高中数学必修4知识点总结

高中数学必修4知识点总结

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角

?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．

??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???

第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???

终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???

3、与角?终边相同的角的集合为????k?360??,k???

第一象限角的集合为?k?360???k?360?90,k??

????????????????????4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??l． r?180???6、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1?，1???57.3?． ?180???7、若扇形的圆心角为?????为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，

11S?lr??r2．

228、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是

rr?x2?y2?0，则sin????yxy，cos??，tan???x?0?． rrxyPTO系

：MAx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

10、三角函数线：sin????，cos????，tan????． 11、角三角函数的基本关

1

?1?sin2??cos2??1?2?sin??tan?cos??sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；

sin???sin??tan?cos?,cos????．

tan???12、函数的诱导公式：

?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

?5?sin????????????????cos?，cos?????sin?．?6?sin?????cos?，cos??????sin?． ?2??2??2??2??口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移

?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数

1y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

?倍（纵坐标不变），得到函数

y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍

（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象．

②数y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1?倍（纵坐标不变），得到函数

?y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数

?y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的?倍

（横坐标不变），得到函数y??sin??x???的图象． 14、函数y??sin??x??????0,??0?的性质： ①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2?函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则

??11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 222 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 性 质 函 数 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ????xx?k??,k???2?? 值域 当??1,1? x?2k????1,1? 当x?2k??k???时， 时，R ?2?k???最值 ymax?1；当x?2k???2ymax?1；当x?2k??? 既无最大值也无最小值 ?k???时，ymin??1．周期性 奇偶性 在?k???时，ymin??1． 2? 偶函数 2? 奇函数 ? 奇函数 ???? 2k??,2k????22??单调性 在?2k???,2k???k????k???上是增函数；在 ?3??? 2k??,2k????22??上是增函数；在?2k?,2k???? 在?k?????2,k????? 2??k???上是减函数． ?k???上是增函数． ?k???上是减函数． 对对称性 称中心对称中心?k?,0??k??? 对称轴对称中心???k??,0??k??? ?2??对称轴x?k??k??? x?k???2?k??,0??k??? ??2?无对称轴 ?k??? 3

第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

??????⑶三角形不等式：a?b?a?b?a?b．

⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a；

???????????????②结合律：a?b?c?a?b?c；③a?0?0?a?a．

????C

????⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

?a

?b

?

?

????⑵坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． ????设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则?????x1x2y,1?y2 ?．

??????????????a?b??C?????C

19、向量数乘运算：

??⑴实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a． ①

?a??a；

????????②当??0时，?a的方向与a的方向相同；当??0时，?a的方向与a的方向相反；当??0时，?a?0．

?????????⑵运算律：①???a??????a；②?????a??a??a；③?a?b??a??b．

??⑶坐标运算：设a??x,y?，则?a???x,y????x,?y?．

????????20、向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．

??????????设a??x1,y1?，b??x2,y2?，其中b?0，则当且仅当x1y2?x2y1?0时，向量a、bb?0共线．

????????21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，???????????有且只有一对实数?1、?2，使a??1e1??2e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基

底）

4

????????22、分点坐标公式：设点?是线段?1?2上的一点，?1、?2的坐标分别是?x1,y1?，?x2,y2?，当?1?????2时，点?的坐标是??x1??x2y1??y2?时，就为中点公式。）（当??1 ,?．

1????1??23、平面向量的数量积：

??????????⑴a?b?abcos?a?0,b?0,0???180．零向量与任一向量的数量积为0．

????????????????⑵性质：设a和b都是非零向量，则①a?b?a?b?0．②当a与b同向时，a?b?ab；当a与b反???2?2???????????向时，a?b??ab；a?a?a?a或a?a?a．③a?b?ab．

?????????????????⑶运算律：①a?b?b?a；②??a??b??a?b?a??b；③a?b?c?a?c?b?c．

??????????⑷坐标运算：设两个非零向量a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2．

???2??2222若a??x,y?，则a?x?y，或a?x?y． 设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则??a?b?1x2x?1． y20y???????设a、b都是非零向量，a??x1,y1?，b??x2,y2?，?是a与b的夹角，则??x1x2?y1y2a?bco?s????．

2222abx1?y1x?2y2第三章 三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；

1?tan?tan?tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．

1?tan?tan?⑹tan??????25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

222⑴sin2??2sin?cos?．?1?sin2??sin??cos??2sin?cos??(sin??cos?)

⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?

?2,1?cos??2sin2?升幂公式1?cos??2cos2?2

5

?降幂公式cos2?? ⑶tan2??cos2??11?cos2?2，sin??． 222tan?． 21?tan?万能公式:αα2tan1?tan22;cosα? 2sinα? αα1?tan21?tan222:26、半角公式

α1?cosαα1?cosαcos??;sin?? 2222 α 1 ? cos α sin α 1 ? cos α

tan???? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sin α ?（后两个不用判断符号，更加好用）

?x??)?B27、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y?Asin(形式。?sin???cos???2??2sin?????，其中tan???． ?28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是

???的二倍；是的二倍； 224??30o? ；cos? ； ②15?45?30?60?45?；问：sin12122ooooo③??(???)??；④

?4????2?(?4??)；

⑤2??(???)?(???)?(?4??)?(?4??)；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常

化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的

代换变形有： 1?sin??cos??tan?cot??sin90?tan45

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用

降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

22oo1?cos?常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：

1?tan?1?tan??_______________； ?______________；

1?tan?1?tan?tan??tan??____________；1?tan?tan??___________； tan??tan??____________；1?tan?tan??___________；

6

2tan?? ；1?tan2?? ；

tan20o?tan40o?3tan20otan40o? ；

sin??cos?? = ；

asin??bcos?? = ；（其中

tan?? ；）

1?cos?? ；1?cos?? ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值

与特殊角的三角函数互化。

如：sin50o(1?3tan10o)? ；

tan??cot?? 。

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/oycw.html