地下水资源计算与评价

第十章 地下水资源量的计算与评价

地下水资源––––是指有使用价值的各种地下水量的总称，它属于整个地球水资源的一部分。地下水的使用价值包括水质和水量两个方面。它是否能成为有使用价值的资源，首先是由水质决定的。在水质符合利用要求的前提下，看其可资利用的数量有多少。因此，地下水资源评价，应同时进行水质和水量的评价。地下水量的计算和评价比水质评价复杂得多。一般所说的进行地下水资源评价，都是在水质符合要求的前提下，着重对水量进行评价。因此，将地下水的各种量也多称为资源。前章已经讲了水质评价，本章则讨论水量的计算和地下水资源评价。

供水水文地质勘察的主要任务之一就是要查明地下水的水质和水量，进行地下水资源评价。地下水量是处在地下水补给与排泄的动平衡中，是随着自然和人为因素的改变而变化的。特别是在大量开采地下水后，会引起地下水补给、排泄条件的改变，给地下水量的准确计算带来不少困难。这就迫使人们去研究不同的计算方法，同时，也出现了对地下水量描述的不同术语或不同分类。

§l 地下水资源的特点及分类

一、地下水资源的特点

地下水资源，既不同于矿产资源，也不同于地表水资源，有它自己的特点。主要有：

（1）可恢复性：当人工开采地下水时，在多数情况下，只要开采量不超过一定限度，虽然井附近的地下水位要降低，使地下水的储存量暂时减少，但只要停止开采，水位又可逐渐恢复原位，即地下水的储存量又得到了补充。这就是地下水的可恢复性，是与一般矿产资源的重要区别。固体矿产，开一点就少一点，没有恢复补偿性质，石油等液体矿产也是如此。地下水虽然可以不断得到补给和更新，开采后可以补充恢复，但也不是取之不尽、用之不竭的。如果大量超采，也会造成地下水资源的消耗甚至枯竭。

（2）系统性（或活动性及与周围环境的密切联系性）：由于地下水与周围环境（气候、水文条件及地质条件等）有密切的联系，所以大都具有流动性或活动性，特别是与地表

水联系得更加密切，常常可以互相转化。这种联系反映在含水层的平面和剖面边界条件上，包括地下水的补给和排泄条件。液体矿产虽然也有流动性，但往往要在开采时才表现出来。虽外部环境对其它矿产也有影响，但仅是在地质历史时代中反映出来。考虑到地下水的流动性，可用地下水的流量表示地下水的数量。由于人工开采地下水后，其边界条件可能发生变化，使地下水的流动状态改变，所以地下水的天然流量也不能完全反映地下水可被开采利用的数量。

（3）调节性（或储存量的可变性）：地下水在含水层中始终处在不断地补给和消耗的新旧交替过程中。补给和消耗量在不同年份或季节是不同的，特别是补给量随时间变化较大。当补给丰富、大于消耗时，含水层就把多余的水蓄集起来，使地下水的储存量增加；当补给较少或暂时停止时，又可用储存的地下水维持消耗，使储存量减少。储存量的这种可变性，在地下水的补给、径流、排泄及开采过程中均起着调节作用。这种性质是其它矿产资源所不具备的。有的含水盆地具有相当大的调蓄能力。如山西娘子关泉域的调蓄能力有143108m3。利用这一性质，可以进行人工调蓄，增大开采量。

二、地下水资源量的分类

由于地下水资源具有可恢复性、系统性（流动性）、调节性等特点，所以对地下水量的准确表达较困难，因而出现了许多不同的术语和分类。目前．这些术语和分类尚未能统一和完善，有待研究解决。现仅将常用的分类和术语概念简述于下。

50一60年代，国内曾广泛采用H2A2普洛特尼科夫的地下水储量分类（四大储量）。他将地下水储量分为如下四类。

动储量：是指单位时间流经含水层（带）横断面的地下水体积，即地下水的天然流量；

静储量：是指地下水位年变动带以下含水层（带）中储存的重力水体积；

调节储量：是指地下水位年变动带内重力水的体积； 开采储量（专水，允许开采量）：是指用技术经济合理的取水工程能从含水层中取出的水量，并在预定开采期内不至发生水量减少、水质恶化等不良后果。

该分类在一定程度上反映了地下水量在天然状态下的客观规律，对我国当时地下水资源评价工作起过一定的作用。但它存在一些需要改进的缺点。

许多学者考虑到地下水量的特殊性，认为不宜用“储量”

这个术语来描述地下水量，应改用“地下水资源”。有人将地下水资源分为天然资源和开采资源两大类，有人将其分为补给资源、储存资源和开采资源三大类，等等。另一些人认为，“资源”的含意应包括量和质两方面，单纯指水量时用资源来描述不合适，不如直接用地下水的各种量来表达。目前，我国较多的人主张将地下水资源量分为补给量、储存量和允许开采量（或可开采量）三类，既不用储量也不用资源，直接叫作地下水的各种量。下面将重点讨论这种分类。 1．补给量：

补给量––––是指天然状态或开采条件下，单位时间从各种

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途径进入该单元含水层（带）的水量（m/a）。补给来源有降水渗入、地表水渗入、地下水侧向流入和垂向越流，以及各种人工补给。实际计算时，应按天然状态和开采条件下两种情况进行。实际上。许多地区的地下水都已有不同程度的开采，很少有保持天然状态的情况。因此，首先是计算现实状态下地下水的补给量，然后再计算扩大开采后可能增加的补给量。这后一种称为补给增量（或称诱发补给量、激发补给量、开采袭夺量、开采补充量等）。常见的补给增量由下列来源组成。

来自降水入渗的补给增量：由于开采地下水形成降落漏斗，除漏斗疏干体积增加部分降水渗入外，还使漏斗范围内原来不能接受降水渗入补给的地区（例如沼泽、湿地等），腾出可以接受补给的储水空间，因而增加了降水渗入补给量。此外，由于地下水分水岭向外扩展，增加了降水渗入补给面积，使原来属于相邻均衡地段（或水文地质单元）的一部分降水渗入补给量，变为本漏斗区的补给量。

来自地表水的补给增量：当取水工程靠近地表水时，由于开采地下水，使水位下降漏斗扩展到地表水体，可使原来补给地下水的地表水补给量增大，或使原来不补给地下水，甚至排泄地下水的地表水体变为补给地下水。这就是开采时地表水对地下水的补给增量。

来自相邻含水层越流的补给增量：由于开采含水层的水位降低，与相邻含水层的水位差增大，可使越流量增加，或使相邻含水层原来从开采含水层获得越流补给，变为补给开采层。

来自相邻地段含水层的增加的侧向流入补给量：由于降落漏斗的扩展，可夺取属于另一均衡地段（或含水系统）地下水的侧向流入补给量。或某些侧向排泄量因漏斗水位降低，而转为补给增量。

来自各种人工增加的补给量：包括开采地下水后各种人工用水的回渗量增加而多获得的补给量。

补给增量的大小，不仅与水源地所处的自然环境有关。同时还与采水构筑物的种类、结构和布局，即开采方案和开采

强度有关。当自然条件有利、开采方案合理、开采强度较大时，夺取的补给增量可以远远超过天然补给量。例如，在傍河地段取水，沿岸布井开采时，可获得大量地表水的入渗补给增量，并远大于原来的天然补给量，成为可开采量的主要组成部分。但是，开采时的补给增量也不是无限制的。从上述补给增量的来源可以看出，它无非是夺取了本计算含水层或含水系统以外的水量。从整个地下水资源的观点来看，邻区、邻层的地下水资源也要开发利用。这里补给量增加了，那里就减少了。再从“三水”转化的总水资源的观点考虑，如果河水已被规划开发利用，这里再加大开采强度，大量夺取河水的补给增量，则会减少了地表水资源。因此，在计算补给增量时，应全面考虑合理的袭夺，而不能盲目无限制地扩大补给增量。

计算补给量时，应以天然补给量为主，同时考虑合理的补给增量。地下水的补给量是使地下水运动、排泄、水交替的主导因素，它维持着水源地的连续长期开采。允许开采量主要取决于补给量。因此，计算补给量是地下水资源评价的核心内容。（补给量的计算见动态与均衡）。 2．储存量：

储存量––––是指储存在单元含水层中的重力水体积（m3）。 （1）潜水含水层的储存量，也称为容积储存量，可用下式计算：

W???V （V＝F M）（M含水层厚度） 式中：W––––地下水的储存量（m3）；

μ––––含水层的给水度（小数或百分数）； V––––潜水含水层的体积（m3）。

（2）承压含水层除了容积储存量外，还有弹性储存量，可按下式计算：

式中：Wμ––––承压水的弹性储存量（m3）；

μ*––––贮水（或释水）系数（弹性给水度）（无因次）；

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F––––承压含水层的面积（m）；

h––––承压含水层自顶板算起的压力水头高度（m）。 μ*Fh μV W????F?h*

由于地下水的水位常常是随时间而变化的，地下水储存量也随时而异。这是由于地下水的补给与排泄不均衡而引起的。地下水的储存量在地下水的运动交替和地下水开采过程中起着调节作用。在天然条件下，地下水的储存量呈周期性的变化，主要有年周期，还有不同长短的多年周期。一般应当计算一年内最大储存量和最小储存量。在开采条件下，如果开采量不大于补给量，储存量仍呈周期性变化；在开采量超过补给量时，就由储存量来补偿这部分超过的开采量，使储存量出现逐年减少的趋势性变化。

有人将一定期限内的最小储存量称为永久储存量或静储量。它是在一定周期内不变的储存量。最大与最小储存量之差称为暂时储存量，相当于调节储量。在地下水径流微弱的地区，暂时储存量的数量可以很大，几乎接近补给量，可以将它作为允许开采量。在一般情况下，计算允许开采量时不能考虑永久储存量。如果动用了它，就会出现区域地下水位逐年持续下降的趋势，导致地下水源枯竭。但是，如果永久储存量很大（如含水层厚度大、分布又广的大型贮水构造），每年适当动用一部分永久储存量，使在100年或50年内总的水位降不超过取水设备的最大允许降深也是可以的。例如，美国得克萨斯州高平原地下水源地，主要是消耗静储量来维持开采，据计算，可持续开采40—50年。 3．允许开采量（或可开采量）：

允许开采量（或可开采量）––––是指通过技术经济合理的取水构筑物，在整个开采期内出水量不会减少、动水位不超过设计要求、水质和水温变化在允许范围内、不影响已建水源地正常开采、不发生危害性环境地质现象等前题下，单位时间内从该水文地质单元或取水地段开采含水层中可以取得的水量。其常用的流量单位为m3/d或m3/a等。简言之，地下水允许开采量（或可开采量）––––指在可预见的时期内，通过经济合理、技术可行的措施，在不引起生态环境恶化条件下允许从含水层中获取的最大水量。（m3/d或m3/a） 允许开采量与开采量是不同的概念。开采量是指目前正在开采的水量或预计开采量，它只反映了取水工程的产水能力。开采量不应大于允许开采量；否则，会引起不良后果。

允许开采量的大小，是由地下水的补给量和储存量的大小决定的；同时，还受技术经济条件的限制。为了说明这一关系，有必要分析开采量的组成。

地下水在开采以前，由于天然的补给、排泄，形成了一个不稳定的天然流场。雨季补给量大于消耗量，含水层内储存量增加，水位抬高，流速增大；雨季过后，消耗量大于补给量，储存量减少，水位下降，流速减小。补给与消耗总是这样不平衡的发展着，形成一个不稳定的天然流场。这种不平衡的发展过程，具有年和多年的周期性。从一个周期的时间来看，这段时间的总补给量和总消耗量是接近相等的；如果不相等，则含水层中的水就会逐渐被疏干，或者水会储满含

水层而溢出地表。

在人工开采地下水时，增加了一个经常定量的地下水排泄点，改变了地下水的天然排泄条件，即在天然流场上又叠加了一个人工流场。这既破坏了补给、消耗之间的天然动平衡，又力图建立新的、开采状态下的动平衡。在开采最初阶段，由于增加了一个人工开采量，必须减少地下水的储存量，使开采地段水位下降形成一个降落漏斗。随漏斗扩大，流场发生了变化，使天然排泄量减少，促使补给量增加，即为补给增量。在开采状态下，可以用下面水均衡方程表示： 式中：Q补––––开采前的天然补给量（m3／d）； ΔQ补––––开采时的补给增量（m3／d）； Q排––––开采前的天然排泄量（m3／d）；

ΔQ排––––开采时天然排泄量减少值（m3／d）； Q开––––人工开采量（m3／d）； μ––––含水层的给水度；

F––––开采时引起水位下降的面积（m2）； Δt––––开采时间（d）；

Δh––––在Δt时间段内开采影响范围内的平均水位降（m）。

由于开采前的天然补给量与天然排泄量在一个周期内是近似相等的，即Q补≈Q排，所以上式可简化为：

这个方程表明，开采量实质上是由三部分组成的，即： （1）增加的补给量（ΔQ补），也就是开采时夺取的额外补给量，可称为开采夺取量；

（2）减少的天然排泄量（ΔQ排），如开采后潜水蒸发消耗量的减少、泉流量减少甚至消失、侧向流出量的减少等。这部分水量实质上就是由取水构筑物截获的天然补给量，可称为开采截取量。它的最大极限等于天然排泄量，接近于天然补给量；

?t），是含水层中永久储存量（3）可动用的储存量（

所提供的一部分。（枯水期抽水） 明确了开采量的组成，就可以按各个组成部分来确定允许开采量。讨论：

（1）允许开采量中补给增量部分，只能合理地夺取，不能影响已建水源地的开采和已经开采含水层的水量；地表水的补给增量，也应从总的水资源考虑，统一合理调度。

（2）允许开采量中减少的天然排泄量，应尽可能地截取，但也应考虑已经被利用的天然排泄量。例如，有的大泉是风景名胜地。由于增加开采后泉的流量可能减小，甚至枯竭，破坏了旅游景观，这也是不允许的。截取天然补给量的多少与取水构筑物的种类、布置地点、布置方案及开采强度有关。如果开采方案不佳，则只能截取部分天然补给量。只有选择最佳开采方案及开采强度，才能最大限度地截取天然补给量。因此，在计算允许开采量时，只要天然排泄量尚未加以利用，就可以用天然补给量或天然排泄量作为开采截取量。 （3）允许开采量中可动用的储存量，应慎重确定。首先要看永久储存量是否足够大，再看现时的技术设备最大允许降深是多少，然后算出从天然低水位至区域允许最大降深动水位这段含水层中的储存量，按100年或50年平均分配到每年的开采量中，作为允许开采量的一部分。

?F?h三、地下水量之间的关系

上述地下水各种量之间是相互联系的，并且是不断转化、交替的。永久储存量或叫静储量是指储存水的那部分空间体积始终在含水，并不是说那部分水是永久储存不变的。它仍然会转化为排泄的水流走，再由补给来的水补充，同样参加水循环。只有极少数在特殊条件下形成的地下水，如处在封闭构造中的沉积水，才没有补给、排泄量，而只有静储量。

大多数自然条件下的地下水都是由补给量转化为储存量，储存量又转化为排泄量，处在不断的水交替过程中。在开采条件下所取出来的水，都是由储存量中转化来的。由于储存量的减少，可以夺取更多的补给量来补充；同时，又截取了部分天然补给量，则使天然排泄量减少。各量之间的关系可用下面形式表示。

天然状态的转化关系：

开采状态的转化关系：

各种量的数量关系为： 在天然状态下：

若在均衡期内，则ΔQ储→0，上式变为：Q天补≈Q天排 在开采状态下：

式中：Q天补––––天然补给量；

Q天排––––天然排泄量； ΔQ储––––储存变化量；

Q实开––––实际开采量； Q允许––––允许开采量； ΔQ补––––补给增量；

ΔQ排––––减少的排泄量；

ΔQ′补––––合理的开采夺取量； ΔQ′储––––可动用的储存量。 由于开采量与补给量的不同关系，可出现三种开采动态类型水源地：①稳定型：任何时间Q开≤Q天补+ΔQ补；②调节型：雨季开采量小于总补给量，而旱季开采量可大于总补给量。但在一年或数年期间，累计总开采量仍应小于总补给量，即未动用储存量（静储量）；③消耗型：开采量大于总补给量，须动用消耗储存量（静储量）。

§2 计算地下水允许开采量的主要方法

计算地下水的允许开采量是地下水资源评价的核心问题。计算允许开采量的方法，也称为地下水资源评价方法。允许开采量的大小，主要取决于补给量，还与开采的经济技术条件及开采方案有关。由于水文地质条件的差异及不同勘察阶段取得的水文地质资料丰富程度不一，以及对成果的要求精度不同，可采用不同的计算方法。

目前，已有计算方法约二三十种。依据不同原则，学者们对众多计算方法作了多种分类。本教材根据计算方法的主要理论基础、所需资料及适用条件，选用了表10—l的分类（四类）。在实际勘查中，可据具体条件，选择一种或几种方法进行计算与评价，以相互比较论证与择优。因学时所限，下面只从前三类中选择几种常用方法加以介绍。第四类的方法原理将在第三篇中予以介绍。欲全面了解，请参阅水文地质手册及地下水资源评价等书籍。

一、以渗流理论为基础的方法

（一）解析法

计算地下水资源的解析法，就是用地下水动力学中解析解的公式来计算求得允许开采量的方法。此法在理论上是较严密、精确的。只要介质条件、边界条件和取水条件符合选用公式的假定条件，则计算出来的开采量便是既能取得出来、又有补给保证的水量（稳定流），或可以预报出该条件下开采时的水位变化情况（非稳定流）。 但此法在实际运用中也有困难，尽管各种不同条件下的公式很多，但完全符合公式中假定条件的情况却是较少的。例如：介质条件要求均质或简单的非均质，而自然条件常是复杂的非均质；边界条件假定是无限、直线、或简单的几何形态，而自然界常是复杂的边界；补给条件在自然界常是随时间而变化的，在解析法的公式中却难于反映，只能简化为均匀连续的补给，等等。由于实际情况不能完全符合公式的假定条件，所以使严密、准确的解析解也变为近似的了。 实际上，除少数情况下（如有河流补给的岸边取水水源地、无垂向补给的大面积承压水及边界简单的水源地等），可以直接运用解析公式计算允许开采量以外，常常是用解析公式计算出开采量（只反映产水能力），再用水均衡法计算补给

量来论证其保证程度。 1．如何选择公式

地下水动力学中介绍了许多井流公式，选用时应考虑以下几方面。

根据地下水开采动态类型或从水文地质条件分析，判定是采用稳定流公式还是非稳定流公式。自然界大都是非稳定流，但在就地补给条件较好的地区，有似稳定流出现时，选用稳定流公式计算，既简便，又可得到较好的成果。例如在有地表水补给的河谷地区，或在降水丰富、补给条件又好的地区，均可用稳定流公式计算。

考虑地下水类型、含水介质性质和边界条件，选择承压水井还是潜水井的公式。依据均质还是非均质，无限边界还是有限边界，有无渗入补给和越流补给等，分别选用不同的公式。

根据拟定的开采方案选用相应的公式。考虑取水构筑物的类型、结构、布局、井距等。一般尽量采用完整井互相干扰的稳定流或非稳定流公式计算。也可以采用开采强度法，即概化为单位面积的开采量。

现有的各种公式，在有关手册上均能查到。尽管已有很多公式，但还不能完全满足实际的需要。在工作中，可以根据实际情况，运用水动力学的基本原理，研究出新的公式来。 2．计算步骤

（1）首先，通过勘探试验或实验取得计算所需的各种参数，如渗透系数K、含水层厚度M、导水系数T、重力给水度μ和弹性给水度（或释水系数）μ*、水头分布H等。 （2）其次，拟定开采方案，确定计算公式。可先初步布井，计算后再调整，还可以进行几个方案比较，择优录用。 （3）然后，计算开采量，检查水位降。一种方法是计算干扰条件下设计降深的单井出水量，加起来的总和便是开采量。如果是非稳定流，则应计算在一定开采量的条件下中心区水位降深的发展情况，做出一定降深的水位预报。另一种方法是将需水量分配到各个井，再计算几个控制点的水位降深。若水位降深不均匀，则调整各井的开采量，再计算水位降深；或修改布井方案，反复计算，直到每个井的取水能力已充分发挥，各点的水位降又不超过允许下降值时为止。经过反复调整计算，选出最佳方案。

（4）最后进行评价。如果计算时已考虑了补给条件，则最后计算出来的开采量便是既取得出来，又有补给保证的允许开采量（稳定型或调节型开采动态），或者是有一定开采期限的可开采量。如果计算时未考虑补给条件，则应再计算该区地下水的补给量，论证开采量的保证程度。还应评价开采后是否会引起环境地质等问题。

3．实例

据冶金部西安勘察公司韩昌彬等资料，勘察区位于内蒙古高原的低山丘陵河谷地带，气候干燥，平均年降水量为222mm，集中在7、8、9三个月内。河谷宽约500m。除雨季外，河床常年干枯。河谷内第四系砂砾石含水层平均厚17m，地下水埋深2m，主要由降水和地表水补给。两侧和底部均为岩浆岩。勘探孔和试验孔的布置如图10一1所示。开采方案是沿河谷中心布置9口井，井距约1km。其布局和映射见图10一2。

据勘探试验资料算出井群的总出水量约为5000m3／d。在这样的开采条件下，在整个旱季（无降水和河水补给），中心区水位下降多少。

步骤1：水文地质条件概化。根据勘探试验取得的各种参数，对水文地质条件进行如下概化。

介质条件：由于含水层沿河方向的不均匀性，可分为三个

场段，采用不同的参数。表10一2所示。

边界条件：把河谷两岸概化为直线平行不透水边界。

疏干时间：由于区内每年7、8、9三个月为雨季，有降水和河水补给，故确定疏干时间为365一90＝275d。

步骤2：确定计算公式，计算降深值。根据概化后的水文地质条件，可选用潜水完整井井群干扰非稳定流理论公式来

计算：

式中：S––––观测井的水位下降值（m）； H––––含水层平均厚度（m）； Qi––––各井抽水量（m3／d）； K––––渗透系数（m／d）； W(ui)––––井函数；

––––井函数自变量；

ri––––抽水井（实、虚）至观测井距离（rn）； μ′––––含水层延迟释水系数； T––––导水系数（m2／d）； t––––抽水延续时间（d）。

将所取得数据代入公式，计算降深值。由于平行边界相距较近，映射次数较多，所以采用表格形式进行计算较方便。例如先计算中心区10号井的降深值。首先，从图上查出各

4Ttui?ri??2??实井和虚井与该井的距离ri，算出ri2，分别乘各场段的4Tt，

Qi求出ui值；然后，从井函数表查得W(ui)值，再乘以K，加

1n起来便可求得2?得降深：

?i?1QiKW(ui)，用A表示。最后，计算10号井

计算表的形式如表10—3所示。

计算时取了五次映射，分别对中心区的11号、10号、12号及5号井进行了计算。其降深依次为6．84、7．77、6．80、6．80m，仅占含水层平均厚度的40％一50％。

步骤3：评价。按开采量为5000 m3／d，拟建布局是合理的，可作为允许开采量，在整个旱季才疏干了含水层的40％，到雨季是可以补偿回来的。 4．解析法的适用条件

适用于含水层均质和各向同性、边界条件较简单、可概化为计算公式要求的模式。 （二）数值法

数值法是随着电子计算机的出现而发展起来的，应用十分广泛。从理论上看，尽管它是对渗流偏微分方程的一种近似解，但实际应用中完全可以满足精度要求。它可以解决许多复杂条件下的地下水资源评价问题，应用广泛，是一种较好的方法。

在地下水资源评价中常用的数值法有两种，即有限单元法和有限差分法。这两种方法各有利弊。在实际运用中效果差不多。在解题过程中，它们在许多方面都是相似的，都把研究区域剖分成若干网格（有限差分法分为方形、矩形、三角形；有限元法常用三角形），将建立的偏微分方程离散成线

性代数方程组，用电子计算机联立求解线性方程组。所不同的是在网格剖分上及线性化的方法上有所差别。

在线性化的数学推导中，有限差分法简单易懂，物理意义明确；有限元法较复杂，涉及的数学基础较深。关于其具体的推导过程和详细解题方法以及通用源程序等，将在以后的“地下水流数值模拟”课中讲授，许多专著中对此也均有论述。这里仅对如何运用数值法进行地下水资源评价，按照计算步骤作一概略介绍。

步骤1 建立水文地质概念模型 在水文地质调查和勘探的基础上，研究分析计算区域的地质、水文地质条件，概化出适用的水文地质概念模型。该模型来源于该区的实际水文地质条件的概化，是选择相应数学模型的依据。概化的主要内容如下：

（1）计算范围和边界条件的概化。首先，应明确计算层位，然后据评价要求圈定出计算区的范围。计算区应该是一个独立的天然地下水系统，具有自然边界，便于较准确地利用其真实的边界条件，以避免人为边界在提供资料上的困难和误差。但在实际工作中，因勘探范围有限，常常不能完全利用自然边界。此时，需利用调查、勘探和长观资料建立人为边界。计算区范围确定后，可概化为由折线组成的多边形边界。

边界位置确定后，应进一步判明边界的性质，给出定量的数值。当地表水体直接与含水层接触时，可以认为是定水头的一类边界，但不能说凡是地表水体都一定是定水头边界。只有当地表水与含水层有密切的水力联系，经动态观测证明有统一的水位，地表水对含水层有无限的补给能力，降落漏斗不可能超越此边界线时，才可以确定为定水头补给边界。因为定水头补给边界对计算成果的影响很大，所以确定时应慎重。如果只是季节性的河流，只能在有水期间定为定水头边界。若只有某段河水与地下水有密切水力联系，则只将这一段确定为定水头边界。如果河水与地下水没有水力联系，或河床渗透阻力较大，仅仅是垂直入渗补给地下水，则应作为二类定流量补给边界。

断层接触边界可以是隔水边界、流量边界；在特殊条件下，也可能成为定水头边界。如果断层本身是不透水的，或断层的另一盘是隔水层，则构成隔水边界。如果断裂带本身是导水的，计算区内为富含水层，区外为弱含水层，则形成流量边界。如果断裂带本身是导水的，计算区内为导水性较弱的含水层，而区外为强导水的含水层时（这种情况，供水中少有，多出现在矿床疏于时），则可以定为定水头补给边界。 岩体或岩层接触边界，一般多属隔水边界或流量边界。凡是流量边界，应测得边界处岩石的导水系数及边界内外的水头差，算出水力坡度，计算出补给量或流出量。

地下水的天然分水岭，可以作为隔水边界，但应考虑开采后是否会移动位置。

含水层分布面积很大或在某一方向延伸很远，成为无限边界时，如用数值法，则须计算很大的区域，由于增加了许多节点而加大了计算工作量。在这种情况下，可用设置缓冲带的方法，即在勘探区外围确定一适当宽度的地方作为定水头边界，其宽度一般为2一3层单元。缓冲带的参数应比含水层小（有人认为应小50一100倍），这就等价于一个无限边界。

边界条件对于计算结果影响是很大的，在勘探工作中必须重视。对复杂的边界条件，如给出定量数据有困难时，应通过专门的抽水试验来确定。个别地段，也可以留待识别模型时反求边界条件，但不能遗留得太多。

另外，还需确定计算层的上下边界及有无越流、入渗、蒸发等现象，并给出定量数值。最后，还应根据动态观测资料，概化出边界上的动态变化规律。

（2）含水层内部结构的概化。在含水介质条件方面，应确定含水层类型，查明含水层在空间的分布形状。对承压水，可用顶底板等值线图或含水层等厚度图来表示，对潜水，则可用底板标高等值线图来表示。应查明含水层的导水性、储水性及主渗透方向的变化规律，用导水系数T和贮水系数μ*

（或给水度μ）进行概化的均质分区。实际上，绝对均质或各向同性的岩层在自然界是不存在的，只要渗透性变化不大的地段，就可相对地视为均质区。此外，还要查明计算含水层与相邻含水层、隔水层的接触关系，是否有“天窗”、断层等沟通。如果为了取得某些详细准确的参数，须布置大量勘探、试验工作而要花费昂贵的代价时，可考虑先有一个控制数值，再在下一步识别模型时来反求该参数。

（3）含水层水力特征的概化。水力特征的概化，就是将复杂的地卜水流实际状态概化为较简单的流态，以便于选用相应的计算方程。一是层流、紊流的问题，一般情况下，在松散含水层及发育较均匀的裂隙、岩溶含水层中的地下水运动，大都视为层流，符合达西定律。只有在极少数大溶洞和宽裂隙中的地下水流，才不符合达西定律，呈紊流。二是平面流和三维流问题，严格地讲，在开采状态下，地下水运动存在着三维流，特别是在区域降落漏斗附近及大降深的井附近，三维流更明显。但在实际工作中，由于三维流场的水位资料难以取得，目前在实际计算中，多数将三维流问题按二维流处理，所引起的计算误差，基本上能满足水文地质计算的要求。

步骤2 建立计算区的数学模型 根据上述概化后的水文地质模型，就可以建立计算区相应的教学模型。地下水数学模型，就是刻画实际地下水流在数

量、空间和时间上的一组数学关系式。它具有复制和再现实际地下水流运动状态的能力。实际上，数学模型就是把水文地质概念模型数学化。描述地下水流的数学模型的种类很多，我们这里指的是用偏微分方程及其定解条件构成的数学模型，定解条件包括边界条件和初始条件。 例如，若概化后的水文地质概念模型为： （1） 分区均质、各向同性的承压含水层； （2） 有越流补给，其补给量随开采层水位的变化而变化； （3） 水流为平面非稳定流，并服从达西定律； （4） 初始水位为H0（x，y，t0）； （5） 有源汇项（开采井），在井数多而集中的单元，概

化为开采强度Qv（x，y，t）（m3/d2m2）； （6） 边界条件为第一类（Γ1）、第二类（Γ2）边界条

件。

则其数学模型为： 式中：

h，H––––分别为含水层，补给层的水头（m）；

T，μ*––––分别为含水层的导水系数和弹性释水系数； K′，m′––––分别为越流弱透水层的渗透系数和厚度； QE––––补给强度（m／d）； QV––––开采强度（m／d）；

H0––––初始流场的水头分布（m）；

H1––––一类边界（Γ1）上的水头分布（m）； q––––二类边界（Γ2）上单位长度的侧向补给量（m2／d）； x，y––––平面直角坐标； t––––时间（d）；

n––––二类边界上的内法线。

这种数学模型比较复杂、可借助电子计算机用数值法求解。

步骤3 从空间和时间上离散计算域 将计算域进行剖分，离散为若干小单元，做出剖分网格图。剖分时，首先要选好节点，节点最好是观测孔，以便获得较准确的水位资料。但一个计算域的节点不可能都是观测孔，还需要许多插值点来补充。插值点应放在水位变化显著的地方、参数分区的部位及井孔节点稀疏的地方。

选好节点后，在将点连接成单元时，还应按单元剖分的原则做适当的点位调整。单元剖分的原则是：相邻单元的大小

不要相差太大；对三角形单元来说，三个边长不要相差太大，最长与最短边之比不能超过3：1；三角形的内角以在30－90°之间为好，必要时可允许出现个别的钝角，但面积不要太小；若钝角三角形太多，会影响解的收敛；在水力坡度变化较大的地段及资料较多的中心地带，网格可加密些，边远地带可放稀些。剖分后，按一定的顺序对节点和网格进行系统的编号、准备相应的数据。

时间的离散，可根据水头变化的快慢规律，确定适当的时间步长。对模拟抽水试验来说，开始以分为单位，以后以小时、天为单位。模拟大量开采时（或动态），可以用月、季、年为单位。

步骤4 校正（识别、检验）数学模型 按上述步骤建立的数学模型，是否能真实地反映实际流场的特点，还不能肯定，还须进行识别或校正。可用实际测得的水头值来校正模型的方程、参数及边界条件，也就是数学运算中的解逆问题。其方法有两类，即直接解法和间接解法，由于直接种法要求每个节点的水头均应是实际观测值，这在实际上很难办到，所以应用较少，常用的是间接解法。 间接解法就是试算法。即根据所建立的数学模型，选择相应的通用程序或专门编制的程序，用勘探试验所取得的参数和边界条件作为初值，选定某一时刻作为初始条件。按程序所要求的输入数据的顺序输入进去，按正演计算模拟抽水试验或开采，输出各观测孔水位各时段得变化值和抽水结束时的流场情况。把计算所得水头值与实际观测值对比，如果相差很大，则修改参数或边界条件，再一次进行模拟计算。如此反复调试，直到拟合误差小于某一给定的标准为止。这时所用的一套参数和边界条件及数学方程就被认为是符合客观实际的。

调试的方法也有两种，一是人工调试，二是机器自动优选。人工调试方便简单，特别是在对计算区水文地质条件认识较清楚、正确时，容易达到误差要求。机器自动调试，有时可能同时得出几组参数都能满足数学上的要求，这就需要根据水文地质条件人为地选取。

识别数学模型的顺序一般为：先检验修正所选用的参数，而后再识别边界条件和数学方程。

逆演问题的唯一性，目前在数学上还没有很好地解决，参数和边界条件可以存在多种组合。因此，识别模型的过程往往很长，要反复调试多次，才能得到较满意的结果。这里对水文地质条件的正确认识至关重要。如果对条件认识不确切，不管用什么办法进行识别，都难以达到满意的结果。 步骤5 验证数学模型

通过对数学模型的识别，虽校正了计算域的水文地质参数、微分方程及边界条件等，但其可靠性还需利用历史水位

进行验证，即选择几个时段，将计算值与实际观测值进行比较。可用两种类型的图件来比较：一是反映水头梯度场变化情况的等水位线图，即将同一时段的计算水头值与实测水头值以等值线形式分别绘在同一张图上，对比其拟合程度；另一种形式是反映流速场变化情况的水位过程曲线图，即选择几个有代表性的典型钻孔，或选几条剖面线上的钻孔，在同一坐标系中按选定的时段（最好一年以上），分别绘制计算的和实测的水位动态曲线。在一般情况下，曲线拟合的相对误差小于时段水位变幅的5%即可。如果误差较大，还应对模型作进一步识别校正。

步骤6 模拟预报，进行水资源评价

经过验证的模型，虽然符合客观实际，但只能反映当前的实际情况，而未来大量开采后，其边界条件和补给、排泄条件还可能发生变化。如果进行抽水试验的降深不够大，延续时间不够长时，边界条件尚未充分暴露，则大量开采后就可能发生变化。因此，在运用验证后的模型进行地下水开采动态的水位预报时，还要依据边界条件的可能变化情况做出修正。对变水头边界，应推算出各时刻的水头值；流量边界，应给出各计算时段的流量；垂向补给排泄量有变化时，应推算出各时段的补排量。这些下推量的准确程度，会影响到数值法成果的精度。因此，只有在边界条件和补、排条件变化不大时，数值法的结果才是较准确的。否则，做短期预报还可以，做长期预报时，则依赖于对气候、水文因素预报的准确性。

根据开采资料对模型进行修改以后，便可用其正演计算，运用起来十分方便灵活，可以解决以下一些问题。

可预报在一定开采方案下水位降深的空间分布和随时间的演化，可用于预测未来一定时期的水位降深，看其是否超过允许降深，但其准确性则依赖于降水量预测的准确性。 可预报合理的开采量。根据开采区的现有开采条件，拟定出该区的开采年限和允许降深，以及井位井数等。最后计算出在预定开采期内、在允许降深的条件下，能取出的地下水量。

可利用计算机研究某些水均衡要素，可计算出侧向补给量、垂向补给量及总补给量；可模拟开采条件下的补给量，求出稳定开采条件下的开采量；可进行不同开采方案的比较，选择最佳开采方案。

可以计算满足开采需要的人工补给量，以及模拟人工补给

后水位的变化情况。

还可以研究地表水与地下水的统一调度、综合利用，进行水资源的综合评价，以及帮助研究其他许多水文地质问题。 总之，建立了正确的数学模型后，可以很方便地进行许多模拟计算；根据计算成果，可以做出全面的地下水资源评价。 综上所述，识别后的模型可以用于水位、水量方面的预报，进行地下水资源评价，分析其他水文地质问题。 下面举一个运用数值法评价地下水资源的实例。根据姬万里、王德明等《河南省南阳市水资源研究》的资料，简要介绍如下。

1．建立水文地质概念模型

南阳市区浅层地下水可分为三个地下水系统，建立三个水文地质概念模型（如图10一3）。

（1）白河北水文地质概念模型：东南部以白河为界，地下水与河水水力联系密切，为定水头补给边界。西部以分水岭为界，为隔水边界。北部，除独山一段为隔水边界外，余为流量补给边界（见图10一3）。

1

3

2

按含水介质条件可分为两大区，即平原区和岗区。平原区含水层底板埋深为10—60m不等。含水层以松散砂砾石为主，厚10—50m，为非均质各向同性潜水含水层。岗区为粘性土裂隙一孔隙水，为非均质各向异性含水层。

地下水以大气降水补给为主，部分受河流侧向补给，主要消耗于人工开采，已形成降落漏斗。潜水与中深层承压水有越流补给联系。

（2）白河南水文地质概念模型：北部及西北部以白河为界，为定水头补给边界，东、南及西南部以地下水分水岭为界，为隔水边界。介质条件与白河北相同，可概化为非均质各向同性潜水含水层。

（3）十二里河水文地质概念模型：东、西以分水岭为界，为隔水边界，北部为侧向径流补给边界，南部为侧向排泄边界，排入白河。含水介质主要是含裂隙粘性土，为非均质各向异性含水层，以降水补给为主，径流蒸发排泄，人工开采

极少。

2．建立数学模型

上述三个水文地质概念模型均可用下列数学模型，即用非均质各向同性（或异性）、有越流的非稳定二维潜水层流模型计算：

式中：B为含水层底板标高；Kx，Ky分别为x，y方向的渗透系数，各向同性时Kx=Ky；Qi为第i口井的地下水开采量；δ为δ函数；D为计算区域。将计算域，剖分为有限个单元网格后，利用有限单元法将上述定解问题离散为下列线性方

程组： 式中：

[A]––––导水矩阵； [D]––––储水矩阵； [F]––––水量矩阵； [Y]––––越流矩阵；

m––––内节点与第二类边界节点之和； n––––总节点数。

计算程序框图如图10－4所示（计算程序略）。

3．剖分

本题采用三角形剖分。按剖分原则要求，将全区三个水文地质概念模型统一剖分为201个单元、140个节点。剖分节

点见表10一4，剖分图略。

4．识别模型

根据全区152组抽水试验资料和519个钻孔、机（民）井卡片资料，编制出浅层地下水水文地质参数分区图（略）。各区的水文地质参数见表10－5。

根据调查资料，对全区降水入渗强度和人工开采强度分别进行了分区，给出了各区垂向综合交换量的数值（其图、表从略）。

初始条件，选用1988年11月30日各观测孔的实测水位为初始流场，其余节点用等水位线图内插而得出，

边界条件：一类边界，根据白河4个长观点的水位给出；无长观点地段，由内插而得。二类边界多为零流量边界；非零流量段，根据抽水试验资料确定出单宽流量，其值如表10一6所示。

根据南阳市的待点，每年从11月底至翌年2月底，农业区开采量甚微，工业用水也是全年最小的时段，故选取1988年11月30日到1989年2月28日作为校正识别模型的时段。 采用人工调参，间接识别模型的方法，将以上各种数据按程序要求输入计算机，进行正演计算，求解出不同时段各节点的水头值，再与观测孔的实测值进行比较；误差较大时，调整参数，再求计算水头。如此反复调整计算，直至其误差达到精度要求时为止，取相对误差小于时段水位变幅的5%者为准。

由于水文地质概念模型较确切，各种强度量较准确，识别模型时仅对参数做适当调整就可很快达到精度要求，识别后的参数如表10—7所示。

5．验证数学模型

取1989年3月1日到1989年12月30目的历史水位资料，分10个时段进行计算。1989年5月低水位期的流场拟合情况如图10—5所示。从图中可以看出，拟合得较好，说明模型可靠。从计算水位与实测水位的绝对误差来看，大多数都小于0.5，仅个别孔误差大于1．0m。观测孔水位变化历时曲线的拟合情况如图10—6所示。从图上看出，大部拟合较好，符合要求。验证结果说明：识别后的模型基本能反映该区的客观条件，可以用于预报水位和进行地下水资源评价。

6．水位预报和地下水资源评价

南阳市的浅层地下水主要接受降水入渗和白河侧向渗水的补给。数值法计算结果，枯水年的补给量仍有3745.373104m3/a。目前，由于开采井布局不合理，已形成较大的降落漏斗。白河对浅层水有较强的补给能力，如傍河取水，可夺取更多河水的补给。据南阳市的发展规划，2000年总需水量为12899.373104m3/a。经过不同方案的比较，以采用傍河取水，夺取白河地表水为主的供水方案为最佳。按此方案开采，通过模型计算，预报出2000年的地下水位流场图（图10一7）。从图上看出，白河附近水力坡度增大，降落漏斗面积增大，漏斗中心向西偏移，但不加深，基本上能满足供水要求；再配合采取一些其他节水措施，南阳市的供水是有保证的。

上面分别介绍了解析法和数值法。有的研究者们在求解某些条件下开采动态时，提出了数值一解析法。它充分发挥了数值法和解析法两者的优点，在试用中已收到了良好的效果。它是一种新方法，值得研究。 详见《地下水数值模拟》

二、主要以观测资料统计理论为基础的方法

这里仅介绍相关外推法（回归分析法）、系统理论法和开采抽水试验法。 （一）回归分析法

相关外推法是根据开采地下水的历史资料或不同流量不同降深的抽水试验资料，用数理统计方法找出流量与降深或与其他变量之间的相关关系，并依据这种关系外推未来开采时的开采量，或外推增大开采量以后的水位降深。

变量之间的关系，一般有函数关系和相关关系（或称统计关系）。相关关系，又可分为以下几种：如果自变量只有一个，则称为一元相关或简相关；如果自变量有两个以上，则称为多元相关或复相关；如果只研究其中一个自变量对因变量的影响，而将其他自变量视为常量，则称为偏相关；自变量为一次式，称为线性相关；为高次式，称为非线性相关。研究变量之间关系的密切程度，称为相关分析；而研究变量之间的联系形式，则称为回归分析。在实际应用中，二者密切联系，一般不加区别。

地下水的开采量与水位降深的关系本来是函数关系。但是，由于开采区的井数众多，影响因素复杂，加上人为的观测误差，常常使开采量和降深之间的关系变为相关关系。因此，可以用数理统计的方法，外推计算地下水可开采量。 1．一元回归

一元回归有线性回归和非线性回归两种。而非线性回归可以通过变量替换化为线性回归。 （1）线性回归

在地下水资源评价中，常分析开采量Q与水位降深S之间的相关关系，建立一元线性回归方程。

首先，要有一系列观测统计资料，开采量Q1，Q2，??，Qn，水位降深S1，S2，??，Sn。n为样本数。据数理统计知识，样本数不能太小。

将这些观测资料标在Q—S直角坐标系内→散点图，如图10-8所示。从整体上看，这些数据点有一定的分布趋势，大致成直线或为曲线。据最小二乘原理，可以找出一条最接近所有观测值的直线或曲线方程，称其为回归方程。可以用它来外推未来降深更大时的开采量。直线方程的一般形式为：

式中：A、B为待定系数，用最小二乘原理确定→得到一条最佳的拟合直线。

S?A?BQ由图10—8a 可见，如果这条直线与各实测点偏差的平方和为最小，便是所要求的最佳直线，即

因Si，Qi都是实测值，故Δ可视为待定系数A、B的函数。如使函数取值最小，则它对A和B的偏导数应等于零，即： 用均值

代人上式则可写成：

将二式联立求解，即可求得待定系数A和B：

将所求的A、B代回原直线方程，则得→一元线性回归方程（经验公式）。B是直线的斜率，称为回归系数。用偏差平方和为最小来确定参数的方法称为最小二乘法。

这样，求得的回归方程虽然是最佳的，但只是相对于已有实际数据而言的。无论多分散的点，即使对平面图上一堆杂乱无章的数据点也可以用最小二乘法配一条所谓最佳直线来表示S、Q之间的关系。显然，在这种情况下，所配直线是毫无实际意义的。因此，我们自然要问，在什么条件下所配回归方程才有意义呢？我们说，只有当两个变量大致成线性关系时才适宜这样做，那么，如何用一个数量指标来评价两个变量之间线性关系的密切程度？在数理统计中用相关系数来评价。

相关系数（r）反映了两个变量之间联系的密切程度。其取值为0≤| r |≤1。它愈趋近于1，关系愈密切（r＝1就是完全相关的函数关系），用所得方程进行预测的精度就愈高，其误差平方和就愈小。反之，愈近于零（r＝0无关系），联系愈差。相关系数可用下式求得 式中，

?QS称为变量Q和S

的协方差，?2Q称为Q的方差，?2S称为

S的方差。

在实际应用中，相关系数有多大时所建立的回归方程才有价值呢？这取决于抽样的多少和要求的精度，可查相关系数显著性检验表（表10—8）。表中给出了不同取样数N在两种显著水平（即α＝0.05，和α＝0.01）时，相关系数达到显著时的最小值。所谓显著性水平，就是指作出显著（即认为有价值）这个结论时，可能发生判断错误的概率。当α＝0.05时，说明判断错误的可能性不超过5%；α＝0.01时，则这种可能性不超过1％。所以α小，检验严格，相应地要求r就大。在同一显著水平下，抽样数N愈小，要求相关系数愈大。因为只有当两个变数的关系较密切时，少量的抽样便能反映出它们的关系来。反之，如果它们的关系不太密切，则必须有很多的抽样才能反映出来，即抽样数很大，相关系数较小时，也能及映出它们的实际情况，应当是显著的。例

如抽取了12个样，N—2＝10，r＝0.612。查表可知，| r |≥0.576，| r |＜0.708，可以说在α＝0.05水平上是显著的，而在α＝0.01水平上是不显著的。

经过显著性检验以后，所建立的回归方程虽然是有价值的，若用以预报外推涌水量或水位降深，仍然可能存在一定的误差，还需要研究预报的精度问题。

各实际观测值与回归方程计算值的误差称为剩余标准差，

以δS表示，用下式计算：

式中：Si为实际观测值，S?为对应在回归方程上的计算值。 剩余标准差的大小，反映了各实测点偏离回归方程的程度，可以用来说明用此回归方程外推预报的精度。δS愈小，

则预报精度愈高。

根据概率论中随机变量成正态分布的理论可知，在Si的全部观测值中，有68.3%都可能落在回归直线两旁各一个剩余标准差的范围内，即任一观测值Si可能落在S???i之间的

95.4%

概率P＝68.3%，或用下式表示（图10一9）：

例如，当我们计算得知δi＝0.5m，用回归方程预报Qi＝23104m3/a时，S?＝10m，则S＝10±0.5m的精度只有68.3%的把握；而S＝10±1.0m的精度则有95.4％的把握；若预报S＝10±1.5m的精度则几乎有百分之百（99.7％）的把握。

要提高预报的精度及预报的把握性，只有提高观测的精度，尽量减少人为误差，观测数据要多，自变量的取值范围要大，相关系数要大。

以上以 S与 Q之间的关系为例，讨论了一元线性回归方程的建立，显著性检验及预报精度，同样可以分析其他量（如降水量与允许开采量或泉流量）之间的相关关系。 （2）非线性回归（曲线回归）

若实际观测值在散点图上没有直线的趋势，而呈近似的曲线趋势时，则可用上述相同的方法建立一个曲线回归方程。不过，首先要用变量替换的方法，把曲线方程变为直线方程（即线性化），然后利用前述的一元线性回归的方法进行求解。即

曲线方程→变量替换→将曲线方程化为直线方程→通过线性回归得线性回归方程→变量回代→还原为曲线方程。 例如，幂函数有满足多种曲线的性质，其一般式为：y＝b ax

式中：a，b为待定系数。若两边取对数则变为：

lgy?lga?blgx

令Y＝lgy，A＝lga，B＝b，X＝lgx，得直线方程：

Y＝A+BX

下面用例子来说明一元线性回归方法评价可开采量的方法步骤：

实例：某水源地已有多年开采历史资料，经过条件分析，认为扩大开采后仍有补给保证。为了满足扩大开采，要求外推设计降深26m时的开采量。

解：首先，据历史资料绘成Q—S坐标的散点图，以便选择用直线或曲线回归方程。

按直线相关计算。原始资料和计算结果均列于表10—9中。计算步骤如下：

（1）计算基本数据：算出均值Q和S，再计算Qi?Q和

(Qi?Q)，Si?S和(Si?S)及(Qi?Q)?(Si?S)。 （2）求根方差及均方根差：

22

（3）求相关系数：

（4）进行显著性检验：令N=6，则N—2=4，查检验表，当α＝0.01时，相关系数达到显著的最小值，为0.917，这里0.996＞0.917，故可认为这里开采量与降深的关系是密切的（显著相关）。另外，按一般供水要求，r＞0.8，也是符合要求的，因此可以建立回归方程。 （5）求回归系数，建立直线回归方程：

回归方程为：

（6）求剩余标准差，确定预报精度：

（7）进行外推预报

用所建直线回归方程预报地下水的开采量，外推设计降深

为26m时的开采量，计算结果如表10一11所示。

2．多元回归

实际上影响地下水水位下降的因素往往不只一个，而是多个独立自变量的同时影响。因此，需要用多元回归方程来进行外推预报。多元回归的基本原理与建立一元回归方程大体相同，但计算上却要复杂一些。由于可运用电子计算机，许多复杂的计算都可以很快完成。 （1）二元直线回归方程

回归方程的一般形式为：

式中，a，b1，b2为待定系数，x1，x2为两个相互独立的自变量，这里指影响地下水位的因素，例如开采量、降雨量、回灌量等。

同样可用最小二乘法的原理，求出各待定系数，其公式为： 式中：

，x，x分别表示各自的均值。 其计算步骤与一元回归相同。 （2）二元曲线回归方程

y12也是将其线性化以后按线性方程计算。例如，二元幂曲线的一般式为： 两边取对数则变为： 令

则得

便可接直线二元回归方程计算。 （3）多元回归方程

当更多自变量影响时，可以用一般的多元线性回归方程： 同样，用最小二乘法原理可以求出各个待定系数，即回归系数。解多维联立线性方程组时，必须用电子计算机计算，有关书中均有专门程序可用。 3．逐步回归

若采用逐步回归的计算方法，还可以进行因子“贡献”大小的挑选，剔除“贡献”小的因素，最后得到主要影响因素的回归方程。曾有人将这种方法用于地下水动态预报中，取得较好的效果。

4．相关外推法的特点及适用条件

相关分析法是建立在数理统计理论的基础上的，考虑了一些随机因素的影响，便于解决一些复杂条件的水文地质问题。在数据采样时，应注意资料来源的一致性。它是根据现实物理背景下得出的统计规律，在此基础上适当外推是可以的，但外推范围不能太大。

这种方法适用于稳定型或调节型开采动态，或补给有余的旧水源地扩大开采时的地下水资源评价。如果已经是消耗型水源地，要用人工调蓄、节制开采来保护水源地。这时，也可以用相关分析法分析开采量、回灌量与水位的关系，求得合理的开采量和人工回灌量。上海市在控制地面沉降时曾作过这样的分析。

（二）系统理论法 1．基本原理

系统理论是从统计通信技术和自动控制论中建立起来的。一个系统应由三部分组成。一是物理实体，例如通讯设备、自控装置、放大器等；用在水文地质上则指含水体、流域等。另外两部分是输入和输出信息。这三部分构成一个系统。可表示如下：

当有输入信息I（t）时，经过物理实体的作用，便得出输出信息O（t），不管物理实体的具体结构如何，我们用函数w（t）表示。一个系统三部分之间的数量关系，在数学上称为褶（卷）积关系，即：

式中： I（t）––––描述输入信息，称为系统的激励函数； W（t）––––刻划系统物理特征的函数，称为系统的特征函数或称权函数；

O（t）––––描述输出信息，称为系统的响应函数。当输入是单位脉冲迪拉克（Dirac）函数，即δ函数时，相应的输出称为单位脉冲响应函数。

若物理实体已处于定常状态，即权函数不随时间而改变，则上式成为

权函数也是单位脉冲响应函数。由于这个积分运算是线性运算，所以这种系统称为线性时不变系统。现将上式写成两个积分之和，则为：

对上式右端的积分作变量置换，令t一?＝λ，则得：

可见，若把 t看作现在的时间，则输出O（t）是由两部分组成的：第一部分是由t以后时间所有输入信息反映出O（t）的；第二部分则是由t以前时间所有输入信息反映输出O（t）的。显然，后者表示“记忆”，前者表示“预测”。 在实际应用时，首先要通过对输入、输出的分析，从而确定描述系统物理实体特征的参数，即用I（t一?）和O（t）

的资料求得权函数w（?）。然后便可以用来预测，即当任意给定一个输人时，利用所确定的模型来求出输出的预测值。由于无需了解物理实体的具体结构，所以这种模型也称为“黑箱”模型。

运用系统理论来解决水文地质问题时，最典型的是用来预测大型泉（特别是一些岩溶泉）水的流量。把整个泉域的蓄水岩体视为系统的物理实体，补给泉的大气降水便是系统的输入，泉水流量便是系统的输出。如果含水体的体积较大，含水层的厚度可视为不随时间而变的，则可认为含水体的特征函数是不随时间而变化的。于是可将泉域的蓄水体连同其降雨补给量和泉流量看成是一个线性时不变的单输入、单输出的集中参数系统。

大气降水是一个随时间变化的不连续的脉冲函数，通过泉域含水体这个“转换装置”的调节作用，由泉口流出的水量却是一个随时间变化的连续函数。

设输入（降雨量）U (t)，输出（泉流量）为Q（t），则描述这个水文地质系统的方程为：

这是一般的方程，通过实际物理意义的分析可以简化。因为某一时刻（t）的泉流量仅与该时刻以前一定时期的降雨量有关，更早时期的降水补给量已经通过泉口全部流出，对该时刻的泉流量已无影响。而t时刻以后的降水还没有发生影响。也即当λ＜0和λ＞t时，U（t）＝0，于是上述方程可

简化为：

在实际计算时，可以将积分离散化，得：

作变量置换，令t一λ＝?，则可写作： 如果我们以月为单位，把各月的降水和泉流量按时间顺序分别排成两个序列来分析一下降水形成泉水的过程，则第t

月的降水形成的地下径流，或立即就可到达泉口流出，或滞后在t十k（k≥0）月才到达泉口开始流出，一直到t十n月才全部流完，共经过了n一k十1个月（这里k和n均为整数，且n＞k≥0）。因为第t一（n十1）月以前的降水所形成的地下径流已通过泉口全都流出去了，而第t一k月，t一（k十1）、??，一直到第t—n月的降水所形成的地下径流正在向泉口流动，并决定着泉流量的大小。因此，上式应改写为求第t月泉流量的公式：

上式说明，第t月的泉流量Q是由第t一n月降水（Ut－n）所形成的部分径流量（Ut－nWn），一直到第t一k月降水（Uk－t）所形成的部分径流量（Ut－kWk）逐一迭加组成的。从这里可以看出，Qt是Ut－n，Ut－n－1，??，Ut－k的加权平均，而权分别是Wn，W n－1，??，Wk。这也说明了系统的权函数或权序列这个名称的由来。由于Qt与Ut 的单位不同，故Wn，W n－1，??，Wk并不含有百分数的意义。

这个公式就是用来描述泉域含水体这个“转换装置”的数学模型，可利用它来预测泉的流量和评价大中型供水井区的地下水资源，以及预测矿井涌水量。

在实际运用时，首先根据输入Ut（大气降水）与输出Qt（泉流量或开采量或矿井涌水量）的实际观测序列，识别系统即确定权函数或权序列W?。确定的方法就是根据最小平方准则，即要求计算与实测的误差总和为最小，用电子计算机解权序列的线性方程组便可得到。有了权函数，便可用该系统来进行预报。用一个例子来说明其具体方法。 2．实例

河北省邯郸地区南单元的岩溶水从黑龙洞泉群排泄，泉域如图10一10所示。西安煤研所和武汉地质学院应用系统理论法对黑龙洞泉群进行了具体计算与分析。其步骤如下： 第一步：进行条件分析：

泉流量和降水量的多年观测结果表明，泉群流量的变化规律与降水量的变化规律有明显的一致性。但泉流量峰值出现的时间滞后于雨季1一2个月。这说明岩溶蓄水盆地对降水补给的地下水有调节作用。丰水年补给充沛，使泉流量增大，

其影响可达三年之久。通过水文动态分析和泉水流量自然消耗计算，一次补给的地下水，需要两年半至三年的时间才能基本泄尽，即一次降水对泉流量的影响可达30—36个月。 根据水文地质条件和系统理论的要求，可认为本单元具有三个特点：（1）单元外的大气降水对黑龙洞泉流量没有影响，也无其他水源补给，可以认为是一个单输入；（2）岩溶含水层向东埋深大于1000m，径流迟缓，故可基本视为泉水排泄的单输出；（3）灰岩分布面积广，厚度大，多属承压水性质，可认为含水体处于定常状态，特征函数是时不变的。

于是，可将黑龙洞泉群的储水盆地连同补给排泄视为一个线性时不变的单输入、单输出的集中参数系统。

第二步：对降水量、泉流量实测资料的处理：在本泉域范围内有十多个水文气象站，取其中有代表性的五个站资料的算术平均值。据当地情况，把三日连续降水量在20mm和两日10mm以上者定为“有效降水量”（即有能力补给灰岩地下水的降水量），从而得出各站的逐月降水量，再求平均值

用于计算。非有效降水量作零处理。

本区地下水埋深一般在30m以上，故可不考虑地下水的

蒸发消耗。但人工开采量应考虑，计算时给于适当处理。 第三步：确定权序列：用最小平方估计准则确定，即： 式中： N––––观测数据的个数，且N≥n＞k≥0；

Qt计––––计算出的t时刻泉流量； Qt测––––实际测得的t时刻泉流量。

于是得到权序列W的线性方程组： 式中：

解此线性方程组，就可以得到权序列Wk，Wk＋1，??，Wn。这是最小平方估计意义下的最优权序列。利用它即可用任意给定的权序列长度m（m＝n一k十1）个月的有效降水量资料，按前述流量预测公式： 就可算出泉群的预测流量来。 第四步：权序列长度的确定：

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