矩阵的初等变换及其应用

矩阵的初等变换及其应用
王丹




矩阵的初等变换及其应用

摘 要
矩阵的初等变换是研究矩阵的一种重要手段，是线性代数中应用的核心。本文简单介绍了与矩阵相关的一些概念和性质，以此为基础，求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆后求逆矩阵、求方程组的基础解系、求特征值和特征向量、化二次型为标准形等等，并举例说明矩阵的初等变换在以上的应用中是如何发挥作用的。
关键词：矩阵，初等变换，应用
































The elementary transformation of matrix and its applications


Abstract
Elementary transformation matrix is an important means of Matrix is the core linear algebra applications. This article briefly describes some of the concepts and properties associated with the matrix as a basis, the rank of a matrix to determine whether a matrix is reversible after inverse matrix, seeking basic solutions line equations, find eigenvalues and eigenvectors, quadratic standard Shape and so on. Illustrate the elementary transformation matrix in the above applications is how to play a role.
keywords: matrix，elementary transformation，application























目 录

1. 绪论6
2.矩阵的相关概念7
2.1矩阵的定义7
2.2矩阵的转置7
2.3矩阵的初等变换和初等矩阵7
3.矩阵的初等变换的应用8
3.1求矩阵的秩8
3.2求矩阵的逆矩阵10
3.3用初等变换求解矩阵方程11
3.4求线性方程组的解12
3.4.1 齐次线性方程组有非零解的条件13
3.4.2 非齐次线性方程组有解的条件14
3.5求矩阵的特征值和特征向量15
3.6用初等变换化二次型为标准型17
总 结19
参考文献19



















1.绪论

在学习线性代数的过程中，我发现矩阵的初等变换应用非常广泛，贯穿整个章节，是线性代数中解题的关键。线性方程组是矩阵的初等变换的开端，即矩阵的作用也可以说是线性代数的作用，线性代数的每个知识点都与矩阵息息相关，而线性代数在数学中的各个方面都可以发挥作用。生物学，经济学，物理学，密码学等都需要数学方面的知识，矩阵的意义可想而知，矩阵的初等变换，就是把复杂的矩阵化为简单形式便于计算和理解。
现实生活中，很多方面涉及到了矩阵的知识，在研究虚拟飞机模型的过程中，我们
会发现矩阵的运算起到了至关重要的作用。飞机表面看似平滑，但几何结构却错综复杂，其中气流的方程更是难上加难，还必须考虑其他的外在因素，但我们运用矩阵所学知识就能很好的解决这一问题。还有很多其他的应用，比如，求矩阵的特征值和特征向量是物理、力学和工程技术中很多问题解决的关键；现在各游戏公司和

银行等的账号保密防盗，也是运用矩阵相关知识发明了矩阵卡；监控系统中的模拟设备；在广播电视工程、大屏显示工程、电视教学、指挥控制中心等场合主要用矩阵切换器等等。

2.矩阵的相关概念

2.1矩阵的定义

矩阵就是一张长方形的数表。和行列式类似地把横的称为行、竖的称为列，一个具有 行、 行且第 行且第 列的元素记为 的矩阵简记为 .

2.2矩阵的转置

设矩阵 ，则称矩阵
为矩阵 的转置矩阵，记作 .

2.3矩阵的初等变换和初等矩阵

1、以下三种变换称为矩阵称为矩阵的初等行（列）变换，统称矩阵的初等变换：
（1）交换矩阵的两行（列）
（2）矩阵的某一行（列）各元素乘一个非零常数
（3）矩阵的某一行（列）各元素乘常数 后加到另一行（列）的对应元素上
初等行、列变换统称为初等变换
2、由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
三种类型的初等矩阵：
（1）初等对换矩阵 ：交换单位矩阵 的第 行与第 行，即

（2）初等被乘矩阵 ：单位矩阵 的第 行（列）乘非零常数 ，即

（3）初等倍加矩阵 ：单位矩阵 的第 行乘 加到第 行上，或第 行乘 加到第 列上，即

若矩阵 经过有限次初等变换变为矩阵 ，则说 与 等价.
3、矩阵等价具有以下性质 ：
（1）自反性 即对任何矩阵 ， 余 自身等价；
（2）对称性 即对任何矩阵 与 ，若 与 等价，则 与 等价；
（3）传递性 即对任何矩阵 ， 与 ，若 与 等价， 与 等价，则 与 等价；

3.矩阵的初等变换的应用

3.1求矩阵的秩

求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
（1）
（2）零矩阵的秩就是0
（3）行阶梯形矩阵 的秩= 中的非零行的行数
定理3.1.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
定理3.1.2 矩阵的行秩=矩阵的列秩
定理3.1.3 等价的矩阵有相同的秩，但其逆不真，即有相同秩的矩阵未必等价，同型且有相同秩的矩阵互相等价
求矩阵的秩，简单介绍2中最常见的方法：
（1）定义法：
、若矩阵
中有一个 阶非零子式，而所有 阶的子式（如果有的话）全为0，则 。
、若矩阵 中有一个 阶非零子式，而包含这个 阶子式的所有 阶子式全为0，则 。
用 法求秩可以省略很多式子的计算，较简单。
（2） ，则 中非零行的个数为矩阵 的秩。
这是因为初等行变换不改变矩阵的秩，此外可以

用初等列变换化 为列阶梯形求秩，还可初等变换 为标准形求秩。
例1 求矩阵 的秩。
解法1：取矩阵 的左上角的2阶子式

故 ，但矩阵 只有3行，故 ，找包含 在内的3阶子式为 ， ，故 。
解法2：对 进行初等行变换


因非零行为2，故 。
由此可以看出，定义法只适合对简单的矩阵进行计算，但如果是高阶矩阵，则计算起来非常不方便。

3.2求矩阵的逆矩阵

定义3.2.1 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得

这里 是 级单位矩阵，则称 为可逆矩阵，并称 为 的逆矩阵。
注 （1）若 可逆，则其逆矩阵是唯一的，记 的逆矩阵为 ；
（2）矩阵的可逆问题是对方阵而言的。
设 是 阶可逆矩阵，求逆矩阵如下：


例2 设 是 阶可逆方阵，将 的第 行与第 列对换后得到的矩阵记为 .
（1）证明 是可逆的；
（2）求 .
证：（1）因为用初等矩阵 左乘 相当于将 的 两行互换，因此有

因为 ，所以矩阵 可逆.
（2）

例3 利用矩阵的初等变换求矩阵 的逆矩阵.
解：



故
总之，我们在利用初等变换求逆矩阵时，首先要选定用初等行变换还是用初等列变换，注意如果用初等行变换就必须自始至终用初等行变换，用初等列变换则必须自始至终用初等列变换。
但在具体求逆时并不需要先检查矩阵是否可逆，直接用初等变换求即可，如果左边的方阵变换后最终所得的最简形不是单位矩阵，则说明原方阵不可逆。

3.3用初等变换求解矩阵方程

（1） ，若 可逆，则

（2） ，若 可逆，则

（3） ，若 均可逆，则
首先作
再作
这样可以求得
对 类型的矩阵方程只能作初等行变换（因 在 的左边）；对 则只能作初等列变换（因 在 的右边）
例4 解矩阵方程
解：设 ， ， ，则原方程化为



所以
3.4求线性方程组的解

设 个方程 个未知量的线性方程组

其矩阵形式为 ,
其中 ， ， ，
称 为线性方程组的系数矩阵，而称 为增广矩阵。
3.4.1 齐次线性方程组有非零解的条件
（1）齐次线性方程组 有非零解的充要条件是系数矩阵 的秩 .
（2）齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数时(m<n)，则必存在非零解.
（3）若 为 阶方阵，则方程组 存在非零解 .
（4）若 为 阶方阵，则方程组 只有零解
? 先将系数矩阵 利用初等行变换化为阶梯矩阵，求出 ，若 ，
则 只有零解；若 ，则有非零解，继续计算；
? 将阶梯矩阵化为最简形，有 个非零行的非零首元对应的未知量，将其余 个未知量取作自由未知量，移项，之后令其中一个自由未知量为1，其余为0，则可求得 的基础解系。
? 个参数的解的线性组合即为方程的通解
例5 解线性方程组
解：将系数

矩阵 进行初等行变换化为最简形



故
即有2个自由未知量
得同解方程组为

选取 为自由未知量，并移项得

其通解为
( )
表示成向量矩阵为


3.4.2 非齐次线性方程组有解的条件
（1）设 是 矩阵，则 元非齐次线性方程组 有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 .
（2）设 元非齐次线性方程组 有解，则
其解是唯一的 对应的其次方程组 只有零解
.
（3） 元非齐次线性方程组 有无穷多解
（4） 元非齐次线性方程组 无解
例6 求解非齐次线性方程组
解：对增广矩阵作初等行变换




即得

故原方程组的通解为 ， 为任意常数
3.5求矩阵的特征值和特征向量

定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得

即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：


设 是 阶方阵， 是 阶单位矩阵， 是矩阵 的特征值，对矩阵
进行初等变换，可得到上三角矩阵，令矩阵主对角线上的元素的乘积为0，求得
的值即为矩阵 的特征值。
例7 用矩阵的初等变换法求矩阵 的特征值和特征向量.
解：



令 的主对角线元素之积为零，即

得特征值

当 时

因 ，于是 对应的特征向量为

对应的全部特征向量为 。
当

因 ，于是 对应的特征向量为

此时的全部特征向量为 。

3.6用初等变换化二次型为标准型

含有 个变量 的二次齐次多项式

称为 元二次型，简称二次型。
令 ，记

则二次型可表示成

称对称矩阵 为二次型 的矩阵。
对矩阵 施行一系列初等列变换的同时，对子块 施以同种的初等行变换，当子块 化为对角矩阵

时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形

例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为

实施初等变换


这样，经坐标变换 ，其中

二次型化为标准形

注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。

总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，
还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵

初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。















参考文献

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[9]施光燕
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[11]赵立新，曾文才.利用矩阵的初等变换求方阵的特征值[J].大学数学.2004
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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ha74.html