一次函数典型题目

一次函数专题练习

一．选择题（共2小题） 1．（2013?重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．（2013?自贡）如图，已知A、B是反比例函数

上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P

从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

二．解答题（共21小题） 3．（2012?聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

4．（2012?抚顺）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA． （1）求此一次函数的解析式；

（2）设点P为直线y=﹣x+b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若S△POQ=S△AOB，求点P的坐标．

5．（2011?辽阳）甲、乙两名自行车爱好者准备在一段长为3 500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面．他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s（米），比赛时间为t（秒），图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s（米）与t（秒）的函数关系．根据图中信息，回答下列问题：

（1）乙的速度为 _________ 米/秒； （2）当乙追上甲时，求乙距起点多少米． （3）求线段BC所在直线的函数关系式．

6．（2013?湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象． （1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．

7．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0） （1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式．

8．（2013?徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

3每月用气量 单价（元/m） 32.5 不超出75m的部分 33超出75m不超出125m的部a 分 3a+0.25 超出125m的部分 （1）若甲用户3月份的用气量为60m，则应缴费 _________ 元；

3

（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

3

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

3

9．（2013?天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD． （1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于

？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2013?绥化）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟

出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 _________ 小时；

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

11．（2013?绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相

2

交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

12．（2013?泉州）如图，直线y=﹣（1）求∠ABC的大小；

x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点．

（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；

（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．

13．（2013?齐齐哈尔）在国道202公路改建工程中，某路段长4000米，由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成，已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产，甲工程队每人每天的工作量相同，乙工程队每人每天的工作量相同），甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米；甲工程队2天，乙工程队3天共修路350米．

（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米？

（2）甲乙两个工程队施工10天后，由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术，总部要求在规定时间内完成，请问甲队可以抽调多少人？

（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲乙两队需各做多少天？最低费用为多少？ 14．（2013?齐齐哈尔）甲乙两车分别从A、B两地相向而行，甲车出发1小时后乙车出发，并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的距离S（千米）与甲车出发时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶．

（1）A、B两地的距离 _________ 千米；乙车速度是 _________ ；a= _________ ． （2）乙出发多长时间后两车相距330千米？

15．（2013?齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB

2

的长分别是一元二次方程x﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2

（1）求A、C两点的坐标；

（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

16．（2013?普洱）在茶节期间，某茶商订购了甲种茶叶90吨，乙种茶叶80吨，准备用A、B两种型号的货车共20辆运往外地．已知A型货车每辆运费为0.4万元，B型货车每辆运费为0.6万元． （1）设A型货车安排x辆，总运费为y万元，写出y与x的函数关系式；

（2）若一辆A型货车可装甲种茶叶6吨，乙种茶叶2吨；一辆B型货车可装甲种茶叶3吨，乙种茶叶7吨．按此要求安排A、B两种型号货车一次性运完这批茶叶，共有哪几种运输方案？ （3）说明哪种方案运费最少？最少运费是多少万元？ 17．（2013?牡丹江）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）． （1）请你设计出进货方案；

（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？

（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案． 18．（2013?牡丹江）快、慢两车分别从相距360千米路程的甲、乙两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1小时到达甲地，快、慢两车距各自出发地的路程y（千米）与出发后所用的时间x（小时）的关系如图所示．

请结合图象信息解答下列问题： （1）快、慢两车的速度各是多少？

（2）出发多少小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等？

（3）直接写出在慢车到达甲地前，快、慢两车相距的路程为150千米的次数． 19．（2013?龙岩）某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件．

（1）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？ （2）若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天（两种设备的租赁天数均为整数），问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？ 20．（2013?锦州）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行．并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地，如图是甲、乙两车和B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数图象． （1）直接写出a，m，n的值；

（2）求出甲车与B地的距离y（千米）与甲车出发时间x（小时）的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； （3）当两车相距120千米时，乙车行驶了多长时间？

21．（2013?济南）如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F． （1）求直线BD的函数表达式；

（2）求线段OF的长；

（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．

22．（2013?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图象如图所示： （1）根据图象，直接写出y1、y2关于x的函数图象关系式；

（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；

（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离．

23．（2013?大连）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．P是射线BO上的一个动点（点P不与点B重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C，在射线CA上截取CD=CP，连接PD．设BP=t． （1）t为何值时，点D恰好与点A重合？ （2）设△PCD与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

2014年06月19日573724137的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共2小题） 1．（2013?重庆）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家．其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 考点： 函数的图象． 分析： 童童的行程分为5段，①离家至轻轨站；②在轻轨站等一会；③搭乘轻轨去奥体中心，④观看比赛，⑤乘车回家，对照各函数图象即可作出判断． 解答： 解：①离家至轻轨站，y由0缓慢增加； ②在轻轨站等一会，y不变； ③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加； ④观看比赛，y不变； ⑤乘车回家，y快速减小． 结合选项可判断A选项的函数图象符合童童的行程． 故选A． 点评： 本题考查了函数的图象，解答本题需要我们

能将函数图象和实际对应起来，结合当前的一档娱乐节目出题，立意新颖，是一道不错的题目． 2．（2013?自贡）如图，已知A、B是反比例函数

上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P

从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（ ）

A． B． C． D．

考点： 动点问题的函数图象． 专题： 压轴题． 分析： 通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C． 解答： 解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S=K，保持不变，故排除B、D； ②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S=OC×CP=OC×（l﹣at），因为

l，OC，a均是常数， 所以S与t成一次函数关系．故排除C． 故选A． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用． 二．解答题（共21小题） 3．（2012?聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

考点： 待定系数法求一次函数解析式． 专题： 计算题． 分析： （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式； （2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求

2）．

出y的值，从而得到其坐标． 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2）， ∴解得， ， 解答： ∴直线AB的解析式为y=2x﹣2． （2）设点C的坐标为（x，y）， ∵S△BOC=2， ∴?2?x=2， 解得x=2， ∴y=2×2﹣2=2， ∴点C的坐标是（2，2）． 本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式． 点评： 4．（2012?抚顺）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA． （1）求此一次函数的解析式；

（2）设点P为直线y=﹣x+b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若S△POQ=S△AOB，求点P的坐标．

考点： 待定系数法求一次函数解析

式；一次函数图象上点的坐标特征． 压轴题；探究型． （1）直接把点A（2，3）代入一次函数y=﹣专题： 分析： x+b即可求出b的值，进而得出一次函数的解析式； （2）设P（p，d），p＞0，再根据点P在一次函数的图象上及S△POQ=S△AOB，即可得出关于p、d的方程组，求出p、d的值即可． 解：（1）∵一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3）， ∴3=（﹣）×2+b， 解得b=4， 故此一次函数的解析式为：y=﹣x+4； （2）设P（p，d），p＞0， ∵点P在直线y=﹣x+4的图象上， ∴d=﹣p+4①， ∵S△POQ=S△AOB=××2×3， 解答：

∴pd=②， ①②联立得，， 解得或， ∴P点坐标为：（3，）或（5，）． 点评： 本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（2011?辽阳）甲、乙两名自行车爱好者准备在一段长为3 500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面．他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s（米），比赛时间为t（秒），图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s（米）与t（秒）的函数关系．根据图中信息，回答下列问题：

（1）乙的速度为 14 米/秒；

（2）当乙追上甲时，求乙距起点多少米． （3）求线段BC所在直线的函数关系式．

考点： 待定系数法求一次函数解析式；函数的图

专题： 分析： 象． 应用题；压轴题． （1）设乙的速度为x米/秒，根据图象得到300+150×12=150x，解方程即可； （2）由图象可知乙用了150秒追上甲，用时间乘以速度即可； （3）先计算出乙完成全程所需要的时间=250（秒），则乙追上甲后又用了250﹣150=100秒到达终点，所以这100秒他们相距100×（14﹣12）米，可得到C点坐标，而B点坐标为（150，0），然后利用待定系数法求线段BC所在直线的函数关系式． 解：（1）设乙的速度为x米/秒， 则300+150×12=150x，解得x=14， 故答案为14； （2）由图象可知乙用了150秒追上甲， 14×150=2 100（米）． ∴当乙追上甲时，乙距起点2 100米； （3）乙从出发

解答：

到终点的时间为=250（秒）， 此时甲、乙的距离为 （250﹣150）（14﹣12）=200（米）， ∴C点（250，200）， 又B点坐标（150，0）， 设BC所在直线的函数关系式为s=kt+b（k≠0，k，b为常数）， 将B、C两点代入，得，解得， ∴BC所在直线的函数关系式为s=2t﹣300． 点评： 本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式：先设一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0），然后把一次函数图象上的两点的坐标分别代入，得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，从而确定一次函数的解析

式．也考查了从函数图象获取信息的能力． 6．（2013?湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象． （1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；

（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．

考点： 专题： 分析： 一次函数的应用． 压轴题． （1）由函数图象的数据就可以求出小明骑车的速度及在南亚所游玩的时间为1小时； （2）先根据题意求出C点的坐标，然后运用待定系数法就可以求出CD的解析式及妈妈驾车的速度． 解：（1）由题意，得 小明骑车的速度为：20÷1=20km/时， 小明在南亚所游玩的时间为：2﹣1=1小时． （2）由题意，得 小明从南亚所到湖光岩的时解答：

间为25﹣（2﹣）×60=15分钟=小时， ∴小明从家到湖光岩的路程为：20×（1+）=25km． ∴妈妈的速度为：25÷=60km/时．C（，25）． 设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），由题意，得 ， 解得：， ∴直线CD的解析式为y=60x﹣110． 本题是一道一次函数的综合试题，考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键． 点评： 7．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0） （1）求点B的坐标；

（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式．

考点： 分析： 一次函数综合题． （1）先过点B作BF⊥x轴于F，根据∠BCO=45°，BC=，求出CF=BF的长，再根据点C的坐标，求出AB=OF的值，从而求出点B的坐标． （2）先过点D作DG⊥y轴于点G，根据AB∥DG，得出△ODG∽△OBA，再根据AB=6，OA=12，求出DG与OG的值，从而求出点D与点E的坐标，最后设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），再把D与E点的坐标代入，即可求出直线DE的解析式． 解：（1）过点B作BF⊥x轴于F， 在Rt△BCF中，∠BCO=45°， ∴∠CBF=45°， ∵BC=， ∴CF=BF=12， ∵点C的坐标为（﹣18，0）， ∴AB=OF=18﹣12=6． 解答：

∴点B的坐标为（﹣6，12）． （2）过点D作DG⊥y轴于点G． ∵AB∥DG， ∴△ODG∽△OBA， ∴===， ∵AB=6，OA=12， ∴DG=4，OG=8． ∴D（﹣4，8），E（0，4）， 设直线DE的解析式为y=kx+b（k≠0），将D（﹣4，8），E（0，4）代入，得 ， 解得 ， ∴直线DE解析式为y=﹣x+4． 点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质，关键是根据相似求出线段的长度得出点的坐标． 8．（2013?徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

3每月用气量 单价（元/m）

32.5 不超出75m的部分 33超出75m不超出125m的部a 分 3a+0.25 超出125m的部分 （1）若甲用户3月份的用气量为60m，则应缴费 150 元；

3

（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

3

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

3

考点： 专题： 分析： 一次函数的应用． 压轴题． （1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用； （2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可； （3）设乙用户2月份用气xm，则3月份用气（175﹣x）m，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可

33 解答： 以． 解：（1）由题意，得 60×2.5=150（元）； （2）由题意，得 a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75）， a=2.75， ∴a+0.25=3， 设OA的解析式为y1=k1x，则有 2.5×75=75k1， ∴k1=2.5， ∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）； 设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得 ， 解得， ∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）； （385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得 ， 解得：

， ∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125） （3）设乙用户23月份用气xm，则3月份用气（175﹣x）m3， 当x＞125，175﹣x≤75时， 3x﹣50+2.5（175﹣x）=455， 解得：x=135，175﹣135=40，符合题意； 当75＜x≤125，175﹣x≤75时， 2.75x﹣18.75+2.5（175﹣x）=455， 解得：x=145，不符合题意，舍去； 当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时， 2.75x﹣18.75+2.75（175﹣x）﹣18.75=455，此方程无解． ∴乙用户2、3月份的用气量各3是135m，340m． 本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，

点评：

解答时求出函数的解析式是关键． 9．（2013?天水）如图1，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD． （1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标； （3）是否存在点P，使△OPD的面积等于

？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 专题： 分析： 一次函数综合题． 压轴题． （1）过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标．设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解． （2）由△ABD由△AOP旋转得到，证明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等边三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函数求出

BG=BD?cos60°，DG=BD?sin60°．然后求出OH，DH，然后求出点D的坐标． （3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t，0）： ①当P在x轴正半轴上时，即t＞0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值． ②当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG，进而求出GF的长，然后同①． ③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②． 综合上面三种情况即可求出符合条件的t的

解答： 值． 解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x轴于点F．由已知得： BF=OE=2，OF==， ∴点B的坐标是（，2） 设直线AB的解析式是y=kx+b（k≠0），则有． 解得． ∴直线AB的解析式是y=x+4； （2）如图2，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO， ∴∠DAP=∠BAO=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴DP=AP=． 如图2，过点D作DH⊥x轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH． 方法（一） 在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．

∴BG=BD?cos60°=×=． DG=BD?sin60°=×=． ∴OH=EG=，DH= ∴点D的坐标为（，） 方法（二） 易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG， ∴；而AE=2，BD=OP=，BE=2，AB=4， 则有，解得BG=DG=； ∴OH=DH=； ∴点D的坐标为（，）． ，， （3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于． 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：

①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t， t． ∴DH=2+∵△OPD的面积等于∴， ， 解得，（舍去） ∴点P1的坐标为（，0）． ②∵当D在x轴上时，根据勾股定理求出BD=∴当=OP， ＜t≤0时，如图，BD=OP=﹣t，DG=﹣t， ∴GH=BF=2﹣（﹣=2+t）t． ∵△OPD的面积等于∴， ， 解得

，， ∴点P2的坐标为（，0），点P3的坐标为（③当t≤时，如图3，BD=OP=﹣t，DG=﹣ ∴DH=﹣t﹣t， ，0）． 2． ∵△OPD的面积等于， ∴（﹣t）【﹣（2+=， t）】解得（舍去），∴点P4的坐标为（，0）， 综上所述，点P的坐标分别为P1（0）、P2（0）、P3（0）、 P4

，，，

（，0）． 点评： 本题综合考查的是一次函数的应用，难度较大． 10．（2013?绥化）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？ （3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？

考点： 专题： 分析： 一次函数的应用． 压轴题；阅读型；图表型． （1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时； （2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x=6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解

析式，从而求出B点的坐标； （3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x=4.9，求出此时的y乙﹣y甲，在点D有x=7，也求出此时的y甲﹣y乙，分别同25比较即可． 解：（1）1.9；（2分） （2）设直线EF的解析式为y乙=kx+b ∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上 ∴解答： （3分） 解得∴直线EF的解析式是y乙=80x﹣100；（4分） ∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为80×6﹣100=380； ∴点C的坐标是（6，380）；（5分） 设直线BD的解析式为y甲=mx+n； ∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，

∴（6分） 解得；∴BD的解析式是y甲=100x﹣220；（7分） ∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270）， ∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．（8分） （3）符合约定； 由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米（10分） 在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米（11分） ∴按图象所表示的走法符合约定．（12分） 本题是依据函数图象提供的信息，解答相关的问题，充分体现了“数形结合”的数学思想，是中考的常见题型，其关键是认真观察函数图象、结合已知条件，正确地提炼

；点评：

出图象信息． 11．（2013?绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x﹣14x+48=0的两个实数根． （1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．

2

考点： 专题： 分析： 一次函数综合题． 压轴题． （1）通过解方解答： 程x﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值； （3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答． 解：（1）解方程2x﹣14x+48=0得

2

x1=6，x2=8． ∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次2方程x﹣14x+48=0的两个实数根， ∴OC=6，OA=8． ∴C（0，6）； （2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）． 由（1）知，OA=8，则A（8，0）． ∵点A、C都在直线MN上， ∴， 解得，， ∴直线MN的解析式为y=﹣x+6； （3）∵A（8，0），C（0，6）， ∴根据题意知B（8，6）． ∵点P在直线MNy=﹣x+6上， ∴设P（a，﹣a+6） 当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论： ①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；

②当PC=BC时，a+（﹣a+6﹣6）=64， 解得，a=则P2（﹣），P3（）； ③当PB=BC时，2（a﹣8）+（﹣a+6﹣6）=64， 解得，a=则﹣a+6=﹣，∴P4（﹣）． ，，222，，，综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣P3（P4（）． ，），），，﹣点评： 本题考查了一次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求一次函数解析式，

一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质．解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解．另外，解答（3）题时，还利用了“数形结合”的数学思想． 12．（2013?泉州）如图，直线y=﹣x+2分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是直线BC上的动点． （1）求∠ABC的大小； （2）求点P的坐标，使∠APO=30°；

（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．

考点： 专题： 分析： 一次函数综合题． 压轴题． （1）求得B、C的坐标，在直角△BOC中，利用三角函数即可求解； （2）取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆⊙Q，⊙Q与直线BC的两个交点，即为所求； （3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使

∠APO=30°的点P的个数情况有四种：1个、2个、3个、4个．如答图2所示． 解：（1）在y=﹣x+2中，令x=0，得y=2； 令y=0，得x=2， ∴C（0，2），B（2，0）， ∴OC=2，OB=2． tan∠ABC==， =解答： ∴∠ABC=60°． （2）如答图1所示，连接AC． 由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4． 又∵AB=4，∴AB=BC， ∴△ABC为等边三角形，AB=BC=AC=4． 取AC中点Q，以点Q为圆心，2为半径长画圆，与直线BC交于点P1，P2． ∵QP1=2，QO=2，∴点P1与点C重合，且⊙Q经过

点O． ∴P1（0，2）． ∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ为等边三角形． ∴在⊙Q中，AO所对的圆心角∠OQA=60°， 由圆周角定理可知，AO所对的圆周角∠APO=30°，故点P1、P2符合条件． ∵QC=QP2，∠ACB=60°，∴△P2QC为等边三角形．∴P2C=QP=2，∴点P2为BC的中点． ∵B（2，0），C（0，2），∴P2（1，）． 综上所述，符合条件的点P坐标为（0，2），（1，）． （3）当BC在不同位置时，点P的个数会发生改变，使∠APO=30°的点P的个数情况有四种：0个、1个、2个、3个、4个． 如答图2所示，

以AO为弦，AO所对的圆心角等于60°的圆共有2个，记为⊙Q，⊙Q′，点Q，Q′关于x轴对称． ∵直线BC与⊙Q，⊙Q′的公共点P都满足∠APO=∠AQO=∠AQ′O=30°， ∴点 P的个数情况： ⅰ）有1个：直线BC 只与⊙Q'（或⊙Q）相切； ⅱ）有2个：直线 BC只与⊙Q'（ 或⊙Q）相交，或直线 BC与AO 相交（包括A，O两点）； ⅲ）有3个：直线BC 与⊙Q'（或⊙Q ）相切，同时BC与⊙Q（或⊙Q'）相交； ⅳ）有4个：直线 BC同时与

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