲线的渐近线方程为y??x，则其离心率为 。

6．★★★已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,?10)。 （1）求此双曲线的方程；（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：F1M?F2M。

【变式教学】

7． ★★（教材P39习题2。3练习2（1）的变式）求焦距为10，e?

8． ★★（教材P39习题2。3练习3的变式）已知e?线的方程。

【实践演练】 9．★★★过双曲线

xa2254的双曲线的标准方程。

53的双曲线与椭圆

y240?x215?1有相同焦点，求双曲

?yb22?1(a?0,b?0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点，以

MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求此双曲线的离心率。

10．★★★设点P到点M(?1,0),N(1,0)的距离之差为2m，到x轴的距离与到y轴的距离之比为2，求m的取值范围。

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A9 双曲线的几何性质2

【名师点金】

1．直线与双曲线的位置关系，在二次项系数不为0的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，不同的是：直线与双曲线只有一个公共点时不一定相切。

2．要注意，数形结合是很好的数学方法，图形能提供思路方法，但不具有严密性，解析几何是用代数研究几何图形的性质，要用严格的推理运算。 【双基再现】

1．★★直线l:y?k(x?A．?0,??B．?则直线l的倾斜角的范围是（ ） 2)与曲线x?y?1(x?0)相交于A,B两点，

22????????????3????3??C．D．0,?,?,???,?????,? ??2??2??42??24??44?2．★★直线y?k(x?3)与双曲线

x29?y24?1只有一个公共点，则k的值有（ ）

A．3个B．2个C．1个D．无数多个

x23．★★★给出下列曲线：①4x?2y?1；②x?y?3；③

222?y?1；④

2x22?y?1。其中与直线

2y??2x?3有交点的所有曲线是（ ） A．①③B．②④C．①②③D．②③④

4．★★★设F1,F2为双曲线

x24?y?1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?F1PF2?90，则?F1PF2的

20面积是（ ） A．1B．

52C．2D．5 25．★★★过原点与双曲线

x24?y3??1交于两点的直线的斜率的取值范围是 。

6．★★★★直线y?kx?1与双曲线x?y?1的左支交于A,B两点，另一直线l过点(?2,0)和AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

【变式教学】

7．★★（教材P39习题2。3练习6的变式）求经过点A?3,?1?且e?2的双曲线的标准方程。

x2228．★★★★（教材P39习题2。3练习7的变式）试证明：椭圆

25?y29?1与曲线

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x225?k?y29?k?1(k?25且k?9)有相同的焦点。

【实践演练】

9．★★★过点M(0,?1)的直线l交双曲线2x2?y2?3于两个不同的点A,B，O是坐标原点，直线OA与

OB的斜率之和为1，求直线l的方程。

10．★★★已知双曲线的两条渐近线都过坐标原点，且都与以点A(2,0)为圆心，1为半径的圆相切，又该双曲线的一个顶点是点A关于直线y?x的对称点。（1）求此双曲线的方程；（2）若直线l过A点，且与直线3x?3y?79?0垂直，在双曲线上求一点M，使M到此直线的距离为2。

A10 抛物线的标准方程1

【名师点金】

1．熟练掌握四种形式的抛物线的标准方程，会根据方程判别抛物线的焦点的位置，体验数形结合的记忆方法，结合图形记住焦点所在位置对应的标准方程，熟悉其中字母p的含义：焦点到准线的距离。 2．求抛物线的标准方程常用的是方法是待定系数法或轨迹法，为避免开口不一定而分成y?2px(p?0)或

y??2px(p?0)两种情况求解的麻烦，可以改成y?mx或x?ny(m?0,n?0)。

2222【双基再现】

1．★抛物线y??x的焦点坐标是（ ） A．?0,?2?1?1???1??1?B．C．D．0,?,0???????,0? 4?44?????4?2．★★顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P(?6,?3)的抛物线的方程是（ ）

A．x?12yB．x??12yC．y?12xD．y??12x 3．★★经过点P(4,?2)的抛物线的标准方程是（ ）

A．y?x或x?yB．y?x或x?8yC．x??8y或y?xD．x?y或y??8x

222222222222第 9 页 共 16 页

4．★★★动点P到直线x?4?0的距离减去它到M(2,0)的距离的差等于2，则点P的轨迹是（ ）A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线

5．★★抛物线y2?4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 。 6．★★★求分别满足下列条件的抛物线的方程。（1）过点(?3,2)；（2）焦点在x?2y?4?0。 【变式教学】

7．★★（教材P42练习1（1）的变式）求抛物线y2??6x的焦点坐标和准线方程。

8．★★★（教材P42练习3变式）求过点?1,?2?的抛物线的标准方程。 【实践演练】

9．★★★已知抛物线方程的焦点在y轴上，抛物线上一点M(a,?4)到焦点F的距离为5，求抛物线的标准方程和a的值。

10．★★★直角三角形AOB的三个顶点在抛物线y2?2mx(m?R)上，直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y?2x，斜边AB长为53，求抛物线的方程。

A11 抛物线的标准方程2

【名师点金】

1．学习中应当注意总结出图形与方程及焦点的对应规律，抛物线的标准方程二次项系数为1，方程的另一端一次项的系数是2p或?2p，焦点在一次项字母对应的轴上，一次项系数为正，在正半轴；一次项系数为负，在负半轴。准线在原点的另一侧，图形开口将焦点包含在内。 2．抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，为x0?【双基再现】

1．★抛物线顶点在坐标原点，焦点在y轴上，其上一点P(m,?3)到焦点的距离为5，则抛物线的方程为（ ）

A．x?4yB．x??4yC．x??8yD．x?8y

22．★★过抛物线y?4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)，如果x1?x2?6，那么AB等于（ ）

2222p2(对y?2px)。其它类似。

2A．10B．8C．6D．4

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3．★★P(x0,y0)是抛物线x2??2py上任意一点，点p到焦点F的距离是（ ）

A．y0?p2B．?y0?p2C．y0?pD．y0?p

4．★★P是抛物线y2?4x上一点，若P到焦点的距离为5，那么P点的坐标为 。

5．★★若F是抛物线y2?2x的焦点，点A的坐标是(2,1)，点P在抛物线上运动，当PA?PF最小时，

P点的坐标是 。

6．★★★已知抛物线的焦点落在x轴上，且截直线y?2x?1所得弦长为15，求此抛物线的标准方程。 【变式教学】

7．★★★（教材P42练习2的变式）求抛物线y?ax2的焦点坐标。

8．★★★（教材P42练习4（4）的变式）若抛物线的焦点到准线的距离为d(d?0)，求抛物线的方程。 【实践演练】

9．★★★★抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线

xa22?yb22?1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于

点A??3??3?,6?，B?,?6?，求此两曲线方程。 ?2??2?210．QR是抛物线y?4x上垂直于x轴的一条弦，P是抛物线上一点，直线PR与x轴交于点M，过PQ的直线交x轴于N，求证：抛物线的顶点平分线段MN。

A12抛物线的几何性质1

【名师点金】

1．在学习中要能够熟练掌握抛物线标准方程形式下抛物线的焦点、准线的方程，掌握直线与抛物线的位置关系的判断，能够解决相关弦中心、弦长、弦解等问题的解法；

2．抛物线上的点到焦点的距离称为焦半径，在解题中常常根据定义转化为到准线的距离，转化成点到直线的距离，这往往能使运算简便；

3．直线与抛物线的位置关系问题和椭圆及双曲线相比，有相同的地方，但也有不同的，如焦点弦问题，可灵活地运用定义加以解决，而不一定用两点间距离来求。 【双基再现】

21．★P?x0,y0?是抛物线y??32x上一点，F为抛物线的焦点，则PF=（ ）

A．x0?8B．x0?8C．8?x0D．?8?x0

2．★★抛物线y?x上到直线2x?y?4的距离最短的点的坐标是（ ）

2

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A．??11,24???39?1,1B．C．????,?D．?2,4? ??24?3．★★★设顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线上的一点P(m,?1)到焦点的距离为5，则m的值为（ ）

A．2或?2B．4 C．25D．4或?4

4．★抛物线y2?10x的焦点到准线的距离是（ ） A．2.5B．5C．7.5D．10

5．★★★已知抛物线y2?4x的一条弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，AB所在的直线与y轴交于点(0,2)，则

1y1?1y2= 。

6．★★★已知抛物线y2?6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰好在点P被平分，求这条弦所在的直线的方程。 【变式教学】

7．★★（教材P44练习1（2）的变式）抛物线的顶点在原点，准线方程是x?m(m?0)，求抛物线的方程。

8．★★（教材P44练习2的变式）抛物线y2??32x上一点到焦点的距离为10，求该点的坐标。

【实践演练】

9．抛物线顶点在原点，以x轴为对称轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，求抛物线的方程。 10．过点(0,?2)的直线与抛物线y?8x交于A,B两点，若线段AB中点的横坐标为2，求AB。

2A13 抛物线的几何性质 2

【名师点金】 1．在解决与抛物线相关的最值问题时，常用的方法有几何法和代数法，几何法是利用定义结合图形来解决，常常会用到三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，折线长大于线段的长等等。而代数法是指把要求的量写成某个变量的函数式，然后将之转化为函数的最值问题； 2．在求范围问题时也有以下几个常用解决方法：数与形相结合（几何）、判别式法、函数求最值的方法。 【双基再现】

1．★★过点?0,1?作直线，使它与抛物线y?3x有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）

2A．1条B．2条C．3条D．4条

2．★★设点A为抛物线y?4x上一点，点B的坐标为?1,0?，且AB?1，则点A的横坐标的值为（ ）

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A．?2B．0C．?2或0D．?2或2

3．★★已知点P是抛物线y2?2x上一动点，点P在y轴上的投影是M，点A的坐标是?PA?PM的最小值是（ ） A．

?7?,4?，则?2?72 B．4 C．

92 D．5

4．★★★已知点P是抛物线y2?4x上一点，点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线x?2y?12?0的

115522距离为d2，则d1?d2的最小值是（ ）A．5B．4C．D．

5．★★★抛物线y??x2上的点到直线4x?3y?8?0的距离的最小值是 。

6．★★★★已知抛物线y2?2px的一个内接三角形的一顶点在原点，三条高线都通过抛物线的焦点，求这个三角形的外接圆的方程。 【变式教学】

7．★★（教材P44习题2。4练习2的变式）抛物线y2?4x上一点P到焦点的距离为1，求该点的坐标。 8．★★★经过抛物线y2?2px的焦点F作一直线，和抛物线相交于P1?x1,y1?,P2?x2,y2?，求P1P2的长。 【实践演练】

9．设点A(a,0)求抛物线y?2x上的点到A点的距离的最小值。

210．设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y?2px(p?0)上位于x轴两侧的两点。（1）若y1y2??2p，证明

2直线AB恒过一个定点；（2）若p?2，?AOB(O为坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上截距的取值范围。

A14 圆锥曲线的共同性质1

【名师点金】

1．椭圆、双曲线、抛物线的统一定义：平面内到一个定点F和到一直线l的距离之比等于常数e的点的轨迹。当0?e?1时，轨迹是椭圆；当e?1时，轨迹是抛物线；当e?1时，轨迹是双曲线。其中定点F称为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

2．椭圆、双曲线和抛物线三者统一定义中出现了点与点之间的距离和点和线之间的距离，但平时在解题时可能并不是直接给出的，有时要经过适当的变形整理后才能发现，这需要对两点间距离公式和点到直线的距离公式的格式相当熟悉。 【双基再现】

1．★★平面上到定点A?1,0?和到定直线l:x?2y?3?0的距离相等的点的轨迹为（ ）

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A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆

2．★★★已知动点M的坐标满足10x?y?3x?4y?12，则动点M的轨迹是（ ）

A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对

3．★★F为定直线l外一定点，以F为焦点，l为相应准线的椭圆有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

x2224．★★★椭圆

100?y236?1上一点P到其左准线的距离为10，那么P点到该椭圆右焦点的距离是（ ）

A．15B．12C．10D．8

5．★★★设M为抛物线y2?2px(p?0)上任一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与y轴的位置关系是 。 6．★★★椭圆的离心率为的距离。

【变式教学】

7．★★★（教材P45例1的变式）已知点P?x,y?到定点F?c,0?的距离与它到直线l:x?为常数

8．★★★（教材P46练习（1）的变式）求

【实践演练】 9．★★★若双曲线值范围。

10．★★★已知P为双曲线

x245，长轴长为10，在椭圆上有一点M到左准线的距离为

52，求点M到右准线

a2c的距离之比

ca(c?a?0)，求点P的轨迹。

x522?y322?1的准线方程。

xa22?yb22?1(a?0,b?0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率的取

16?y29?1右支上一点，F1,F2分别为左右焦点，若PF1:PF2?3:2，试求

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点P?x0,y0?的坐标。

A15 圆锥曲线共同的性质2

【名师点金】

1．在熟练掌握圆锥曲线的共同性质的同时也要注意它们的区别：椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，准线方程便是x??a2c，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆和双曲

线的准线方程是y??a2c。

2．在熟练掌握共同性质的基础上，要能利用它将曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，即会求圆锥曲线的焦半径，由于焦半径对椭圆、双曲线、抛物线各不相同，即使是一种圆锥曲线，因焦点的位置不同形式也不同，所以不要死记，要有应用中推导。 3．解题中要重视数形结合思想的运用。 【双基再现】

1．★如果椭圆的两条准线之间的距离是这个椭圆焦距的两倍，那么这个椭圆的离心率为（ ）

1412A．B．C．

22D．

24

1222．★★中心在原点，准线为x??4，离心率为

x2的椭圆的方程为（ ）

y2A．

4?y23?1B．

x23?y24?1C．

x24?y?1D．x?242?1

3．★★若双曲线

x216?yb22?1(b?0)的一条准线恰好是圆x?y?2x?0的一条切线，则b等于（ ）

2A．8B．43C．4D．42 x224．与★★椭圆

222?y?1有相同的准线，且离心率为2的双曲线的方程为（ ）

A．

x48?y16?1B．

x216?y248?1C．

x26?y23?1D．

x23?y26?1

5．★★★椭圆的焦距为25，准线之间的距离是1855，则椭圆的标准方程是 。

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6．★★★设F1(2,0)是椭圆C的一个焦点，相应准线为x?8，离心率为e?12。

（1）求椭圆的方程；（2）求过另一焦点且倾斜角为450的直线被曲线C所截得的弦长。

【变式教学】

7．★★（教材P46练习（2）的变式）求曲线x2?4y2?16的离心率。

8．★★★（教材P47习题2（5）的变式）求x2?y?0的焦点坐标、离心率和准线方程。 【实践演练】 9．★★★已知椭圆

x24?y23?1，能否在椭圆上位于y轴左侧的部分找到一点M，使其到左准线l的距离

MN为点M到两个焦点F1,F2的距离的等比中项？说明理由。

10．★★★★在双曲线

x213?y212??1的一支上有不同的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，它们与点

F(0,5)的距离AF,BF,CF依次成等差数列。

（1）求y1?y3的值；

（2）求证：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出定点的坐标。

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