高中数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结

解直角三角形...............2

数列.......................5

不等式.....................11

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解三角形复习知识点

一、知识点总结

【正弦定理】

1．正弦定理:

abc???2R (R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式：

abc； ,sinB?,sinC?2R2R2Ra?b?c?2R ；（4）iiia?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC??sinA?sinB?sinC?i?a?b?c?sinA?sinB?sinC；?ii?sinA?3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

?a2?b2?c2?2bccosA?2221．余弦定理： ?b?a?c?2accosB

?c2?b2?a2?2bacosC?2.推论：

?b2?c2?a2?cosA?2bc?

a2?c2?b2?

. ?cosB?

2ac?

?b2?a2?c2?cosC?

2ab?

设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则： ①若a?b?c，则C?90； ②若a?b?c，则C?90； ③若a?b?c，则C?90．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

222222222

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

2

1.S?1aha?1absinC?1r(a?b?c)（其中r为三角形内切圆半径）

2222.设p?1(a?b?c),S?2p(p?a)(p?b)(p?c)

【三角形中的常见结论】

）A?B?C??（1(2)

sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BC?cos,cos?sin;sin2A?2sinA?cosA, 2222（3）若A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC 若sinA?sinB?sinC?a?b?c?A?B?C （大边对大角，小边对小角）

（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60

(6) 锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.

钝角三角形?最大角是钝角?最大角的余弦值为负值 （7）?ABC中，A,B,C成等差数列的充要条件是B?60.

(8) ?ABC为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列. 二、题型汇总

题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

???a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形（2）在?ABC中，由余弦定理可知:a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形

a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形（注意：A是锐角??ABC是锐角三角形）

(3) 若sin2A?sin2B，则A=B或A?B??23

.

例1.在?ABC中，c?2bcosA，且(a?b?c)(a?b?c)?3ab，试判断?ABC形状.

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

例2.在?ABC中，a?1，b?3，?A?300，求的值

例3.在?ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c?2，C??3．

（Ⅰ）若?ABC的面积等于3，求a,b；

（Ⅱ）若sinC?sin(B?A)?2sin2A，求?ABC的面积．

题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左?右，（2）右?左，（3）左右互相推.

例4.已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：a?bcosC?ccosB.

题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角 俯角 方向角 方位角 视角

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

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数列知识点

1. 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 前n项和Sna1?an?n???na2n?n?1?d 1?2性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m?1? bmT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负

分界项，

?an?0即：当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值.

a?0?n?1?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值.

?an?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，有

S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)

S偶?S奇?nd，

S奇S偶?an. an?15

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