《数值分析》总复习题-2013年-附部分答案 - 图文

工程硕士《数值分析》总复习题（2013年用）

[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]

注：部分文字型的题目请根据提示自行查找，部分题目附图片的是根据老师答疑课上的笔记整理，如有错漏，欢迎指出；碍于本人水平有限，部分题目未有解答。祝各位考试顺利！ 一. 解答下列问题:

1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):

a) 对 e = 2.718281828459045?,取x= 2.71828

( 答: 6 位 (因为它是按四舍五入来的) )

355b) 数学家祖冲之取 113 作为?的近似值.

* ( 答: 7 位 ( 按定义式

?6355??113?3.1415926??3.1415929??1 推得 ) ) 2?10c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 5 位, 1 位, 7 位。

2) 简述下名词:

a) 截断误差 (不超过60字) (见书P.5)

答：它是指在构造数值计算方法时，用有限过程代替无限过程或用容易计算

的方法代替不容易计算的方法，其计算结果所存在的误差

b) 舍入误差 (不超过60字) (见书P.6)

答：对原始数据、中间计算结果和最后计算结果，都只能取有限位数表示，

这就要求进行“舍入”，这时所产生的误差就是舍入误差。

c) 算法数值稳定性 (不超过60字) (见书P.9)

答：是指算法在执行过程中，某阶段所产生的小误差在随后的阶段中不会被

积累或放大，从而不会严重降低全部计算的精确度。

3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算x时的相对误差约等于x的相对

误差的3倍。 (参考书P.7例1.2.3)

3 第 1 页 (共 17 页)

4) 计算球体积V3?43?r 时,为使其相对误差不超过 0.3% ,求半径r的相对

误差的允许范围。 (见书P.7例1.2.3) 注意，有两种解法，任选其一。

5） 计算下式

（x）? P25738?????34 5432x?1(x?1)(x?1)(x?1)(x?1) 时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?

( 参考书P.43习题1.9(1)及其答案 )

??y0?26) 递推公式 ?

?y?10y?1,n?1,2,?n?1?n 如果取

*y0?2?1.41?y0 ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算

第 2 页 (共 17 页)

到

y10时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？

( 本题略 ) 二. 插值问题: 1) 设函数

为

f(x)在五个互异节点 x1,x2,x3,x4,x5 上对应的函数值

f1,f2,f3,f4,f5，根据定理，必存在唯一的次数 （A） 的插值多

项式P(x)，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange插值多项式

L(x),由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数

li(x)为 _（E） ， 从而得Lagrange插值多项式L(x)为 （F） ,而插值

余项 R(x)?f(x)?L(x)= （G） 。 A. ?4

B. P(xi) C. 5 D. 4 E. li(x)?fi,i?1,2,?,5

?j?1,j?i?55x?xjxi?xj,i?1,2,?,5

F. L(x)??li(x)fi

i?1 G.

1f5!(5)(?)?5(x),其中

?在x1,x2, ?5(x)x3,x4,x5与x之间,

?(x?x1)(x?x2)?(x?x5)

2 ) 试用三种方法求过三个离散点：A（0，1） 、B（1，2） 、C（2，3） 的

插值多项式。

( 方法一. 见P.46 例2.1.1

方法二. 利用Lagrange插值公式 方法三. 画图并根据定理分析 )

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方法一：

方法二：

方法三：

第 4 页 (共 17 页)

3） 求函数

f(x)?e?x 在 [ 0 , 1 ]上的近似一次插值多项式。

( 见习题2.4 及答案. )

4 ) 由函数值表:

求e?2.1x : 1 2 3

e?x : 0.367879441 , 0.135335283 , 0.049787068

的近似值.

( 解略 ) 5) 利用插值方法推导 三. 拟合问题:

1) 对离散实验数据做最小二乘拟合的两个主要步骤是 ( A ) 和 ( B ) .

( 见教材P. 98 )

?[i?0nx?j]i?x (本题略) ?j?0,j?ii?jn

2) 对同一个量的多个近似值, 常取其算术平均作为该量的近似值, 这种做法的意义

是什么?

( 答: 在最小二乘意义下误差最小 )

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3) 设有实验数据如下：

x 1.36 1.73 1.95 2.28

f 14.094 16.844 18.475 20.963

按最小二乘法求其拟合曲线。 ( 解略 ) 4) 已知某试验过程中函数

f依赖于x的试验数据如下：

xi ： 1 2 3 4

fi ： 0.8 1.5 1.8 2.0

试按最小二乘法拟合出一个形如 S?ax?bx2 的经验公式。

?x,?1(x)?x2 )

( 见习题3.6 本题取?0(x)

5 ) 设有实验数据如下：

x 1 2 3 4

f 4 10 18 26

按最小二乘法拟合出一个形如 S?a?bx2 的经验公式 。

?1,?1(x)?x2 )

( 参考习题3.7 . 取?0(x)

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四. 数值求积:

1) 写出数值求积公式的一般形式, 指出其特点, 并说明它对计算机的计算有什么

意义?

( 答:

? b af(x)dx??Akf(xk)

k?0n 下见书P.130 第7行 )

2) 简述数值求积公式的 ”代数精度” 的概念.

( 见书P.131定义 4.1.1 )

3) 插值型求积公式

? b af(x)dx??Akf(xk) 中,每个系数可用公式Ak=

k?0n ( A ) 计算,它们之和

?Ak?0nk= ( B ) , 其代数精度 ( C ) .

又Newton-Cotes公式的一般形式为 ( D ) , 其主要特点是 ( E ) , 其 Cotes系数之和

?Ck?0n(n)k= ( F ) , 其代数精度 ( G ) ; ( A. 见书P.130 公式(4.1.5) B. 见书P.135 公式(4.2.11) C. 见书P.131 定理4.1.1 D. 见书P.132 公式(4.2.3) E. 等距节点

F. 1 . 见书P.134 公式(4.2.9)

G. 见书P.133 第12-13行 )

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4) 考察数值求积公式

?1?1f(x)dx?A?1f(?1)?A0f(0)?A1f(1),

A0,A1应取什

直接指出: 它是什么类型的公式? 为使其精度尽可能高,A?1,么确值? 它是不是Gauss型公式?

( 见习题4.6及答案 )

1 5 ) 求I??1dx的近似值, 试写出使用11个等分点函数值的求积 31?x0公式( 要求只列出数值公式,不需要求出具体结果 )。

( 参见下面第7)小题 )

26 ) 利用复化Simpson公式求积分 I??xdx 的近似值 （只需列出算式） 。

1 ( 参见下面第7)小题 )

第 8 页 (共 17 页)

7) 利用现成函数表，分别用复化梯形公式Tn和复化Simpson公式Sn计算积分

?

I??604?sin2?d? ? 4?sin2?

0 2

?36 1.9981001

2?36 1.9924473 3?36 1.9831825

4?36 1.9705386 5?36 1.954838 66?36 1.936491 7 [解] 用复化梯形公式Tn计算

?I?T6??36[f(0)?2(f(?)?f(2?)???f(5?))?f(6?)]236363636[2?2?(1.9981001?1.9924473?1.9831825?1.9705386?1.9548386)?1.9364917]

?72[2?2?9.8991171?1.9364917]72?0.0436332?23.734725?1.035622

用复化Simpson公式Sn计算, 仍使用且只使用7个节点的函数值, 这时子区间

?? 第 9 页 (共 17 页)

长度为复化梯形公式Tn的2倍, 即

h??18 :

?3?5?I?S3?18[f(0)?4(f()?f()?f())?63636362?4?6?2(f()?f())?f()]363636???108[2?4?(1.9981001?1.9831825?1.9705386)?2?(1.9924473?1.9548386)?1.9364917]???108[2?4?5.9518212?2?3.9472859?1.9364917][2?23.807284?7.8945718?1.9364617]108?0.02908888?35.638316?1.0366758?

注意: 1. 本题因函数值计算较复杂, 故给出函数值表, 在其它题中函数值

要你现场计算.

2. 若无带计算器, 则要列出前面两个等号的具体数值信息, 而不仅

仅只列一般公式.

五. 解线性代数方程组的直接法:

1） Gauss消去过程中引入选主元技巧的目的是下列中的哪一项或哪几项？

A．提高计算速度； B．提高计算精度； C．简化计算公式； D．提高计算公式的数值稳定性； E．节省存储空间。 ( 选 B, D )

2） 采用“列主元Gauss消去法” 解下列方程组：

?235??347?????133???x1??5??x???6? ?2?????x3????5??a) 用 ”列主元Gauss消去过程” 将方程组约化成上三角方程组; b) 用 ”回代过程” 依次列式计算出方程组的解。

( 搞懂P.177的例5.2.2 (但这里不用求行列式的值detA))

3) 设方程组

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??326??x1??4??10?70??x???7? ???2?????5?15????x3????6??现采用“列主元Gauss消去法”求解，试回答： a） 所用列主元Gauss消去法包括哪两个过程？

( 列主元Gauss消去过程和回代过程 )

b） 要用几步消元？

( 2步 )

c） 每一步消元计算之前需做哪些工作（用简短、准确的文字叙述）? ( 按列选主元; 必要时换行 ) d）现经第１步消元结果, 上述方程组已被约化为

?10?70??x1??7????x???61? 1?610???2??10?55?5?2????x3????2??请你继续做消元计算, 直至约化成上三角方程组。 ( 解: 第二步消元:

按列选主元为

52 , 换行得

?10?70??x1??7????x???5? 55 2???2??2?61??1106?????x3????10?? 消元计算: l32 a33 a341?(?110)(52)??25 1?6?(?25)?5?315

611?10?(?25)?52?315

于是得上三角方程组

?10?7?5 2??? ( 解: x30?5??31?5??x1??7??x???5? ) ?2??2?31??x3????5?? e）对所得上三角方程组依次列式计算出方程组的解。

?(315)/(315)?1

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x2 x1六. 解线性代数方程组的迭代法: 1) 解线性代数方程组 x x(k?1)?(52?5?1)/(52)??1 ?(7?7?(?1)?0?1)/10?0

的基本型迭代公式

?Bx?f?Bx(k)?f,(0)k?0,1,?

（k）其中B称为什么? x又称为什么? 如果迭代序列

*?x?有极限x*（即迭

代公式收敛），则极限x是什么？

( 迭代矩阵 / 初始向量 / 方程组的解 ) 2） 设解线性代数方程组Ax?b（其中

的迭代公式为 x(k?1)A?Rn?n非奇异，b?0）

?x(k)??(Ax(k)?b),k?0,1,?(0)则其迭代矩阵是什么? 此迭代公式对任意的初始向量x件是什么？ 又此迭代公式对任意的初始向量x么？ ( 答: I(0)收敛的充分必要条

收敛的一个充分条件是什

??A;?(I??A)?1;I??A?1 )

3) 设线性方程组

?21??x1??3??14??x???5? ， ???2???(0) 试构造解此方程组的Jacobi迭代公式和GS迭代公式； 试问所作的两种

迭代公式是否收敛,为什么? 试用初值 x的前三个值.

( 解: 写出原方程组为: ??(0,0)T 计算GS迭代公式

?2x1?x2?3 ,按公式构造方法可得:

?x1?4x2?51(k)3?(k?1)x??x2??122k?0,1,2,? J迭代公式: ?15(k?1)?x2??x1(k)?44? 第 12 页 (共 17 页)

1(k)3?(k?1)x??x2??122k?0,1,2,? GS迭代公式: ?15(k?1)?x2??x1(k?1)?44?所得公式都收敛, 因原方程组系数距阵为严格对角占优矩阵. 用初值 x(0)?(0,0)T 计算GS迭代:

1(0)31?(1)x??x????0?1.5?1.52?1222?151(1)?x2??x1(1)????1.5?1.25?0.875444?

1(1)31?(2)x??x????0.875?1.5?1.06252?1222?151(2)?x2??x1(2)????1.0625?1.25?0.984375444?

1(2)31?(3)x??x????0.984375?1.5?1.00781252?1222?151(3)?x2??x1(3)????1.0078125?1.25?0.9980469444?

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4 ) 设方程组

?1?5??x1???4??9?1??x???8? ???2???试构造解此方程组的收敛的Jacobi迭代公式和收敛的Guass-Seidel迭代公式, 并说明两者收敛的根据; 求出这两种迭代的迭代矩阵.

( 解: 先把方程组换行成严格对角占优矩阵方程组 ??9x1?x2?8 ,按迭代公式的构造方法可得

x?5x??42?1 收敛的J迭代公式和GS迭代公式(以下参见上题写法; 至于求两种迭代的迭代矩阵略 ) )

5) 设线性方程组

?0.5a??1??,x,b?R3

2?0.5 Ax?b,A??0.5???1???a?0.5?请按便于计算的收敛充分条件, 求使J法和GS法均收敛的 a 的取值范围.

( 解略 )

七．一元方程求根:

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1) 写出求方程

f(x)?x3?3x?1?0 在 [ 1，2 ]中的近似根的一个收敛

的不动点迭代公式，并证明其收敛性。 ( 解: 可作不动点迭代公式

xk?1?33xk?1,k?0,1,?

即迭代函数 ?(x)1. 当 1??33x?1时有 1?, 由

3x?23x?1?2

2.

??(x)?13?1,?x?(1,2)

33(3x?1)2根据定理可知上述不动点迭代公式收敛. )

2) 已知方程 x?lnx?2(x?1) 的有根区间 [ 3，4 ] .试

写出求该方程在 [ 3 , 4 ] 中的根的一个不动点迭代公式; 证明所给出 的迭代公式是收敛的。试设计其计算机算法.

( 见课本P.245 例7.3.2 . 题中”试设计其计算机算法” 略 )

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3) 用Newton迭代法求方程

f(x)?x3?3x?1?0 在x0?2附近的根,试

写其Newton迭代公式; 并说明其收敛情况。 ( 解: xk?13xk?3xk?1?xk?,k?0,1,? 23xk?3 其收敛情况是在x0

4) 试写出求?2附近, 此迭代公式二阶局部收敛.)

2 的Newton迭代公式，并说明其收敛情况。

?21(xk?),k?0,1,? 2xk ( 解: xk?1 其收敛情况是对任意x0八. 常微分方程初值问题:

?0, 此迭代公式二阶全局收敛.)

1） 常微分方程定解问题分为初值问题和 ( A ) 问题.初值问题是指由 （B） 和

（C） 两部分联立起来构成的问题。研究常微分方程初值问题时， 通常针对基本形式 （D） 进行研究。设函数

y(x)是某初值问题的解析解， 则该初值问

题在xn处的解为 ( E ) 而数值解(通常记)为 （F） ,它们的关系是 ( G ) .若记

y(xn?1)是初值问题在点xn?1处的解， yn?1是由某数值方法得出的

xn?1处的数值解，则该数值方法在xn?1处的局部截断误差是指 （H） .

?y??f(x,y) ( 答: A. 边值 B.方程 C.初始条件 D. ?

y(x)?y00? E.

y(xn) F. yn G. 近似关系

y(xn)?yn) 的情况下,

H. 在假定前一步没有误差 ( 即 xn?1处的截断误差en?1?y(xn?1)?yn?1 )

?y???xy2?y2） 设初值问题 ??y(0)?1,0?x?0.6试用Euler方法取h?0.2，求解上述初值问题的数值解。 ( 解:

y0?1

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2y1?y0?0.2?(?x0y0?y0)?1?0.2?(?0?1?1)?0.82

y2?y1?0.2?(?x1y12?y1)?? (代具体数值计算)

???y??8?3y 3 ) 设初值问题 ??y(1)?2

2y3?y2?0.2?(?x2y2?y2) (代具体数值计算)

,1?x?2

试用梯形方法求其解在两点 x?1.2,1.4 处的值y(1.2),y(1.4)的

近似值。 ( 略 )

?y??y2?2x?14） 设初值问题 ??y(0)?1,0?x?1

试用改进的Euler方法，并取h?0.1，设计一个求解上述初值问题数值解的

求解方案 （或称计算机算法描述; 不必求出解的具体数值） 。

y0?1

对 n?0,1,?,9 做 { xn?0.1?n

解: Y2?yn?0.1?(yn?2xn?1)

yn?1?yn? 输出 }

0.12(yn?2xn?1?Y2?2(xn?0.1)?1) 2yn?1

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