传热学第四版第三章

第三章

思考题

1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点

答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。

2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?

答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。

?c??cvhA,形状

3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。

4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有

些什么特点?

答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(x/?)和边界条件(Bi数) 的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。

5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由

是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。

答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。 6. 试说明Bi数的物理意义。Bi?o及Bi??各代表什么样的换热条件?有人认为,

Bi??代表了绝热工况,你是否赞同这一观点,为什么?

答；Bi数是物体内外热阻之比的相对值。Bi?o时说明传热热阻主要在边界，内部温度趋于均匀，可以用集总参数法进行分析求解；Bi??时，说明传热热阻主要在内部，可以近似认为壁温就是流体温度。认为Bi?o代表绝热工况是不正确的，该工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。

7. 什么是分非稳态导热问题的乘积解法,他的使用条件是什么?

答；对于二维或三维非稳态导热问题的解等于对应几个一维问题解的乘积，其解的形式是无量纲过余温度，这就是非稳态导热问题的乘积解法，其使用条件是恒温介质，第三类边 界条件或边界温度为定值、初始温度为常数的情况。

8.什么是”半无限大”的物体?半无限大物体的非稳态导热存在正规阶段吗?

答：所谓“半大限大”物体是指平面一侧空间无限延伸的物体：因为物体向纵深无限延 伸，初脸温度的影响永远不会消除，所以半死限大物体的非稳念导热不存在正规状况阶段。 9.冬天，72℃的铁与600℃的木材摸上去的感觉一样吗，为什么？

10.本章的讨论都是对物性为常数的情形作出的,对物性温度函数的情形,你认为怎样获得其非稳态导热的温度场?

2答：从分析解形式可见，物体的无量纲过余温度是傅立叶数（??/l）的负指数函数，

即表示在相同尺寸及换热条件下，导温系数越大的物体到达指定温度所需的时间越短、这正 说明导温系数所代表的物理含义。 习题

基本概念及定性分析

3－1 设有五块厚30mm的无限大平板,各用银、铜、钢、玻璃及软木做成，初始温度均匀（200C）,两个侧面突然上升到600C，试计算使用中心温度上升到560C时各板所需的时间。五种材料的热扩散依次为170×106m/s、103×106m/s，12.9×106m/s、0.59×106m/s

－

2

－

2

－

2

－

2

及0.155×106m/s。由此计算你可以得出什么结论？

－

2

解：一维非稳态无限大平板内的温度分布如下函数关系式：

t?t0?x??f(Bi,Fo,)?0t??t0?

不同材料的无限大平板，均处于第一类边界条件（即Bi??）。由题意知 材料达到同样工况式Bi数和x/?相同，要使温度分布相同，则只需Fo数相同

????)?()2122(Fo)?(Fo)??12 因此，，即，而?相等

( 故知 所以

?小所需时间大 ?铜??银??钢??玻璃??软木

?铜??银??钢??玻璃??软木。

3－2 设一根长为l的棒有均匀初温度t0,此后使其两端在恒定的t1（x＝0）及t2>t1>t0。棒的四周保持绝热。试画出棒中温度分布随时间变法的示意曲线及最终的温度分布曲线。 解：由于棒的四周保持绝热，因而此棒中的温度分布相当于厚为l的无限大平板中的分布，随时间而变化的情形定性的示于图中.

3－3 假设把汽轮机的汽缸壁及其外的绝热层近似地看成是两块整密接触的无限大平板（绝热层厚度大于汽缸壁）。试定性地画出汽缸机从冷态启动（即整个汽轮机均与环境处于热平衡）后，缸壁及绝热层中的温度分布随时间的变化。 解：

3－4 在一内部流动的对流换热试验中（见附图），用电阻加热器产生热量加热量管道内的流体，电加热功率为常数，管道可以当作平壁对待。试画出在非稳态加热过程中系统中的温度分布随时间的变化（包括电阻加热器，管壁及被加热的管内流体）。画出典型的四个时刻；初始状态（未开始加热时），稳定状态及两个中间状态。 解：如图所示：

3－5 现代微波炉加热物体的原理是利用高频电磁波使物体中的分子极化从而产生振荡，其结果相当于物体中产生了一个接近于均匀分布的内热源，而一般的烘箱则是从物体的表面上

进行接近恒热流的加热。设把一块牛肉当作厚为2

0

?的无限大平板，试定性地画出采用微

波炉及烘箱对牛肉加热（从室温到最低温度为85Ｃ）过程中牛肉的温度分布曲线（加热开始前，加热过程中某一时刻及加热终了三个时刻）。 解：假设：辐射加热时表面热源均匀；散热略而不计．

集总参数法分析

3－6 一初始温度为t0的物体，被置于室温为t?的房间中。物体表面的发射率为?，表面与空气间的换热系数为h。物体的体集积为V，参数与换热的面积为A，比热容和密度分别为c及

?。物体的内热阻可忽略不计，试列出物体温度随时间变化的微分方程式。

解：由题意知，固体温度始终均匀一致，所以可按集总热容系统处理 固体通过热辐射散到周围的热量为：

4q1??A(T4?T?)

固体通过对流散到周围的热量为：

q2?hA(T?T?)

固体散出的总热量等于其焓的减小

q1?q2???cvdtd?即

?A(T4?T?4)?hA(T?T?)???cvdtd?

3－7 如图所示，一容器中装有质量为m、比热容为c的流体，初始温度为tO。另一流体在管内凝结放热，凝结温度为t?。容器外壳绝热良好。容器中的流体因有搅拌器的作用而可认为任一时刻整个流体的温度都是均匀的。管内流体与容器中流体间的总传热系数k及传热面积A均为以知，k为常数。试导出开始加热后任一时刻t时容器中流体温度的计算式。 解：按集总参数处理，容器中流体温度由下面的微分方程式描述

hA(T?T1)???cvdtd?

此方程的解为

t?t1kA?exp(??)t0?t1?c

3－8 一具有内部加热装置的物体与空气处于热平衡。在某一瞬间，加热装置投入工作，其作用相当于强度为Q.的内热源。设物体与周围环境的表面传热系数为h（常数），内热阻

可以忽略，其他几何、物性参数均以知，试列出其温度随时间变化的微分方程式并求解之。 解：集总参数法的导热微分方程可以利用能量守恒的方法得到

?dt?cv??hA(t?t?)??d?

引入过余温度，则其数学描写如下：

?d????cv??hA???d????(0)?t?t??0??

?hA??cv故其温度分布为：

??t?t???0e??hA(1?e?hA??cv)

2KJ/(m?K)，初始温度为200C，后将其置于3200C?cv/A3－9 一热电偶的之值为2.0942W/(m?k)的两种情况下，热

的气流中。试计算在气流与热电偶之间的表面传热系数为58

电偶的时间常数并画出两种情况下热电偶读数的过余温度随时间变化的曲线。

解：由

?c??cvhA

2h?58W/(m?K)时，?c?0.036s

当

2h?116W/(m?K)时，?c?0.018s

当

3－10 一热电偶热接点可近似地看成为球形，初始温度为25C，后被置于温度为200C地气流中。问欲使热电偶的时间常数

00

?c?1s热接点的直径应为多大？以知热接点与气流间的表

235W/(m?K)，热接点的物性为：??20W/(m?k)，

面传热系数为

c?400J/(kg?k)，??8500kg/m3，如果气流与热接点之间还有辐射换热，对所需的热

接点直径有何影响？热电偶引线的影响忽略不计。

解：由于热电偶的直径很小，一般满足集总参数法，时间常数为：

?c??cvhA

C处的温度分别为

tA?1800C、tB?1300C、tC?9000C，A与B及B与C各相隔1cm，材

?52料的热扩散率??1.1?10m/s。试估计在该瞬间B点温度对时间的瞬间变化率。该平板

的厚度远大于A、C之间的距离。

?t?2t?ta(tA?2tB?tC)?a2??x的离散形式为：???x2解：??

?t180?2?130?90?1.1?10?5??1.1K/s2??0.01代入已知数据可得B点的瞬时变化率为：

3－21 有两块同样材料的平板A及B，A的厚度为B的两倍，从统一高温炉中取出置于冷流体中淬火。流体与各表面间的表面传热系数均可视为无限大。已知板B中心点的过余温度下降到初值的一半需要20min，问A板达到同样温度工况需要的时间？

解：BiA?BiB????m?f(Fo)?0??m???m???????0.5?FoA?FoB??0?A??0?BaA?aB，?A?2?B??A?(?A2)?B?4?B?4?20min?80min?B

2

3－22 某一瞬间，一无内热源的无限大平板中的温度分布可以表示成t1=c1x+c2的形式，其中c1、c2为已知的常数，试确定：

（1） 此时刻在x=0的表面处的热流密度

（2） 此时刻平板平均温度随时间的变化率，物性已知且为常数。

dt解：?2C1xdx(1)(2)qx?0???dtdxx?0?0???2C1?qx?????dtdxx??由能量平衡：dt??qx???Ad?dt2C1??A则??2C1?d??cA??cA?

0

3－23 一截面尺寸为10cm×5cm的长钢棒（18－20Gr/8－12Ni），初温度为20C，然后长边

2h?125W/(m?K)，

的一侧突然被置于200C的气流中，而另外三个侧面绝热。试确定6min

0

后长边的另一侧面中点的温度。钢棒

?、c、v可以近似地取用为200C时之值。

解：查表钢棒的物性参数为：??7820kg/m3，c?460J/kg?K，??15.2W/m?K按题意可作半壁厚为0.05m的对称半无限大平板处理????4.2255?10?6Fo?2?0.60847?c?h?125?0.05Bi???0.4118?15.2解超越方程?1＝0.61584?2sin?1由式（3－22）计算：m?exp(??12Fo)?0.84352?0?1?sin?1cos?1?＝tm?0.84352(t0?tf)?tf?48.170C3－24 一高H＝0.4m的圆柱体，初始温度均匀，然后将其四周曲面完全绝热，而上、下底面

250W/(m?K)。圆柱体导热系数

暴露于气流中，气流与两端面间的表面传热系数均为

??20W/(m?k)，热扩散率??5.6?10?6m2/s。试确定圆柱体中心过余温度下降到初值

一半时间所需的时间。

解：因四周表面绝热，这相当于一个厚为2??0.4m的无限大平壁的非稳态导热问题，

?mh?50?0.2?0.5,Bi???0.5?0?20

0.22F0?1.7,???F0?1.7??12142s?3.37h?6a5.6?10 由图3-6查得

3-25 有一航天器，重返大气层试壳体表面温度为1000C，随即落入温度为5C的海洋中，

0

0

?221135W/(m?K)，试问此航天器落入海洋后5min时表

设海水与壳体表面间的传热系数为

面温度是多少？壳体壁面中最高温度是多少？壳体厚??50mm，??56.8W/(m?k)，

??4.13?10?6m2/s，其内侧可认为是绝热的。

1?56.8a?4.13?10?6?300???1.0,F0?2??0.4962?0.05解：Bih?1135?0.05

由图3-6查得

?m?0.8?0?l???0.65,?m?l?0.8?0.65?0.52?m?0?m，由图3-7查得

tm?tn?0.8(tn?t?)?5?0.8?(1000?5)?8010C,tm?5?0.52?995?5220C

3－26 厚8mm的瓷砖被堆放在室外货场上，并与－15C的环境处于热平衡。此后把它们搬入25C的室内。为了加速升温过程，每快瓷砖被分散地搁在墙旁，设此时瓷砖两面与室内环境

24.4W/(m?K)。为防止瓷砖脆裂，需待其温度上升到100C以上才可操

地表面传热系数为

0

0

?72作，问需多少时间？已知瓷砖地??7.5?10m/s，??1.1W/(m?k)。如瓷砖厚度增加

一倍，其它条件不变，问等待时间又为多长？

?m?10?25??150C,?0??15?25??400C,解：

由图3-6查得

?m11.1?0.375,??62.5.?0Bi4.4?0.004

0.0042F0?60.???F0?60??1280s?21.3min?7a7.5?10厚度加倍后，

?2

1?20.0082?31.25,查得F0?31,???F0?31??2645s?44min?7Bia7.5?10

3－27 汽轮机在启动一段时间后，如果蒸汽速度保持匀速上升，则汽缸壁中的温度变化会达到或接近这样的工况：壁中各点的温度对时间的偏导数即不随时间而异，又不随地点而变（称准稳态工况）。试对准工况导出汽缸壁中最大温差的计算公式。

解：把气缸壁作为平壁处理且假定其外表面绝热，

如右图所示，则准稳态工况时气缸壁中温度分布可用下列数学式描写：

d2twdt?,x?0,?0,x??,t?tw2adxd2?

式中w为气缸壁的升温速度，K/s。

1wx21w?2t??c1x?c,由边界条件得，c1?0,c2?tw2?,2a2a

上式的通解为

1w(x2??2)t??tw2,最大温差是x?0及x??处的壁温差其值为2a故得 ?t?tw21w?21w?2?(??tw2)?,2a2a

0

3－28 一块后300mm的板块钢坯（含碳近似为0.5％）的初温为20C，送于温度为12000C的炉子里单侧加热，不受热侧面可近似地认为是绝热的。已知钢板热扩散率

2??5.55?10?6m2/s，加热过程中平均表面传热系数为290W/(m?K)，设确定加热到钢

板表面温度低于炉温15C时所需的时间，及此时钢板两表面间的温差。导热系数可按600C查附录。

00

????sin?1cos?1?ln???1?02sin?1cos?1????2.78545由式（3－21）Fo???12

?2??Fo?45169s?12.55h????15由式（3－23）：?m????36.4cos?1cos1.1461???????m??15?(?36.4)?21.40C3?29、已知：初温为t0,厚为2?的无限大平板，两表面的温度突然降到t?,此后平板中各点的温度按下式计算：

?4?1??n?/?2???a?n?x??esin?0?n?1n2?其中??t?x,???tw,?0?t0?tw2今有一厚为3cm的平板，t0?150?C，tw?30?C，a?2?10?6m2/s

求：用上式（仅取无穷级数的的第一项）计算1min后平板中间截面上的温度，并与海斯 勒图及（3-27）相比较，又，如取级数的前四项来计算，对结果有何影响？ 解：由所给出的解的形式可以看出，此时坐标原点是取在板的一侧表面上的（x=0，

?x???2??t?t1?0),对于板的中心，?,()2a??()?(2?10?6)?60?1.31595,2?22?0.03?m4?1.31995a?2?10?4?60?m故得??e?0.3415,由2??0.5333,由图3-6查得?0.34.?0??0.0152?0如取前四项，得：?m4?1.319951?15.84351?64.481?（e-e?e)?0?37?4?(0.2682?4.3866?10?8?1.0310?10?15?1.4155?10?29)?0.3415在四位有效数字内与取级数一项的结果毫无差别。按分析解tw?30?120?0.3415?70.98?C.3－ 30 火箭发动机的喷管在起动过程中受到T??1500K的高温燃气加热，受材料的限制

其局部壁温不得大于1 50 K.为延长运行时间在喷管内壁喷涂了一层厚10mm的陶瓷，其物

?62性参数为??10W/(m?k)，??6?10m/s。试对此情况下喷管能承受的运行时间作一2h?2500W/(m?K)，喷管的初始

保守的估计。设内表面与高温燃气间的表面传热系数为

0

温度

To?300K。

解：一种保守的估计方法是假定喷管壁面是绝热的，则相当于厚为2δ1的平板，

?m1500?2300800h?2500?0.01??,?0.4,Bi?2??2.5,x/??0??,?0300?23002000?10?m?Ae??Ff(?1?)?Ae??F,?0210210b?10.9188?1)?(0.4022?)?(0.4022?0.3675)?1?1.2992,Bi2.5?1?1.1398,A?a?b(1?e?cBi)?1.0101?0.2575(1?e?0.4271?2.5)?12?(a??1.0101?0.2575(1?e?1.06775)?1.0101?0.2575(1?0.3438)?1.10595,?0.4?1.10595e?12992F0,ln0.4?ln1.10595?1.29922F0,?0.9163?0.1007?1.6879F0,F0?1.017?0.6025,1.6879a?6?10?6?0.60256.03?10?56.032??0.6025,??0.01????10?10.05s?20.0126?10?66?10?66

2分析：如果喷管表面不涂层，则允许使用的条件是由于?i?m?i??0.4,?0?0?m??i?1,因而此时m必大于0.4，在相同的Bi下，F0必小于0.603，如果?相同，?m?00

则由于陶瓷的a小于金属的a，因而所允许的?值必更小。3－31 一火箭发动机喷管，壁厚为9mm，出世温度为30C。在进行静推力试验时，温度为1

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