山东省滨州市滨城区2017届中考数学二模试卷（含解析）

2017年山东省滨州市滨城区中考数学二模试卷

一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分33分.

1．若x是3的相反数，|y|=4，则x﹣y的值是（ ） A．﹣7 B．1

C．﹣1或7 D．1或﹣7

2．商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示： 型号 数量（双） 22 2 22.5 6 23 11 23.5 15 24 7 24.5 3 25 4 经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

4．一元二次方程 x﹣3x+5=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．下列计算错误的是（ ） A．2m+3n=5mn

B．a÷a=a C．（x）=x D．a?a=a

6

2

4

2

3

6

2

3

2

6．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G、H，已知∠1=∠2=50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3=（ ）

1

A．60° B．65° C．70° D．130° 7．不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C．

D．

8．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是 ．

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（ ）

A．6 B．6 C．9 D．3

10．遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（ ）

2

A．C．

﹣﹣

=20 =20

B．D．

﹣ +

=20 =20

11．如图，点A是反比例函数y=（＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为（ ）

A．2

B．3 C．4 D．5

二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分）

12．中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽一项，从50米，50×2米，100米中随机抽一项，恰好抽中实心球和50米的概率是 ． 13．因式分解：ab﹣2ab+a= ．

14．在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是 ．

15．如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 ．

2

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ．

3

17．如果将棱长相等的小正方体按如图的方式摆放，从上到下依次为第一层，第二层，第三层，?，那么第10层的小正方体的个数是 ．

三、解答题：（本大题共7个小题，共60分）

18．（10分）如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C． （1）求点D的坐标；

（2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积．

19．（10分）柯桥苏宁电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 A种型号 第一周 第二周 3台 4台 B种型号 5台 10台 销售收入 1720元 2960 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

20．（10分）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了

4

使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）

（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

21．（10分）如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E． （1）若BC=

，CD=1，求⊙O的半径；

（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．

22．（23分）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴，M为它的顶点 （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△MCB的面积；

（3）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．

5

6

2017年山东省滨州市滨城区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分，满分33分.

1．若x是3的相反数，|y|=4，则x﹣y的值是（ ） A．﹣7 B．1

C．﹣1或7 D．1或﹣7

【考点】33：代数式求值．

【分析】分别求出x与y的值，然后代入x﹣y中即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x=﹣3，y=±4， 当y=4时， x﹣y=﹣3﹣4=﹣7 当y=﹣4时， x﹣y=﹣3+4=1， 故选（D）

【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是求出x与y的值，本题属于基础题型．

2．商厦信誉楼女鞋专柜试销一种新款女鞋，一个月内销售情况如表所示： 型号 数量（双） 22 2 22.5 6 23 11 23.5 15 24 7 24.5 3 25 4 经理最关心的是，哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是（ ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【考点】WA：统计量的选择．

【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大，就是关心那种型号销的最多，故值得关注的是众数．

【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数． 故选B．

7

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误． 故选：C．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．一元二次方程 x﹣3x+5=0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】AA：根的判别式．

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：因为△=（﹣3）2﹣4×5=﹣11＜0， 所以方程无实数根． 故选D．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；

2

8

当△＜0时，方程无实数根．

5．下列计算错误的是（ ） A．2m+3n=5mn

B．a÷a=a C．（x）=x D．a?a=a

6

2

4

2

3

6

2

3

【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂的运算及合并同类项的法则解答． 【解答】解：A、2m与3n不是同类项，不能合并； B、C、D符合同底数幂的运算，都正确； 故选A．

【点评】考查同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；乘方，底数不变，指数相乘．

6．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G、H，已知∠1=∠2=50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M．则∠3=（ ）

A．60° B．65° C．70° D．130° 【考点】JB：平行线的判定与性质．

【分析】根据邻补角的性质与∠1=50°，求得∠BGH=180°﹣50°=130°，由GM平分∠HGB交直线CD于点M，得出∠BGM的度数，根据同位角相等，两直线平行，得到AB∥CD，从而利用平行线的性质求得∠3的度数． 【解答】解：∵∠1=50°， ∴∠BGH=180°﹣50°=130°， ∵GM平分∠HGB， ∴∠BGM=65°， ∵∠1=∠2，

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），

9

∴∠3=∠BGM=65°（两直线平行，内错角相等）． 故选B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；以及平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行． 7．不等式组

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．

【分析】首先求不等式组中每个不等式的解集，再利用解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，找到不等式组的公共解集，再用数轴表示公共部分． 【解答】解：由①得：x＜3， 由②得：x≥﹣1，

∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 在数轴上表示为：

．

故选：A．

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

8．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC

，

10

的长是 ．

【考点】S4：平行线分线段成比例．

【分析】由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB=BE：BC，又由DB=4，AB=6，BE=3，即可求得答案． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴DB：AB=BE：BC， ∵DB=4，AB=6，BE=3， ∴4：6=3：BC， 解得：BC=，

∴EC=BC﹣BE=﹣3=． 故答案为：．

【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为（ ）

A．6 B．6 C．9 D．3

【考点】KO：含30度角的直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易

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得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，

∴∠DAE=∠B=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠CAD=30°，

∴AD为∠BAC的角平分线， ∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=6， ∴BC=9， 故选C．

【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

10．遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（ ） A．C．

﹣﹣

=20 =20

B．D．

﹣ +

=20 =20

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．

【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：

12

﹣故选：A．

=20，

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

11．如图，点A是反比例函数y=（＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质．

【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b． 把y=b代入y=得，b=，则x=，即A的横坐标是， 同理可得：B的横坐标是：﹣． 则AB=﹣（﹣）=． 则S□ABCD=×b=5． 故选D．

【点评】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．

二、填空题（本大题共6题，每小题4分，共24分）

12．中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽一项，从50

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米，50×2米，100米中随机抽一项，恰好抽中实心球和50米的概率是 【考点】X6：列表法与树状图法．

．

【分析】首先画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果与恰好抽中实心球和50米的情况，利用概率公式即可求得答案． 【解答】略解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，恰好抽中实心球和50米的有1种情况， ∴恰好抽中实心球和50米的概率是：． 故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

13．因式分解：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2 ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=a（b﹣2b+1）=a（b﹣1）； 故答案为：a（b﹣1）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是 y=2（x﹣1）+1 ． 【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】先确定抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律写出（0，0）平移后对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．

2

2

2

2

14

【解答】解：抛物线y=2x的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移1个单位，再向右平移1个单位所得对应点的坐标为（1，1）， 所以平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣1）2+1． 故答案为y=2（x﹣1）+1．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

15．如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为 15 ．

2

2

【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长． 【解答】解：∵?ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线，DE=CD， ∴OE=BC，

∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15， 即△DOE的周长为15． 故答案为：15．

15

【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．

16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为

，则图中阴影部分的面积是

．

【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．

【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据弧长公式列式计算即可求出点B经过的路径长，再根据S阴影=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC，再根据旋转的性质可得S△ADE=S△ABC，然后利用扇形的面积公式计算即可得解．

【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB=

=

，

=

；

∴点B经过的路径长=

由图可知，S阴影=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC， 由旋转的性质得，S△ADE=S△ABC， ∴S阴影=S扇形ABD=

=

．

故答案为：；．

【点评】本题考查了扇形的面积计算，弧长公式，旋转的性质，熟记性质并求出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键．

17．如果将棱长相等的小正方体按如图的方式摆放，从上到下依次为第一层，第二层，第三

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层，?，那么第10层的小正方体的个数是 55 ．

【考点】I1：认识立体图形；38：规律型：图形的变化类．

【分析】根据图形计算出前几层的正方体的个数，从而得到第n层的个数为1+2+3+?+n，再根据求和公式求出表达式，然后把n=10代入进行计算即可得解． 【解答】解：观察不难发现，第一层有1个正方体， 第二层有3个，3=1+2； 第三层有6个，6=1+2+3， 第四层有10个，10=1+2+3+4， 第五层有15个，15=1+2+3+4+5， ?，

第n层有：1+2+3+?+n=n（n+1），

当n=10时， n（n+1）=×10×（10+1）=55． 故答案是：55．

【点评】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，得到各层的正方体的个数等于连续自然数的和，然后求出第n层的个数的表达式是解题的关键．

三、解答题：（本大题共7个小题，共60分）

18．（10分）（2017?滨城区二模）如图，直线l1的解析表达式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2，交于点C． （1）求点D的坐标；

（2）求直线l2的解析表达式； （3）求△ADC的面积．

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【考点】FI：一次函数综合题；FA：待定系数法求一次函数解析式；FF：两条直线相交或平行问题；K3：三角形的面积．

【分析】（1）已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可； （2）设l2的解析式为y=kx+b，由图联立方程组求出k，b的值； （3）联立方程组，求出交点C的坐标，继而可求出S△ADC． 【解答】解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0， ∴x=1， ∴D（1，0）；

（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b， 由图象知：x=4，y=0； x=3，

，

∴，

∴，

∴直线l2的解析表达式为 （3）由

，

；

解得，

∴C（2，﹣3）， ∵AD=3，

18

∴S△ADC=×3×|﹣3|=．

【点评】此题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．

19．（10分）（2017?滨城区二模）柯桥苏宁电器超市销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 A种型号 第一周 第二周 3台 4台 B种型号 5台 10台 销售收入 1720元 2960 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5100元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元、B种型号电风扇的销售单价为y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1720元，4台A型号10台B型号的电扇收入2960元，列方程组求解；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多于5100元，列不等式求解．

【解答】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元、B种型号电风扇的销售单价为y元， 依题意得：解得：

．

，

答：A种型号电风扇的销售单价为240元、B种型号电风扇的销售单价为200元； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台． 依题意得：190a+160（30﹣a）≤5100， 解得：a≤10．

答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5100元．

19

【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

20．（10分）（2014?莱芜）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米） （参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解． 【解答】解：过A点作AE⊥CD于E． 在Rt△ABE中，∠ABE=62°． ∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米， BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt△ADE中，∠ADB=50°， ∴DE=

=18米，

∴DB=DE﹣BE≈6.58米．

故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．

【点评】考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．

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21．（10分）（2017?滨城区二模）如图：已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连接AD并延长，与BC相交于点E． （1）若BC=

，CD=1，求⊙O的半径；

（2）取BE的中点F，连接DF，求证：DF是⊙O的切线．

【考点】ME：切线的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理． 【分析】（1）先设⊙O的半径为r，由于AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据切线性质可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得（r+1）2=r2+（

）2，解得r=1；

（2）连接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位线，那么OF∥AE，于是∠A=∠2，根据三角形外角性质可得

∠BOD=2∠A，易证∠1=∠2，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可证△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF， 从而可证FD是⊙O的切线．

【解答】解：（1）设⊙O的半径为r， ∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， ∴AB⊥BC，

在Rt△OBC中，∵OC=OB+CB， ∴（r+1）2=r2+（解得r=1，

∴⊙O的半径为1； （2）连接OF， ∵OA=OB，BF=EF， ∴OF是△BAE的中位线， ∴OF∥AE， ∴∠A=∠2，

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2

2

2

）2，

又∵∠BOD=2∠A， ∴∠1=∠2， 在△OBF和△ODF中，

∴△OBF≌△ODF， ∴∠ODF=∠OBF=90°， 即OD⊥DF， ∴FD是⊙O的切线．

【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明△OBF≌△ODF．

22．（23分）（2017?滨城区二模）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴，M为它的顶点 （1）求抛物线的函数关系式； （2）求△MCB的面积；

（3）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．

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【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求出直线BC与对称轴的交点，即可得出MN，再用面积之和即可得出结论； （3）先根据抛物线的对称性，判断出点P是直线BC与抛物线的对称轴l的交点，根据（2）直接得出点P坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点， 2

∴

，

∴，

∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2

+2x+3； （2）如图1，

由（1）知，抛物线的函数关系式为y=﹣x2

+2x+3； ∴抛物线的对称轴为x=1，M（1，4）， ∵B（3，0）、C（0，3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x+3， 当x=1时，y=2， ∴N（1，2）． ∴MN=2，OB=3，

∴S△MCB=S△MNC+S△MNB=MN×OB=×2×3=3；

（3）如图2，∵直线l是抛物线的对称轴，且A，B是抛物线与x轴的交点， ∴点A，B关于直线l对称，

∴PA+PC最小时，点P就是直线BC与直线l的交点， 由（2）知，抛物线与直线BC的交点坐标为（1，2）， ∴点P（1，2）．

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【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，对称的性质，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，是一道比较简单数形结合的试题．

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