矩阵分析及其应用

习题一??a12???a?2x25、设W=??11?Ra?a?0??1122aa??2122????2x2（1）证明W是R的子空间（2）试求W的一组基2??3（3）试求A=??在所求基下的坐标5?3??解：（1）证：由于02x2?W故W是非空集合?a 设?11?a21?ｂ11　　　??b21a12???W且a11?a22?0a22?b12???W且b11?b22?0b22?b12??a11?b11??ｂ11????????b21b22??a21?b21?0 ， b11?b22?0a12?b12???Wa22?b22???ka11ka12???????ka21ka22??k(a11?a22)?k?0?0a12?b12??a22?b22?a12?a 则 ?11?a21a22由于 a11?a22?a?b11故 ?11?a21?b21a12?a又 k?11?a21a22 ka11?ka22所以 a11?b11?a22?b22=（a11?a22）?（b11?b22）=0+0=0a12??a则 k?11??Waa22??21综上所述W是R2x2的子空间（2）根据题意设y?0??1?01??00??x?y?z????????x??0?1??00??10?0??1?01??00?易知W1??? , W2??? , W3????0?1??00??10?设k1W1?k2W2?k3W3?0,将W1,W2,W3代入得k1=k2=k3=0所以W1,W2,W3是线性无关的故WW1,W2,W3是W的一组基0??01??00??1即?? ,?? ,??是W的一组基?0?1??00??10?（3）设A=x1A1?x2A2?x3A30??1?01??0 =x1??x?x??2?3??0?1??00??1x2??32??x =?1?????x3?x1??5?3? 故 x1=3 ， x2=2 ， x3=5T 则A在所求基下的坐标是（3,2,5）?x W=??z0??0?

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