数学建模，商品的包装问题

B题 商品包装问题

摘要

本文研究的是关于商品包装问题，通过分析题目所给出的条件及客观规律建立了商品价格和影响商品价格因素的关系模型、商品包装面积和商品中产品重量关系模型，利用SPSS、EXCEL软件对上述模型进行了逐一求解，分别回答了题目提出的所有问题。

针对问题一，首先根据客观规律，初步确定了影响商品价格的因素。具体分析确立商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定。然后建立了商品包装面积和商品中产品重量关系，同时考虑到商品的所占包装容积的实际容量关系和利润对价格的影响，将各个因素有机的结合。通过分析商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子，从而初步的建立起第一个关于描述包装和价格关系的模型。

又考虑到商品的包装有不同的形状，将商品外形大致等效为长方体和柱体。将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的浮动性，将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，在模型一的基础上，建立起模型二。

针对问题二，我们在市场中选取真心瓜子和百事可乐两种商品，首先对问题一中建立的模型一进行验证（详见正文5页和6页），其检验结果与实际调查结果大致吻合，但有一定差异。所以，将这两种商品带入针对模型一进行改进的模型二中进行验证（详见正文8页），其检验结果较模型一的结果更为合理和可靠。因此我们认为，所建立的模型二能较好的反应商品的包装和商品的价格之间的关系。

关键词 :包装 价格 关系 成本因子 逐层分析法

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一 问题重述

1.1 背景资料：

在实际生活中,我们所用的同种商品总会碰到有包装类似但是价格不同的情况,比如：在超市中的“真心瓜子”有100g、200g、300g三种规格，它们的价格分别为3.5元、6元和8.5元。三者单位重量的价格比是17:15:14；百事可乐有500ml、1250ml、2000ml三种规格，它们的价格分别为12:9:7。,那么商品的包装和商品的价格到底存在怎样的关系。

1.2 需要解决的问题：

1. 调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组，建立模型描述包装和价格的关系。

2. 验证所建模型的合理性。

二 问题分析

2.1 问题一的分析

问题一要求对调查两组包装类似但多少不同的三种同一商品建立关于包装和价格的关系模型。

首先考虑商品的包装和价格的关系时，认为价格是由产品本身的生产成本和包装成本以及利润等其他因素共同决定的。同时，依照客观规律，在商品的供求量正常时，商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小。

其中，商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，我们定义商品中产品重量成本因子，用来表示产品成本和重量之间的关系；商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定。而包装的用量又是根据商品所装产品的重量决定，我们定义商品包装材料成本因子来表示商品包装材料成本和包装面积之间的关系。按照在商品的供求量正常时，商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小的客观规律来说，商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子会随着商品的生产量的变化而变化。这样就初步确立了商品的价格同这些影响因素的关系。

当所装袋的产品越多时，所需的包装袋越大，查阅相关资料，得到他们之间的关系

。鉴于商品间存在空隙等因素，k在针对不同的商品时为不同的常量，比如，

当商品为液体饮料时，K的值可以近似为1。这样就将影响商品价格的重量因素和包装材料因素很好的结合起来。

综上，加上利润的影响，就建立起模型一探寻表示包装和价格的关系。

又考虑到商品的包装有不同的形状，但是大致可以分为长方体和柱体。因此将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的不可靠信，最终将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，建立起模型二。

2.2 问题二的分析

问题二要求验证针对问题一所建模型的合理性。

由问题一所建立的模型，首先选取两组包装类似的一种商品的价格验证模型一，比较实际值和模型求解值的误差。同理，验证模型二。

三 模型假设

（1）假设商品生产的原材料价格稳定，在长时间内对商品价格基本无影响。 （2）假设商品的价格仅由包装成本和商品中产品的成本和利润决定。

2

（3）假设包装成本只记包装材料的成本。

（4）假设同种同一规格商品的利润在全国范围内基本相同。

（5）假设将商品的运输保管费用等费用归结于商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子中。

四 符号说明

符号 C W CP S E C总 P Cx Cy K 含义 商品中产品重量成本因子 商品中产品的重量 商品包装材料成本因子 单个商品包装材料面积 利润 总成本 单个商品的价格 单个商品的包装成本 单个商品的生产成本 商品中产品占产品体积的比例 五 模型的建立与求解

5.1模型一的建立与求解

5.1.1模型的建立

结合问题分析和合理的假设得：

商品的价格等于商品的总成本加利润， 即：

P?C总+E

商品的总成本由商品的包装成本和商品中所含产品的成本决定， 即:

C总=CX?Cy。

商品的包装成本等于单个商品的包装材料的成本乘以单个商品包装材料面积， 即：

CX?CpS。 单个商品的生产成本等于单个商品所含产品成本乘以单个商品中所含产品的重 即：

Cy=WC。 通过查阅相关的资料可知，单个商品包装材料面积同单个商品中产品的重量存在这样的关系：

S?KW

23

3

P?C?W?CE?PS?根据以上关系可得： ? 23??S?KW

5.1.2模型一针对问题一的求解

问题一所建立的模型中存在未知量CP和C，因此选取两种不同规格的同一商品进行求解。

设第一种规格的商品的价格为p1，重量为w1，包装材料的面积为s1，该商品的利润为e1。第二种规格的商品的价格为p2，重量为w2，包装材料的面积为s2，该商品的利润为e2。带入所建立的模型关系式中解得商品包装材料成本因子和商品中产品重量成本因子的关系：

?1)2?(ew1?2ew)2?C?(w2p1?wpP22?k(w13w2?w23w1)?? ?

?2222?w23p1?w13w2?e2w13?e1w13?C?22?3w1w2?w23w1?

1??C?w2(p1?e1)+w1(e2?p2)22?Pk(w13w2?w23w1)??化简得： ?

?223?w2(p1?e1)+w13(e2?p2)?C?22?3w2w1?w13w2?

P?CPS?WC?E??2?3?CS?KWCP?将所得的和带入中，即可求得商品的包装和商品的价格所存在的关系。

5.1.3模型一针对问题二的求解

通过市场调查，选取真心瓜子和百事可乐两种商品，商品的规格和价格如下表所示：

商品名 表一：商品价格调查表 规格（克） 利润（元） 100 0.6 200 0.9 4

价格（元） 3.5 6 真心瓜子 百事可乐 300 500 1250 2000 1.3 0.5 0.8 1.1 8.5 3 5.5 7.5 将规格为100g、200g的真心瓜子带入模型中求解，得：

??cp1?0.1575 ?

??c1?0.012将规格300g真心瓜子的利润和所求的

cp1、

c1带入所建模型中求解:

p1?8.42 8与实际价格8.5相比，相差0.847%；

将规格为500ml、1250g的百事可乐带入模型中求解，得：

?cp2?0.03739? ?c2?-0.000119 将规格2000ml百事可乐的利润和所求的

cp2、

c2带入所建模型中求解：

p2?6.8

与实际价格7.5元相比，相差9.33%；

以上所建模型中真心瓜子的模型预测值与实际值很好的吻合，而百事可乐的预测值与实际值有差异，其实际价格与预测价格的偏差达到了9.33%；考虑到调查数据中的利润不确信度以及包装面积和重量的关系不精确等人为因素，因此按照原改进方向，建立模型二。

5.2模型二的建立与求解 5.2.1模型二的建立

将商品包装材料面积同单个商品中产品的重量的关系分为长方体和柱体，分别确立其关系：

（1）近似圆柱体商品：

圆柱体商品包装材料面积同商品中产品的重量的关系：

?w=?v? ?v=?R2h

?S?2?R2?2?Rh? 化简得： S?2w2W+ ?hR??P?CPS+WC?则商品的价格可表示为： ?2w2W

S?+??hR??5

（2）近似长方体商品：

长方体商品包装材料面积同商品中产品的重量的关系：

?w=?v? ?v=abc

?S?2(ab?bc?ac)?化简得： S?2W(ab?bc?ac)

?abc2w2W?S?+??hR? 则商品的价格可表示为： ??P?CS+WC?P5.2.2模型二针对问题一的求解

建立的模型二中存在未知量CP和C，同样选取两种不同规格的同一商品进行求解。

设第一种规格的商品的价格为p1，重量为w1，包装材料的面积为s1，第二种规格的商品的价格为p2，重量为w2，包装材料的面积为s2，带入所建立的模型关系式中解得商品包装材料成本因子和商品中产品重量成本因子的关系： （1）圆柱体：

?CPS1?W1C?P1 ??CPS2?W2C?P2

PW?12?PW21C??PSW?SW1221?PS?12?P2S1C??W1S2?W2S1?解得: ?

2W2W?S?1?1?1h1?R1???S?2W2?2W22?h2?R2??

将所得的C和CP带入P?CPS+WC中，即可求得圆柱体商品的包装和商品的价格所

存在的关系。

（2）长方体：

?CPS1?W1C?P1 ?CS?WC?P?P2226

PW?12?PW21C?P?S1W2?S2W1?PS?12?P2S1C??W1S2?W2S1?解得： ?

2W(ab?bc?ac)?S?1111111?1a1b1c1???S?2W2(a2b2?b2c2?a2c2)2?a2b2c2??将所得的C和CP带入P?CPS+WC中，即可求得长方体体商品的包装和商品的价格所存在的关系。

5.2.3模型二针对问题二的求解

将通过市场调查所选取的真心瓜子和百事可乐分别带入模型二中进行检验，其中真心瓜子可以看成为外观长方体的商品，百事可乐可以近似看成外观为圆柱体的商品。

（1）真心瓜子带入相应模型的检验：

真心瓜子参数统计表 规格(g) 100 200 300 a(cm) 23 23 25 b(cm) 16 16 15 c(cm) 1.6 3 4 ρ 0.03397 0.03397 0.03397 P(元) 3.5 6 8.5 将规格为100g、200g的真心瓜子带入模型中求解，得：

??cp1?0.000266 ?

c?0.02312??1 将规格300g真心瓜子的利润和所求的cp1、c1带入所建模型中求解:

p1?8.6 1 与实际价格8.5元相比，相差1.29%；

（2）百事可乐带入相应模型的检验：

百事可乐参数统计表 规格（ml） 500 1250 2000 R 3 4 10 h 17 22 25 ρ 1 1 1 P(元) 3 5.5 7.5 将规格为500ml、1250ml的百事可乐带入模型中求解，得：

7

??cp1?0.006923 ?

c?0.000783??1

将规格2000ml百事可乐的利润和所求的cp2、c2带入所建模型中求解： p2?8.0 与实际价格7.5元相比，相差6.67%；

六 模型的评价及改进

6.1模型一的评价：

建立模型一时遵循了现实的客观规律，认为价格是由产品本身的生产成本和包装成本以及利润等其他因素共同决定的，并且在商品的供求量正常时，商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小。并且通过查找资料，确定了商品的重量和其体积的关系，从而找出影响商品价格的因素，并将它们联系起来，建立模型一。模型一充分考虑了到了实际生活中的情况，结合了相关经济学原理，在对模型一的检验中，我们也按照实际生活的情况，选取了“真心瓜子”和“百事可乐”进行对模型的验证。模型预测真心瓜子的价格为：8.4元，实际价格为8.5元。实际价格相差0.847%。百事可乐的预测价格为：6.8元，而商品的实际价格为7.5元，预测值和真实值相差9.33%。由于商品生产的越多，其所需要的生产成本会相应的减小，并且题目所给定只选取两组商品进行验证，而不是通过广泛的调查进行验证，同时，商品的重量和其体积的关系是通过查找相关资料得出的，其关系式并非完全适用本模型。因此，造成了模型的预测值与实际值有所偏差。但是这种由实际生产等因素所造成偏差还是可以接受的。 6.2 模型二的评价：

通过对模型二的不足进行完善所建立起来的模型二与模型一相比，更加注重实际生产等因素对模型造成的影响。针对商品的包装有不同的形状，大致分为长方体和柱体。将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，大大的减少了模型一中产品重量和体积关系的不不准确所带来的误差。并且将利润直接包含在单位包装成本和单位原料成本中，建立了更为精确的模型二。同样选取真心瓜子和百事可乐进行验证。可以发现，该模型的预测值要比模型一更为精确。百事可乐预测值与实际值的偏差分别为：6.67%。通过模型所解出的商品包装材料成本因子和商品中产品重量成本切合实际。 6.3 模型的推广及应用：

模型二经过实际商品的检验，可以较好的体现出商品的包装和商品的价格的关系。可以用来为商家研发新产品时，针对不同的包装和所装产品的质量，提供较为合理的参考依据。

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参考文献

[1].曼昆，经济学原理微观经济学分册，北京；北京大学出版社，2009年。 [2].赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京；高等教育出版社，2003年。

[3].商品包装和容量的关系，http://wenku.http://m.wodefanwen.com//view/849210cda1c7aa00b52acbf5.html. 2012年11月26日。

[4].陈胜可，SPSS统计分析，北京；清华大学出版社，2010年9月。

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附录

附录一：

商品名 真心瓜子 百事可乐 附录二：

商品价格调查表 规格（克） 利润（元） 100 200 300 500 1250 2000 0.6 0.9 1.3 0.5 0.8 1.1 价格（元） 3.5 6 8.5 3 5.5 7.5 真心瓜子参数统计表 规格(g) 100 200 300 附录三:

a(cm) 23 23 25 b(cm) 16 16 15 c(cm) 1.6 3 4 ρ 0.03397 0.03397 0.03397 P(元) 3.5 6 8.5 百事可乐参数统计表 规格（ml） 500 1250 2000

R 3 4 10 h 17 22 25 ρ 1 1 1 P(元) 3 5.5 7.5 10

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