矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用

几代

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第2 4卷V0. 4 12

第 7期

四川教育学院学报J URNAL OFS C O I HUAN C L GE OF E OL E DUC I AT ON

20 0 8年 7月J12。 8 u 00.

矩阵的初等变换在《线性代数》中的应用倪臣敏，孙逊32 1) 60 4 (仰恩大学数学系概率统计教研室，福建泉州

摘

要：文章总结了初等变换在求矩阵的秩、向量组的秩、逆矩阵，求解线性方程组和多项式的最大公因式

等方面的应用，并通过实例加以说明，而介绍了广义初等变换的思想方法和应用。进 关键词：初等变换；阵的秩；矩逆矩阵；最大公因式；广义初等变换Ap l a o s o e e t y Tr n f r a i n o a rx i Li e r Al e r p i t n fElm n ar a s o m to fM t i n n a g b a c i

Absr c:T i a e t a t h sp p rs umma ie h p l a o so lme t r r n fr t no ma r n s l i gt e r n famarx o e f e— r st ea p i t n fee na yta so ma i f z ci o t xi ov n h a k o i ti ra s t v c o tt,c a a n n e s t x O y t m fl e re u to s nd s li g t es se o e re u t n d t e g e ts OT l n d v s ro o s￣c t g i v re m r Fs se o n a q a in,a o v n h y tm fUn a q a o sa h r a e tC l no i io f l i a i i i n l p ln mi l il e a ls u t e o e ti to u e h o g ta d a p i a in o e ea i e lme tr r n f r ai n o y o a s w t x mp e,f rh r r,i n r d c st e t u h n p l to g n r l d ee n a y t so 1 m h c f z a m to . Ke r s:e e n ay ta so ma o y wo d lme tr r n f r t n;r n ti;i v re marx;g e t s c mmo iio;g n r l e l me tr/ n f r i a k o a m rx n e s ti f a

r ae t o n d vs r e ea i d e e n ay ta so - z 'ma i t u o

中图分类号： 5 . 1 01 121引言 .

文献标志码： A

文章编号：0 05 5 (0 8 0 -140 10 -7 7 2 0 )70 0 -4

在线性代数中，阵的初等变换是指以下三种变换类型 J矩：( )交换矩阵的两行 ( ) 1列； ( )以一个非零数 k 2乘矩阵的某一行 ( )列；

( )把矩阵的某一行 ( ) z 3列的倍加于另一行 ( )。列上容易看出，这三种初等变换都不会改变一个方阵 A的行列式的非零性，以如果一个矩阵是方阵，所我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆，来判断原矩阵是否可逆。当然，这只是矩阵初等变换的一个小小的应用，它在线性代数中的更重要的应用主要体现在以下几点：求矩阵的秩，求向量组的极大无关组、,秩求解线性方程组，求多项式的最大公因式等。 2初等变换在《 . 线性代数》中的应用2 1用初等变换法求矩阵的秩 .将任意—个矩阵经过若干次的初等变换后，化为行(阶梯型矩阵，列)则阶梯型矩阵中，非零的行(数，列)就是原矩阵的秩。—

1

2

一

一

一

[—

2 5

—

1—2 3 7

—

2 1,—1 2 、, 1 5 4a

1、,, 12 口一1 2

—

1 2 0 1

1 2

l00 l—

1 4

7

5

r J oo0 0

l0 lj 0

rl 0 00

0口+ 7 0 0

1

收稿日期：0 80 -6 2 0 -30

作者简介：臣敏( 9 0 )女，东临沂人，士，倪 18一，山硕助教，研究方向：图像处理与分析，图论与组合学，线性代数，率统计的教学研概究等；

孙1 04

逊( 9 l )男， 17一，辽宁省夏县人，师，讲研究方向：线性代数，概率统计，密码学等。

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第2 4卷(总第 13期) 8‘ . .

倪臣敏，孙

逊：矩阵的初等变换在《性代数》线中的应用解

。=一7时，( )= 2 c≠一7时，(=3 rA; t rA) .

方对程组咖±

一 6 . u一 2.= —

2 2求向量组的极大无关组、 .秩

向量组的秩即该向量组极大无关组所含向

量的个数。通常有两种求法，一是添加法，此法主要针对含有参数的一维向5—量组；是初等变换法，而该法的依据是“一个矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩，而矩阵的初等行 ( )列 8— 11

一 4 —一一

—

3,●●●●●●●●●,(●●●●●●●●●、

变换不改变其列 ( )行向量间的线性关系”。

1

5 例 2求下列向量组的一个极大无关组 秩。 8、2— 1=

—9

( _ A 1 b一 _ 3 .施 1 1 1 7一4 3一 一—

(,,,) 2= (,,一13, 11 3 1,一1 1,) 3= (,一2 8 5,,一9, ) 4= (,,, )一13 17,.

、、●●●●

3

1

7

解：

以初 .

;3 1

;7一

(

,

, T 3

,

)=, .. ..一一 1,... . 0/,. 0 ..

2

2

4 0 1 031

1...._,....一，... 0, ..../ . .... 0 . .r 05 7 7 d

0 18.

故，是一个极大无关组，向量组的秩为 2 原 . 57 7

05

2 3求解线性方程组 ..

4 4 8将线性方程组的增广矩阵进行若干次的初等行变换，化为简化的阶梯型矩阵，可很容易的求出该线性方程组解的情即 2 2<J 1

4

况。简化的行阶梯型矩阵是指非零行在矩阵的最下方，阵的各非零行的第一个非零元素都等于 1且各非零行的第一个矩，.

4

4

8

非零元素所在的列中，元素均为零。如：其余.

1

2

0

0

.

4 .7

4

8一

5

O

0

下面看一个例子。.

1.... ,...,,... 0 ....。 .r 0。。 0O 1 一 0 5 .7

+ 5 2一 3一 4 x 4—

0

0

2 2+ i+ 3x= 3 4一 l

例 3求解线性方程组1+8 2一 3+ 4= 1 0 1 0 0

2

0 0

= 7

.

4

0

0

3

等行变换，化为阶梯形矩阵—02

0

1 2

0 0

1 4 0 0

一

、、,●●,,●●, -、、

r

因为 r A b r A) ( )= (=2<故方程有无穷多解 .接上式进行回代有 4,1 0

0 1 0 0 0 0

15 0

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20 0 8年 7月

』 l-

4 2 4 一丁丁。丁 1

( )。’

0、

。

j等得’变经换初d ()、。 d ) (

f。…,。 ) d(

A(=I…‘… l d( I ,=……n -) . ,其中，- )叱( i 1 - ), 2 j .d。 ( )…

则 d1 1(= ) 定理 2设

(,. ( )。 ) . . ) )… ).

( P[]令 ( ) x,其中 a( )去掉第一行， x则为单位矩阵 )

() O● -●

A( )

1● -

=

O

O

,过变 n列换 的得]初到，等经g( )… g ( )、… … …

,g (,。 )…A(:。 )

I‘ c …“ c I l l‘ c … - n‘ I一 …

c )… (

c( )…

c ( 肋 . )

f

其中， jx d=12 ., g( )l ( ) g,…,则 g( )= (, ( ), -(…, ) )且 g( )= C xZ( 1 ) )+c ( ) )+ ( xA(…+c ) ( ( )。

以上定理具体证明参见文献[]在此不再赘述。 2,例 4求 )g x,( )的最大公因式，中其)=+2一一4 x x一2g x= X 一一2,() 4+ x一2 ) g x ()

解A) l:(: 1o

0 1

(+一 2一一 2 ])g x ),,( )且

i]因为 (一2 )I(一2 ), x故一2=一

2= ( 一1 )+(+2 g x一 ) ) ()

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倪臣敏，孙

逊：阵的初等变换在《矩线性代数》中的应用

出现，但是不会改变行列式的非零性，这也是初等变换可以判断矩阵是否可逆的重要原因。

n阶行列式 D=l l a经过若干次初等变换可化为上 ( )下三角形行列式b1 1… b l

D羞士

笠变抉 ( ) 2 D= 0’. j一I‘ k… k

0 0 b

() b初等变换可以求可逆矩阵的逆矩阵，的是初等行变换法和初等列变换法。常用干次初等列变换

f1 B ;、: ,,则,

若干次初等行变换 ( B, ) ( , A )则 B=A;~

() c用初等变换可以化二次型为标准型。因为任意一个二次型，都与一个对称矩阵 A一一对应，从而化二次型为标准型就是找一可逆矩阵 c,使得 cA=B(中为对角矩阵)而任意一个可逆矩阵都可以写成一系列初等矩阵的乘 c其，积。故可通过成对的初等行列变换将二次型化为标准型。 3广义初等变换的介绍口 .

在矩阵的运算中，为了解题的方便，常会把矩阵分块，后的矩阵中的每一个子块都可作为矩阵的元素来处理。针分块对分块矩阵 A, A进行如同矩阵一样的三种初等变换称为分块矩阵的广义初等变换。对 例 5( rbnu不等式) A, G为同阶方阵， Focis设 B,求证：仙+rc≤ r r B+rB ^ c。证明：利用广义初等变换 ) (, B 0

l AcJ 0’ . .

、

0 1 A C I B

一

c )

+r c≥ t a B A B+r B结论成立。 c即

例设，, n方，:, l II一 6 A,为阶阵A c证 B1 l D c C A明f/ A c、 D。 D l A _证明：分两种情况，i若 A可逆， ()则

l三l三一。l c AB; ( )l。A ) 一 B- C = B=c A -D ( c A = -I一。 (i若 A不可逆， i )则令 t=lt ) I+A l, 则 t )至多有 1个根，在无穷多个 t使得 t 1,存， )≠ 0,由 ( ),故 i得

I A )I A-I项性，。成即 )I 8 三I( )B,式质=仍。I三I DC t=+ C多的 t时立 (= -I I+一 D有 A 。本文受仰恩大学《线性代数》精品课程项目资助。 参考文献： []赵树螈 .线性代数( 1 3版) M][ .北京：中国人民大学出版社，0 50 . 20 .6[]王品超 .高等代数新方法[ .济南： 2 M]山东教育出版社，99 1. 18 .2

[]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 .高等代数 ( 3 2版) M][ .北京：高等教育出版社，9 80 . 19 .6 []林亨成， 4陈

群 .矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用[】 J .成都教育学院学报，0 6 1:1 9 . 2 0,19 - 2(责任编辑：刘春林责任校对：林子)

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