同济大学线性代数试题

2009—2010学年第二学期

课名：线性代数（2学分）

一、填空与选择题(24分)

1、 已知m阶方阵A与n阶方阵B的行列式值分别为a,b,且ab?0,则

?AT?3??00??B?1??1?______(?3)(n?m)b_____________. a?100?1??**?12、 设A?220，其伴随矩阵为A，则?A??____A______.

??6?333???3、 若

3

阶方阵

A满足

A?E?A?2E?A?E?0，则

A2?5A?3E?___-231___________.

4、 已知?1,?2,?3是R空间的一组规范正交基，则2?1??2?3?3?__14__________.

2225、 设二次型f(x1,x2,x3)?xTAx?ax1?2x2?2x3?2bx1x3，其中b?0，已知A的全体特征

3

值之和为1，全体特征值之积为?12，则a?_1__________，b?___2________. 6、 设A为n阶非零方阵，且A中各行元素都对应成比例，又?1,?2,组Ax?0的基础解系，则t? n-1____________.

,?t是齐次线性方程

?123???7、 设Q?24t，P为3阶非零方阵，且PQ?0，则下面说法正确的是_____C____.

???369???(A). t?6时R(P)?1 (B). t?6时R(P)?2 (C). t?6时R(P)?1 (D). t?6时R(P)?2

?a1??b1??c1???????8、 设?1?a2,?2?b2,?3?c2,三条不同的直线aix?biy?ci?0，(i?1,2,3)，

???????a??b??c??3??3??3?ai2?bi2?0，则这三条直线交于一点的充要条件是_____D____________.

(A). ?1,?2,?3线性相关 (B). ?1,?2,?3线性无关 (C). R(?1,?2,?3)?R(?1,?2,?3) (D). ?1,?2,?3线性相关,?1,?2线性无关

?1b?b1二、(12分) 设n阶方阵A?????bb值.nb?b?1,. １－b（（?1重根）。

b?b??，试求A的全体特征??1??100??230三、(10分)设4阶方阵A???0?45??00?6

0?0??，又(E?A)B?E?A，求E?B. 0??7??(2??)x1?2x2?2x3?1 ?四、(12分)已知线性方程组?2x1?(5??)x2?4x3?2 ，试讨论参数?为何

??2x?4x?(5??)x????1?123值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷多解.

?1??1??1???????五、(12分)设有如下两个向量组：向量组?I?:?1?0,?2?1,?3??1，向量组???????2??3??a?2????????1??2??2??,???1?,???1?2?II?:?1????2??3??，问a取何值时两个向量组等价？a又为何?a?3??a?6??a?4???????值时两个向量组不等价？

六、(16分)设A为3阶方阵，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量，且A?1??1??2??3，

A?2?2?2??3，A?3?2?2?3?3，

(1) 求方阵B，使得A(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)B， (2) 求正交阵P，使得PBP为对角阵，并求出此对角阵. 七、(1)(7分)已知?i??ai1,ai2,?1,ain?，(i?1,2,T,r, r?n)为n维实向量，且

a1nxn?0a2nxn?0arnxn?0的一个

?1,?2,?a11x1?a12x2??b1??ax?ax??b??2,?r线性无关，又已知????是线性方程组?211222???????ar1x1?ar2x2??bn?非零解，试证明向量组?1,?2,,?r,?线性无关.

TT(2) (7分)设?为n维列向量，???1，方阵A?E???，试证|A|?0.

2009—2010学年第二学期

课名：线性代数 考试考查：考查

（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计

分）

一、填空与选择题(24分)

**

1、 设A是n阶方阵，A是其伴随阵，则|A|A?___B_____________.

(A). A (B). A22n?1 (C). A (D). A

n2n2、 设A是n阶方阵，则___C_____是对称矩阵.

(A). A?AT (B). CACT，C是任意n阶方阵(C). AA (D). AAB，B是任意n阶对称阵TT

3、 设A是m?n阵，A的秩R(A)?r，则线性方程组Ax?0有非零解? _______D________.

(A). m?n (B). r?m(C). r?m (D). A的列向量组线性相关

4、 设A是n阶正交阵，则以下结论中正确的是__B__________.

(A). A?1 (B). AT与A为可交换矩阵 (C). A??1 (D). A为对称阵

4??1?7??17?5、 已知A?43,?3?1，2则??的三个特征值为?1??2???4?4x???x?________4_______.

6、 若A为

4

阶方阵，其秩R(A)?2，A

*

是其伴随阵，则

R(A*)?____0__________________.

117、 设有方程1xa1a2x2a122a2xn?1a1n?1n?1?0，这里ai(i?1,a2,n?1)是互不相等的实常数，

21an?1an?1n?1an?1则方程的全部解为___a1,a2,?,an?1________________.

?1??1??2??????1?线性相关，则实数k?_0____________.

8、 已知向量组?1?1,?2?0,?3????????k?8??5??3???????ab00ab二、(10分)计算n阶行列式：Dn?000000ab0a=an?(?1)n?1bn

00a000b00三、(15分)设A,B是n阶方阵，A?B?AB，

(1)证明：A?E可逆，

?1?30???(2)设B?210，求A. ???002????x1?x2?kx3?4?2四、(15分)线性方程组??x1?kx2?x3?k，问参数k为何值时此方程组

?x?x?2x??4?123(1)无解，(2)有唯一解，(3)有无穷多个解，并在无穷多个解的时候求出其通解.

?1c??a?5?*

b3五、(12分)设A?，其行列式值A??1，其伴随阵A有特征值?，

???1?c0?a?????1???????1??为对应的特征向量，求a,b,c,?. ?1???22六、(14分)已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3，

(1)求二次型f的矩阵A；

(2)求正交阵P，使其在经过正交变换x?Py后，二次型f可化为标准形，并写出标准形.

七、(10分)已知向量组?1,?2,以表示成?1,?2,

,?t线性无关，向量组?1,?2,,?t,?线性相关，试证?可

,?t的线性组合，且表示方法唯一.

同济大学课程考核试卷(A卷)

2009—2010学年第一学期

课名：线性代数（2学分） 考试考查：考查

（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为100分钟.要求写出解题过程，否则不予计分）

一、填空与选择题(5-9小题均为单选题)(27分)

1、 设3阶方阵A???,?2,?3?，B???,?2,?3?，其中?,?,?2,?3都是3维列向量，已知，则|A?B|?__10_________________. |A|?2,|B|?12?123???2、 已知A，B为3阶方阵，且R(B)?2，A??2a6?，若AB?0，则

?369???a?____4_______.

533、 已知3阶方阵A的特征值分别为1，-1，2，设矩阵B?A?3A，则

B?___-32___________.

?1??2??1??1?????????4、 已知向量组?1??2?,?2??3?,?3??a?2?,???3?，若?不能由?1,?2,?3线性表

?1??a???2??0?????????示，则a的取值为__-1__________.

a115、 设行列式D1?a21a12a22a32a13a11a121a32a131，且Mij和Aij分别为D1中元素aija33a31a23,D2?1a33a31的余子式和代数余子式，则D2?__A_____________. (A). ?Aj?132j (B). ?M2j (C). ??A2j (D). ??M2j

j?1j?1j?13336. 以下结论中正确的是____C_________.

矩阵.

七、(1). (8分)已知向量组a1,a2,,an线性无关,向量组b1,b2,,bn满足：

?b1?a1?a2?b?a?a223??， ??b?a?an?1n?n?1??bn?an?a1分别讨论当n?4和n?5时，向量组b1,b2,,bn是否线性相关？

(2). (8分)设?1,?2为方阵A的两个不同的特征值， ?1,?2为A相应于?1的两个线性无关的特征向量，证明向量组?1,?2,?3,?4线?3,?4为A相应于?2的两个线性无关的特征向量，性无关.

同济大学课程考核试卷（A卷） 2009—2010学年第二学期

考试考查：考试

一、(24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.

?6y5???1、 设A??104?，则A中元素y的代数余子式的值为 4x-3 .

?x23????100?

??*

2、 设3阶方阵A与对角阵?020?相似，则A的伴随矩阵A的秩R(A*)? ?000???

1 .

3、 设实二次型f(x1,x2,x3)?kx12?x22?kx32?2x1x3为正定二次型，则k的取值范围是 .

??20k???4、 设矩阵A??k61?有两重特征值-1，则行列式A?5E? 0 .

?10?1???5、 设A为3?4阵，非齐次线性方程组Ax?b有解，其解向量组的秩为2，则R(A)? 3 .

?102???6、 设矩阵A??k33?可对角化，则k= -3 .

??104???7、 设向量组?1，?2，?3线性相关，向量???1??2??3，则下面说法正确的是 A,B,C .

(A) 向量组?，?2，?3线性无关.

(B) 向量组???1，?2，?3线性无关.

(C) ?由?1，?2，?3线性表示的表达式唯一. (D) 向量组???1，?1??2，?1??3线性相关.

8、设A为n阶方阵，已知R(A)?n，则下面说法不正确的是 C . (A) A的列向量组一定是线性无关的. (B) A的特征值一定都不等于零.

(C) A一定有n个线性无关的特征向量. (D) 非齐次线性方程组Ax??一定只有唯一解.

x1??二、(12分) 设有非齐次线性方程组?(1??)x1?(5?3?)x1??x2?(1??)x3??x3x3?1?1 ， ???(1??)x2?(1??)x2问?取何值时，该方程组有唯一解、无解或有无穷多解？当解不唯一时，求出所有的解.

?0三、(10分) 设X??B矩阵X.

?101?A???C??301?1?,A??3,B?0?11, 其中?? 求??C,??0??0?121???111???四、(14分) 设?1?(1,1,1,1)T，?2?(0,1,2,1)T，?3?(?1,2,3,4)T，?4?(3,2,1,0)T，

?5?(1,0,4,?1)T生成的向量空间为V，求向量空间V的维数和它的一组基，并分别求出?1，?2，?3，?4，?5在这组基下的坐标.

222五、 (15分) 设有二次型fx1,x2,x3?x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3,

??(1) 写出二次型

f的矩阵;

?x1??y1?????(2)求一正交变换?x2??P?y2?，把二次型f化为标准形;

?x??y??3??3?(3) 写出二次型

f的标准形和规范形.

23六、(15分) 设P[x]3?{f(x)?a0?a1x?a2x?a3x|a0,a1,a2,a3?R}是次数不超过3的实系数多项式所成的线性空间. 已知多项式的微分运算:

?f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3?P[x]3,D(f(x))?a1?2a2x?3a3x2

是P[x]3上的线性变换.

(1)证明{1,1?x,1?x?x2,1?x?x2?x3}构成线性空间P[x]3的基; (2)求由基{1,x,x2,x3}到 {1,1?x,1?x?x2,1?x?x2?x3}的过渡矩阵P; (3)求多项式f(x)?1?2x?3x2?4x3分别在基{1,x,x2,x3}与基

{1,1?x,1?x?x2,1?x?x2?x3}下的坐标.

(4)求线性变换D分别在基{1,x,x2,x3}与基 {1,1?x,1?x?x2,1?x?x2?x3}下的矩阵. 七、(10分) 证明题：

设A是正交矩阵, ?1??1, ?2?1是A的特征值, ?,?分别是属于特征值?1??1,

?2?1的特征向量,

(1) 问?与?是否线性相关, 写出你的理由. (2) 向量?与向量?是否正交, 写出你的理由.

同济大学课程考核试卷（B卷） 2009—2010学年第一学期

课名：线性代数B 考试考查：考试

一、填空题（每空3分，共24分）

1、 已知4阶方阵为A???2,?1,?3,?1?, B???1,2?2,?3,?2?, 且

A??4，

B??2，则行列式 A?B? 6 . 112、 设行列式D?24-9 .

1015300110，Aij是D中元素aij的代数余子式，则A41?A42? 32?a22?????3、 已知矩阵A??2a2?，伴随矩阵A?0，且Ax?0有非零解，则 C .

?22a???(A) a?2； (B) a?2或a??4；

(C) a??4； (D) a?2且a??4.

4、 向量组?1，且可由向量组?1， ?2，?，?s(s?2)线性无关，?2，?，?s线性表示，

则以下结论中不能成立的是 B . (A) 向量组?1，?2，?，?s线性无关；

(B) 对任一个?j(1?j?s)，向量组?j，?2，?，?s线性相关； (C) 向量组?1，?2，?，?s与向量组?1，?2，?，?s等价.

?0?10???阶矩阵A与B相似且A??100??00?1???5、 已知

3

,

则

B2012?2A2=___

?300???__?030?_________. ?00?1???6、 设?0是非齐次线性方程组Ax?b的特解，?1,?2,基础解系，则以下命题中错误的是 B .

(A) ?0,?0??1,?0??2,(B) 2?0??1??2?,?s是齐次方程组Ax?0的

,?0??s是Ax?b的一组线性无关解向量；

??s是Ax?b的解；

,?0??s的线性组合.

?(C) Ax?b的每个解均可表为?0,?0??1,?0??2,T7、 设4阶矩阵A有一个特征值为?2且满足AA?5E，|A|?0，则其伴随矩阵A的一

个特征值为 ?25 . 22228、 已知实二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?6x3?2ax1x3?4x2x3正定,则常数a的取值

范围为 (-2,2) .

?1?10???*1?1?，且A?0，ABA?1?BA?1?3E，二、（10分）设矩阵A的伴随矩阵A??0??102???求矩阵B.

三、（10分）已知?1，?2，?3与?1，?2，?3为所有3维实向量构成的线性空间R的两组

3?02?1???基, ?1，?2，?3到?1，?2，?3的过渡矩阵为P???102?且

?100????1??1??1???????1??0,??1,????2??3?1?,

?0??0??1???????试求：(1) 基?1，?2，?3；(2) 在基 ?1,?2,?3与?1,?2,?3 下有相同坐标的全体向量. 四、（10分）设A?(?1，?2，?3，?4)为4阶方阵，其中?1，?2，?3，?4是4维列向量，

且?2，试求?3,?4线性无关，?4??1??2??3.已知向量???1??2??3??4，线性方程组Ax??的通解.

五、（20分）已知二次型f?x1,x2,x3??x12?x22?4x32?4x1x2?2x1x3?2x2x3,

?1???4(1). 设矩阵A为二次型f?x1,x2,x3?所对应的对称阵, 试证?1?为A与A共同的特征向

??1??量.

(2). 用正交变换将此二次型化为标准型. 六、（12分）

设a1,a2,a3为3维线性空间V的一组基, V上的线性变换T在a1,a2,a3下的矩阵为

?124?A???010??

??021??(1). 求线性变换T在V的基a1,a1?a2,a1?a3下的矩阵; (2). 试证V中不存在一组基使T在该基下的矩阵为对角阵.

七、(14分) 证明题:

(1). 设A为2阶实方阵,且A??1,试证A可对角化. (2).

设

向

量

组

?a1,a2,a3,a4?线性无关b1?a1?k1a4,b2?a2?k2a4,b3?a3?k3a4,b4?a4

证明向量组b1,b2,b3,b4线性无关．

，

同济大学课程考核试卷（B卷） 2009—2010学年第二学期

课名：线性代数B 考试考查：考试

一、 (24分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.

2?1??x?1??1?，则A的行列式展开式中x2的系数是 1、 设三阶矩阵A???1x?2?1?1x?3???4 .

2、 设A为3阶方阵，行列式A?E?A?E?A?2E?0，则A的伴随矩阵的行列式

A*? 4 . ?1k?1??300?????3、 设3阶方阵A??k10?与对角阵?010?相似，已知k?0，则k=

??101??00?1?????3 . 4、 设向量???5,x,1,4?与向量???3,0,y,2?正交，那么y? -23 . 5、 设A为3阶方阵，R(A)?2，且A的各行元素之和为0，则线性方程组Ax?0的通解

TT?1???为 k?1?,k?R .

?1????100???6、 设矩阵A??k11?可对角化，则k= 3 .

?302???V上的线性变换T在V的两组不同基下的矩阵分别为A和B，7、 设V为有限维向量空间，

则下面说法不正确的是 D .

(A) A可经过有限次初等变换变为B. (B) A和B有相同的行列式. (C) A和B有相同的特征值. (D) A与B是合同的.

?10?018、 设A为3?4矩阵，已知R(A)?2，矩阵B???00??1?100200??2?，则R(AB)? ?0?3?B .

(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.

01二、(10分)计算行列式D?251052250152的值. 10?1?11??A0???C??1?120?,A??2,B?120,三、(12分) 设X? 其中?C,?? 求?????1042??0B??0?42???矩阵X.

?1??1??3??1??1??2?3四、(16分) 已知?1??0?,?2??1?,?3??1?与?1??1?,?2???1?,?3??0?分别是R?????????????1??1??0??3??1??3??????????????2?的两组基, 求从{?1,?2,?3}到{?1,?2,?3}的过渡矩阵P, 并分别求向量???0?在基

???0???{?1,?2,?3}下的坐标和在基{?1,?2,?3}下的坐标.

五、(18分) 设有二次型f(x1,x2,x3)?x1+4x2+4x3-4x1x2+4x1x3-8x2x3,求一正交变换

222?x1??y1?????x?P?2??y2?，把二次型f化为标准形，并求出该二次型的标准形和规范形. ?x??y??3??3??x1??x1??x1??x1?????????3

六、(20分) 设T1:?x2??A?x2?，T2:?x2??B?x2?为向量空间R的两个线性变换，

?x??x??x??x??3??3??3??3??x1??x1??10?1??32?4?????????:x?A(B其中A??225?，B??051?. 定义TT12?2??x2?).记e1,e2,e3为

??110???167??x??x??????3??3?R3的自然基.

(1) 证明：TT12为向量空间R的线性变换. (2) 证明：e1?e2,e2?e3,e3仍为向量空间R的基.

(3) 求线性变换TT12在R的自然基e1,e2,e3及基e1?e2,e2?e3,e3下的矩阵.

3

3

3

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