高中新课程作业本_数学_选修2-1 参考答案

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答案与提示

第一章常用逻辑用语

11命题及其关系

111命题

112四种命题

1.C2.C3.D4.若A不是B的子集，则A∪B≠B5.①6.逆

7.(1)若一个数为一个实数的平方，则这个数为非负数.真命题

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.假命题

8.原命题：在平面中，若两条直线平行，则这两条直线不相交.

逆命题：在平面中，若两条直线不相交，则这两条直线平行.

否命题：在平面中，若两条直线不平行，则这两条直线相交.

逆否命题：在平面中，若两条直线相交，则这两条直线不平行.

以上均为真命题

9.若ab≠0，则a,b都不为零.真命题

10.逆否命题：已知函数f(x)在R上为增函数，a,b∈R，若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)，则a+b<0,真命题.证明略

11.甲

113四种命题间的相互关系

1.C2.D3.B4.0个、2个或4个5原命题和逆否命题

6.若a+b是奇数，则a,b至少有一个是偶数;真

7.逆命题：若a2=b2，则a=b.假命题.

否命题：若a≠b，则a2≠b2.假命题.

逆否命题：若a2≠b2，则a≠b.真命题

8.用原命题与逆否命题的等价性来证.假设a,b,c都是奇数，则a2,b2,c2也都是奇数，又a2+b2=c2，则两个奇数之和为奇数，这显然不可能，所以假设不成立，即a,b,c不可能都是奇数

9.否命题：若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0.真命题.

逆否命题：若a≠0,或b≠0，则a2+b2≠0.真命题

10.真

11.三个方程都没有实数根的情况为(4a)2-4(-4a+3)<0,

(a-1)2-4a2<0,

4a2+8a<0-32<a<-1.

所以实数a的取值范围a≥-1,或a≤-32

12充分条件与必要条件

121充分条件与必要条件

1.A2.B3.A4.(1)/(2)/(3)(4)/5.充分不必要

6.必要不充分7.“c≤d”是“e≤f”的充分条件8.充分条件，理由略

9.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a<0

10.m≥911.是

122充要条件

1.C2.B3.D4.假；真5.C和D6.λ+μ=17.略8.a=-3

9.a≤110.略11.q=-1,证明略

1.3简单的逻辑联结词

131且（and）

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132或(or)

133非(not)

1.A2.C3.C4.真5.①③6.必要不充分

7.（1）p:2<3或q:2=3;真（2）p:1是质数或q:1是合数;假（3）非p,p:0∈;真

（4）p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分;真

8.(1)p∧q：5既是奇数又是偶数,假;p∨q：5是奇数或偶数,真;

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p：存在乘积为0的三个实数都不为0；假

9.（1）假（2）真（3）假（4）真10.a≥311.(-2，2)

单元练习

1.B2.B3.B4.B5.B6.D7.B8.D9.C10.D

11.5既是17的约数，又是15的约数；假12.［１，２）

13.在△ＡＢＣ中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角14.充要；充要；必要15.b≥0

16.既不充分也不必要17.①③④18.a≥3

19.逆命题：两个三角形相似，则这两个三角形全等；假；

否命题：两个三角形不全等，则这两个三角形不相似；假；

逆否命题：两个三角形不相似，则这两个三角形不全等；真；

命题的否定：存在两个全等三角形不相似；假

20.充分不必要条件

21.令f(x)=x2+(2k-1)x+k2，方程有两个大于1的实数根

Δ=(2k-1)2-4k2≥0,

-2k-12＞1,

f(1)>0,即k＜-2,所以其充要条件为k<-2

22.(-3,2］第二章圆锥曲线与方程

21曲线与方程

211曲线与方程

1.C2.C3.B4.45.±556.y=|x|7.不是，理由略

8.证明略.M1(3,-4)在圆上，M2(-25,2)不在圆上

9.不能．提示：线段AB上任意一点的坐标满足方程x+y-3=0；但是，以方程x+y-3=0的解为坐标的点不一定在线段ＡＢ上，如Ｐ（-１，４），所以方程x+y-3=0不是线段AB的方程．线段AB的方程应该是x+y-3=0（0≤x≤3）

10.作图略.面积为4

11.c=0.提示：①必要性：若方程y=ax2+bx+c的曲线经过原点，即(0,0)是方程y=ax2+bx+c的解，则c=0；②充分性：若c=0，即方程y=ax2+bx+c为y=ax2+bx，则曲线经过原点(0,0) 212求曲线的方程

1.C2.B3.B4.y=5,或y=-55.x2-y2+6xy=0

6.y2=x+67.x2+y2=4(x≠±2)

8.x2+y2-8x-4y-38=0［除去点（-３，５），（１１，-１）］

9.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0．提示：设C(x,y)，因为直线AB的方程为4x-3y+4=0，|AB|=5，且点C到直线AB的距离为|4x-3y+4|5，故12|4x-3y+4|=10

10.4x-4y-3=0.提示：抛物线的顶点坐标为-m-12,-m-54，设顶点为(x,y)，则x=-m-12, y=-m-54.消去m得到顶点轨迹方程为4x-4y-3=0

11.x+2y-5=0

22椭圆

221椭圆及其标准方程（一）

1.C2.D3.A4.6546.±3327.(1)x2+y26=1(2)x225+y216=1

8.x24+y23=19.m∈(2,3)

10.x225+y29=1．提示：由△ABF2的周长为20,知4a=20，得a=5，又c=4，故b2=a2-c2=9

11.x225+y216=1(x≠±5)．提示：以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立坐标系，由已知得|AB|+|AC|=10，即点A的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=6,故a=5，c=3,从而得b2=a2-c2=16，又当A,B,C三点共线时不能构成三角形，故点A的轨迹方程是

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x225+y216=1(x≠±5)

221椭圆及其标准方程（二）

1.B2.A3.B4.x26+y210=15.5或36.x24+3y24=1(x≠±2)

7.x25+y24=1或x25+y26=1．提示：分焦点在x轴、y轴上求解

8.(1)9

（2）当|PF1|=|PF2|=5时，|PF1||PF2|的最大值为25.提示：由|PF1||PF2|≤|PF1|+|PF2|2,得|PF1||PF2|≤|PF1|+|PF2|22=25，当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号

9.x210+y215=1.10.54

11.x29+y24=1.提示：过点M作x轴、y轴的垂线，设点M(x,y)，由相似三角形知识得，|x||OA|=35,|y||OB|=25,即有|OA|=5|x|3,|OB|=5|y|2，由｜ＯＡ｜２＋｜ＯＢ｜２＝｜ＡＢ｜２，得x29+y24=1

222椭圆的简单几何性质（一）

1.D2.C3.A4.165.146.4或1

7.长轴长2a=6，短轴长2b=4，焦点坐标为F1(0,-5)，F2(0,5)，顶点坐标为Ａ１（-２，０），Ａ２（２，０），Ｂ１（０，-３），Ｂ２（０，３），离心率e=ca=53

8.x24+y2=1或x24+y216=1

9.x216+y212=1．提示：由△AF1B的周长为16，可知4a=16,a=4；又ca=12，故c=2，从而b2=a2-c2=12，即得所求椭圆方程

10.(1)x24+y2=1(2)x-122+4y-142=1

11.e=22．提示：设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则c2=a2-b2，F1(-c,0)，P-c,b1-c2a2，即P-c,b2a．因为AB∥OP，所以kAB=kOP，即-ba=-b2ac，b=c，得e=22

222椭圆的简单几何性质（二）

1.D2.D3.A4.120°5.356.x212+y29=17.x24+y23=1

8.x277832+y277212=1.提示：以ＡＢ为x轴，ＡＢ的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755,解得a=77825，c=9725,所以b=a2-c2=8755³6810≈7721．因此，卫星的轨道方程是x277832+y277212=1

9.-3-22.提示：设原点为O，则tan∠FBO=cb，tan∠ABO=ab，又因为e=ca=22，所以a=2c，b=c，所以tan∠ABF=cb+ab1-cab2=1+21-2=-3-22

10.94.提示：设P(x，y)，先由12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)²12=12²|F1F2||y|可求得y值，再确定点P的坐标

11.6-3.提示:连结Ｆ１Ｑ，设｜ＰＦ１｜＝m，则|PQ|=m，|F1Q|=2m，由椭圆定义得｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜＝｜ＱＦ１｜＋｜ＱＦ２｜＝２a．∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a，，即(2+2)m=4a，∴m=(4-22)a．又|PF2|=2a-m=(22-2)a，在Rt△PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，即(4-22)2a2+(22-2)2a2=4c2，∴c2a2=9-62=3(2-1)2，∴e=ca=6-3

222椭圆的简单几何性质（三）

1.B2.D3.C4.835.2556.-127.5

8.（1）-52≤m≤52（2）x-y+1=0，或x-y-1=09.y275+x225=1

10.3x+4y-7=0．提示：设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x214+y213=1①，x224+y223=1②，①-②得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)3=0，∴y1-y2x1-x2=-34²x1+x2y1+y2．又M为AB中点，∴x1+x2=2,y1+y2=2，∴直线l的斜率为-34，故直线l的方程为y-1=-34(x-1)，即3x+4y-7=0

11.(1)所求轨迹为直线4x+y=0在椭圆内的一条线段（不含端点）．提示：设l交C于点A（x1,y1），B(x2,y2)，由y=x+m,

4x2+y2=1,得5x2+2mx+m2-1=0，由Δ>0，得4m2-4³5(m2-1)>0，得-52<m<52.设弦AB的中

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点为M(x,y)，则x=x1+x22=-m5，又y=x+m，消去m，得4x+y=0-510＜x＜510

（2）5x-5y±10=0.提示：设P(x1,x2)，Q(x2,y2)，由（1）知x1,x2是方程5x2+2mx+m2-1=0的两个根，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，将y1=x1+m,y2=x2+m代入并整理，得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0，即有2²m2-15+m²-2m5+m2=0，解得m=±105∈-52,52，所以直线l的方程是y=x±105，即5x-5y±10=0

23双曲线

231双曲线及其标准方程

1.D2.C3.C4.(0,6),(0,-6)5176.28

7.（1）x216-y29=1（2）y220-x216=18.x23-y22=1

9.x29-y227=1(x＜-3)．提示：由正弦定理，结合sinB-sinC=12sinA，可得b-c=12a=12|BC|=6，故点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的左支，且不含双曲线与x轴的交点．因为a双=3，c双=6,所以b2双=27，故所求动点的轨迹方程为x29-y227=1(x＜-3)

1036.提示：分别记PF1，PF2的长为m,n,则m2+n2=400①，|m-n|=16②.①-②2得到2mn=144,所以△F1PF2的面积S=12mn=36

11.巨响发生在接报中心的西偏北45°,距中心68010m处.提示：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正方向，建立直角坐标系.则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），设P（x,y）为巨响发生点，由A，C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因为点B比点A晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340³4=1360，由双曲线定义知点P在以A，B为焦点的双曲线x2a2-y2b2=1上，依题意得a=680,c=1020，∴b2=c2-a2=10202-6802=5³3402，故双曲线方程为x26802-y25³3402=1,将y=-x代入上式，得x=±6805，∵|PB|>|PA|,∴x=-6805,y=6805,即P(-6805,6805),故|PO|=68010 232双曲线的简单几何性质（一）

1.B2.A3.C4.x2-3y2=365.60°6.53或54

7.实轴长2a=4；虚轴长2b=23；焦点坐标(-7,0),(7,0)；顶点坐标(-2,0),(2,0)；离心率e=ca=72；渐近线方程为y=±32x

8.（1）x29-y216=1．提示：设双曲线方程为y+43xy-43x=λ

（2）∠F1PF2=90°．提示：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1²d2=32，又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，∴d21+d22-2d1d2=36,即有d21+d22=36+2d1d2=100.又|F1F2|=2c=10,∴|F1F2|2=100=d21+d22=|PF1|2+|PF2|2.∴△PF1F2是直角三角形

9.x2-y22=1或y2-x22=110.y=±2x

11.（1）e1=ca=a2+b2a,e2=cb=a2+b2b,∴1e21+1e22=a2a2+b2+b2a2+b2=1

（2）22．提示：e1+e2=a2+b21a+1b≥2ab²21ab=22，当且仅当a=b时，(e1+e2)min=22 232双曲线的简单几何性质（二）

1.B2.C3.A4.465.466.（-12，0）

7.轨迹方程为y24-x23=1，点M的轨迹是以原点为中心，焦点在y轴上,且实轴、虚轴长分别4，23的双曲线

8.3x+4y-5=0

9.22．提示：设与直线l：x-y-3=0平行的双曲线的切线方程为y=x+m，根据直线与双曲线相切的充要条件可得m2=16，m=±4，由题意得m=-4，将y=x-4代入双曲线方程，得x=254，从而y=x-4=94，故切点坐标为254,94，即是所求的点，dmin=22

10.-2<k<-2

11.1713．提示：设A(x1,y1)，B(x2,y2),P(0,1),∵PA=512PB，∴(x1,y1-1)=512(x2,y2-1)，由此得x1=512x2①．又由x2a2-y2=1,

x+y=1，得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,由题意Δ>0，故0<a<2且a≠1,x1+x2=-2a21-a2②，

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x1x2=-2a21-a2③,联立①②③,解得a=1713

24抛物线

241抛物线及其标准方程

1.C2.D3.B4.y2=-20x556.y2=-12x7.(9，6)或(9，-6)

8.若以(-3,0)为焦点，则抛物线的标准方程是y2=-12x；若以(0,2)为焦点，则抛物线的标准方程是x2=8y

9.y2=±6x

10.抛物线的方程为y2=-8x,m=26或m=-26.提示：设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F-p2,0，准线方程为x=p2，由抛物线定义得点M到准线的距离|MN|=3+p2=5,∴p=4,抛物线方程为y2=-8x；又M(-3,m)在抛物线上，∴m=26,或m=-26

11.y2=8x

242抛物线的简单几何性质（一）

1.A2.C3.B4.y2=±6x526.727.y2=16x8.x2=8y

（第9题）9.能安全通过．提示：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p>0)．A(20,-6)在抛物线上，∴400=-2p²(-6)，解得-2p=-2003．∴x2=-2003y.

又∵B(2,y0)在抛物线上，∴4=-2003y0．∴y0=-350，∴|y0|<1，∴载有木箱的竹排可以安全通过此桥

10.灯泡应安装在距顶点约35mm处．提示：在车灯的轴截面上建立直角坐标系xOy．设抛物线方程为y2=2px(p>0)，灯应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使OC=69，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A,B两点，AB就是灯口的直径，即AB=197，所以点A坐标为69,1972，将点A坐标代入方程y2=2px，解得p≈703，它的焦点坐标约为F(35,0)，因此，灯泡应安装在距顶点约35mm处

11.设P(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2x0，∴d=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=［x0+(1-a)］2+2a-1．∵a>0,∴x0≥0.

①当0<a<1时，1-a>0，此时有x0=0时，dmin=a

②当a≥1时，1-a≤0，此时有x0=a-1时，dmin=2a-1

242抛物线的简单几何性质（二）

1.D2.C3.B4.±8586.x2=2y7.y2=43913x．

8.b=2．提示：联立方程组y=x+b,

x2=2y,消去y，得x2-2x-2b=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2),由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，也即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0．由韦达定理，得x1+x2=2，x1x2=-2b,代入解得b=2(舍去b=0)

9.-34．提示：当直线ＡＢ的斜率存在时，设lAB:y=kx-12，代入y2=2x,得ky2-2y-k=0，

∴y1y2=-1,x1x2=y21y224=14，所以OA²OB=x1x2+y1y2=-34；当直线AB的斜率不存在时，即lAB:x=12，也可得到OA²OB=-34

1032.提示：假设当过点Ｐ（４，０）的直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k(x-4)，代入y2=4x,得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0，∴x1+x2=8k2+4k2，∴y21+y22=4(x1+x2)=4³8k2+4k2=48+4k2>32.当过点P(4,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，则x1=x2=4，y21+y22=4(x1+x2)=4³8=32;故所求的最小值为32

11.设A(x1,y1),B(x2,y2)，当ＡＢ的斜率存在时，设ＡＢ方程为y=kx-p2，代入y2=2px，得y2-2pyk-p2=0，∴y1y2=-p2，x1x2=y212p²y222p=p24,又|AF|=x1+p2=m,|BF|=x2+p2=n, ∴x1+x2=m+n-p.∵x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=mn，

∴p24+p2(m+n-p)+p24=mn，∴p2(m+n)=mn，∴1m+1n=2p.当直线ＡＢ的斜率不存在时，m=n=p,上述结论也成立

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242抛物线的简单几何性质（三）

1.A2.C3.C435.（2，3）6.４８３7.y=14x+1,y=1,x=08.略

9.（1）y2=x-2．提示：设直线OA：y=kx，则OB:y=-1kx，由y2=2x,

y=kx,得A2k2,2k；由y2=2x,

y=-1kx,得B(2k2,-2k)，设AB的中点坐标为(x,y)，则x=1k2+k2，

y=1k-k,消去k得所求的轨迹方程为y2=x-2

（2）由（1）知，直线AB的方程为y+2k=k1-k2(x-2k2)，令y=0，得它与x轴的交点为(2,0)．其坐标与k无关，故为定值

10.略

11.（1）y2=32x

（2）∵yA=8,∴xA=2.∵F(8,0)为△ABC的重心，∴xA+xB+xC3=8，

yA+yB+yC3=0,即有xB+xC=22,

yB+yC=-8.又y2B=32xB,

y2C=32xC,故(yB+yC)(yB-yC)=32(xB-xC),所以yB-yCxB-xC=-4，即直线BC的斜率为-4 单元练习

1.C2.C3.B4.C5.B6.C7.B8.A9.B10.B

11.212.8513.y=±23x14.23

15.点P的轨迹方程是x-y-2=0，点Q的轨迹方程是y=-2

16.（1）由a=3,c=2,得b=1,∴椭圆的标准方程为x23+y2=1

（2）由y=x+m,

x23+y2=1,解方程组并整理得4x2+6mx+3m2-3=0.由Δ>0,得-2＜m＜2

17.32或52．提示：由AB∥CD,设AB为y=x+b(b≠4)，代入y2=x，得x2+(2b-1)x+b2=0，由Δ=1-4b>0,得b<14．设A(x1,y1)，B(x2,y2),则|AB|=2|x1-x2|=2(1-4b).又AB与CD间距离为|b-4|2，|AB|=|CB|,∴2(1-4b)=|b-4|2，解得b=-2或-6.

∴当b=-2时，正方形边长|AB|=32；当b=-6时，正方形边长|AB|=52

18.(1)不妨设点M在第一象限，由双曲线x2-y2=1,得a=1,b=1,c=2.∴|MF1|-|MF2|=2. ∴(|MF1|+|MF2|)2=(|MF1|-|MF2|)2+4|MF1|²|MF2|＝４＋4³54=9.

∴|MF1|+|MF2|=3>|F1F2|.故点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，其中a′=32,c′=2,b′=12.∴点M在椭圆x294+y214=1，即在4x2+36y2=9上

（２）由x2-y2=1,

4x2+36y2=9,解得M324,24.又点M在抛物线y2=2px上，代入方程，得18=2p²324，解得p=224，故所求的抛物线方程为y2=212x

19.由y=-12x+2，

x2a2+y2b2=1，消去y整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=8a2a2+4b2，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2. 设AB的中点为M(xM，yM)，则xM=x1+x22=4a2a2+4b2，yM=-12xM+2=8b2a2+4b2. ∵kOM=yMxM=12，∴2b2a2=12,即a2=4b2.

从而x1+x2=8a2a2+4b2=4，x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又|AB|=25，

∴1+14(x1+x2)2-4x1x2=25，即5216-4(8-2b2)=25，解得b2=4.

∴a2=4b2=16，故所求椭圆方程为x216+y24=1

20.(1)Q(5,-5)．提示：解方程组y=12x,

y=18x2-4,得x1=-4,

y1=-2或x1=8,

y1=4,即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB=12,得直线AB的垂直平分线方程

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y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5)

(2)直线OQ的方程为x+y=0,设Px,18x2-4.∵点P到直线OQ的距离d=x+18x2-42=182|x2+8x-32|,|OQ|=52,∴S△OPQ=12|OQ|d=516|x2+8x-32|.∵点Ｐ为抛物线上位于线段ＡＢ下方的点,且点Ｐ不在直线ＯＱ上,∴-4≤x<43-4，或4３-4<x≤8.∵函数y=x2+8x-32在区间［-4,8］上单调递增,∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值30第三章空间向量与立体几何

31空间向量及其运算

311空间向量及其加减运算

1.D2.C3.C4.BB′,CC′,DD′5.AD,CA6.①②③④

7.(1)CA(2)AC（3）0（4）AB

8.作向量OA=a，AB=b，OC=c，则CB就是所作的向量

9.A1B=-a+b-c,AB1=-a+b+c

10.AB.提示：先分别用AB,AD,AA′表示AC′，D′B，再相加

11.（1）AC′.提示：利用MC′=BN（2）A′B′

312空间向量的数乘运算

1.A2.A3.C4.①③5.256.①②③7.（1）AB1（2）NA1

8.MN=-12a-12b+14c9.AM=12a+12b+12c

10.EF=3a+3b-5c.提示：取BC的中点G，利用EF=EG+GF求解

11.提示：（1）由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF直接得出

（2）EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+mk(OB-OA)=kAD+mkAB=kAC 313空间向量的数量积运算

1.D2.C.提示：①②③正确3.D4.-175.①②③65

7.提示：AC²BD′=AC²(BD+DD′)=AC²BD+AC²DD′=0

812.利用PC=PA+AB+BC平方求解

9.14.提示：将a+b=-c两边平方，得a²b=32，再利用cos〈a，b〉=a²b|a||b|求解 10.120°.提示：利用公式cos〈a,b〉=a²b|a||b|求解

112或2.提示：利用BD=BA+AC+CD两边平方及〈BA,CD〉=60°或120°

314空间向量的正交分解及其坐标表示

1.D2.A3.Ｃ4.-３j5.(-2,3,-5)

6.M1(3，-6，9)，M2(-3，-6，9)，M3(3，6，-9)

7.2，-5，-88.AE=-12DA+12DC+DD′;AF=-12DA+DC+12DD′

9.提示：证明AD=2AB+3AC

10.提示：假设{a+b,a-b,c}不构成空间的一个基底，则存在x,y∈R，使得c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,知a,b,c共面，与题设矛盾

11.DM=12a+12b-c；AQ=13a+13b+13c

315空间向量运算的坐标表示

1.C2.C3.D4.(1,4,-1);2355.(2，4，-4)或(-2，-4，4)

6.120°7.(1)(8，-1，1)(2)(5，0，-13)（3）-7（4）-15

8.（1）x=17（2）x=-52

9.［１，５］.提示：|AB|=(3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2+(1-1)2=13-12cos(α-β)

10.65.提示：cos〈a，b〉=a²b|a||b|=-27，得sin〈a，b〉=357，由S=|a|²|b|sin〈a，b〉可得结果

11.(1)证明BF²DE=0

(2)１０１０.提示：分别以DA,DC,DD′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐

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标运算计算得出

单元练习一

1.C2.A3.C4.B5.A6.37.1538.x<-49.213

10.-112AB-13AC+34AD11.13512.17+63

13.90°.提示：(a+b)²(a-b)=a2-b2=0

14.提示：设AB=b，AC=c，AD=d，则b2=d2，(b-c)2=(d-c)2，∴b²c=d²c，而BD²AC=(d-b)²c=d²c-b²c=0，∴BD⊥AC

15.156.提示：不妨设正方体的棱长为１，分别以ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，利用坐标运算计算得出

32立体几何中的向量方法（一）

1.B2.C3.D4.相交（但不垂直）5.互余6.相等或互补

7.-27，37，67或27，-37，-67.提示：所求单位法向量为：±AB|AB|

8.-1或49.814.提示：由题意a∥u，解得x=34，y=9

10.12,-1,1.提示：设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1)，则由n²AB=0且n²AC=0，解得x=12,y=-1

11.垂直.提示：证明n²AB=0且n²AC=0

32立体几何中的向量方法（二）

1.D2.B3.C4.3，25.2π3或π3

6.VOBCD·OA+VOCDA·OB+VODAB·OC+VOABC·OD=0

7.26.提示：利用CD=CA+AB+BD，平方及CA⊥AB，AB⊥BD，CA⊥BD求解

8.x=13+6cosθa.提示：利用AC′=AB+AD+AA′，再平方求解

9.60°.利用AC′=AB+AD+AA′，平方求解

10.a2+b2.提示：利用CD=CA+AB+BD,平方及〈CA,BD〉=120°求解

11.63.提示：连结AC，AC2=(AB+BC)2=3，∴AC=3，又AA′²AC=AA′²(AB+BC)=cos60°+cos60°=1.∴cos∠A′AC=AA′²AC|AA′||AC|=13∴所求距离=|AA′|sin∠A′AC=63 32立体几何中的向量方法（三）

1.B2.D3.B4相等或互补5.30°6.90°

72.提示：∵CD=CA+AB+BD，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l，∴CA²AB=0，AB²BD=0.又CA与BD成60°的角，对上式两边平方得出结论

8.45

9.60°.提示：令C(-2，0)，D(3，0)，利用AB=AC+CD+DB两边平方，及AC⊥CD，CD⊥DB，〈CA，DB〉=θ求解

10.155.提示：以D为原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.可求得平面BB1D的法向量为n=(1，-1，0)，设θ是BE与平面BB1D所成的角，则sinθ=|cos〈BE，n〉|=|BE²n||BE||n|=105.∴cosθ=155

11.22.提示：以A为原点，直线AD，AB，AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知D12，0，0，C(1，1，0)，S(0，0，1)，可知AD=12，0，0=n1是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量n2=(x，y，z).∵SD=12，0，-1，DC=12，1，0，n2²SD=0，n2²DC=0，可推出x2-z=0，x2+y=0，令x=2，则有y=-1，z=1，∴n2=(2，-1，1).设所求二面角的大小为θ，则cosθ=n1²n2|n1||n2|=12³2+0³(-1)+0³112222+12+12=63，∴tanθ=22

32立体几何中的向量方法（四）

1.C2.D3.B4.33a5.246.２27.491717

8.33.提示：以B为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：B(0，0，0)，C(1，0，0)，D(1，1，0)，B1(0，0，1)，则BD=(1，1，0)，B1C=(1，0，-1)，BB1=(0，0，1)，设与BD，B1C

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都垂直的向量为n=(x，y，z)，则由BD²n=0和B1C²n=0，令x=1，得n=(1，-1，1)，∴异面直线BD与B1C的距离d=|BB1²n||n|=33

9.以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，Pa2，0，a2，Qa2，a2，0.设n=(x，y，z)是平面EFB的法向量，则n⊥平面EFB，∴n⊥EF，n⊥BE，又EF=(-a，a，0)，EB=(0，a，-a)，即有-ax+ay=0，

ay-az=0x=y=z，取x=1，则n=(1，1，1)，∵PE=a2，0，a2，∴设所求距离为d，则d=|PE²n||n|=33a 10.33a

（第11题）11.(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3).设F(0，0，z).

∵AEC1F为平行四边形，∴AF=EC1，即(-2，0，z)=(-2，0，2)，∴z=2.∴F(0，0，2).∴BF=(-2，-4，2).于是|BF|=26，即BF的长为26

(2)设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=(x，y，1).由n1²AE=0，

n1²AF=0，得

x=1，

y=-14.又CC1=(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为α，则cosα=CC1²n1|CC1|²|n1|=43333. ∴点C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cosα=43311

32立体几何中的向量方法（五）

1.B2.D3.A4.-１６5.３０°6.①②④

7.不变，恒为90°.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易证明PN²AM恒为0

8.2.提示：设平面ABC的法向量为n，直线PN与平面ABC所成的角为θ，利用sin〈PN，n〉=|PN²n||PN||n|求解

9.155.提示：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知先得出AD=233.易知平面AA1B的一个法向量m=(0,1,0)，设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量，BD=-2,233,0，由n⊥BF,

n⊥BDn²ＢＦ＝０，

n²ＢＤ＝０-x+z=0,

2x-233y=0x=z,

3x=y.不妨设n=(1,3,1)，所以cos〈m,n〉=m²n|m||n|=155

10.255.提示：点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的长度，所以距离=|AB²cos〈AB,n〉|=|AB²n||n|=255，所以点A到平面BDF的距离为255

11.(1)60°.提示：以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AC=AB=A1A=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，A1(0，0，2)，G(0，2，1)，

∴AE=(1，1，0)，A1C=(0，2，-2)，∴cos〈AE，A1C〉=AE²A1C|AE||A1C|=12

(2)66.提示：设平面AGE的法向量为n1=(x，y，z)，则AG²n1=0，AE²n1=0，令x=1，得n1=(1，-1，2)，又平面AGC的法向量为n2=(1，0，0)，∴cos〈n1，n2〉=n1²n2|n1||n2|=66

(3)66.提示：∵平面AGE的法向量为n1=(1，-1，2)，AC=(0，2，0)，∴sin〈AC，n1〉=|AC²n1||AC||n1|=66

单元练习二

1.D2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.A9.B10.A

11.229,329,-42912.21513.54,7214.-4或x=1

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15.π216.①③17.43,43,8318.337,-157,-319.不共面

20.以点C为坐标原点，以CA，CB分别为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，设EA=a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0).

(1)∵EM=(-a，a，-a)，CM=(a，a，0)，∴EM²CM=0，故EM⊥CM

(2)设向量n=(1，y0，z0)与平面CDE垂直，则n⊥CE，n⊥CD，即n²CE=0，n²CD=0. ∵CE=(2a,0,a),CD=(0,2a,2a),∴y0=2,z0=-2,即n=(1，2，-2)，

∴cos〈n，CM〉=CM²n|CM|²|n|=22，则所求的角是45°

21.（1）略（2）24(3)217

（第22题）22.（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设A(a,0,0)，S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0)，Ｅa,a2,0,F0,a2,b2,EF=-a,0,b2.取SD的中点G0,0,b2，则AG=-a,0,b2.

∴EF=AG,EF∥AG,又AG平面ＳＡＤ，ＥＦ平面ＳＡＤ，

∴EF∥平面SAD

（2）33.提示：不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E1,12,0,F0,12,1,EF的中点M12,12,12，MD=-12,-12,-12,EF=(-1,0,1),MD²EF=0,∴MD⊥EF.又EA=0,-12,0,EA²EF=0,∴EA⊥EF.所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．

cos〈MD,EA〉=MD²EA|MD|²|EA|=33，所以二面角AEFD平面角的余弦值为33 综合练习（一）

1.C2.A3.B4.C5.A6.B7.D8.C9.B10.B

11.若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0(a,b∈R)12.4或-5413.-4<k<-1,或k>1

14.-83

15.925.提示：以点Ｄ为坐标原点，分别以ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(4,0,3)，B(4,4,0),B1(4,4,3),C(0,4,0),得A1B=(0,4,-3),B1C=(-4,0,-3).设A1B与B1C的夹角为θ，则cosθ=A1B²B1C|A1B|²|B1C|=925

16.y216-x29=1,y240+x215=1.提示：由共同的焦点F1(0,-5)，F2(0,5),可设椭圆方程为y2a2+x2a2-25=1，双曲线方程为y2b2-x225-b2=1

17.y2=-4x,或y2=12x.提示：设抛物线的方程为y2=2mx，则y2=2mx,

y=2x+1,消去y得4x2-(2m-4)x+1=0,|AB|=1-k2|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=15,则m24-m=3,m2-4m-12=0,m=-2或6，∴y2=-4x,或y2=12x

18.163.提示：a=3,c=5,不妨设PF1>PF2,则PF1-PF2=2a=6,F1F22=PF21+PF22-2PF1²PF2cos60°,而Ｆ１Ｆ２＝2c=10,得PF21+PF22-PF1²PF2=(PF1-PF2)2+PF1²PF2=100,

PF1·PF2=64,S=12PF1·PF2sin60°=163

19.提示：以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).

（1）∵A1C1=(-1,1,0),AC=(-2,2,0),D1B1=(1,1,0),DB=(2,2,0).∴AC=2A1C1,DB=2D1B1.∴AC与A1C1平行，ＤＢ与Ｄ１Ｂ１平行，于是Ａ１Ｃ１与ＡＣ共面，Ｂ１Ｄ１与ＢＤ共面 （２）ＤＤ１²ＡＣ＝０，ＤＢ²ＡＣ＝０，∴DD1⊥AC,DB⊥AC.DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线．∴AC⊥平面B1BDD1．又ＡＣ平面Ａ１ＡＣＣ１，∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

20.-15.提示：AA1=(-1,0,2),BB1=(-1,-1,2),CC1=(0,-1,2).设n=(x1,y1,z1)为平面A1ABB1的法向量,则n²AA1=-x1+2z1=0,n²BB1=-x1-y1+2z1=0.于是y1=0，取z1=1，得x1=2,故n=(2,0,1).设m=(x2,y2,z2)为平面B1BCC1的法向量，m²BB1=-x2-y2+2z2=0,m²CC1=-y2+2z2=0.于是x2=0，取z2=1，则y2=2，m=(0,2,1)，cos〈m,n〉=m²n|m||n|=15．∴二面角ABB1C的平面角的余弦值为-15

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综合练习（二）

1.D2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.A9.A10.D

11.(±7,0)12.1或213.y2=12(x+3)14.-13,13,-13

15.x=-3,-2,-1,0,1,2,3,4.提示：“

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