微分几何复习13-14-2 - 图文

微分几何复习13-14-2

一、选择题

1、正则曲面要求：(A) ru ≠0, (B) rv ≠0, (C) ru? rv≠0, (D) ru? rv≠0.

2、向量 r(t) 有固定长度, 则：(A) r? r'=0, (B) r'?r''=0, (C) r? r'=0, (D) r'? r''=0. 3、一般螺线: (A) k/τ为常数, (B) k为常数, (C) τ为常数, (D) k, τ皆为常数. 4、沿曲率线: (A) E=0, (B) F=0, (C) G=0, (D) L=0.

5、(1/| r'|)' = : (A) 1/| r'|2, (B) ?1/| r'|2 , (C) ?r'?r'' /| r'|3, (D) r'·r'' /| r'|3. 6、若曲面的坐标网正交, 则 (A) E=0, (B) F=0, (C) G=0, (D) M=0.

7、曲面的u线, 切向为 (A) du:dv=1:0, (B) du:dv=0:1, (C) du:dv=1:1, (D) du:dv=2:1. 8、曲线r=r(t), t为自然参数? (A) |r(t)|=1, (B) |r'(t)|=1, (C) |r\r'\

9、曲线的挠率总是： (A) >0, (B) <0 , (C)≥0 , (D) 不确定. 10、曲面r=r(u,v)的II=0, 则: (A) dr//dn, (B) dr⊥dn, (C) dr=dn, (D) dr×dn=0.

11. 沿渐进线: (A) 法曲率kn=0, (B) 两点间的距离最短, (C) 曲率k=0, (D) 测地区率kg=0. 12. 一般螺线的等价条件, 是存在非零常向量n, 使得:

(A) nα为常数, (B) nβ为常数, (C) nγ=0, (D) nβ=nα=0.

13. 向量 r(t) 有固定方向, 则：(A) r? r'=0, (B) r'?r''=0, (C) r? r'=0, (D) r'? r''=0.

14. 曲面f(x,y,z)=0的法向量为：(A) (fx,fy,-1), (B) (-fx,-fy,1), (C) (fx,fy,fz), (D) fx? fz. 15. 空间曲面u线的切方向为（）（A）du:dv=1:0 （B）du:dv=0:1 （C）du:dv=1:1 （D）du:dv=2:1 16. 直纹面r=a(u)+vb(u) 可展 ? (A) M≠0, (B) K=0, (C) (a,b,b')=0, (D) (a',b',b\)=0.

1 (D)；2 (C)；3 (A)；4 (B)；5 (C) ；6 (B) ；7 (A) ；8 (B) ；9 (D) ；10 (B)；11(A)； 12(A)； 13(B)； 14(C)； 15(A)； 16(B)

二、填空题

1、曲面上方向du:dv与1:0正交的条件是 Edu+Fdv = 0 . 2、Γ：r=(acost, asint, t)的单位切向量是 (-asint, acost, 1)/?(a2+1) . 3、已知r=(cosx,sinx,x),0≤x≤1,其弧长总长= ?2 ；

4、曲面上切向du:dv是渐进方向的条件,用第二基本量表示为 Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0 . 5、r=(u+v,u?v,uv)的第一基本量G= 2+u2 .

6、曲面上满足LN-M2>0 的点称为 椭圆 点. 7、Γ：r=(t, 2t, 3t)的曲率是 0 . 8、Γ：r=( cosθ,sinθ,1)的挠率是 0 .

9、I=du2+cos2udv2, II = -du2-cos2udv2 的曲面, 其法曲率 kn = -1 . 10、曲面的I=du2+121dv2, 则其面积元素 = 11dudv . 11、曲面的坐标网为曲率网 ? F=M=0 . 12、曲面的坐标网为渐进网 ? L=N=0 .

三、判断题

1、曲面中的曲线的夹角依赖于II . × 2、曲面上的直线一定是渐近线. √ 3、曲线的曲率非负. √

4、曲面的第二基本形式是一个半正定的二次型线. × 5、球面上不存在渐进线. √ 6、空间曲线由曲率k>0唯一确定. ×

7、挠率=0的曲线是直线. × 8、曲面的坐标网是渐进网的条件是 L=N=0. √ 9、不存在曲面使得E=F=1, G=-1/2. √

10、除空间位置之外, 曲面由其第一基本式唯一确定. × 11、坐标曲线正交当且仅当F=0，其中F为第一基本量. √ 12、曲面的第一基本形式是一个半正定的二次型. × 13、曲线r(t), t为自然参数当且仅当|r'(t)|=1. √ 14、空间曲线r(t)为直线当且仅当k=0. √

15、第一基本量, EG<1 ? F<1. √ 16、曲面r=r(u,v)满足d2r⊥n. × 1 (╳)；2 (?)； 3 (?)； 4 (╳)； 5 (?)； 6 (╳)；7 (╳)；8 (?)； 9 (?)；10 (╳)；11 (?)；12(╳)；13 (?)；14(?)；15(?)；16(╳).

四、计算题

1.双曲螺线r=(acosht,asinht,at)，求：1）从t=0起计算弧长；2）求它的曲率k和绕率τ。 解：1) ∵ r'=(asht, acht,a)

tttt∴ s=|r'(t)|dt=

0??0a2sh2t?a2ch2t?a2dt =

?02achtdt=

222a?chtdt =

02asht

2) r\r\ k=

1|r'?r\|

= |r'|32ach2t(r',r\2, τ=

1(r',r\,r???)= 222acht(r'?r\)2.求曲线r=(cos3t,sin3t,cos2t)的三个基本向量α,β,γ.（假设sintcost>0） 解：r'=(-3cos2tsint, 3sin2tcost, -2sin2t )=sin2t(-3cost, 3sint, -4)/2, α =(-3cost, 3sint, -4)/5. ds/dt =|r'| =5/2?sin2t, β = dα/ds= dα/dt?dt/ds=(3sint, 3cost,0)/5 ?1/(5/2?sin2t) = (sint,cost,0). γ =α×β = (4cost, -4sint, -3)/5.

3.在第一基本形式为I=du+sinhudv的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。

u2u2222解：沿曲线u=v, 有du=dv, ds2=I=du2+sh2udu2=ch2udu2, ds=chudu, s=ds=chudu=shu2-shu1.

u1u1??4.在第一基本形式为I=du+(u+a)dv的曲面上，求：1）它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角；2）由三条曲线u??av,v=1相交所成的三角形面积, 其中a>0.

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2222解：1) u+v=0的方向du=-dv, u-v=0的方向δu=δv, 交点u=v=0, 夹角余弦 cosθ=

du?u?(u2?a2)dv?vdu2?(u2?a2)dv21?u2?a21?a21?a2= = ,θ=arccos. 222222221?u?a1?a1?a?u?(u?a)?v01a12) 如图, 面积S=

0??Du?adudv=?du?aa22?u/a?u?adv+?du220u/a?u2?a2dv=

=

?aa?u2?a2(1?u/a)du+

?0u2?a2(1?u/a)du

2?3?ln(1?2)). 3v D u u=av v=1 = 2

?0u2?a2(1?u/a)du= a2(5、求曲线 x=cost,y=sint, z=t 的曲率； a -a o 解： r'=(?sint,cost,1), r\-sint,0), r'\ 故曲率k=( r', r\r\2 =1/2.

6、求曲线Γ：r=(acost, asint, et)过(a,0,1)的切线方程；

解：r'(0)=(?asint, acost, et)|t=0 =(0, a, 1)| , 故切线方程为r=(a,0,1)+t(0,a,1), 即r=(a,at,t)；

7、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的过(0,1,π/2)的切平面方程；

解：ru=(cosv,sinv,0), rv=( ?usinv,ucosv,1), n= ru? rv =(?sinv, ?cosv,u), 故切平面方程为： ((x,y,z) ? ( 0,1,π/2))?(?1,0,1)=0, 即 ?x+z?π/2=0；

8、已知曲面的第一基本形式为I=du2+(u2+a2)dv2, v>0, 求u-线与曲线u+v=1的夹角； 解：设求夹角为?, 则 cos?=

du?udu2?u?(u?a)(??u)2222 =

11?u?a22,

故?=arccos

11?u?a22 .

9、求平面 a2x+2ay+2z=2a 的第二基本型.

解： z = a - a2x/2- ay, r=(x,y, a - a2x/2- ay), rx=(1,0,-a2/2), ry=(0,1,-a), rxx=(0,0,0), ryy=(0,0,0), rxy=(0,0,0), 故 II=0.

10、在第一基本形式为I=du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。 解：s=

?u0ds=?u0du?shudv=

222?u01?shudu=?chudu=shu.

02u11、计算正螺面的Gauss曲率.

解：正螺面的方程为r=(vcosu,vsinu,au), 所以ru=(-vsinu,vcosu,a), rv=(cosu,sinu,0), E=v2+a2, F=0, G=1, g= v2+a2,

ruu=(-vcosu,-vsinu,0), ruv=(-sinu,cosu,0), rvv=0, Lg=0, Mg=a,N=0. Kg=-a2. K=-a2/( v2+a2).

12、求平面族 a2x+2ay+2z=2a 的包络面. 解： a2x+2ay+2z=2a

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2ax+2y=2

a =(1-y)/x, (1-y)2/x+2(1-y)y/x+2z=2(1-y)/x, (1-y)2+2(1-y)y+2xz=2(1-y), 包络面方程为 (1-y)2=2xz.

五、证明题

1. 如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

证明：设曲线方程 r=r(s), s为自然参数则r0=r(s)+r'(s)t对某定点r0成立, 从而 0=r'(s)+tr\线性相关, 故r'具有固定方向, 故r'(s)为常向量v, 故r=r1+sv. 其中r1为常向量.

2、向量r(t)有固定方向 ? r'//r.

证明：r(t) 有固定方向 ? r= |r|e, e'=0. ? r'= |r|'e+|r|e'= |r|'e ? r' // r.

3、证明曲面?：r=(φ(t)cosθ, φ(t)sinθ, φ(t))的参数网是正交网；

证明：rt=(φ'(t)cosθ, φ'(t)sinθ, φ'(t)), rθ=(?φ(t)sinθ, φ(t)cosθ, 0) , F=0, 故命题成立；

4、证明曲线Γ：r=(536+3t+2t2, 821? 2t+5t2, 2013-2t? t2)为平面曲线； 证明：r'=(3+4t, ?2+10t, -2-2t), r''=(4, 10, ?2), r'''=(0, 0, 0), (r', r'', r''')=0, 故Γ为平面曲线；

5、证明曲面?：r=(v+cosu,v+sinu,au) 的第二基本量M=0.

证明：r=(cosu,sinu,au)+ (1,1,0)v, a(u)= (cosu,sinu,au), b(u)= (1,1,0), (a,b,b')=0, 故M=0.

6、曲面?上由 adu2+2bdudv+cdv2=0 确定的两个方向相互垂直, 试证明Ec-2Fb+Ga=0. 其中a≠0, E,F,G是?的第一基本量 .

证明：du:dv, ?u: ?v, 是adu2+2bdudv+cdv2=0确定的两个方向, 则 du?u/dv?v=c/a, (du?v+ dv?u)/dv?v =-2b/a, 并且 (rudu+rudv)·(ru?u+ru?v)=0, 即 Edu?u +F(du?v+ dv?u) +Gdv?v =0, 故 Ec/a +F(-2b/a) +G =0, 即 Ec-2Fb+Ga=0. 7、证明曲线r=r(s)的切线曲面是可展曲面.

证明：r=r(s)的切线曲面为 Σ: r=r(s)+tα, 故(r’(s),α, α’)= (α,α, α’)=0. 故Σ是可展曲面. 8、证明极小曲面的渐进坐标网正交或共轭.

证明：极小曲面H=0, 故EN+GL-2FM=0, 对于渐进坐标网L=N=0, 故 FM=0. 若F=0, 则坐标网正交. 若M=0, 则坐标网共轭.

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