工程优化目标函数的几种极值求解方法c++编程

目标函数极值求解的几种方法

题目：分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法,拟牛顿法求函数

f?(x1?1)?5(x2?5)?(x3?1)?5(x4?5)2222的最小值，初始点自拟。

一维搜索法：

迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点x?k?后需要按某种规则确定一个方向d?k?，再从x?k?出发，沿方向d?k?在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到x?k?的后继点x?k?1?，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。

一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。这里采用的是第一类试探法中的黄金分割法。实现过程如下：

⑴ 置初始区间[a1,b1]及精度要求L>0,计算试探点?1和?1，计算函数值

f??1?和f??1?，计算公式是：?1?a1?0.382?b1?a1?，?1?a1?0.618?b1?a1?。令

k=1。

⑵ 若

bk?ak?Lf??k?则停止计算。否则，当f??K?>时,转步骤⑶;当

f??K??f??k?时,转步骤⑷ 。

⑶ 置数值

f??k?1?ak?1??k,

bk?1?bk,

?k?1??k,

?k?1?ak?1?0.618?bk?1?ak?1?,计算函

,转⑸。

ak?1?ak ⑷ 置函数值

f??k?1?,

bk?1??k,

?k?1??k,

?k?1?ak?1?0.382?bk?1?ak?1?,计算

,转⑸。

最速下降法

实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目

标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样一种愿望提出的最速下降法,并且经过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。

最速下降法的迭代公式是x?k?1??x?k???kd?k?，其中d?k?是从x?k?出发的搜索方向，这里取在点x?k?处最速下降方向，即d?k????f?xk?。?k是从x?k?出发沿方向d?k?进行的一维搜索步长，满足f?x?k???kd?k???minf?x?k???d?k??。

??0实现步骤如下：

⑴ 给定初点x?1??Rn ，允许误差??0，置k=1。

⑵ 计算搜索方向d?k????f?xk?， 若d?k???，则停止计算；否则，从x?k?出发，沿方向d?k?进行的一维搜索，求?k，使f?x?k???kd?k???minf?x?k???d?k??。

??0 ⑶ x?k?1??x?k???kd?k?，置k=k+1返回步骤 ⑵。

牛顿法

牛顿法迭代公式：x?k?1??x?k???kd?k?，d?k?是在点x?k?处的牛顿方向，

d?k????f?x2?k???1?f?x?k??，?k是从x?k?出发沿牛顿方向d?k?进行搜索的最优步长。

⑴ 给定初点x?1??Rn ，允许误差??0，置k=1。

⑵ 计算g?k???f?xk?， 若g?k???，则停止计算；否则，转⑶。 ⑶ 计算d?k????2f?x?k??gk，从x?k?出发，沿方向d?k?进行的一维搜索，

?1求?k，使f?x?k???kd?k???minf?x?k???d?k??，x?k?1??x?k???kd?k?，置k=k+1返回

??0步骤 ⑵。

共轭梯度法

若d?1?,d?2?,?,d?k?是Rn中k个方向，它们两两关于A共轭，即满足

d?i?TAd?j??0,i?j;i,j?1,?,k，称这组方向为A的k个共轭方向。共轭梯度法的

基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方

向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点，根据共轭方向的基本性质这种方法具有二次终止性。

实现步骤如下：

⑴ 给定初点x?1??Rn ，允许误差??0； ⑵ 若?f(x1)??，则停止计算；否则，转⑶； ⑶ 置d?1????f?x?1??，k=1。

⑷ 作一维搜索，求?k，满足f?x?k???kd?k???minf?x?k???d?k??；

??0⑸ 令x?k?1??x?k???kd?k?，求g?k?1???f?x?k?1??。 ⑹ 若g?k?1???，则停止计算；否则，转⑺； ⑺ 若k=n,则令x?1??x?n?1?，转⑶；否则，转8）；

gx⑻ 令d?k?1???g(k?1)??kd?k?，其中?k???k?1??k??22gx??，置k=k+1，转⑷。

程序

#include #include #include

#define N 100

double F(double x[],double p[],double xi[],double ba[],int n,double t) { }

double f=0; int i;

for(i=0;i

f=f+xi[i]*(x[i]+t*p[i]-ba[i])*(x[i]+t*p[i]-ba[i]); return f;

double HJFC(double x[],double p[],double xi[],double ba[],int n) {

double a=0,b=10,x1,x2,f1,f2,e=0.0001,y; x2=a+0.618*(b-a); f2=F(x,p,xi,ba,n,x2); x1=a+0.382*(b-a); f1=F(x,p,xi,ba,n,x1);

while(fabs(b-a)>e) {

if(f1

b=x2;x2=x1;f2=f1; x1=a+0.382*(b-a); f1=F(x,p,xi,ba,n,x1); }

else if(f1==f2) {

a=x1;b=x2;

x2=a+0.618*(b-a); f2=F(x,p,xi,ba,n,x2); x1=a+0.382*(b-a); f1=F(x,p,xi,ba,n,x1); }

else {

a=x1;x1=x2;f1=f2; x2=a+0.618*(b-a); f2=F(x,p,xi,ba,n,x2); } }

y=0.5*(b+a); return y;

}

void zuisu(double x[],double xi[],double ba[],int n) {

int i,k=1;

double sum,eps,arph,g[N],p[N];

eps=0.000001; sum=0; for(i=0;i

} i=0;

while(sqrt(sum)>eps&&i

sum=0;

arph=HJFC(x,p,xi,ba,n); for(i=0;i

sum=sum+p[i]*p[i];

{

x[i]=x[i]+arph*p[i]; g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]); p[i]=-g[i]; sum=sum+p[i]*p[i]; }

printf(\第%d次迭代:\\n\\n\

printf(\步长lambda=%f\\n\ for(i=0;i

printf(\

printf(\ k++;

}

printf(\最后结果为：\\n\

for(i=0;i

}

void gonge(double x[],double xi[],double ba[],int n) {

int k=1,i;

double sum1,sum2,eps,bita,arph,g[N],p[N];

eps=0.000001; sum1=0;

for(i=0;i

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]); sum1+=g[i]*g[i];

}

while((sqrt(sum1)>eps)&&(k

if(k==1) {

for(i=0;i

bita=0; } else

{

bita=sum1/sum2; for(i=0;i

p[i]=-g[i]+bita*p[i];

}

arph=HJFC(x,p,xi,ba,n); sum1=0;

sum2=0;

for(i=0;i

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]); sum1+=g[i]*g[i];

sum2+=g[n+i]*g[n+i]; }

printf(\第%d次迭代：\\n\\n\ printf(\步长lambda=%f\\t\ printf(\ for(i=0;i

}

printf(\最后结果为：\\n\ for(i=0;i

void niudun(double x[],double xi[],double ba[],int n) { int k=1,i,j; double sum,eps,arph,g[N],p[N],h[N][N]; eps=0.000001; sum=0;

for(i=0;i

printf(\过程\\n\\n\

while((sqrt(sum)>eps)&&(k

for(j=0;j

if(i==j)

h[i][j]=-1/(2*xi[i]);

printf(\

else

h[i][j]=0;

for(i=0;i

for(j=0;j

p[i]=p[i]+h[i][j]*g[j]; arph=HJFC(x,p,xi,ba,n); sum=0;

for(i=0;i

{

g[i]=2*xi[i]*(x[i]-ba[i]); sum+=g[i]*g[i];

x[i]=x[i]+arph*p[i];

}

printf(\第%d次迭代：\\n\\n\ printf(\步长lambda=%f\\n\ for(i=0;i

}

printf(\最后结果为：\\n\ for(i=0;i

void main() { int i,n; double x[N],xi[N],ba[N]; printf(\请输入函数的元数:\ scanf(\

printf(\请输入函数的系数:\ for(i=0;i

scanf(\ printf(\请输入ba[i]的值:\ for(i=0;i

scanf(\ printf(\请输入初始值:\\n\ for(i=0;i

scanf(\

/* printf(\最速下降法迭代过程:\\n\ zuisu(x,xi,ba,n);*/

/* printf(\牛顿法迭代过程:\\n\ niudun(x,xi,ba,n);*/

printf(\共轭梯度法迭代过程:\\n\ }

gonge(x,xi,ba,n);

printf(\

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