黑龙江省哈六中2013届高三第三次模拟考试 数学理（2013哈六中三

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哈尔滨市第六中学2013届高三第三次模拟考试

数学试卷（理工类）

考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.做答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.做答第Ⅱ卷时，请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持答题卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A?{x|11?x?1 }，B?{x|log1x?1 }，那么“m?A”是“m?B”的（ ）

2（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）不充分也不必要条件 2．以下命题正确的是（ ）

（A）当从1，2，3，4，5中任取两个数和为偶数时，则所取这两个数分别为偶数的概率为

14

??1.5?1.3x，则变量x,y成正相关，相关系数（B）线性相关的两个变量x,y的回归方程为y为1.3

??????（C）“若|a|?|b|，则a?b或a??b”的逆命题为假命题

（D）复数z?a?bi(a,b?R)，则z2?0

3．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，2AB?2BC?CC1，点E是BB1的中点，那么异面直线AE与DB1所成角余弦值为（ ） （A）

64 （B）?64 （C）

104 （D）

32

4．已知等差数列{an}中，a1?a3?a8?（A）

54?，那么cos(a3?a5)?（ ）

3212 （B）?12 （C）

32 （D）?

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5．若(x22?13x)n展开式各项系数和为?1128，则展开式中常数项是第（ ）项

（A）7 （B）6 （C）5 （D）2

6．若0?x?y?1，0?a?1，则下列不等式正确的是（ ）

（A）3logax?logay2 （B）cosax?cosay （C）ax?ay （D）xa?ya 7．将函数y?2sin2(x??3的图像，那么关于f(x)的论断正确的是（ ） （A）周期为

再向右平移)图像所有点横坐标缩短为原来一半，

?，得到函数f(x)3????，一个对称中心为(,0) （B）周期为，一个对称中心为(,1)

2222??（C）最大值为2，一条对称轴为x? （D）最大值为1，一条对称轴为x?

228．如下图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（ ）

2367（A） （B） （C） （D）

10101010639．阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线 ? 处应填入语句为（ ）

64（A）i?6 （B）i?7 （C）i?7 （D） i?8 S=0 n=2 运动员 i=1 0 7 8 DO 1 0 7 x 9 S=S+1/n 正视图 侧视图 2 3 1 n=n*2 i=i+1 第8题图 LOOP UNTIL _?_ 俯视图

PRINT 第10题图

END 第9题图

10．如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为2锐角60?的菱形，，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为（ ）

（A）8? （B）4? （C）3? （D）2?

p11．已知抛物线M:y2?2px(p?0)焦点为F，直线x?my?与抛物线M交于A,B两点，

2与y轴交于点C，且|BC|?|BF|，O为坐标原点，那么?BOC与?AOC面积的比值为（ ）

（A）

352(1?x)12．已知函数f(x)?alnx?（a?R）定义域为(0,1)，则f(x)的图像不可能是（ ）

1?x

15 （B）

14 （C）

1 （D）

2 - 2 -

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y y y y O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x （A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．随机变量X~N(1,?2)，若P(|X?1|?1)?23，则P(X?0)?______________

?|x|?y?214．由不等式组?所确定的平面区域的面积为______________ 2?y?x15．数列{an}的前n项和为Sn?n2?n?1，bn?(?1)nan(n?N?)，则数列{bn}前50项和为______________

16．关于函数f(x)?e?|x|?|cosx|?m（m为常数）有如下命题 ①函数f(x)的周期为?； ②?m?R，函数f(x)在(??2③若函数f(x)有零点，则零点个数为偶数个，且所有零点之和为0； ④?m?R，使函数f(x)在(?,0)上单调递减；

,0)上有两个零点； 2⑤函数f(x)既无最大值，也无最小值

其中不正确的命题序号是__________________

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）

某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为?的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为?的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为?，由于山势变陡到达山峰D坡角为?，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图，

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假设A、B、C、D四个点在同一竖直平面 （1）求B，D两点的海拔落差h； （2）求AD的长．

（18）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB//CD，在锐角?PAD中

A a α D c θ b B β

C γ

PA?PD，并且BD?2AD?8，AB?2DC?45

（1）点M是PC上的一点，证明：平面MBD?平面PAD；

（2）若PA与平面PBD成角60?，当面MBD?平面ABCD时，求点M到平面ABCD的距离．

（19）（本小题满分12分）

“跑跑龟”是一款益智游戏，它灵活多变老少皆宜，深受大家喜爱。有位小朋友模仿“跑跑龟”也自己动手设计了一个简易游戏来自娱自乐，并且制定规则如下：如图为游戏棋盘由起点到终点共7步，并以一副扑克牌中的4张A、2张2、1张3分别代表前进1步、2步、3步，如果在终点前一步时抽取到2或3，则只需前进一步结束游戏，如果在终点前两步时抽取到3，则只需前进两步结束游戏。游戏开始时不放回的依次抽取一张决定前进的步数 （1）求恰好抽取4张卡片即结束游戏的概率；

（2）若游戏结束抽取的卡片张数记为X，求X的分布列和期望．

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终点 起点 河南教考资源信息网 http://www.henanjk.com 版权所有·侵权必究

（20）（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，从曲线C上一点P做x轴和y轴的垂线，垂足分别为M,N，点A(a,0),B(?a,0)（a?0,a为常数），且AM?BM??ON?0（??0） （1）求曲线C的轨迹方程，并说明曲线C是什么图形；

（2）当??0且??1时，将曲线C绕原点逆时针旋转90?得到曲线C1，曲线C与曲线C1四个交点按逆时针依次为D,E,F,G，且点D在一象限

①证明：四边形DEFG为正方形； ②若AD?DF，求?值．

（21）（本小题满分12分）

已知a?0，函数f(x)?ax2?x，g(x)?ln(ax)

（1）若直线y?kx?1与函数f(x),g(x)相切于同一点，求实数a,k的值；

（2）是否存在实数a，使得f(x)?g(x)成立，若存在，求出实数a的取值集合，不存在说明理由．

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2

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考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，AB是⊙O2的直径，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，点P分别与⊙O1、⊙O2交于C,D两点

证明：（1）PA?PD?PE?PC；

（2）AD?AE．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系Ox中，O为极点，点A(2,（1）求经过O,A,B的圆C的极坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D的参数方程为?x??1?acos?（?是参数，a为半径），若圆C与圆D相切，求半径a的值． ?y??1?asin???2)，B(22,?4)．

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数f(x)?|3x?1|?ax?3

（1）若a?1，解不等式f(x)?5；

（2）若函数f(x)有最小值，求实数a的取值范围．

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2013届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）参考答案 一、选择1-12 BADDA DCBBC BD

57二、填空题13、 14、 15、49 16、①②③⑤

63三、解答题

17解（1）h?bsin??csin? ………5分

（2）法一：在?ABC中，由余弦定理AC2?a2?b2?2abcos(???) ………9分 在?ACD中，由余弦定理AD2?AC2?c2?2cACcos(?????) 所以AD?a2?b2?2abcos?(??)?c2?2ca2?b2?2abcos?(??)cos(???) ………12分

（2）法二：在?ABC中，由正弦定理得分

以下同法一

18解法一（1）因为BD?2AD?8，AB?45，由勾股定理得

asin(???)?ACsin(???)，所以AC?asin(???)sin(???)……9

BD?AD，因为平面PAD?平面ABCD，平面PAD?平面

ABCD=AD，BD?面ABCD，所以BD?平面PAD

BD?面MBD，所以平面MBD?平面PAD ………6分 （2）如图，因为BD?平面PAD，所以平面PBD?平面PAD，所以?APD?60?，做PF?AD于F，所以PF?面ABCD，

PF?23，设面PFC?面MBD=MN，面MBD?平面ABCD所以

M

面PF//面MBD，所以PF//MN，取DB中点Q，得CDFQ为平行四边形，由平面ABCD边长得N为FC中点，所以MN?12PF?3 ………12分

z 解法二（1）同一

（2）在平面PAD过D做AD垂线为z轴，由（1），以D为原点，DA,DB为x,y轴建立空间直角坐标系,设平面PBD法向量为u?(x,y,z)，设P(2,0,a)，锐角?PAD所以a?2，由

u?DP?0,u?DB?0，解得u?(?a,0,2)，PA?(2,0,?a)，

|cos?PA,u?|?4aa?42?32，解得a?23或a?233?2（舍）

x

y 设PM??PC，解得M(2?4?,4?,23?23?)

因为面MBD?平面ABCD，AD?BD，所以面MBD法向量为DA?(0,0,4)，所以

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，所以M到平面ABD的距离为竖坐标3． ………12分 219解（1）设抽取4张卡片即结束游戏为事件A，取4张步数要大于等于7，卡片可以是2个A、1个2、1个3或1个A、2个2、1个3， 所以P(A)?214113C4C2A4?C4A3A34A7DA?DM?0，解得??1?37 ………5分

（2）由题意X?{3,4,5,6} ………6分 P(X?3)?3A33A7?135

P(X?4)?214113C4C2A4?C4A3A34A7?37

P(X?5)?535311424A5?C4A5?C4C2C2A4?C4A4A1515C2A5?C2A56A757?47105

P(X?6)??221 ………10分 5

6

X P

EX?4841053 4

13537

47105221

………12分

220解（1）设P(x,y)，所以M(x,0),N(0,y)，由AM?BM??ON?0得x2??y2?a2 ①当??0时，曲线C是焦点在x轴的双曲线； ②当0???1时，曲线C是焦点在y轴的椭圆；

③当??1时，曲线C是圆；

④当??1时，曲线C是焦点在x轴的椭圆； ………6分 （2）①当??0且??1时，曲线C是椭圆，曲线C1方程为?x2?y2?a2,设D(x,y) 所以两曲线四个交点坐标x?y?22a21??，所以四边形DEFG为正方形； ………9分

②设D(x,x)，当AD?DF时，AD?DF?(x?a,x)?(?2x,?2x)?0且

解得??3． ………12分 21解（1）设g(x)切点(x0,ln(ax0))，g?(x0)?1x0?k，

?g(x0)?ln(ax0)?kx0?1?0，?ax0?1，

设f(x)切点(x0,f(x0))，f?(x0)?2ax0?1?k?1，?a?x0?1

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?a?k?1 ………5分 （2）令h(x)?f(x)?g(x)?ax2?x?ln(ax)，即h(x)min?0 h?(x)?2ax2?x?1x，令p(x)?2ax2?x?1，??1?8a?0

所以p(x)?0有两不等根x1,x2，x1x2??12a?0，不妨令x1?0?x2，

2所以h(x)在(0,x2)上递减，在(x2,??)上递增，所以h(x2)?ax2?x2?ln(ax2)?0成立

2?x2?1?0，所以ax2?因为p(x2)?2ax21?x22x2

所以h(x2)?令k(x)?k?(x)??1?x22?ln1?x22x2?0,且x2?1?1?8a4a?21?8a?1

1?x2?ln1?x2x?1?x2?ln2x?ln(1?x)

(x?1)(x?2)2x(x?1)，所以k(x)在(0,1)上递增，在(1,??)上递减

所以k(x2)?k(1)?0，又h(x2)?1?x22?ln1?x22x2?0，所以x2?1代入ax2?1?x22x2,a?1

所以a?{1} ………12分 22证明：（1）因为PE,PB分别是⊙O2割线，所以PA?PE?PD?PB① 又PA,PB分别是⊙O1的切线和割线，所以PA2?PC?PB② 由①②得PA?PD?PE?PC ………5分

（2）连接AC,DE，设DE与AB相交于点F，因为BC是⊙O1的直径，所以?CAB?90?，所以AC是⊙O2的切线，由（1）得AC//DE，所以AB?DE，所以AD?AE ………10分 23解（1）??22cos(???4) ………5分

（2）a?2或a?32． ………10分 24解：（Ⅰ）a?1时，f(x)?|3x?1|?x?3.

原不等式的解集为{x|?13≤x≤}. ………5分 24 - 9 -

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1?(3?a)x?2,(x≥)??3（Ⅱ）f(x)?|3x?1|?ax?3??

?(a?3)x?4.(x?1)?3??3?a≥0,函数f(x)有最小值的充要条件为?即?3≤a≤3 ………10分

a?3≤0,?

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