理论力学典型解题方法

理论力学典型解题方法

（内部资料，仅供重庆理工大学本课堂学生参考）

第1章 静力学公式和物体的受力分析

一 问题

问题1：有哪五大公理，该注意哪些问题？ 答：五大公理（静力学） （1）平行四边形法则

（2）二力平衡公理（一个刚体）

?①一个刚体 ?共线?②大小相等，方向相反，（3）力系加减平衡原理（一个，刚体）

力的可传递性（一个刚体）

三力汇交定理 1.通过汇交面 2.共面 （4）作用与反作用力（运动学、变形体） （5）刚化原理

问题2：画受力图步骤及应注意的问题？ 答：画受力图方法

原则：尽量减少未知力个数，使得在做题的第一步就将问题简化，以后根据力学原理所列的方程数目就少一些，求解就方便一些。

步骤：

a）根据要求，选取研究对象,去掉约束，先画主动力 b）在去掉约束点代替等效的约束反力

c）用二力轩、三力汇交，作用力与反作用力方法减少未知量个数，应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考。

d）用矢量标识各力，注意保持标识的一致性。对于未知大小，方向的力将它设为Fx，Fy再标识出。

问题3：约束与约束力及常见的约束（详见课本）

物体（系）受到限制就为非自由体，这种限制称为约束，进而就有约束力（约束反力）。 一般，一处约束就有一处约束力。

二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

[例1]由哈工大1-2（k）改编;如图，各处光滑，不计自重。

1）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图； 2）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（带销钉C）的受力图； 3）画出整体，AC（带销钉C）,BC（不带销钉C）的受力图。

[解法提示]：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力个数。1）由整体利用三力汇交确定FA方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（不带销钉C）也三力汇交。

（a） (b) (c) (d)

2）由整体利用三力汇交确定FA方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。BC（带销钉C）不能用三力汇交。具体参考1）

3）由整体利用三力汇交确定FA方向，BC（不带销钉C）可用三力汇交。AC（带销钉C）不能用三力汇交。

[例2]如图，各处光滑，不计自重。

1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图； 2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）的受力图；

3）画出整体，AB（带销钉B）,BC（不带销钉B）的受力图。

[解法提示]： 1）由B点的特点，可用三力汇交确定FA方向。同样，由C点的特点，可用三力汇交确定FB方向。

（a） (b) (c) (d)

2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反作用力。注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。

[例3] 如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。

[解法提示]： 1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。 [例4] 如图. 各处光滑，不计自重。

画受力图：构架整体、杆AB、AC、BC（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C

[解法提示]： 先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。依次由a)~f)作图。

（a） (b)

(c)

(d)

(e) (f)

第2章 平面力系的简化和平衡

一 问题

问题1：本章注意问题有哪些？ 1）找出二力轩

2）约束力画正确

3）①平面汇交力系：2个方程?能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）

n1

平面力偶系： 1个方程?2个？ n2 平面平行力系：2个方程?2个？ n3 平面任意力系：3个方程?3个？ n4

?一个系统总的独立方程个数为：

2n1?n2?2n3?3n4?能且只能求得相应数目？

②任意力学列方程方法 a) 一矩式

b）二矩式 AB不?y（力投影轴） c）三矩式 ABC不共线

注：a) ，b），c）可以相互推导得出，在推导的过程中会发现这些限制条件，应注意，否则会线性相关。

③具体对一个问题分析时注意

（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部 ：方程2

方程1+方程2＝整体方程 是不行的

（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对

应方程

说明：方程1+方程2＝整体方程，局部1，与局部2为整体的分离体，其中包含了两者间的内力，相加后消除内力，就推导出整体方程。 问题2：如何取研究对象，如何列方程 答：㈠、原则：（1）尽量列最少数目的方程

只包含待求未知量（优先） 尽量让每个方程能解出一个未知量 ㈡、解题思路（重要）:

a)先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。 b)从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D处,对点D 取

矩，依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。一般常用此方法。(本书称为顺藤摸瓜法)。

c) 若存在n个闭合回路，一般至少要多补充n个多余的方程，其中图中那些方向已知的力的信息必须加以利用，比如向其垂线投影。若不用此信息，此题一般无法求解，因为正是此信息才决定该结构不是其他结构，只有解题时体现其特殊性问题才能求解。 ㈢、如何用一个方程解一个未知量：

（1）向不待求未知量垂线投影 （2）在不待求未知量交点处取矩

问题3：平面桁架关键问题有哪些？ 答：解题方法 1）??节点法：汇交力系???能且只能列2个独立方程。3个独立方程?截面法：平面任意力系???能且只能列

2）先找出零力杆。

3）（从整体 到 局部）先看整体能求出几个未知量（备用）,找出零力杆 4）再从局部出发，一般先采用截面法。采用截面法应从以下原则入手：

a）一次截出3个未知量（因为平面任意力系最多只能列出3个方程）,并最大限度包含待求未知量（目的是使方程个数最少）。

b）在使用截面法，截出3个未知量后，若求其中一个未知量，则另2个未知量要么平行，要么相交。则可

影?①对不待求未知量垂线投?尽量一个方程 解出一个未知量 ?取矩?②对不待求未知量汇交点5）注意零力杆判别

① ③ ①

① ② ②

F

②

二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

（一）平面任意力系例题

【例1】如图.各处光滑，不计自重。结构尺寸如图，C、E处为铰接；已知：P = 10 kN，M = 12 kNm。求A、B、D处的支座反力。

【DE杆】

[解法提示]： 总共5个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程:

?ME?0,【BC杆】?MC?0。

答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN 【说明】何锃课后习题2.14与此类似解法。

【例2】如图.各处光滑，不计自重。静定刚架尺寸如图所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在销钉C上。 1）求销钉C对AC杆的约束力。

充2个方程即可:【销钉C+BC杆】答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN

[解法提示]： 总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补

?MB?0,【AC杆不带销钉C】?MA?0。

2）若仅求销钉C对BC杆的约束力。与上述类似，【销钉C+AC杆】【BC杆不带销钉C】

?MA?0,

?MB?0。

3）若仅求A约束力。【AC杆】4）若仅求B约束力。【BC杆】

?M?MC?0,【AC+BC】?MB?0。 ?0,【AC+BC】?MA?0。

?0。

C4）若同时求A、B约束力。总共4个？，先对整体3个方程，再从局部（顺藤摸 瓜）补充1个方程即可:如【BC杆】或【AC杆】

?MC?0，有人问，那为什么不可将这几个方程同时列出呢？因为那样将有5

?MC个方程解4个未知量，没必要。

【说明】哈工大第6版课后习题3-12,3-13,3-26,3-29与此类似解法。 [3-29改编]:

1)仅求A的约束反力。

[解法提示]： 总共3个？，按顺藤摸瓜法，尽量不引入不待求未知量，补充3个方程即可:

先整体，【ABCD】

?MD?0,再局部【AB】?MB?0,【ABC】?MC?0,

2）若仅求B对AB约束力。局部，取【AB】将引入不待求未知量MA,故【带销钉B+BC杆】

?MC?0,【带销钉B+BCD杆】?MD?0.

【例3】由何锃例2.7改编;如图. 均质小车重P，如图所示放在组合梁ACB上，BD杆上作用形状为直角三角形、强度为q的分布力；杆重不计，求支座A、D的反力。

[解法提示]： 总共5个？，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补

充2个方程，但因为小车与AC、CB形成闭合回路，不可避免引入CB与小车间FK,故需补充3个方程:【BD杆】

?MB【小车】?MH?0。 ?0,【CBD】?MC?0。

答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L）,FDX= ql/6+Ga/(2L）,FDY= Ga/(2L） 【说明】哈工大第6版课后习题3-11; 何锃课后习题2.11与此类似解法。

【例4】结构及其尺寸、载荷如图。已知Q = 1000 N，P = 500 N，力偶矩m = 150 N?m。 1）求销钉B对杆BC的作用力。

[解法提示]： 总共2个？，先对整体3个方程没用，故从局部（顺藤摸瓜）补 充2个方程即可:【不带销钉B的BC杆】杆】

?MD?0。

?MC?0,【不带销钉B的BC杆+轮C+绳+Q+DC

答案:FBCX=500N,FBCY=500N.

2）若仅求B对杆BA的作用力。与上述类似，但须引入FA，【整体】藤摸瓜）补充2个方程。【不带销钉B的BA杆】

3）若仅求销钉C对杆DC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,

故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BD杆】

轮C+绳+Q】

?MC?0.为了得到FA,。

?MD?0,【不带销钉B的BA杆+ DC杆】

?MD?MB?0局部（顺

，

?0【BC杆+

4）若仅求销钉C对杆BC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,

故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【BC杆】

轮C+绳+Q】

?MB?0。

5）若仅求销钉D对杆DC的作用力。与上述1)类似，总共2个？，先对整体3个方程没用,故从局部（顺藤摸瓜）补充2个方程。【DC杆】【说明】何锃课后习题2.12与此类似解法

【例5】如图. 构架ABC由三杆AB、AC和DF组成，杆DF上的销子E可在杆AB光滑槽内滑动，构架尺寸和载荷如图示，已知m?2400 N?m，P?200 N，试求固定支座B和C的约束反力。

?MD?0。

?MB?0【DC杆+

?MC【BC杆+轮C+绳+Q+DC杆】?0,?MB?0

[解法提示]： 总共4个？，先对整体3个方程,再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，但因为AEG形成闭合回路，不可避免引入FE,故需补充2个方程:【BA杆】

?MG?0。 共5个方程即可。

?MA?0,【DF+AC】

答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N 若仅求G对EF的作用力？

总共2个？，【DF】3个方程，三个？，故不需对整体，局部【EF杆】方向，∑F=0.

【说明】1)哈工大第6版课后习题3-20与此类似解法。 2）何锃课后习题2.21. 与此类似解法。

[2.21] 物体重Q?12 kN，由杆AB、BC和CE组成的支架和滑轮E支持如图示，已知

?MG?0，

沿AB

AD?BD?2 m，CD?DE?1.5 m，不计杆与滑轮的重量，求支座A的约束力以及BC的内力。

[解法提示]： 总共3个？，先对整体2个有用方程, 尽量不引入FB, 【整体】

?MB【CE】?MD?0, 共3个?0,?X?0，再从局部（顺藤摸瓜）补充1个方程，

方程即可。

若仅求D对CE的作用力？用两个方程。 【例6】哈工大第6版课后习题3-19:

再补充1个，【DF】

[解法提示]： 总共6个？，先整体列2个方程. 顺藤摸瓜，局部，[AB]可列3个独立方程，

?0。思考：如下解法正确吗？为什么？总共6个？， 因为AB

包含所有未知力，取[AB]可列3个独立方程，还差3个。按顺藤摸瓜法，【整体】?MC?0,【DF+AC】?MC?0，【DF】?ME?0。 共6个方程即可。

E?M答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a. 【说明】1)哈工大第6版课后习题3-24与此类似解法：

个。按顺藤摸瓜法，【整体】

[解法提示]： 总共5个？， 因为AB包含所有未知力，取[AB]可列3个独立方程，还差2

?ME?0,【DB】?MD?0。 共5个方程即可。

【例7】 AB、AC、BC、AD四杆连接如图示。水平杆AB上有铅垂向下的力P作用。求证不论（只允许列三个方程求解）。 P的位置如何，AC杆总是受到大小等于P的压力。

[解法提示]：求FAC，但FAC与[AD]、[AB]相关，单独分别取[AD]或[AB]，必将引入A点AD或AB的作用力，不能直接求出FAC。按顺藤摸瓜法，为了不引入A点AD或AB的作用力，故取[DAB],则将在点B、D、 E引入未知力。而E点力最多，故【DAB】FB、FD，再次把其当作待求量，按顺藤摸瓜法，

?ME?0。对引入的

得到【BA杆】（2）[BC};

【补充】如何用4个方程求E处作用力？【解】除了上述2个外，补充【AD】:

?MA?0,【整体】?MC?0。共3个方程即可。

【思考】:(1)如何用4个方程求[CB]的C处作用力？（2） 如何用4个方程求[AD]的A处作用力？（3）为什么需要4个？答：若仅BC则1个闭合回路，再加上AD,则2个闭合回路，外加待求的2个未知力。故需要4个方程。 【例8】

?MC?0

?MA?0;

[解法提示]： 总共2个？，但因为DGC形成1个闭合回路，不可避免引入FB,故需列3个方程:按顺藤摸瓜法，【DCB】个方程即可。

答案:FDX=37.5N,FDY=75N

注：一般串联结构可以几个？就列几个方程；并联结构则可能引入不待求量。

【例9】组合结构的荷载及尺寸如图，长度单位为m，求支座反力及二力杆1，2，3，4的内力。

?MC【整体】?MA?0。 共3?0,【DCB+FC】?ME?0，

[解法提示]： 总共7个？，先对整体3个方程,可求出支座反力。再从局部（顺藤摸瓜）补充4个方程。因为二力杆1，2，3，4与DE相关，故取【DE杆】可列3个方程，再补充一个即可。同样，顺藤摸瓜，取【3，4+CB杆】:

?MC?0.

（二）平面桁架例题

【例1】

【切断AD、CD、CF，取右边部分】：

[解法提示]： 按解题套路，先去除[CE]上部所有的的0杆，进一步确定[DE]为0杆（去掉）。

?MB?0。答案:FD=?3/2F

【例2】桁架由边长为a的等腰直角三角形为基本单元构成，已知外力F1?10 kN，

F2?F3?20 kN。求4、5、7、10各杆的内力。

[解法提示]： 按解题套路，先由整体得到FB,尽量用最少方程求解。故 [整体;

【切断4、5、6，取右边部分】：【切断6、7、8，取右边部分】：得到F10.

答案:F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-11.83KN,F10=51.83KN.

【例3】哈工大第6版课后习题3-38。求1、2、3杆的内力

?MA?0]

【切断8、9、10，取右边部分】：?Y?0得到F7. ?M?MK?0得到F4, ?Y?0得到F5.

G?0

[解法提示]： 按解题套路，先去除[AE]左边所有的的0杆，再尽量用最少方程（3个）求解。故【切断AB、3、FB，取上边】：

?MK?0得到F2, 由点F得到F1,F2.

答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.

【说明】1)哈工大第6版课后习题3-37与此相同。3-34，3-36类似解法：

2)

若求FAB,FBC,F3,(何锃课后习题2.17(b)),与此类似：求出FBF和地面对B点的力后，用节

点法即可求得FAB,FBC 【例2。18何锃】

（三）其他题型

答：应用合力矩定理求合力作用线方程。【例1】何锃例题2.2. 如图平衡系统中，大小相同的矩形物块AB和BC上分别作用力偶M1、M2，M1?M2?M。不计重力，求支座

A、C的约束力。

[解法提示]：1) 若按一般常规方法，A、C点总共4个？，先对整体3个方程,再对【AB杆】:

?MB?0。此方法与以前方法一样，思路清晰，故本书推荐此法。

2）方法2:利用二力平衡，确定FA、FC方向, 再用力偶平衡理论作。此方法不易想到，仅对特殊题目适用。

【例2】合力作用线方程，何锃例题2.4. 如图的平面一般力系由力F1,F2,F3和力偶M组成，已知各力F1?73N，F2?100N，F3?200N，汇交点A的坐标为(5,5)，单位为m，力偶矩M?400Nm。求该力系的合力作用线方程。

解略。

三 其他类似典型习题（若读者对上述方法已很熟练，可跳过此部分）

（一）平面任意力系（来自哈尔滨工业大学理论力学（第七版）课后题）

【1】

3-19 构架由杆 AB，AC 和 DF 铰接而成，如图 3-19a 所示，在杆 DEF 上作用 1 力偶矩为 M 的力偶。各杆重力不计，求杆 AB 上铰链 A，D 和 B 受力。

[解法提示]：求杆 AB 上铰链 A，D 和 B 的共6个未知力，故需列6个方程。 按解题套路，

【先整体：3个方程，未引入新的未知量一个Fc可贡献2个方程，【再DF:

【再AB:3个方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可用】，

?MC， ?0,?X?0】

?ME?0】

【2】

3-20 构架由杆 AB，AC 和 DF 组成，如图 3-20a 所示。杆 DF 上的销子 E 可在杆 AC的光滑槽内滑动，不计各杆的重量。在水平杆 DF 的一端作用铅直力 F，求铅直杆 AB 上铰链 A，D 和 B 受力。

[解法提示]：求杆 AB 上铰链 A，D 和 B 的共6个未知力，故需列6个方程。 按解题套路，

【先整体：3个方程，未引入新的未知量2个（C处），可贡献1个方程，【再AB:3个方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可用】， 【再DF：未引入新的未知量1个（FE），可贡献2个方程:

?MC， ?0,】

?ME?0,???0(??FE)】

【说明】:E处力的方向已给，一般必须利用此信息，否则，题目信息不足，无法求解（在【方法中已提到】） 【2】

3-21 图 3-21a 所示构架中，物体重 P=1 200 N，由细绳跨过滑轮 E 而水平系于墙上， 尺寸如图。不计杆和滑轮的重力，求支承 A 和 B 的约束力，以及杆 BC 的内力 。

[解法提示]：求四个个未知力，故需列4个方程。 按解题套路， 【先整体：3个方程】

【再CE+轮E:3个方程包含D处2个新的未知量，可贡献1个方程：

?MD?0】

【3】

3-26 图 3-26a 所示结构由直角弯杆 DAB 与直杆 BC、CD 铰链而成，并在 A 处与 B 处用固定铰支座和可动铰支座固定。杆 DC 受均布载荷 q 的作用，杆 BC 受矩为 M???qa 的力偶作用。不计各构件的自重。求铰链 D 受力。 [解法提示]：求2个个未知力，故需列2个方程。 按解题套路， 【先整体：3个方程,自身有3个未知力，无用】 【再DC: 【4】

?MC?0】,【再DCB:?MB?0】

3-28 图 3-28a 所示结构位于铅垂面内，由杆 AB，CD 及斜 T 形杆 BCE 组成，不计各杆的自重。已知载荷 F1 ， F2 和尺寸 a ，且 M???F1a ， F2 作用于销钉 B 上，求：（1）固定端 A 处的约束力；（2）销钉 B 对杆 AB 及 T 形杆的作用力。 [解法提示]：(1)若仅求固定端 A 处的约束力，3个个未知力，故需列3个方程。 按解题套路，【AB：

?MB?0],【再ABC:?MC?0】,【再ABCD:?MD?0】

(2)若仅求销钉 B 对杆 AB 杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，顺

?0,不行，因为A处有无法消除的未知力偶矩M],故【销钉

B+BC:?MC?0】,【再销钉B+BC+CD:?MD?0】

藤摸瓜。【AB：

A?M(3)若仅求销钉 B 对T 形杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，【BC(无销钉B): 【5】

?MC?0】,【再BC+CD(无销钉B):?MD?0】

3-29 图 3-29a 所示构架，由直杆 BC，CD 及直角弯杆 AB 组成，各杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。销钉 B 穿透 AB 及 BC 两构件，在销钉 B 上作用 1 铅垂力 F 。已知 q ，a ， M ，且 M???qa 2 。求固定端 A 的约束力及销钉 B 对杆 CB，杆 AB 的作用力。

[解法提示]：(1)若仅求固定端 A 处的约束力，3个个未知力，故需列3个方程。 按解题套路，【AB：

(3)若仅求销钉 B 对杆 AB 杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，顺

?MB?0],【再ABC:?MC?0】,【再ABCD:?MD?0】

A?0,不行，因为A处有无法消除的未知力偶矩M],故【销钉B+BC:?MC?0】,【再销钉B+BC+CD:?MD?0】

藤摸瓜。【AB：销钉B): 【6】

?M(2)若仅求销钉 B 对CB 形杆的作用力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，【BC(无{说明}：可以看出，按本文的解题思路，此题解法与上题几乎完全一样。

?MC?0】,【再BC+CD(无销钉B):?MD?0】

3-30 由直角曲杆 ABC，DE，直杆 CD 及滑轮组成的结构如图 3-30a 所示，杆 AB 上作用有水平均布载荷 q 。不计各构件的重力，在 D 处作用 1 铅垂力 F，在滑轮上悬吊一重为 P的重物，滑轮的半径 r???a ，且 P???2F ， CO???OD 。求支座 E 及固定端 A 的约束力。

{说明}：可以看出，该题实际上就是前文【例3】演变而来。方法自然同【例3】。实际上，读者只需作几道典型问题，其他题目进图形表面不同而已，按本文的扥分析思路，将发现其实际是相同的。如上述几题。

前文例3图 【7】

3-31构架尺寸如图 3-31a 所示（尺寸单位为 m），不计各杆的自重，载荷 F???60 kN 。

求铰链 A，E 的约束力和杆 BD，BC 的内力。

[解法提示]：6个未知力，列6个方程即可。【整体】、【AB】、【EC】，每个均可列3个方程，3选2即可。

【说明】(1)若仅求杆 BD，BC 的内力，2个未知力，故需列2个方程。 按解题套路，【AB：

?MA?0],【再EC:?ME?0】

【8】

3-32构架尺寸如图 3-32a 所示（尺寸单位为 m），不计各构件自重，载荷 F1???120 kN ， F2???75 kN 。求杆 AC 及 AD 所受的力。

[解法提示]：2个未知力，列2个方程,但因为闭合回路，且D处力方向一致，一般需利用，故列3个方程。【整体： 【9】

?MA,【AD+AC+CD：,【AD+AC+CD+BC：, ?0】?MC?0】?MB?0】

3-32构架尺寸如图 3-32a 所示（尺寸单位为 m），不计各构件自重，载荷 F1???120 kN ， F2???75 kN 。求杆 AC 及 AD 所受的力。

[解法提示]：2个未知力，列2个方程,但因为闭合回路，且D处力方向一致，一般需利用，故列3个方程。【整体：

?MA,【AD+AC+CD：,【AD+AC+CD+BC：, ?0】?MC?0】?MB?0】

（二）平面桁架（来自哈尔滨工业大学理论力学（第七版）课后题）

【1】

3-19 构架由杆 AB，AC 和 DF 铰接而成，如图 3-19a 所示，在杆 DEF 上作用 1 力偶矩为 M 的力偶。各杆重力不计，求杆 AB 上铰链 A，D 和 B 受力。

[解法提示]：求杆 AB 上铰链 A，D 和 B 的共6个未知力，故需列6个方程。 按解题套路，

【先整体：3个方程，未引入新

第3章 空间力系的简化和平衡

一 问题

问题1：本章应注意问题有哪些？ 答：①力偶的合成方法；

②空间力系最终简化结果； ③力螺旋；

④如何选取合适的轴对其取矩 问题2：一般解题方法是什么？

答：a) 对轴而不是对点取矩（说明：平面问题的对点取矩实际上也是对轴取矩）

b) 选取轴AB的原则

先选取A点；未知力最多的汇交点，

① B点为其他未知力最多的汇交点

再选取B点：

②或AB，使其他未知力最多的与AB平行

二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。 【例1】力对任意轴的矩问题。何锃例题3.3.

长方体各边长分别为a?b?0.2 m, c?0.1 m，沿对角线AB作用的力F?106 N。求力F对轴

解：因为

之矩。

轴通过O点，因此我们先求力F对O点之矩MO(F)。

F?FAB10?106?(?0.2i?0.1j?0.1k)AB6??20i?10j?10k

OA?0.2i?0.1j

力F对O点之矩为

a iMO(F)?OA?F?0.2?i?2j?4k因此，力F对轴

jk0.10?201010之矩为

M??MO(F)?OC165?MO(F)?(2i?k)? Nm OC55【例2】求合力偶问题问题。何锃课后习题3.7.

将图示三力偶合成。已知F1?F2?F3?F4?F5?F6?100 N，正方体每边长L?1 m。

[解法提示]：1) 若按一般万能方法，无论力偶在何任意面上，通过平面3点坐标，得到平

面的平面方程，由此得到该平面的法向单位矢量ni，则该平面的力偶

矩mi??mini。再将各mi的各分量相加即可。

比如OAB平面，由

得到OAB平面方程Ax+By+Cz+D=0,则ni=(Ai+Bj+Ck)/ A2+B2+C2，方向由平面方程中OAB的顺序，用右手安培定则确定。

2）具体针对此题，用空间解析几何的其他方法将更简单。但因为上述方法对任意力偶合成均适用，故推荐使用此法。

【说明】何锃课后习题3.8，3.113.13，解法与此类似。 【例3】空间力系平衡问题。哈工大第6版例题4-10. 已知各尺寸，求F4,F5,F6.F1,F2,F3.

[解法提示]：1）根据解题方法，因为A点不待求未知量最多，故先确定A点，则1，2，3

的力矩为0。再确定B点，4，5的力矩为0，故对AB：

?MAB?0得到F6.类似找到AE，

?MAE?0，得到F5。?MAD?0，得到F6。尽量依次选用x,y,z三个方向，这样不容

易遗漏，且计算力臂简单，尽量避免对AF之类取矩，那样力臂计算复杂。

2）A点使用完后，再找不待求未知量第2多点，有几个，选取F点，尽量依次选用x,y,z三个方向，即可求得F1,F2,F3.

实际求得3个力后，用x,y,z三个方向力的投影即可求得另外3个力。不过，本书推荐全部使用对轴取矩法。

【说明】何锃课后习题3.16，哈工大第6版课后习题4-18，4-19，4-20.解法与此类似。

【

】

4-20 2 个均质杆 AB 和 BC 分别重 P1 和 P2，其端点 A 和 C 用球铰固定在水平面上，另1 端 B 由球铰链相连接，靠在光滑的铅直墙上，墙面与 AC 平行，如图 4-20a 所示。如 AB与水平线交角为 45°，??BAC???90??求 A 和 C 的支座约束力以及墙上点 B 所受的压力

第4章 摩擦

一 问题

问题1：本章难点是什么？ 答：1）自锁问题

2）解题方法

①对非临界状态，把摩擦力当未知力，用任意力力系方法求解即可 ②先排除不可能的临界状态

③列出 所有 的即将动的临界状态

可能 基本

④ 对每一种基本组合，在假设的运动状态下确定达到临界状态的面的摩擦力的方向和大

小，其他的未假设的面上摩擦力大小及指向与正压力无关，当作未知量（大小，指向均未知） 问题2：解摩擦问题的解题思路是什么？ 解题步骤：

一、若选取对象只在3点处受力（结合三力汇交定理），则可用几何法（应用摩擦角），否

则用解析法； 二、用解析法解题步骤

1．先看系统总共有多少个未知量n1，及能列出多少个独立方程n2

2．若n2?n1?非临界状态，用任意力系方法做（把摩擦力当作与正压力FN无关的量） 3．若n1?n2?1，则需补充一个方程（能且只能）（即使存在多个摩擦面） 补充方程来源

一个摩擦面 两个摩擦面

所有

? 列出

可能 的临界状态组合 基本

4．其中一个摩擦面达到临界存在4种可能（摩擦力向左、右，滚阻为逆时针、顺时针）。 考虑4种可能之前，排除不可能情形

理论 直觉

5．差2个方程时，列出所有基本,可能的两两组合后， 先

a) 排除不可能组合

摩擦力方向

b) 确定 滚阻

6．若集合b已被集合a包含，则不考虑集合b,仅讨论集合a即可。 9．再对剩下的组合根据假设，在假设的摩擦力方向下，一一求解即可。

二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】利用摩擦角解题。 哈工大第6版课后习题5-6. 何锃课后习题4.1.3。 若楔子两侧面与槽之间的摩擦角均为?s，则欲使楔子被打入后而不致自动滑出，?角应为

多大？

[解法提示]：利用摩擦角。答案：??2?s 【说明】何锃课后习题4.7解法与此类似。 【例2】应用解析法解题。 何锃课后习题4.9。

均质长方体A，宽1m、高2m、重10 kN，置于30的斜面上，摩擦系数f?0.8，在长方体上系一与斜面平行的绳子，绳子绕过一光滑圆轮，下端挂一重Q的重物C，求平衡时重量Q的范围。

?

[解法提示]：按照上述解析法解题步骤

1．先看系统总共有多少个未知量n1，及能列出多少个独立方程n2

A处：2个，绳：1个，轮B：2个，+Qc,共计6个。方程：A处：2个，轮B：3个。故尽管有2个摩擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。 2．补充1个临界方程来源：

A处：（E处摩擦力任意，A摩擦力到临界，但只能向左，有FAs=fFAN）. (第1种可能) E处：（A处摩擦力任意，E摩擦力到临界，可能向左，可能向右。FEs=fFEN）.(2种可能) 在这3种可能中，第1种可能已包含了：E摩擦力到临界，向左。故知讨论2种基本的可能临界了。在所假设的临界条件下，补充一个摩擦力与正压力关系方程即可求解了。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出一个未知量。 3）至于B可能脱离地面情况，对[B]通过对K取矩，即可排除这是不可能的。

4）A、E处摩擦力同时达到临界的情形，必然包含于上述2种基本情形之中。不用单独讨论。

【具体解法】：1）A摩擦力到临界，向左，有FAs=fFAN （1） [整体]:

?ME?0.在对A求出FAN.即可求得Q。

2）E摩擦力到临界，向右，有FEs=fFEN [整体]:

?MA?0.

[整体除去A的剩余部分]:

3）比较大小，得到范围。

?Mk?0. 即可求得Q。

【说明】1）何锃课后习题4.10解法与此类似。 [何锃课后习题4.10]圆柱重G，放在倾角

??30?的斜面上，由一直角弯杆挡住，如图所示。圆柱各处摩擦系数均为f，不计杆重。

求向上拉动弯杆所需的最小力Pmin

[解法提示]：按照上述解析法解题步骤 1．系统仅需由摩擦条件补充1个临界方程。 2．补充1个临界方程来源：

A处：（B处摩擦力任意，A摩擦力到临界，依题意只能向上，有FAs=fFAN）. (第1种可能) B处：（A处摩擦力任意，B摩擦力到临界，只能向下。FEs=fFEN）.(第2种可能)

在这2种可能中，互不完全包含。故要分别讨论。其求解方法仍同静力学，尽量不要引入新的未知量，尽量用1个方程即可求出一个未知量。

【具体解法】：1）A摩擦力到临界，向上，有FAs=fFAN （1） [轮C]:

[AD:

?MB?0.(2)

?X?0.(3) 得到P1.

?M?0.(2)

2）B摩擦力到临界，向下，有Fbs=fFbN （1） [轮C]:

A

[整体]:

?X?0.(3) 得到P1.

3）比较大小，得到范围。

2）哈工大第6版课后习题5-15，对轮C，分别利用对地面、AB与C的接触面取矩，从而确定出各摩擦面的摩擦力方向后，剩下的临界可能性就少多了。哈工大第6版课后习题5-18，解法与此类似。

【例3】应用解析法解题。 何锃课后习题4.9。

*5-15 重为 P1???450 N 的均质梁 AB。梁的 A 端为固定铰支座，另 1 端搁置在重 64??F????Fs ' 1???240 NW2???343 N 的线圈架的芯轴上，轮心 C 为线圈架的重心。线圈架与 AB 梁和地面间的静滑动摩擦因数分别为 f s1???0.4 ， f s2???0.2 ，不计滚动摩阻，线圈架的半径 R???0.3 m ，芯轴的半径 r???0.1 m 。在线圈架的芯轴上绕 1 不计重量的软绳，

求使线圈架由静止而开始运动的水平拉力 F 的最小值。 [解法提示]：按照上述解析法解题步骤

1．先看系统总共有多少个未知量n1，及能列出多少个独立方程n2 尽管有2个摩擦面，但仅需由摩擦条件补充1个临界方程。 2．补充1个临界方程来源：

D处：（E处摩擦力任意，D摩擦力到临界2种可能).但对轮C:对E点取矩，排除了摩擦力向左。（第1种要讨论的情形）

E处：（D处摩擦力任意，E摩擦力到临界2种可能).但对轮C:对D点取矩，排除了摩擦力向右。（第2种要讨论的情形）

3 .故只需讨论2种情形。在第1种要讨论的情形中，为了不引入E处2个未知力，【轮C:

?ME【AB:?MA?0】，再补充D处摩擦条件方程即可。在第1种要讨论的情形?0】

中，为了不引入D处2个未知力，【轮C:擦条件方程即可。

?MD【整体:?MA?0】，再补充E处摩?0】

第5章 点的运动学和刚体的基本运动

一 问题

问题1：点的运动的主要知识点是什么？

vxax?x?x(t)22答：直角：? ???a?ax?ayvayy?y?y(t)??dr矢径：V?

dtds弧坐标：V?dtV(2dv(t)t)2at?,an??a?an?at2

dtp问题2：点的运动难点是什么？

答：⑴如何由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。 ⑵切向加速度，全加速度 问题3 刚体简单运动

1）平动：在同一瞬时，各点v,a一样，且w?0,????0，在其他任意时刻，尽管v,a可

??0，机构特点为平行

??能与上一时刻不同，但在同一时刻，各点v,a一样，且w?0,四边形。

??而瞬时平动，仅在此瞬时，各点v一样，且w?0。机构特点:只要此时某一刚体上有两点的速度平行，且与两点连线不垂直。

??V?R?w?2）定轴：?at?R??

?2?an?Rw矢量表示法VA?W?rA（rA起点必须为为 向量上任一点） W二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

【例1】由X(t),Y(t)求t时刻曲率半径。 哈工大第6版例题6-5. [解法提示]：利用全速度和加速度在直角和弧坐标下均相等的桥梁即可。

?????V(2dv(t)t)2注意at?,an??a?an?at2

dtp【说明】哈工大第6版例题6-6解法与此类似。通过该题，可深入了解在静止地面作纯滚动轮子的与地面接触点的速度和加速度特点。该点是理论力学中难点，建议多加注意。

【例2】平动问题何锃课后习题7.2

在图示两机构中，OA?O2B, AB?O1O2，请就所给结果作出判断（正确的在括号里

画“√”，错误的画“×”）

图a：

（1）?AB?0（√ ）；

?

（2）aBA?0（√ ）； （3）?AB?0（√ ）；

??n（4）aBA?0（√ ）； （5）aA?aB（√ ）。

图b：

n（1）?AB?0（√ ）；

? （2）aBA?0（√ ）； （3）?AB?0（× ）；

??（4）aBA?0（× ）； （5）aA?aB（× ）。

【例3】哈工大第6版例题7-2.

[解法提示] 矢量表示法VA?W?rA（rA起点必须为为 向量上任一点）？这句话什么意思？

第6章 点的合成运动

????

一 问题

问题1：动点动系问题存在哪些难点？ 答：㈠ 动点、动系和静系的选择原则

1）动点、动系和静系必须分别属于不同的三个物体，否则绝对,相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动

2）动点相对于动系的相对运动轨迹易于直接判断，一般为直线或圆周，否则，求速度可能是正确的，但求加速度时，由于仅相对加速度ar就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。因为ar的切向分量一般未知，法向分量与相对速度和曲率半径有关，相对速度肯定可求出，故只要相对运动为直线或圆周，曲率半径也确定，故在加速度关系矢量方程中垂直ar的切向分量即可贡献一个有用方程。

3）一定要说明动点是在哪个物体上 ㈡具体方法

一、1）构件A、B的接触点是构件A上不变的点D，则选取A上不变的点D为动点，动系为B

2）构件A B的接触点，不是构件A或B上不变的点，则一定不能选接触点作为动点。一般选取其中一圆盘的圆心为动点。

???㈢ Va?Ve?Vr

大小 ？ ？ ？ 方向 ？ ？ ？ 知道任意4个

由于只有3个矢量，任意知2个可用几何法（平行四边形法则） 对于多于3个矢量的加速度合成时尽量用解析法。 ㈣1）动系作平动

???Va?Ve?Vr ???aa?ae?ar

?T?n?T?r?n?Taa?aa?ae?ae?ar?ar

?2V？ a ？ 已知 ？ 已知

R故只有3个未知量

2）动系作转动

????aa?ar?ae?ak

㈤牵连速度

㈥科氏加速度ak

?????aa?ae?ar?ak

????用Va?Ve?Vr

??求出W动系，Vr后，若为负数，应在图中将w动系,Vr方向修正为实际方向。此时，W动

系，Vr为正数，并由w动系?Vr确定出ak方向 问题2：动点动系有几种题型，如何选取动点动系？ 答：六种题型： ①AB上A点为接触点 作法：选取接触点A为动点 ②两刚体无固定的接触点

作法：该接触点不能为动点，原因是若取接触点为动点，求V，有时也能得到正确结果，这是因为求速度问题只是研究瞬时问题，与下一时刻如何运动无关，即与相对运动轨迹无关。但求加速度时，由于仅相对加速度ar就有大小和方向这两个未知量不知道，而一个加速度关系矢量方程只能列出两个独立方程，故无法求解其他未知量。 ③套筒滑杆问题

作法：选取轨迹明确的杆件或套筒为动系，轨迹一般为平动或定轴圆周运动。另一个构件上已知信息较多的点或构件上待求点为动点。这是因为还要兼顾牵连速度方向已知（求速度问题）和牵连加速度不至于引入两个未知量（求加速度问题）。 ④套环（或称交点）问题

作法：取套环为一个动点，分别选取多个动系。 ⑤多动点、多动系

作法：为体现刚体间的所有联系，应多次选取不同的动点、动系。

???

⑥一个动系、多个动点

作法：该方法可转化为一个动点、多个动系。实际上，此问题可选取一次动点动系，再应用同一刚体上两点关系的平面运动章节的问题来求解。那样，分析思路更清晰，易想到。 二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。 【例1】

何锃课后习题6.7

半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使推杆AB沿铅垂导轨滑动，在图示位置时，凸轮有速度v和加速度a，求该瞬时推杆AB的速度和加速度

哈工大第6版例题6-5. √ ⊥ [解法提示]：①

作法：1）选取AB上A点为动点，动系为o. [求速度]则 Va= Ve + Vr 大小 ？ √ ？ 方向 √ √ √

(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Va,Vr大小，若只求Va，则⊥Vr投影。若只求Vr，则⊥Va投影，使得一个方程解出一个未知量) [求加速度]则 aa= ae + ar +ar 大小 ？ √ ？ vr/R 方向 √ √ √ √ (⊥ar投影,求 出aa)

【说明】1）此题属于AB上A点为接触点问题。若选AB为动系，O为动点也可求出速度，但不能求出加速度了，此即说明了这一问题，不妨试求解一下。

2）建议采用上述方法分析和表述解题步骤，使思路清晰。当然，应画出速度关系图、加速度关系图（本书忽略）。

3）何锃课后习题6.3，哈工大第6版习题8-5。与此方法类似。当然，此题可用列出几何关

ttn2

系方程，对时间求一阶导，得到待求速度量；对时间求2阶导，得到待求加速度量。但此种几何法仅对简单问题有效，且纯粹是数学问题，本课程理论没有得到训练，故本书不推荐。类似问题如何锃例题6.3，例题6.5，哈工大第6版习题8-9，8-10，

4）何锃例题6.3，课后习题6.3；哈工大第6版例题8-5，习题8-5，8-12，8-19，8-21。与此方法类似 【例2】

何锃例题6.5

如图所示，半径为R的圆轮D以匀角速度 绕轮缘上的O1轴转动，杆OA定轴转动并与圆轮始终接触。求图示瞬时杆OA的角速度和角加速度。

哈工大第6版例题6-5. √？ ⊥

[解法提示]：①

作法：1）选取上D点为动点，动系为AO. [求速度]则 Va= Ve + Vr 大小 √ ？（?动系） ？ 方向 √ √ √

(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，则⊥Vr投影。若只求Vr，则⊥Ve（?动系）投影，使得一个方程解出一个未知量。若求出Vr、?动系为负，将其改为正值，并在速度图中，将其指向换向，这是为了求科氏加速度

ak?2?动系vr时,大小和方向不易出错)

[求加速度]则 aa= ae + ae + ar + +ak 大小 √ √ ？OD??动系 ？ ?2?动系vr 方向 √ √ √ √ √

nt

(⊥ar投影,求 出?动系)

【说明】1）此题属于两刚体无固定的接触点。

2）动系为AO实际意思是将动系固定在AB上，动系是一个无穷大平面，故其上必然有一点与轮D上重合的D’点，D’点即为牵连点，其运动由AO杆确定。

3）何锃课后习题6.12（无ak），6.16，哈工大第6版习题8-10，8-20。与此方法类似。 【例3】

何锃例题6.4

如图机构中，OA杆以匀角速度?转动，OA?r，图示瞬时，AO?OB。求该瞬时AC杆的角速度和角加速度。

哈工大第6版例题6-5. √？ ⊥

[解法提示]：①

作法：[套筒B作定轴转动，以后求牵连加速度更方便，而AB作平面运动]选取AB上A点为动点，动系为套筒B.

[求速度]则 Va= Ve + Vr 大小 √ ？（?动系） ？ 方向 √ √ √

(平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程,必可求出两个？，即Ve,Vr大小.若只求Ve，则⊥Vr投影。若只求Vr，则⊥Ve（?动系）投影，使得一个方程解出一个未知量。若求出Vr、?动系为负，将其改为正值，并在速度图中，将其指向换向，这是为了求科氏加速度

ak?2?动系vr时,大小和方向不易出错)

[求加速度]则 aa= ae + ae + ar + +ak 大小 √ √ ？OD??动系 ？ ?2?动系vr 方向 √ √ √ √ √ (⊥ar投影,求 出?动系)

nt

【说明】 1）此题属于套筒滑杆问题。2）当然 ，也可取滑杆为动系，套筒上地面点为动点，在应用刚体平面运动的求同一刚体上两点加速度关系的基点法也可以，但对于选取平面任意运动的刚体作动系，牵连速度/加速度分析不便，非必须则尽量不用。

何锃例题6.3

如图机构，AB杆与套筒B固连，可在铅垂滑道中滑动，已知O1C?O2D?r，OC1杆以匀角速度?绕O1轴转动。求在图示位置，AB杆的速度和加速度。

[解法提示]：①

作法：[套筒B和滑杆CD均作平动，任选取哪一个为动系均可，故此题方法多样.] 方法1：套筒B为动系，C为动点。方法2：CD为动系，套筒B(或A)为动点。

何锃课后习题6.17a,

计算下列机构在图示位置CD杆上D点的速度和加速度。设图示瞬时水平杆AB的角速度为?，角加速度为零。

[解法提示]：①

(

6作法：套筒B作平面运动，而滑杆CD作定轴转动，故选取CD为动系，套筒B（退化为一点，称为滑块）为动点.因此，可把套筒和滑块当作同类。 对于右边的图（6.17b）还能这样取动点动系吗？

【例4】 [交点问题]何锃例题6.6

如图所示，小环P同时套在AB杆和圆环E上，AB杆和圆环E均以匀角速度作定轴转动，图示瞬时，AB杆与圆环半径DE垂直，AB?DE?R。求该瞬时小环P的速度和加速度的大小。

哈工大第6版例题6-5. √？ ⊥

[解法提示]： 作法：[求速度]

1）选取套环（交点）为动点，取AE为动系。 则 VPX+ VPY = Ve1 + Vr1 大小 ？ ？ √ ？ 方向 √ √ √ √

[平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程, 故无法求出3个？需补充其它有用方程] 2）选取套环（交点）为动点，取OE为动系。 则 VPX+ VPY = Ve2 + Vr2 大小 ？ ？ √ ？ 方向 √ √ √ √

[新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？]

[求加速度][ 所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成a,a],不要漏掉科氏加速度即可]

【说明】 1）何锃课后习题6.6，6.15，哈工大第6版例题8-26.解法与此类似。 【例5】

[多动点、多动系问题]何锃例题6.8

沿铅垂滑道向下运动，图示瞬时，OA杆铅垂，AB?BD?2r，

n

t

如图机构中，DE杆以匀速度v

OA||ED。求此时OA杆的角速度和角加速度。

哈工大第6版例题6-5. √？ ⊥

[解法提示]：根据实际结构，列出的方程应全部体现出刚体间、刚体与外部联系即可。图中曲线2表示AB与OA的联系，图中曲线1表示AB与DE的联系. 图中曲线3表示AB与外部的联系，图中曲线4表示DE与外部的联系.

作法：[求速度][ 体现曲线2：动点动系问题，即AB上A点为动点，OA为动系。] 则 VA = Ve1 + Vr1 大小 (?AB)？(?OA)？ ？ 方向 √ √ √

[平面矢量方程，能且只能列出2个独立代数方程, 故无法求出3个？需补充其它有用方程] [求速度][ 体现曲线1：动点动系问题，即ED上D点为动点，AB为动系。] 则 VD = Ve2 + Vr2 大小 √ (?AB)？ ？ 方向 √ √ √

[新增加一个？，则4个方程即可求出上述所有？]

[求加速度][ 所有动点动系问题，求加速度的步骤与求速度选取动点动系及分析步骤步骤完全一样，只要将V换成a,a],不要漏掉科氏加速度即可]

【说明】 1）何锃课后习题6.4,6.5,6.10,6.18,6.19，哈工大第6版课后习题8-18,8-27解法与此类似。 【例6】

[多动点、1动系问题]何锃例题6.7

n

t

如图机构中，转臂OA以匀角速度绕O转动，转臂中有垂直于OA的滑道，DE杆可在滑道中

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