导数全部教案

3.1.1-2变化率问题与导数的概念

（1）三维目标

1、知识与技能：

①理解导数的概念，②掌握用定义求导数的方法。

2、过程与方法：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。

3、情感态度与价值观：通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。

（2）教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； （3）教学难点：导数的概念。 （4）教学建议：

1、学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。

2、对于导数定义：在定义f?x0?=lim'f(x0??x)?f(x0)?f给出后，可以?lim?x?0?x?x?0?x?x?0给出定义的几种变化形式：f'?x?=lim?y?lim?x?0?xf(x0)?f(x0??x)；以及

?xf(x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?y'?lim；或f?x?=lim；而

x?x0(?x)x?x0??x?0x?x0??xf(x)?f(x0)?x?x?x0，当?x?0时，x?x0，所以f?(x0)?lim。通过比较理解实

?x?0x?x0f'?x?=lim质。另外，在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。 教学过程

一．新课讲授 （一）问题提出

问题1气球膨胀率问题：

老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r 3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?33V 4?分析: r(V)?3

3V， 4?

⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) 气球的平均膨胀率为

r(1)?r(0)?0.62(dm/L)

1?0⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r(2)?r(1)?0.16(dm/L)

2?1h 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

r(V2)?r(V1)

V2?V1问题2 高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？

ot 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时

间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.

思考计算：0?t?0.5和1?t?2的平均速度v

h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)；

0.5?0h(2)?h(1)在1?t?2这段时间里，v???8.2(m/s)

2?165探究：计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49在0?t?0.5这段时间里，v?⑴运动员在这段时间内是静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(2

65)?h(0)， 4965)?h(0)?0(s/m)， 所以v?4965?04965虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运

49h(动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；

（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.

（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

（二）平均变化率概念:

引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.

f(x2)?f(x1)x2?x11．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均

变化率

2．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用

x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))

3． 则平均变化率为

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f? ??x2?x1?x?x?xy y=f(x) 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率

f(x2)?f(x1)?f表示什么? ?x2?x1?x（1） 师生一起讨论、分析，得出结果；

（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均

f(x2) f(x2)?f(x1)?f变化率. ??xx2?x1注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②

x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；

二．典例分析

2△y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x 例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点

B(?1??x,?2??y),则

?y? ． ?x解：?2??y??(?1??x)2?(?1??x)，

?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x例2． 求y?x2在x?x0附近的平均变化率。

?y(x0??x)2?x0解：?y?(x0??x)?x0，所以 ??x?x222x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x

?x22

所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x 三．课堂练习

1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3

3.过曲线y=f(x)=x上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 四．回顾总结

让学生进行课堂小结.

（1） 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；

（2） 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态； （3） 函数的平均变化率的概念 ； （4） 求函数的平均变化率的步骤；

（5） 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

（6） 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念． 五．补充实例

例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

例２ 情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃ 2

2观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：

温度T (℃) C (34, 33.4) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20 30 34 时间t（d）

六．布置作业

①看书，复习今天内容；②思考问题：如何能更精细地刻画运动员的运动状态？需要增加什

B (32, 18.6)

么量？③做书A1；④预习下节内容. 七．教学反思

用1节课完成变化率的讲授。导数确实是个很重要的工具，所以与导数概念教学有关的平均变化率问题讲授显得很重要. 板书设计 、 一、平均变化率： 3.典例分析 课堂练习 作业 例1? 例2? 小结

导数的几何意义

（1）三维目标

1、知识与技能：（1）使学生掌握函数f(x)在x?x0处的导数f/?x0?的几何意义就

是函数f(x)的图像在x?x0处的切线的斜率。（数形结合），即：

f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)＝切线的斜率

?x(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 2、过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 3、情感态度与价值观：通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值。 （2）教学重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 （3）教学难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】

（一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。

师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：

导数f/(x0)的本质是函数f(x)在x?x0处的瞬．时．变．化．率．，即：

f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)

?x（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）

师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？

（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”） 生1：研究导数的代数表达式。

师：那必然就要回忆求导数f/(x0)的步骤了。 生（齐）：分三步： 第一步：求?y 第二步：求平均变化率

?y； ?x第三步：当?x趋近于0时，平均变化率

f(x0??x)?f(x0)无限趋近于的常数就是

?x

（回归本质，数形结合） f/(x0)。

教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意

义，类比地，也可以分三个步骤：

师：第一步：?y的几何意义。（并在学案的图（二次函数）中画出） 生：当x0??x与x0所对应的函数值的差量。

师：很好，那么第二步：平均变化率

f(x0??x)?f(x0)的几何意义是什么？

?x（同样请在函数图像中画出来）；由于上节探究中做过，所以还是比较简单。

生2：平均变化率

f(x0??x)?f(x0)的几何意义是割线AB的斜率。其中

?xA(x0,f(x0)),B(x0??x,f(x0??x))。（提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。）

师：第二步：?x?0时，割线AB有什么变化？请用你的笔描绘出来。

（有静态到动态的过渡，比较考察学生的观察能力，动手能力与独立思考能力）很快，有几个学生又画了三条直线（其中横坐标在x0??x与x0之间。）

教师让生3用投影仪展示自己的作品，并向其它学生介绍自己作图的意图，由此引导同伴观察到：?x?0，B(x0??x,f(x0??x))?A(x0,f(x0)),

师（趁胜追击）：很好，那么当?x?0，于是A，B之间的差距越来越小，B一直，一直这样靠近A，最后会---------

生(齐):重合。

师：那么直线AB？ 生（齐）：变成一条切线了。

师：大家真不错，确实，当?x?0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在x?x0处的切线，下面请把它画出来。

等学生化出切线AD后，教师用Flash展示动态过程，引导学生回顾过程。 结论：（形）?x?0，割线AB?切线AD，

则割线AB的斜率?切线AD的斜率。（口述） 由数形结合，得 f/?x0???limx?0f?x0??x??f(x0)＝切线AD的斜率。（板书）

?x/所以，函数f(x)在x?x0处的导数f?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在x?x0处的

切线AD的斜率。（数形结合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数及其几何意义”的知识结构，准确理解 “导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）

（二）深入研究，知识拓展

师：好，我们现在清楚导数的几何意义就是在该点处切线的斜率。其中切线很关键，但是它与以前学过的切线定义有什么不同呢？见P77的探究问题。

生4：初中平面几何中，如圆的切线的的定义：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。 师：讲得非常好，确实如此，但从刚才那刻开始，将会有变数。 （展示如下动画，A点----直线l1----B----直线l2）。 学生们发现生4讲的初中切线的定义已不适合这里了。

yl1Al2BxC 师：圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般曲线的切线。例如上图中，直线

l1虽然与曲线有惟一的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条直线l1虽然与曲

线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 （三）“以直代曲”思想

利用PPT做出三个切点附近的近景，而且由小放到大，类似于放大镜的效果，让学生观察切点附近曲线与直线的位置关系。

学生发现，它们越来越靠近，几乎重合。此时，教师点出：

根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线近似代替，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某

点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”）

（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学效率和教学质量。） （四）例题讲解，加强理解

例1 在函数h(t)??4.9t?6.5t?10的图像上，用图形来体现导数h(1)??3.3，

2/h/(0.5)?1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。

变式：请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？ (如下图)

（注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（同桌讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） 从中小结出:1.点附近的增减-----导数的正负-----过该点切线的斜率正负; ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

2.增减快慢-----导数的绝对值大小-------过该点切线的斜率大小的绝对值---曲线在该．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．点附近的陡峭程度。（板书） ．．．．．．．．．

h

O t3 t4 t0 t1t2 t 例2 如图表示人体血管中的药物浓度c?f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t?0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

t 药物浓度的 瞬时变化率 0.2 0.4 0.6 0.8 （注记：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） （五）抽象概括，归纳小结 （先由学生小结）

1．抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念： f//?x0?是确定的数（静态），f?x?是x的函数（动态）

由f/?x0???limx?0/f?x0??x??f(x0)（特殊——一般）

?x?x ff?x??x??f(x)（静态——动态） ?x???limx?0（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想 2．归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数f(x)在x?x0处的导数f/?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在

x?x0处的切线AD的斜率。（数形结合），即：

f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)＝切线AD的斜率

?xf?x??x??f(x) ?x???limx?0?x（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。 （3）导函数（简称“导数”）的概念。f（六）作业布置 1．习题P80.A5,6;B1

2．（给好的学生）请给出求函数y?f(x)在x?x0处的切线方程的一个算法，并小组自编

/

四个求切线的题目。

（探索：若把3 ．“在点(x0,f(x0)) 处”改为“过点(x0,f(x0))”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）

3.2导数的计算（1）

教学目标

（1）三维目标

1、知识与技能：

⑴使学生应用由定义求导数的三个步骤推导五种常见函数y?c、y?x、y?x、

2y?1、y?x的导数公式； x⑵掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

2、过程与方法：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认知能力，提高数学的应用意识。

（2）教学重点：五种常见函数y?c、y?x、y?x、y?用。

（3）教学难点：五种常见函数y?c、y?x、y?x、y?（4）教学建议：

教学中要注意以下问题：

(1)对于用定义比较难求的导数不需要学生去推导，而是让学生能利用书中给出的基本初等函数的导数公式和导数运算法则解决简单的函数求导问题；

(2) 要让学生熟练掌握求导公式，并正确理解求导法则，特别是商的求导法则。 复习回顾

按定义求导数有哪几个步骤？ 1.求函数的增量Δf=Δy ； 2.求函数的平均变化率

221、y?x的导数公式及应x1、y?x的导数公式。 x?ff(x??x)?f(x)； ??x?x3.取极限f?(x)?lim?x?0f(x??x)?f(x)

?x 例1．推导下列函数的导数 （1）f(x)?c 解：

?yf(x??x)?f(x)c?c???0， ?x?x?x?yf'(x)?lim?lim0?0

?x?0?x?x?0 1. 求f(x)?x的导数。

?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1， ?x?x?x?y f'(x)?lim?lim1?1。

?x?0?x?x?0解：

y'?1表示函数y?x图象上每一点处的切线的斜率都为1.若y?x表示路程关于时间

的函数，则y?1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

思考：(1).从求y?x，y?2x，y?3x，y?4x的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？

(2).函数y?kx(k?0)增的快慢与什么有关？

可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 2. 求函数y?f(x)?x的导数。

2'?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2解： ???2x??x，

?x?x?xy'?f'(x)?lim?y?lim(2x??x)?2x。

?x?0?x?x?0y'?2x表示函数y?x2图象上每点（x,y）处的切线的斜率为2x，说明随着x的变化，

切线的斜率也在变化：

(1) 当x<0时，随着 x的增加，y?x减少得越来越慢； （2）当x>0时，随着 x的增加，y?x增加得越来越快。 3. 求函数y?f(x)?221的导数。 x11??yf(x??x)?f(x)x??xxx?(x??x)1解： ， ?????2?x?x?xx(x??x)?xx?x??xy'?f'(x)?lim?y11?lim(?2)??2

?x?0?x?x?0x?x??xx 思考：(1)如何求该曲线在点（1，1）处的切线方程？

k?f(1)??1，所以其切线方程为y??x?2。

(2)改为点（3，3），结果如何？

(3)把这个结论当做公式多好呀，既方便，又减少了复杂的运算过程。 二 例题

1. 试求函数y?f(x)?

'x的导数。

解：

?yf(x??x)?f(x)???x?x　　?x??x?x?x

(x??x?x)(x??x?x)?x(x??x?x)1　＝(x??x?x)y'?f'(x)?lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2x2 2. 已知点P（-1，1），点Q（2，4）是曲线y?x上的两点，求与直线PQ平行的曲线的切线方程。

解：y?2x，设切点为M(x0,y0)，则y因为PQ的斜率k?''x?x0?2x0.

4?1?1,又切线平行于PQ， 2?1111所以k?2x0?1，即x0?，切点M(,)，

224所求直线方程为4x?4y?1?0。 三 练习

1.如果函数f(x)?5，则f(1)?（ ）

A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在

2.曲线y??2x?1在点（0，1）的切线斜率是（ ） A.-4 B.0 C.2 D. 不存在

2'121x在点(1,)处切线的倾斜角为（ ） 22?5?? A. ? B. 1 C. D.

444 3.曲线y?答案：

1.C 2.B 3.C 四 小结

1.记熟几个常用函数的导数结论，并能熟练使用；

2.在今后的求导运算中，只要不明确要求用定义证明，上述几个结论直接使用。 五 作业

1. P85 ，A组 1

2.求双曲线y?

11过点(2,)的切线方程。 x2

板书设计

例1? 例2? 例3? 练习 小结 作业

3.2导数的计算（2）

一、讲解新课：

1. C'?0(C为常数) 说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数

y?C的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是

0.证明：（课本） 2. (x)'?nxnn?1(n?Q)

*说明：此公式对n?R都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了n?N的证明 证明：y?f(x)=x，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=(x??x)?x =x+Cnxnnnnn1n?1Δx+Cnx2n?2(Δx)+?+Cn(?x)－x=Cnx2

nnn1n?1Δx+Cnx2n?2 (Δx)+?

2

+Cn·(?x)，

n?y1n?12n?2nn?1=Cnx+CnxΔx+?+Cn·(?x) ?xn∴y?=(x)?=lim?y12nn?1n?1n?2=lim（Cnx+CnxΔx+?+Cn·(?x))

?x?0?x?x?0，∴y?=(x)'?nxnn?1=Cnx1n?1=nxn?1

3. (sinx)'?cosx（不要求证明） 4. (cosx)'??sinx（不要求证明）

我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用 二、讲解范例：

例1 求 (1)(x)′ (2)(

3

1)′ (3)(x)′ 2x1, 求质点在t?2时的速度． 5t11?5?6解：∵ s?5， ∴ s??(5)??(t)???5t,

tt55?6∴ s?t?2??5?2??．答：质点在t?2时的速度是?．

6464?1例3求曲线y?sinx在点A(,)的切线方程．

62例2质点运动方程是s?解：∵ y?sinx ∴ y??(sinx)??cosx，

∴ y?x???cos6?6?33 ，∴ 所求切线的斜率k? 22 ∴ 所求切线的方程为 y?答：曲线y?sinx在点A(三、课堂练习：

13??(x?)，即 63x?12y?6?3??0 226?1,)的切线方程为63x?12y?6?3??0．

62'1.如果函数f(x)?5，则f(1)?（ ） A. 5 B. 1 C. 0 D.不存在

2.曲线y??2x?1在点（0，1）的切线斜率是（ ） A.-4 B.0 C.2 D. 不存在

2121x在点(1,)处切线的倾斜角为（ ） 22?5?? A. ? B. 1 C. D.

444 3.曲线y?答案：

1.C 2.B 3.C

nn－1

四、小结 ：这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C是常数)，②(x)′=nx(n∈R)，③(sinx)′=cosx，④(cosx)′=－sinx

五、课后作业： 求双曲线y?

板书设计

例1? 例2? 例3? 11过点(2,)的切线方程。 x2练习 小结 作业

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

一．教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

二．教学重点难点

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

三．教学过程：

（一）．创设情景

复习五种常见函数y?c、y?x、y?x、y?

21、y?x的导数公式及应用 x函数 导数 y?c y?x y?x2 y'?0 y'?1 y'?2x y?1 xy'??y??1 x21 y?x 2xy?f(x)?xn(n?Q*) y'?nxn?1

（二）．新课讲授

1（1）基本初等函数的导数公式表

函数 导数 y?c y?f(x)?xn(n?Q*) y'?0 y'?nxn?1 y?sinx y'?cosx

y?cosx y?f(x)?ax y?f(x)?ex f(x)?logax y'??sinx y'?ax?lna(a?0) y'?ex f(x)?logaxf'(x)?1(a?0且a?1) xlna1 xf(x)?lnx f'(x)?（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）y?x与y?2

（2）y?3与y?log3x

2.（1）导数的运算法则 导数运算法则 1．?f(x)?g(x)??f(x)?g(x) '''2xx2．?f(x)?g(x)??f(x)g(x)?f(x)g(x) '''?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)3．??(g(x)?0) ?2?g(x)??g(x)?

推论：?cf(x)??cf(x)

''' （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 是加号, 商法则中间是减号.

前不导后导, 但积法则中间

（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）y?x?2x?3

（2）y?x?sinx；

3

（3）y?(2x?5x?1)?e； （4）y?

【点评】

① 求导数是在定义域内实行的．

② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

四．典例精讲

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)?p0(1?5%)，其中p0为t?0时的物价．假定某种商品的p0?1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系p(t)?(1?5%)的导数。 解：根据基本初等函数导数公式表，有p(t)?1.05ln1.05 所以p(10)?1.05ln1.05?0.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

'10'tt2xx； x4t变式训练1：如果上式中某种商品的p0?5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨

的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：当p0?5时，p(t)?5(1?5%)，

根据基本初等函数导数公式和求导法则，有p(t)?5?1.05ln1.05

所以p(10)?5?1.05ln1.05?0.4（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨．

例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

'10'tt

c(x)?5284(80?x?100)

100?x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'?(100?x)?5284?(100?x)' c(x)?()?100?x(100?x)2'?0?(100?x)?5284?(?1)5284 ?22(100?x)(100?x)5284?52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变

(100?90)2（1）

因为c(90)?'化率是52.84元/吨．

（2）

因为c(98)?'5284?1321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变2(100?90)化率是1321元/吨．

点评 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可

''知，c(98)?25c(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费

用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

五．课堂练习

做导学案的当堂检测

六．课堂小结

（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则

七．布置作业 八．教学后记

3.3.1函数的单调性与导数

【三维目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形

结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教 具】多媒体 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾

复习 1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）

2

那么如何判断f(x)?sinx?x,x??0,??;的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝

试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数

二．新知探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数

h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度

V(t)?h'(t)??9.8t?6.5h的图像.

通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现h(t)和h'(t)这两个函数图像有什么联系吗?

启发: 函数h(t)在(0,a)上位增函数，函数h'(t)在(0,a)上有何特点呢？函数h(t)在(a,b)上为减函数，那么函数h'(t)在(a,b)上有何特点呢？

问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减．）

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？

探究任务二：f'?x??0与函数单调性的关系：

问题5：若函数f?x?的导数f'?x??0，那么f?x?会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内是常值函数．）

问题6：在区间?a,b?上f'?x??0，则函数f?x?区间?a,b?必为增函数，你认为这句话对吗？请说明理由.

问题7：函数f?x?在区间?a,b?上为增函数，则在区间?a,b?上f'?x??0成立.你认为这句话对吗？说明理由.

问题8：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？

'''

例1:已知某函数的导函数的下列信息:

当1?x?4时，f'(x)?0;当x?4,或x?1时，f'(x)?0; 当x?4,或x?1时，f'(x)?0.试画出函数f?x?图像的大致形状.

问题9：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？

例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

（1）f(x)?sinx?x,x??0,??;（2）f(x)?2x3?3x2?24x?1; （3）f(x)?x3?3x;（4）f(x)?x2?2x?3;

（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）

问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）

（板书“求解函数y?f(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数y?f(x)的定义域；（2）求导数y'?f'(x)； （3）解不等式f'(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f'(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间．

问题10：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：

在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

三，课堂练习

1．确定下列函数的单调区间 (1)y=e?x (2)y=3x－x3

2、设y?f?(x)是函数y?f(x)的导数, y?f?(x)的 图象如图所示, 则y?f(x)的图象最有可能是( )

x小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？

四，课堂小结

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′

如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.

2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.

3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.

五，作业设计 课本98页，A组1，2

课后思考：若将例3中高度h和时间t的关系变为横坐标为高度h和纵坐标为体积V的关系，那么此题结论又将如何？

附：板书设计 函数的单调性与导数 一、 函数单调性与导数的关系 三、 例题讲解 二、 利用导数求单调性的步骤 例2： 四、 学生板演

函数的极值与导数

一、教学目标 1 知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3 情感与价值

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 二、重点：利用导数求函数的极值

难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程

回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系

提出问题，激发求知欲

组织学生自主探索，获得函数的极值定义

通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解

四、教学过程

〈一〉、创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？

（提高学生回答）

2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数

h(t)=-4.9t+6.5t+10的图象，回答以

2

下问题

（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h?t?在t=a处的导数是多少呢？

（2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？

共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数h?t?单调递增, h'?t?＞0;当t＞a时,函数h?t?单调递减, h'?t?＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, h'?t?先正后负,且h'?t?连续变化,于是h/(a)=0.

3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>、探索研讨

1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

oath

（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?

（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?

2、极值的定义:

我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？

充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：

（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？

（2）极大值一定大于极小值吗？ 5、随堂练习:

1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出

哪些是极大值点,哪些是

极小值点.如果把函数图象改为导函数y=f'?x?的图象?

<三>、讲解例题

例4 求函数f?x??x3?4x?4的极值

教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导

解:∵f?x??x3?4x?4∴f'?x?=x2-4=(x-2)(x+2) 令f'?x?=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论:

(1)当f'?x?＞0,即x＞2,或x＜-2时; (2) 当f'?x?＜0,即-2＜x＜2时.

当x变化时, f'?x?,f(x)的变化情况如下表: x f'?x? 1313x(-∞,-2) + 单调递增 -2 0 28 3(-2,2) _ 单调递减 2 0 4? 3(2,+∞) + 单调递增 f(x) 因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 小值,且极小值为f(2)= ?

28;当x=2时,f(x)有极 3431f?x??x3?4x?43

函数f?x??x3?4x?4的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:

2131求f'?x?,解方程f'?x?=0,当f'?x?=0时:

?2(1) 如果在x0附近的左边f'?x?＞0,右边f'?x?＜0,那么f(x0)是极大值. (2) 如果在x0附近的左边f'?x?＜0,右边f'?x?＞0,那么f(x0)是极小值 <四>、课堂练习

1、求函数f(x)=3x-x3的极值

2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f（x）的解析式及单调区间。 <五>、课后思考题：

1、 若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范

围。

2、 已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。 <六>、课堂小结: 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤

3、 一个点为函数的极值点的充要条件。 <七>、作业 P32 5 ① ④

教学反思:

31

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