人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学必修5知识点总结

高中数学必修5知识点总结

第一章：解三角形

1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R为???C的外接圆的半径，则

abc???2R． sin?sin?sinC2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；

abc②sin??，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中）

2R2R2R③a:b:c?sin?:sin?:sinC；

a?b?cabc???④．

sin??sin??sinCsin?sin?sinC1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin?．

222有

4、余 定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，b?a?c?2accos?，

222222c2?a2?b2?2abcosC．

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c25、余弦定理的推论：cos??，cos??，cosC?．

2bc2ab2ac6、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90为直角三角形；

②若a?b?c，则C?90为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90为钝角三角形．

222222??222?第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．

5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列?an?的第n项与序号n之间的关系的公式．

10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这

个常数称为等差数列的公差．

12、由三个数a，?，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则?称为a与b的等差中项．若

b?a?c，则称b为a与c的等差中项． 213、若等差数列?an?的首项是a1，公差是d，则an?a1??n?1?d．

通项公式的变形：①an?am??n?m?d；②a1?an??n?1?d；③d?⑤d?an?a1a?a1?1；；④n?nn?1dan?am．

n?m14、若?an?是等差数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等

差数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则2an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式：①Sn?n?a1?an?n?n?1?d． ；②Sn?na1?22*16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则S2n?n?an?an?1?，且S偶?S奇?nd，

??S奇San（其?n．②若项数为2n?1?n??*?，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，奇?S偶an?1S偶n?1中S奇?nan，S偶??n?1?an）．

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若G?ab，

则称G为a与b的等比中项．

19、若等比数列?an?的首项是a1，公比是q，则an?a1qn?1． 20、通项公式的变形：①an?amqn?m；②a1?anq??n?1?2；③qn?1?anan?m；④q?n． a1am21、若?an?是等比数列，且m?n?p?q（m、n、p、q??*），则am?an?ap?aq；若?an?是等比

2数列，且2n?p?q（n、p、q??*），则an?ap?aq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连

续m项和构成的数列成等比数列。

?na1?q?1??22、等比数列?an?的前n项和的公式：Sn??a1?1?qn?a?aq．

1n??q?1??1?q?1?q q?1时，Sn?a1a?1qn，即常数项与qn项系数互为相反数。 1?q1?q*23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2nn??，则

??S偶S奇?q．

②Sn?m?Sn?q?Sm． ③Sn，S2n?Sn，S3n?S2n成等比数列．

n

24、an与Sn的关系：an????Sn?Sn?1?n?2?

?n?1???S1

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为an?kn?b，列两个方程求解；

②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an?an2?bn?c，列三个方程求解；

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an?aqn?b，q为相除后的常数，列两个方程求解； 2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为an?1?an?d形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为an?1?an?f(n),形式，可用叠加法求解；

③若化简后为an?1?an?q形式，可用等比数列的通项公式代入求解；

④若化简后为an?1?kan?b形式，则可化为(an?1?x)?k(an?x)，从而新数列{an?x}是等比数列，用等比数列求解{an?x}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：

①a1?S1 ② an?Sn?Sn?1 ③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。 4、其他

（1）an?an?1?f?n?形式，f?n?便于求和，方法：迭加；

例如：an?an?1?n?1 有：an?an?1?n?1

a2?a1?3a3?a2?4?an?an?1?n?1各式相加得an?a1?3?4???n?1?a1n?4??n?1???2

（2）an?an?1?anan?1形式，同除以anan?1，构造倒数为等差数列；

?1?an?an?111例如：an?an?1?2anan?1，则?2??，即??为以-2为公差的等差数列。

anan?1an?1an?an?（3）an?qan?1?m形式，q?1，方法：构造：an?x?q?an?1?x?为等比数列；

例如：an?2an?1?2，通过待定系数法求得：an?2?2?an?1?2?，即?an?2?等比，公比为2。 （4）an?qan?1?pn?r形式：构造：an?xn?y?qan?1?x?n?1??y为等比数列；

??（5）an?qan?1?pn形式，同除pn，转化为上面的几种情况进行构造；

因为an?qan?1?pn，则

anqan?1q??1?1转化为（1）的方法，若不为1，转化为（3）的，若nn?1pppp方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

①若??ak?0?a1?0，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足?

?d?0?ak?1?0?ak?0?a1?0②若?，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足?

d?0a?0??k?1三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值；

②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：an??2n?1??3；

n③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：

an?11111?11???，an?等； ???n?n?1?nn?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1??④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：

an?2n?n?1等；

四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a?d和a?d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差； ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和a类型，这样可以相乘约掉。 q

第三章：不等式

1、a?b?0?a?b；a?b?0?a?b；a?b?0?a?b．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①a?b?b?a；②a?b,b?c?a?c；③a?b?a?c?b?c；

④a?b,c?0?ac?bc，a?b,c?0?ac?bc；⑤a?b,c?d?a?c?b?d； ⑥a?b?0,c?d?0?ac?bd；⑦a?b?0?a?b⑧a?b?0?na?nb?n??,n?1?．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

nn?n??,n?1?；

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

判别式??b2?4ac

??0 ??0 ??0

二次函数

y?ax2?bx?c ?a?0?的图象

有两个相异实数根

有两个相等实数根

一元二次方程ax2?bx?c?0

?a?0?的根

ax2?bx?c?0 ?a?0?

ax2?bx?c?0 ?a?0?

?b??x1,2?2a?x1?x2?

1x1?x2??b 2a没有实数根

?xx?x或x?x?2一元二次不等式的解集

?b?xx????

2a???

R

?xx1?x?x2?

?

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对?x,y?，所有这样的有序数对?x,y?构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0，坐标平面内的点??x0,y0?．

①若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的上方． ②若??0，?x0??y0?C?0，则点??x0,y0?在直线?x??y?C?0的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线?x??y?C?0．

①若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0上方的区域；?x??y?C?0表示直线

?x??y?C?0下方的区域．

②若??0，则?x??y?C?0表示直线?x??y?C?0下方的区域；?x??y?C?0表示直线

?x??y?C?0上方的区域．

10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．

可行解：满足线性约束条件的解?x,y?．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

a?b称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数． 2a?b?ab． 12、均值不等式定理： 若a?0，b?0，则a?b?2ab，即211、设a、b是两个正数，则13、常用的基本不等式：

①a2?b2?2ab?a,b?R?；

a2?b2②ab??a,b?R?；

2a2?b2?a?b??a?b?③ab??????a?0,b?0?；④??a,b?R?．

2?2??2?14、极值定理：设x、y都为正数，则有

s2⑴若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得最大值．

4⑵若xy?p（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最小值2p．

22

可行解：满足线性约束条件的解?x,y?．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

a?b称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数． 2a?b?ab． 12、均值不等式定理： 若a?0，b?0，则a?b?2ab，即211、设a、b是两个正数，则13、常用的基本不等式：

①a2?b2?2ab?a,b?R?；

a2?b2②ab??a,b?R?；

2a2?b2?a?b??a?b?③ab??????a?0,b?0?；④??a,b?R?．

2?2??2?14、极值定理：设x、y都为正数，则有

s2⑴若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得最大值．

4⑵若xy?p（积为定值），则当x?y时，和x?y取得最小值2p．

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