拉格朗日中值定理

一 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。

拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。

用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即

f(x+1)?f(x)

≈0

1这就是非常著名的费马定律，当一个函数f(x)在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则f′ x =0。著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。

在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点x0和x1，并且函数f x 在此闭区间内是连续的，f′(x)的最大值为A，f′ x 最小值为B，则值。这是拉格朗日定理最初的证明。

下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。

如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得f′ ξ =

f(b)?f(a)b?a

f(x1)?f(x0)x1?x0

的值必须是A和B之间的一个

.

拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。 例1：函数f x =2x2?8，即f′ x =4x。当x在开区间 0,+∞ 时，有f′ x >0，f x 在开区间 0,+∞ 单调递增；当x在开区间 ?∞,0 时，有f′ x <

0，f(x)在开区间 ?∞,0 单调递减。在x=0，有f′(0)=0，f 0 =?8。

由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。当一个函数在某个确定的区间内，存在着f′ x >0，f x 在这个确定的区间内单调递增；f′ x <0，f x 在这个确定的区间内是单调递减的。在f′(0)=0时，那么这一点就是这个函数的极值点。在例1中，当1

f 3 ?f(1)3?2

=8=f′(2)，这就是拉格朗日中值定理最简单的形式。

在拉格朗日中值定理中，有两个要求条件，一个是在一个闭区间内连续，一个是在相同期间开区间可导，不满足这两个条件，拉格朗日中值定理在此种情况下是没有意义的。

例2：函数f x =x?1，这个函数的区间[0,2]。

可以看出这个函数在区间[0,2]上是不连续的，f 1 这个值是不存在的，因此这个函数在此区间上面是不连续的。

这个函数在此闭区间[0,2]上是不可导的，根据可导函数的计算方法可以得到

fx =?

1

′ 1

1f 2 ?f(0)

==1

(x?1)22?0又?(x?1)2=1，这种情况下x的值是不存在的，所以这个函数在此区间内是不可导的。

二 拉格朗日中值定理的证明

在微积分相关知识的教材上面，一般情况下在证明拉格朗日中值定理时，经 常采用罗尔定理来证明，证明过程中根据题意构建出一个辅助函数来证明定理。

在历史长河中，学者们在对拉格朗日中值定理进行证明的时候最主要的的有四种方法。最开始的一种证明方法出现在著作名为《解析函数论》一书中。这个证明相对来说是比较直观的，它是以这样一个概念为基础证明的：当导数f′ x >0时，f x 在一个固定区间内就是单调递增的；反之，则单调递减。利用微积分中的求导方法去确定一个函数的单调区间的方法。并且，此时对拉格朗日定理应用要求在一个闭区间中是连续的，也要求在此相同闭区间可导。假设一个变量在区间内连续的变化，那么这个变量相应的函数也会随着变化的变化而发生变化，有

无数的中间值在两个值之间。

在19世纪初时，微积分发生了很大的变化，柯西等数学家在此做出了很大的贡献，人们对函数进行了很严格的定义，极限、连续和导数。在此基础上又给拉格朗日中值定理提出了新的严谨的证明。在19世纪初，学者们对于微分学的系统性定理的详细研究就拉开了序幕。因为拉格朗日中值定理在微分学中有着相当重要的地位，所以，历来学者们都对拉格朗日中值定理的研究十分重视，学者们对拉格朗日中值定理的相关研究也是非常多的。比如在历史上，许多学者都提出了对于拉格朗日中值定理的证明的方法。在历史长河中，学者们提出的关于拉格朗日中值定理的证明方式主要有四种方式。第一种方式，通过利用罗尔定理去构建一个中间函数去证明。第二种方式，根据先决条件，去建立一个相对更加广泛的中值定理，然后在缩小范围去证明。第三种形式，是充分利用积分和在证明过程中不会导致循环去证明一个知识点的其他的微积分定理去证明拉格朗日中值定理。第四种形式时，充分利用拉格朗日中值定理中所限制的区间，然后采用属于实数方面的区间套理论去证明。

在柯西的著名著作《无穷小计算概论》中这样对拉格朗日中值定理进行了证明：如果一个导数f′ x 在闭区间[a,b]内是连续的，则在这个闭区间[a,b]内至少存在着一点，使得f′(ξ)=

f b ?f(a)b?a

，使f(ξ)=0。然后在罗尔定理基础上对拉格朗日

中值定理进行重新的证明。

柯西定理是指：假设函数f x 与函数F x 在闭区间[a,b]内都是连续的，在开区间(a,b)内都是可导的，并且F′ x 在区间 a,b 内不等于0，这是对于在区间(a,b)内的一点ξ，使得

f b ?f(a)f′ ξ

=

F(b)?F(a)F′(ξ)对柯西定理的证明和对拉格朗日中值定理的证明两种方式都是十分的相似，拉格朗日中值定理在微积分中都占到了非常重要的位置。利用拉格朗日中值定理在求解函数时，给洛必达法则的运用给以严格的证明，是研究函数中最重要的数学工具之一。

我们知道罗尔定理：存在着一个函数在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间

（a,b）上是可导的，并且这个函数在此开区间（a,b）内的两个端点值是相等的，即f a =f(b)，那么在这个开区间（a,b）内至少存在着一点，使得f(ξ)=0。

比较拉格朗日中值定理和罗尔定理，可以看出罗尔定理条件中要求两个端点值相等，但是拉格朗日中值定理不要求两个端点值相等。因此，如果想要用罗尔定理还证明，那么就应该构建一个端点函数值相等的函数。

证明一：利用罗尔中值定理，构建出一个中间的辅助函数 做出一个辅助函数，F x =f x ?f a ?

f b ?f a b?a

(x?a)

从上式容易看出，函数F x 在闭区间[a,b]上面显然是连续函数，在开区间(a,b)内是可导函数，且F a =F b =0，此时，根据罗尔定理可以得到，在此函数上面至少在区间(a,b)上存在一点，使得F′(ξ)=0，则就可以得到f′ ξ =

f b ?f a b?a

。

在对拉格朗日中值定理的进行证明的过程中，一般都采用构建中间的辅助函数来证明，充分利用罗尔定理。还可以构建下面这种形式的辅助函数来充分证明。

首先，令使f(ξ)=t。

证明：由于

f b ?f(a)b?af b ?f(a)b?a

=t，证明：在开区间（a,b）范围内至少存在着一个点，

=t ①，可以求得f b ?tb=f a ?ta②。

观察②式，可以看出等式两边的形式都是F x =f x ?tx。 假设函数F(x)在闭区间[a,b]上连续并且在开区间(a,b)内可导，在F a =F(b) 时。根据罗尔定理可以得到，该函数在开区间(a,b)内至少存在着一点ξ，使得F ξ =0，也就是说 f ξ ?t=0，即f ξ =t，将此带入①式，就能够得到结论f’ ξ =

f b ?f(a)b?a

。

证明二：利用微积分中的基本定理来证明

先构建一个积分上限函数，Φ x = a ??′ ?? ????? ?[?? ?? ??? ?? ] ????，此

x

时x存在于闭区间[a,b]内。

根据微积分的基本定理可得知，Φ′(x)=??′ ?? ????? ?[?? ?? ??? ?? ] 显然，Φ′(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且有Φ a =Φ(b)=0，此时利用罗尔定理可以得到，在(a,b)内至少存在着一点ξ，使得Φ′(ξ)=0，那么可以得到，??′ ξ ????? ? ?? ?? ??? ?? =0，所以得到结论f’ ξ =三 拉格朗日中值定理在极限中的应用

在学者们对微分中值定理的研究当中，经历了前后几百年的时间，由费马提 出费马定理开始，经历了从简单到复杂，从特殊情况到一般情况，从简单的概念到复杂的概念这样的发展阶段。在研究理论上拉格朗日中值定理即是罗尔定理的延伸又衔接了柯西定理，因此，不言而喻的是拉格朗日中值定理在研究函数的进程中有着非常重要的作用。在数学知识应用当中，拉格朗日中值定理是对函数研究的一个重要工具，并且有着十分广泛的应用。这些作用主要表现在以下几种情况，比如在求导极限定理、求函数极限、证明不等式、说明函数单调性、讨论方程的根是否存在的情况和对导数估值等，它在解决数学问题时通常将问题从难化简，对解决难题起到很好的作用。本文着重讲述的是拉格朗日中值定理在极限当中的应用。 例3：求极限lim??→0

??????????????????????????

f b ?f(a)b?a

。

。

解：观察上式可以看出，先令f=et，这个函数在闭区间[cosx,x]或者[x,cosx]上根据拉格朗日中值定理可以得到

??????????????????????????

=eξ①。

在x→0时，cosx→1，可以得到此时ξ→0。 由①式可以得到

lim???????????????x→0???????????

=1，有此式子推出???????=???????????????????，那么

这个式子就能让我们联想到在上文证明拉格朗日中值定理时候出现的式子，然后根据上文中的步骤求证明该函数。

令F t =???????,可以把这个式子???????=???????????????????看作是函数F t 在点

x和点cosx这两点，即F’ ξ =例4：求解limx→a

xa?axa?x

F x ?F(cosx)x?cosx

。

。

此题和例3的情况是类似的，我们先将此式子的分子加上一个aa，然后再减去一个aa。如，

xa?axxa?ax?aa+aaaa?axaa?axaa?xa

===? a?xa?xa?xa?xa?x此时，容易看出应该构建的函数的形式，令f t =at，g t =ta，假设这两个函数都在闭区间[a,t]或者[t,a]上连续并且在相同开区间上面可导的，并且这两个函数的两个端点值都分别相等，就是满足拉格朗日中值定理的条件，这是就分别存在着两个点μ，ξ在x和a之间，当x→a时，有μ→a，ξ→a 得

xa?axaa?axaa?xa

lim=lim[?] x→aa?xx→aa?xa?x =limξ→aaξlna?limμ→aaaμ?1 =aa(lna?1) 例5：limx→0

sin sinx ?tan?(tanx)

sinx?x

此例题与例4是非常类似的题目，根据例4的解题方法，先将分子加一项再减一项。

sin sinx ?tan tanx +tan sinx ?tan?(sinx)

原式=

sinx?x =

sin sinx ?tan?(sinx)

sinx?x

+

tan sinx ?tan?(tanx)

sinx?x

此时，令f t =tant，t=sinx，x=arcsint，假设函数f(t)满足拉格朗日中值定理的需求条件，在这种情况下求解这个题目，

原式=limx→0sec2

sinx?tanxsinx?x

+limx→0

sint?tan?tt?arcsint

上式接着推算，根据洛必达法则计算如下

=limx→0 =6

sinx?tanxsinx?x

+limx→0[

sec2t?cost

1 1?t2?1]

在此题这种情况下，首先就要想到构建一个中间函数去简化题目。先构造一个中间的辅助函数，然后再根据拉格朗日中值定理的一般形式去求解题目。

在解决这种类型的题目要采用罗尔定理的原因，在现目前大多数微积分的相关教材中，在解决类型问题时多采用构建中间函数运用罗尔定理解决问题。在面对一些题目时，这些函数有可能并不满足拉格朗日中值定理的条件，需要去构建一个中间函数，去满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后将构建的这一函数与原函数紧密联系起来，再将构建的函数转化为原函数，从而根据拉格朗日中值定理的原理去求解题目。

例题3和例题4、例5是一种类型的题目，都是极限形式为0的未定式，就可以想到需要构建一个中间函数，此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，然后对函数采用拉格朗日中值定理的方法去解决问题。

例6：存在函数f′′(x)是连续的并且有f′′(a)≠0,满足下列式子f b+x =f b +xf′ b+μx (0

解：根据拉格朗日中值定理可以由式子①可以计算出函数f′(x)在闭区间[b,b+x]或者[b+x,b]的拉格朗日中值定理的形式

f b+x ?f(b)

x

0

=f′ b+μx ,继上式可以推得

f′ b+μx =f′ b +μxf′′ b+μ1μx (0<μ1<1)。将这个结果带入式子①可以计算得出

′

f b+x =f b +xf′ b +μx2f′′ b+μx ②

根据泰勒展开公式把这个函数f b+x 展开，可以得到

f b+x =f b +xf′ b +2x2f′′ b+μ2x ③

由式子②③可以综合计算得到，

1

1

μf′′ b+μμ1x =f′′ b+μ2x

2然后求极限，所以xlim→0μ

=

f′′ b+μ2x

μf′′ b+μμ1x

=2f′′(b)=2。

f′′(b)

1

例6这种题目没有给出函数的具体形式，这种时候应该想到首先一个函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，去简化题目，在不用函数具体形式时仍然可以求解题目，利用构建的中间函数，运用泰勒展开公式得到函数的展开式，然后综合计算得到答案。 例7：求解函数limx→0

ln(1+

f(x)

)sinxcx?1

=B，(c>0)且(c≠0)，求解limx→0

f(x)x2。

解：这个例题中有多种形式的函数，求解这种题目应该想到将函数形式统一将题目简化求解。

令g t =ct，当t≠0时，可以明显看出这个函数在区间内满足拉格朗日中值定理的需求条件，因此在这个区间内至少存在一个值ξ使得，

cx?1=cξ lnc x→xlnc可以得到cx?1→xlnc

然后再令h t =ln(1+t)，显然这个函数在闭区间[0, sinx]或者闭区间[ sinx,0]内是满足拉格朗日中值定理需求条件，因此在这个区间内至少存在着一个值μ使得，

f(x)1f(x)

ln(c+)= sinx1+μsinx又ln 1+sinx ~sinx→0

B=

就可以求出limx→0

f(x)x2f x

f(x)

f(x)

f(x)

1f x

lim2→0 Incx→0x=BInc

例7这种类型的题目，题中给出一个函数的答案，求解另外一个函数的答案，遇到这种题目，就应该主要根据题中给出的函数，将这个函数化解成为所求函数相类似的形式，简化题目求出答案。

例8：假设函数limx→c

f x ?ax?c

=B，求解函数limx→c

cosf x ?cosa

x?c

。

解：此题和上面的例题是类似题目，根据上题解题方法，先化解给出函数。从给出的函数就可以知道函数的分子是在x→c的情况下是等于0的，所以分母在这种情况下也应该为0，那么在x→c的情况下，f c =a。 这就说明这个函数在c这一点是连续的。

令h t =cost，当f x ≠a时，这个函数在闭区间[a,f(x)]或者闭区间[f(x),a]上已经满足了拉格朗日中值定理的需求条件，而且在此区间内至少着存在一个点ξ，使得

lim

f x ?a sinξcosf x ?cosa

=lim=?Bsina

x→cx→cx?cc?x例7和例8 都是根据题目给出的函数进行计算，去推导所求的的函数，在推导过程中去求解，简化了题目，如果计算时，是根据给出题目单独求解出f x 的取值，直接把题目复杂化。

例9：求出函数极限limx→∞x2[Inarctan x+1 ?Inarctanx]。

解：此题目是典型的极限形式为∞?0型，在此我们应该先应用洛必达法则去求解。但是在计算过程中会发现，运用洛必达法则去求解这个函数会十分复杂，因此我们会发现Inarctan x+1 ?Inarctanx这个形式刚好可以看作是函数f x =Inarctanx在此闭区间[x,x+1]上面的两个端点值的差值，所以我们能够运用拉格朗日中值定理去求解这道题目。首先，我们先建立一个辅助函数f x =Inarctanx，然后再求解。

令f x =Inarctanx，此函数在闭区间[x,x+1]上面明显是满足拉格朗日中值定理的需求条件的，因此存在一点ξ在此闭区间上面。

Inarctan x+1 ?Inarctanx=

11

?

arctanξ1+ξ2因为点ξ是在此闭区间[x,x+1]内的一点，所以x

x2x2x2

>> 1+x21+ξ21+(1+x)2那么在x→∞时，ξ→∞，则lim1+x2=1，lim1+(1+x)2=lim1+x2=1，通过夹

x→∞

x→∞

x→∞

x2x2x2

逼定理就可以知道

x2

lim=1 x→∞1+ξ2所以，根据上面的计算，原函数=limarctanξ?1+ξ2=limarctanξ?lim1+ξ2=π。

x→∞

x→∞

x→∞

x2

1

1

x2

2

可见，在遇到这种典型极限形式为∞?0型时，如果采用洛必达法则反而更加麻烦的时候，应该多观察题目是否可以运用拉格朗日中值定理来求解题目，简化题目，接下来看一个类似的例题。

例10：求解极限limx→1(1?xa?1?xb)(a,b>0)。

解：此题也是一种典型极限形式为∞?∞型，一般这种情况下，我们都会先采用洛必达法则求解，但是这道题目和例9一样，运用洛必达法则只会使题目更加复杂化，此时，我们观察题目可以看出和例9类似，可以运用拉格朗日中值定理来求解题目。首先，我们先假设一个辅助函数f x,y =1?xy。

令f x,y =1?xy，此函数在区间上面满足拉格朗日中值定理的需求条件，因此把点a,b当做是在区间里面的两个取值，因此利用拉格朗日中值定理求解。

a1?xa

y

y

a

b

?1?xb=(a?b)

b

1?xξ+ξxξInx(1?xξ)2

b

，其中ξ这个值在a与b之间的值，

1?xξ+ξxξInx 1?xξ

2所以，原式limx→1(1?xa?1?xb)= a?b

a

= a?b limx→12 1?xξ =a?b

2?ξInx

可以看出，虽然这种题目也采用了洛必达法则，但是在使用洛必达法则之前，先采用拉格朗日中值定理将题目简化，会让计算过程中的复杂度减小了。因此，在面对上面两种情况下去求极限，先观察题目，如果题目中很容易就可以构建出一个函数，并且构建的这个函数刚好满足拉格朗日中值定理的需求条件，就可以

采用拉格朗日中值定理去求解题目，先将极限转化，再去求解函数。这会与直接用洛必达法则求解有不同的效果，简化题目。这就是平时我们做题之前要先观察题目的必要性。同时，这种类型的题目告诉我们，在我们面对复杂的多元函数的题目时，可以对其中一个合适的变量采用拉格朗日中值定理，然后其他的变量就看做常数，使计算过程更为简便。 例11：求解函数limx→0( a?

n

n+1

a)。

解：通过观察，很容易就发现这道题目应该采用拉格朗日中值定理，先构建一个辅助函数，可以看出的是 a?

1

1

n

n+1

a 就是f(b)?f(a)。所以，令f x =ax，很明

显这个函数在闭区间[n,n+1]内是连续的，并且在该区间此函数满足拉格朗日中值定理的需求条件，利用拉格朗日中值定理可以得出，

a?a

1

n1n+1=aξIna(n?n+1)并且其中n>??>n+1，

1n+11111

此时，原式=limx→∞(a?a

n2

1n

)=limx→∞aξIna(n?n+1)

11

=limx→∞n(n+1)aξIna=Ina

上述例题就是典型的运用拉格朗日中值定理来求解问题，此题很容易观察出f(b)?f(a)的形式。也可以用洛必达法则来求解，但是求解过程会十分复杂，所以我们采用拉格朗日中值定理来简化问题求解。

例12： 若此函数f(x)是一个可导函数，并且极限limx→∞f(x)与limx→∞f′(x)都是存在的，证明：极限limx→∞f′ x =0。

证明：此题并没有给出函数的具体关系式，只是说明函数连续并且是可导函数。利用拉格朗日中值定理来求解，先假设极限limx→∞f′(x)=B，那么极限limx→∞f′(x+1)的取值也应该是B，在函数当中，存在f x+1 ?f x =f(a)，(x

已知，极限limx→∞f′ x 是存在的，那么limx→∞f′ a =limx→∞ f x+1 ?f x =limf x+1 ?limf x =0。现在就已经证明到limx→∞f′ x =0。

x→∞

x→∞

题目在没给出函数的具体形式的情况下，提到了一个函数是连续且可导的函数，就应该想到可以尝试采用拉格朗日中值定理来求解题目，此时不用构建辅助函数了，因为题目给出的这个函数往往就是满足拉格朗日中值定理需求条件的函数，是我们应该利用的函数，然后根据拉格朗日中值定理一般形式去对函数求解。

总结

在我们学习的高等数学中，拉格朗日定理是一个十分重要的知识点。在许多其他知识点中，拉格朗日中值定理的应用都是十分广泛的。本文先讲述了拉格朗日中值定理的发展史，讨论在历史长河中，学者们对拉格朗日中值定理的研究。因为拉格朗日中值定理的重要性，众多学者参与研究，对于拉格朗日中值定理的证明都是存在许多种方式的，本文重点讲解了两种方式的证明。

拉格朗日中值定理在数学知识的许多方面都有所涉及，有着广泛的应用。本文主要讲解的是拉格朗日中值定理在极限中的运用，本文举了许多实例详细解释在极限中的应用方式，并分类详细分析。从中我们可以学到许多求解极限的方法，因此，努力学习拉格朗日中值定理是十分必要的。

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