高中数学必修1-5知识点归纳

第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合

1、 把研究的对象统称为体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：N*或N ，整数集合：

f x1 f x2 =…

§1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数f x 的定义域内任意一个

x，都有f x f x ，那么就称函数f x 为

偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数f x 的定义域内任意一个

Z，：Q，：R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任

意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作A B.

2、 如果集合A B，但存在元素x B，且x A，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

.并规定：3、 把不含任何元素的集合叫做记作：

空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子集.

§1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合，称为集合A与B的并集.记作：A B. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合，称为A与B的交集.记作：A B. 3、全集、补集？CUA {x|x U,且x U} §1.2.1、函数的概念

1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f x 和它对应，那么就称f:A B为集合A到集合B的一个函数，记作：y f x ,x A.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值

1、 注意函数单调性证明的一般格式：

解：设x1,x2 a,b 且x1 x2，则：

n

x，都有f x f x ，那么就称函数f x 为

奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果x a，那么x叫做a 的n次方根。

其中n 1,n N . 2、 当n为奇数时，an a；

当n为偶数时，a a. 3、 我们规定： ⑴a

n

m

n

n

an

*

a 0,m,n N

⑵a

n

,m 1；

1

n 0 ； na

r s

4、 运算性质： ⑴aa a

⑵ar

r

s

a 0,r,s Q ；

s

ars a 0,r,s Q ；

⑶ ab arbr a 0,b 0,r Q .

r

§2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象：y a a 0,a

1

x

§2.2.1、对数与对数运算

- 1 -

1、ax N logaN x； 2、a

logaN

a.

3、loga1 0，logaa 1.

4、当a 0,a 1,M 0,N 0时： ⑴loga MN logaM logaN； ⑵log M

a

N

logaM logaN； ⑶logaMn nlogaM. 5、换底公式：logcb

ab

loglog ca

a 0,a 1,c 0,c 1,b 0 .

6、logab

1

log

ba

a 0,a 1,b 0,b 1 . §2..2.2、对数函数及其性质

1、 记住图象：y loga

x a 0,a 1

§2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

第三章、函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程f x 0有实根

函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点.

2、 性质：如果函数y f x 在区间 a,b 上的图象

是连续不断的一条曲线，并且有f a f b 0，那么，函数y f x 在区间 a,b 内有零点，即存在c a,b ，使得f c 0，这个c也就是方程f x 0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.

圆柱、圆锥、圆台、球。 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围

成的多面体叫做棱柱。

截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

⑴圆柱侧面积；S侧面 2 r l

- 2 -

那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直。

⑵圆锥侧面积：S侧面

r l

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。

⑶圆台侧面积：S侧面 r l R l ⑷体积公式：

第三章：直线与方程

1k tan 2

⑴点斜式：y y0 k x x0 ⑵斜截式：y kx b

y2 y1

x2 x1

1

V柱体 S h；V锥体 S h；

3

1

V台体 S上 S上 S下 S下h

3

⑸球的表面积和体积：

4

S球 4 R2，V球 R3.

3

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条

直线在此平面内。

⑶两点式：

y y1x x1

y2 y1x2 x1

⑷一般式：Ax By C 0 3

2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它

们有且只有一条过该点的公共直线。

l1:y k1x b1,l2:y k2x b2有：

⑴l1//l2

4平行于同一条直线的两条直线平行.

5空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这

两个角相等或互补。

k1 k2

；

b1 b2

6平行、相交、异面。

7直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

⑵l1和l2相交 k1 k2； ⑶l1和l2重合

8平行、相交。 9

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行。

k1 k2

；

b1 b2

⑷l1 l2 k1k2 1. 4

10

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行。

l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0

⑴l1//l2

有：

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

它们的交线平行。

A1B2 A2B1

；

B1C2 B2C1

11

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，

- 3 -

⑵l1和l2相交 A1B2 A2B1；

A1B2 A2B1

⑶l1和l2重合 ；

B1C2 B2C1

⑷l1 l2 A1A2 B1B2 0. 5

1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

P x,y ，那么：

sin y,cos x,tan

y. x

2、 设点A x0,y0 为角 终边上任意一点，那么：（设

22

r x0 y0）

P1P2

x2 x12 y2 y12

6

sin

d

Ax0 By0 CA B

2

2

y0xy

，cos 0，tan 0. rrx0

第四章：圆与方程

1

⑴标准方程： x a y b r

2

2

2

3、 sin ，cos ，tan 在四个象限的符号和三角

函数线的画法. 4、 诱导公式一：

⑵一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0. 2d O1O2 ⑴外离：d R r； ⑵外切：d R r；

⑶相交：R r d R r； ⑷内切：d R r； ⑸内含：d R r.

3

sin 2k sin ,

cos 2k cos ,（其中：k Z） tan 2k tan .

5、 特殊角

2

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

2

2

P1P2

x2 x12

y2 y1 z2 z1

1、 ：sin cos 1. 2、 ：tan

2

第一章、三角函数 §1.1.1、任意角

1、 . 2、 与角 终边相同的角的集合：

sin

. cos

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：

2k ,k Z .

sin sin , cos cos ,

tan tan .

2、诱导公式三：

§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做的角. 2、

l. r

sin sin , cos cos ,

tan tan .

3、诱导公式四：

n R

R. 3、弧长公式：l 180

n R21

lR. 4、扇形面积公式：S

3602

§1.2.1、任意角的三角函数

- 4 -

sin sin , cos cos ,

tan tan .

4、诱导公式五：

sin cos , 2

cos sin . 2

5、诱导公式六：

y Asi n x b的图象之间的平移伸缩变

换关系.

2、 对于函数：

y Asin x b A 0, 0 有：振幅A，

周期T

f T

sin cos , 2

cos sin . 2

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：

定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图.

§1.4.2、正弦、余弦函数的性质

1、 周期函数定义：对于函数f x ，如果存在一个非

零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ，那么函数f x 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：

2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、

值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. §1.5、函数y Asin x 的图象

2

2，初相 ，相位 x ，频率

.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示

1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三

个要素：起点、方向、长度. 2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称

模），

；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共

线向量）.规定：零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量

1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、

.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义

1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义

1、 规定：实数 与向量的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作： ，它的长度和方向规定如下：

⑴

⑵当 0时, 的方向与

的方向相同；当

1、 能够讲出函数y sinx的图象和函数

- 5 -

0时, a的方向与a的方向相反.

2、 平面向量共线定理：向量aa 0与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 . §2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两

个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，5、 a b a b 0.

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 x1,y1 , x2,y2 ，则：

⑴ x1x2 y1y2

x12 y12

⑶a b x1x2 y1y2 0 有且只有一对实数 1, 2，使 1e1 2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a xi yj x,y . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设a x1,y1 ,b x2,y2 ，则： ⑴a b x1 x2,y1 y2 ，

⑵ x1 x2,y1 y2 ， ⑶ x1, y1 ， ⑷// x1y2 x2y1. 2、 设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则： AB x2 x1,y2 y1 . §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ，则

⑴线段AB中点坐标为

x1 x22,y1 y2

2

， ⑵△ABC的重心坐标为x1 x2 x3

3,y1 y2 y33

.

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、

.

2、 在

. 3、

a2

. 4、

.

2、 设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则：

x2 x12 y2 y12.

§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换

§3.1.1、两角差的余弦公式

1、cos cos cos sin sin

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、cos cos cos sin sin 2、sin sin cos cos sin 3、sin sin cos cos sin 4、tan tan tan

.

5、tan tan tan

1 tantan.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、sin2 2sin cos ， 变形：sin cos 1sin2 . 2、cos2 cos2

sin2

2cos2 1 1 2sin2 ，

- 6 -

变形1：cos2 ，

2

变形2：sin2 .

2

3、tan2

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵通项公式：an a1qn 1

. 1 tan2

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次.

a1 anqa11 qn

⑶求和公式：Sn

1 q1 q

1、

第一章：解三角形

当a,b 0时，a b 2ab

当且仅当a b时取等号 当且仅当a b时取等号

2

abc

2R. sinAsinBsinC

2、

当a,b R时，a2 b2 2ab

a2 b2 c2 2bccosA,b2 a2 c2 2accosB, c a b 2abcosC.

b2 c2 a2

cosA ,

2bca2 c2 b2

cosB ,

2aca2 b2 c2

cosC .

2ab

2

2

2

a2 b2 a b

3、变形：ab ,ab

22

S ABC

11

absinC bcsinA acsinB 222

第二章：数列

,当n 1时， S1

an

Sn Sn 1,当n 1时.

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式：an a1 (n 1)d ⑶求和公式：

Sn na1

a an nn n 1 d 1

22

- 7 -

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