第二章 质点动力学习题答案

第二章 质点动力学习题答案

2-1一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向

与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行

斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-1.

?

图2-1

X方向： Fx?0 x?v0t ① Y方向： Fy?mgsin??may ②

t?0时 y?0 vy?0

y?12gsin?t

2由①、②式消去t，得

y?12v02gsin??x

22-2 质量为m的物体被竖直上抛，初速度为v0，物体受到的空气阻力数值为f?KV，K为

常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m受两个力，重力P及空气阻力f ⑶牛顿第二定律：

???合力：F?P?f

???P?f?ma

y分量：?mg?KV?mmdVmg?KV??dt

dVdt

?即

dVmg?KVdVt??1mdt

?vv0mg?KV??0?1mdt

1Klnmg?KVmg?KV0?Kmt??1mdt

mg?KV?e?(mg?KV0) (mg?KV0)e?Kmt?V?1K?1Kmg ①

V?0 时，物体达到了最高点，可有t0为

t0?mKlnmg?KV0mgdydt?mKln(1?KV0mg) ②

∵ V?

∴ dy?Vdt

yttK?t?1?1m(mg?KV)e?mg??dt 0K?K??0dy??Vdt0??0y??mK2??Kt?1m(mg?KV0)?e?1??mgt

??K?t??1?2(mg?KV0)?1?em??mgt ③ K??KmKt?t0 时，y?ymax，

mK2KV0Km??ln(1?)??KV01mmKmg(mg?KV0)?1?emg?ln(1?) ??KKmg????ymax???m1??(mg?KV)1?02mg?KV0K??mg??mK2??m2KV0??gln(1?) 2mgK???22(mg?KV0)KV0mg?KV0?mKgln(1?KV0mg)

?mV0K?mK22gln(1?KV0mg)

2-3 一条质量为m，长为l的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一

段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.

解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条方向，受力为

根据牛顿定律，有

F?mlxg?ma

mlxg?mvl0mlxg，

图2-4 通过变量替换有

dvdx

x?0,v?0，积分?mlxg??v0mvdv

由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v?gl 2-5 升降机内有两物体，质量分别为m1和m2，且m2＝2m1．用细绳连接，跨过滑轮,绳子

不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a＝

12g上升时，求：

(1) m1和m2相对升降机的加速度．(2)在地面上观察m1和m2的加速度各为多少? 解: 分别以m1,m2为研究对象，其受力图如图所示．

(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a?，则m2对地加速度a2?a??a；因绳不可伸长，故m1对滑轮的加速度亦为a?，又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以m1在水平方向对地加速度亦为a?，由牛顿定律，有

m2g?T?m2(a??a)

T?m1a?

题2-5图

联立，解得a??g方向向下 (2) m2对地加速度为

a2?a??a?g2 方向向上

??'?m1在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即a绝?a相?a牵

g2∴ a1???arctanaa??arctan12a??ao22?g2?4?52g

?26.6，左偏上．

2-6 一物体受合力为F?2t（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体

受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x方向运动，

I1?I2???S（I1沿i方向） 2tdt?25N·

10?50Fdt??50?105Fdt??5??S（I2沿i方向） 2tdt?75N·

?I2/I1?3

?I2?(?p)2∵? ?I1?(?p)1∴

(?p)2(?p)1?3

2-7 一弹性球，质量为m?0.020kg，速率v?5m/s，与墙壁碰撞后跳回. 设跳回时速率不

变，碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为??60?，⑴求碰撞过程中小球受到的冲

?量I??⑵设碰撞时间为?t?0.05s，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力F??

解:

?Ix?mv2x?mv1x?mvcos??(?mvcos?)?2mvcos? ?I?mv?mv?mvsin??mvsin??0y2y1y????????I?Ixi?2mvcos?i?2?0.020?5?cos60i?0.10iN·S

?12-9 一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，

试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有

F?(a?bt)?0,得t?ab

(2)子弹所受的冲量

I??t0(a?bt)dt?at?12bt2

将t?ab代入，得

a2I?2b

(3)由动量定理可求得子弹的质量

m?Iv0?a22bv0

2-10 木块B静止置于水平台面上，小木块A放在B板的一端上，如图所示. 已知

mA?0.25kg，mB＝0.75kg，小木块A与木块B之间的摩擦因数?1＝0.5，木板B与台面

间的摩擦因数?2＝0.1. 现在给小木块A一向右的水平初速度v0＝40m/s，问经过多长时间A、B恰好具有相同的速度？（设B板足够长）

解：当小木块A以初速度v0向右开始运动时，它将受到木板B的摩擦阻力的作用，木板B则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动. 如果将木板B与小木块A视为一个系统，A、B之间的摩擦力是内力，不改变系统的总动量，只有台面与木板B之间的摩擦力才是系统所受的外力，改变系统的总动量. 设经过?t时间，A、B具有相同的速度，根据质点系的动量定理 ?Fk?t?(mA?mB)v?mAv0

Fk??2(mA?mB)g

图2-10

再对小木块A单独予以考虑，A受到B给予的摩擦阻力FK，应用质点的动量定理

?Fk?t?mAv?mBv0

' 以及 Fk??1mAg

''解得 v?(mA?1mA?mB??2)v0?1??2,?t?v0?v?1g

代入数据得 v?2.5m/s ?t=7.65s

2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块，如图2-11所示. 已知两木

块的质量分别为m1和m2，子弹穿过两木块的时间各为?t1和

?t2，设子弹在木块中所受的阻力为恒力F，求子弹穿过后，

两木块各以多大速度运动.

图2-11

解：子弹穿过第一木块时，两木块速度相同，均为v1，初始两木块静止， 由动量定理，于是有

F?t1?(m1?m2)v1?0

设子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2，对第二块木块，由动量定理有

v F?t2?m2v2?m1 1解以上方程可得 v1?F?t1m1?m2,v2?F?t1m1?m2?F?tm22

2-12一端均匀的软链铅直地挂着，链的下端刚好触到桌面. 如果把链的上端放开，证明在链

下落的任一时刻，作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量.

解：设开始下落时t?0，在任意时刻t落到桌面上的链长为x，链未接触桌面的部分下落速度为v，在dt时间内又有质量dm??dx（?为链的线密度）的链落到桌面上而静止. 根据动量定理，桌面给予dm的冲量等于dm的动量增量，即 I?Fdt?vdm??dxdt dv2所以 F??v??v

由自由落体的速度v2?2gx得

F?2?gx

这是t时刻桌面给予链的冲力. 根据牛顿第三定律，链对桌面的冲力F'?F，F'方向向下，

t时刻桌面受的总压力等于冲力F'和t时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和，所以

N?F??xg?3?xg

N'所以

?xg?3

即链条作用于桌面上的压力3倍于落在桌面上那部分链条的重量.

2-13一质量为50kg的人站在质量为100kg的停在静水中的小船上，船长为5m，问当人从船头走到船尾时，船头移动的距离.

解:以人和船为系统，整个系统水平方向上动量守恒 设人的质量为m，船的质量为M，应用动量守恒得

V mv+M= 0mM其中，V分别为人和小船相对于静水的速度，

v

M?mMmt0 可得V=-人相对于船的速度为 v'?v?V?设人在t时间内走完船长l，则有 l?v

?t0vd?t'?t0M?mMv?dtM?M? vdtvdt

在这段时间内，人相对于地面走了x? 所以x?MlM?m'?t0

mlM?m?53 船头移动的距离为x?l?x?

2-14质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为m，速度v0的子弹水平地射入木块，

并陷在木块内与木块一起运动.求：

(1)子弹相对木块静止后，木块的速度和动量； (2)子弹相对木块静止后，子弹的动量； (3) 在这个过程中，子弹施于木块的冲量.

解：子弹相对木块静止后，其共同速度设为u，子弹和木块组成系统动量守恒 （1）mv0?(m?M)u 所以 u?mv0m?M

Mmv0m?MPM?Mu? mv0m?M2（2）子弹的动量Pm?mu?

（3）针对木块，由动量守恒知，子弹施于木块的冲量为

I?PM?0?MmM?mv0

2-15质量均为M的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上，质量为m的人自一辆车跳入另

一辆车，接着又以相同的速率跳回来. 试求两辆车的速率之比.

解： 质量为m的人，以相对于地面的速度v从车A跳到车B，此时车A得到速度u1，由于车是在光滑的地面上，沿水平方向不受外力，因此，由动量守恒得

mv?Mu1

人到达车B时，共同得速度为u2，由动量守恒得

(M?m)u2?mv

人再由车B以相对于地面的速度v跳回到车A，则车B的速度为u2'，而车A与人的共

同速度为u1'，如图所示，由动量守恒得

Mu2?mv?(M?m)u2(M?m)u1?mv?Mu1''

联立方程解得：u2'?2mMv u1?'2mM?mv

所以车B和车A得速率之比为

u2u1''?M?mM

2-16体重为P的人拿着重为p的物体跳远，起跳仰角为?，初速度为v0. 到达最高点时，

该人将手中的物体以水平向后的相对速度u抛出，问跳远成绩因此增加多少？

解：人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒，注意到对地面这个惯性参考系

(m?m)v0cos??mv?m(v?u)''

v?v0cos??m''

um?m从最高点到落地，人做平抛运动所需时间t?跳远距离增加为 ?s?(v0cos??m''v0sin?g

m''m?mpu)t?v0cos?t

?m?mut?P?puv0sin?g

2-17铁路上有一平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动. 现有N个

人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u. 问在下述

两种情况下，平板车的末速度是多少？（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人的跳离. 所得结果是否相同.

解：取平板车和N个人为研究对象，由于在水平方向上无外力作用，故系统在该方向上动量守恒. 取平板车运动方向为坐标轴正方向，设最初平板车静止，则有

Mv?Nm(v?)u?0

所以N个人同时跑步跳车时，车速为

v?NmM?Nmu

（2）若一个人、一个人地跳车，情况就不同了. 第一个跳车时，由动量守恒定律可得

[M?(N?1)m]v1?m(v1?u)?0

第二个人跳车时，有

[M?(N?2)m]v2?m(v2?u)?[M?(N?1)m]v1

v2?v1?muM?(N?1)m

以此类推，第N个人跳车时，有

MvN?m(vN?u)?(M?m)vN?1 vN?vN?1?muM?m

1M?2m?????1M?Nm所以vN?mu(因为

1M?m1M?m??1M?m1?????11M?NmN)??n?1muM?nm

M?2m????M?Nm?N

1M?2mM?Nm故vN?v

2-18质量为10kg的物体作直线运动，受力与坐标关系如图2-18所示。若x?0时，

v?1m/s，试求x?16m时，v??

解：在x?0到x?16m过程中，外力功为力曲线与x轴所围的面积代数和＝40J

由动能定理为：

图2-18

W?12mv22?12mv1

22即 40?12?10v2?12?10?1

?v2?3m/s

2-19在光滑的水平桌面上，水平放置一固定的半圆形屏障. 有一质量为m的滑块以初速度

如图2-19所示,设滑块与屏障间的摩v0沿切线方向进入屏障一端，

擦因数为?，试证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力作功为

Wf?12mv0(e2?2???1)

解：滑块做圆周运动，依牛顿定律，有： 法向：N?mvR2 图2-19

dvdtdvdvd?d?dtmvdvRd? 切向：f???N?m由以上两式，可得

?m?

???d? vvdv?????d? 对上式两边积分，有?v0v0???可得 v?v0e

由动能定理可得摩擦力做功为

Wf?12mv?212mv0?212mv0(e2?2???1)

2-20质量为M的木块静止于光滑水平面上，一质量为m，速率为v的子弹水平射入木块后

嵌在木块内，并于木块一起运动，求：（1）木块施于子弹的力所做的功；（2）子弹施于木块的力所做的功；（3）木块和子弹系统耗散的机械能.

解：把子弹和木块当作一个系统，动量守恒

(M?m)u?mv

因而求得子弹和木块共同速度u?mM?mv

（1）A?12mu?212mv??2M?2Mm12(mv) 2(M?m)22（2）A'?12Mu?0?2Mm(M?m)2(12mv)

2111M12（3）?E?(mu2?Mu2)?mv2??(mv)

222(M?m)22-21一质量M?10kg的物体放在光滑的水平桌面上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的劲度

系数k?1000N/m. 今有一质量m＝1kg的小球以水平速度v0＝4m/s飞来，与物体M相撞后以v1＝2m/s 的速度弹回，试问： (1) 弹簧被压缩的长度为多少？

(2) 小球m和物体M的碰撞是完全弹性碰撞吗？

(3) 如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M粘在一起，则（1），（2）所问的结果又

如何？

解：碰撞过程中物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒 mv0??mv1?Mu

u?m(v0?v1)M12?1?(4?2)1012?0.6m/s

小球与弹簧碰撞，弹簧被压缩，对物体M有作用力，对物体M，由动能定理 （1）?kx?0?2Mu

2 弹簧被压缩的长度 x?Mku?121010002?0.6?0.06m

2（2）?Ek?Mu?12mv1?12mv0＝－4.2J

'2（3）小球与物体M碰撞后粘在一起，设其共同速度为u，根据动量守恒及动量定理

mv0?(M?m)u

'?12kx'2?0?12(M?m)u

'2此时弹簧被压缩的长度

x?'mv0k(M?m)?0.04m

2-22 一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端

一重物C，C的质量为M，如2-22图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．

解: 弹簧A、B及重物C受力如2-22图所示平衡时，有

图2-22

又 FA?k1?x1

FB?k2?x2

FA?FB?Mg所以静止时两弹簧伸长量之比为

?x1?x2?k2k1

弹性势能之比为

1Ep1Ep2?212k1?x12?k2?x22k2k1

2-23 如题2-23图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与

斜面的摩擦力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．

-1

解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

?frs?1?12kx??mv2?22图2-23

??mgssin37??

?1k?2mv2?mgssin37??frs12

kx2式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得

k?1390N?m

-1

再次运用功能原理，求木块弹回的高度h?

?frs??mgs?sin37o?12kx

2代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度

oh??s?sin37?0.84m

2-24铅直平面内有一光滑的轨道，轨道的BCDE部分是半径为R的圆. 若物体从A处由静

止下滑，求h应为多大才恰好能使物体沿圆周BCDE运动?

图2-25

解：木块如能通过D点，就可以绕整个圆周运动. 设木块质量为m，它在D点的法向运动

方程为

N?mg?mv2R

式中N为圆环给木块的法向推力. 显然N＝0时，木块刚好能通过D点，所以木块刚好能绕圆周运动的条件为

v?Rg

2选木块和地球为系统，系统的机械能守恒，所以可得 2mgR?12mv?2m gh联立求解得h?2.5R

即高度为h?2.5R时木块刚好能绕圆周运动

2-25两个质量分别为m1和m2的木块A和B，用一个质量忽略不计、倔强系数为k的弹簧

连接起来，放置在光滑水平面上，是A紧靠墙壁，如图示. 用力推木块B使弹簧压缩x0，然后释放. 已知m1?m,m2?3m，求

(1) 释放后，A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小； (2) 释放后，子弹的最大伸长量.

1222图2-26

解：释放后，子弹恢复到原长时A将要离开墙壁，设此时B的速度为v，由机械能守恒，

由

kx0?3mv/2

得v?x0k3m A离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒，机械能守恒，有

m1v1?m2v?2

12m1v1?2m2 v212kx?12mv?22212mv2 （1）

2当v1?v2时，求得：v1?v2?34v?34x0k3m （2）

（2）弹簧有最大伸长量时，v1?v2? xma34v，由式（2）得

?x12x 02-26两块质量各为m1和m2的木块，用劲度系数为k的轻弹簧连在一起，放置在地面上，如

图示，问至少要用多大的力F压缩上面的木块，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？

解：

将m1,m2和弹簧和地球视为一个系统，该系统在压力撤离后，只有保守力作用，所以机械能守恒. 设压力撤离时刻为初态，m2恰好提离地面时为末态，初态、末态时动能均为零. 设弹簧原长时为坐标原点和势能零点， 则 m1gx?12kx??m1gx0?2图2-27

12kx0

2式中x0为压力F作用时弹簧的压缩量，则

m1g?F?kx0?0

式中x为m2恰好能提离地面时弹簧的伸长量，此时要求kx?m2g 联立以上几个方程解得

F?(m1?m2)g

故能使m2提离地面的最小压力为Fmin?(m1?m2)g

2-27一质量为m'的三角形木块放在光滑的水平面上，另一质量为m的立方木块由斜面最低

处沿斜面向上运动，相对于斜面的初速度为v0，如图所示，如果不考虑木块接触面上的摩擦，问立方木块能沿斜面上滑多

高？

解：三角形木块与立方木块组成的系统在水平方向不受外力作用，

水平方向动量守恒. 初始时，立方木块速度为v0，其水平方向分量为v0cos?，三角形木

图2-28

块静止；当立方木块达最高点时，相对于三角形木块静止，设二者共同的速度为v，则 mv0co?s?(m?m) v

'在运动过程中，两木块和地球组成的系统只有重力做功，机械能守恒，得

12mv0?mgh?212(m?m)v

'2由以上两式得立方木块沿斜面上滑的高度为 h?v022g(1?mcos?m?m'2)?v0msin??m2gm?m'22'

2-28两个形状完全相同、质量都为M的弧形导轨A和B，放在地板上，今有一质量为m的小

物体，从静止状态由A的顶端下滑，A顶端的高度为h0，所有接触面均光滑. 试求小物体在B轨上上升的最大高度（设A、B导轨与地面相切）

图2-29

解：设小物体沿A轨下滑至地板时的速度为v，对小物体与A组成的系统，应用机械能守恒定律及沿水平方向动量守恒定律，有 ?MvA?mv?0 （1）

mgh0?12MvA?212mv （2）

2解得v?2Mgh0/(M?m) （3）

当小物体以初速v沿B轨上升到最大高度H时，此时小物体相对B的速度为零，设小物体与B相对地沿水平方向的共同速度为u，根据动量守恒与机械能守恒， 有Mv?(M?m)u （4）

12mv?212(M?m)u?mgH （5）

2联立（3）－（5）解得 H?Mv22(M?m)g?(MM?m)h0

2

2-29 一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度系数k?196N/m的弹簧下，现有质量为100g的

砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的距离（假设砝码与盘的碰撞是完全非弹性碰撞）

解：第一阶段：砝码落入盘中以前，由机械能守恒有

m1gh?12m1v12图2-30

第二阶段：砝码与盘碰撞，因为完全非弹性碰撞，其共同速度设为v2，在垂直方向，砝码和盘组成系统之碰撞内力远大于重力、弹簧的弹性力，可认为在 垂直方向动量守恒，因而有

m1v1?(m1?m2)v2

第三阶段：砝码和盘向下移动过程中机械能守恒，注意到弹性势能零点是选在弹簧的原长处

12kl?212(m1?m2)v2?212k(l1?l2)?(m1?m2)gl2

2m2g?kl1

解以上方程可得

2 98l2?0.98l2?0.096?0

向下移动的最大距离为l2?0.037

2-30倔强系数为k的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m的小球B相连接. 推

动小球，将弹簧压缩一端距离L后放开，假定小

球所受的滑动摩擦力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等. 试求L必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态.

解：取弹簧的自然长度处为坐标原点

在t?0时，静止于x??L的小球开始运动的条件是

kL?F (1)

小球运动到x处静止的条件，由功能原理得 ?F(L?x)?12kx?2图2-31

12kL (2)

2使小球继续保持静止的条件为 k|x?|k|L?2Fk?| F (3)

所求L同时满足(1)和(3)式，求得

Fk?L?3Fk

2-31一绳跨过一定滑轮，两端分别拴有质量为m及M的物体，如图示，M静止在桌面上

（M>m）.抬高m, 使绳处于松弛状态. 当m自由落下h距离后, 绳才被拉紧，求此

时两物体的速度及M所能上升的最大高度.

解：分三个阶段

m 自由下落 mgh?122 mv，在此阶段，绳中张力T比物体所m,M相互作用（通过绳）

受重力大得多，此时可忽略重力，由动量定理 对m有 ??Tdt?mV?0?t图2-32

vm对M有

??t0Tdt?MV?0

m下降，M上升过程机械能守恒

mgH?MgH?0?12(M?m)V

2解以上方程可得 V?

mm?M2gh,H?mhM22?m2

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