新课标高中数学必修一至必修五知识点总结

高中数学常用公式及结论大全(新课标)

必修1

1、集合的含义与表示

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。

描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如{x|x?5,且x?N}

2、常用数集及其表示方法

（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N*或N+ ：1、2、3、…… （3）整数集Z：-2、-1、0、1、……

（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于?

例如：a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念

如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集(如图1)，记作A?B或B?A.

A,B B A 或 若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q， 记作P?Q

(图1)

（2）真子集的概念

若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的

?真子集(如图2). A??B或B?A.

B A (图2)

（3）集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.

A?B,B?A?A?B

5、重要结论（1）传递性：若A?B，B?C，则A?C

（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个(即不计空集)；非空的真子集有2–2个.

7、集合的运算：交集、并集、补集

（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集． 记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．

nnnnA?B 1

（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．

A?B （3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合， 叫做A在U中的补集，记作CUACUA A 注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A??的情况。 8、映射观点下的函数概念

如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C?B）叫做函数y=f(x)

的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).

,

CUA??x|x?U,且x?A?

?2x?1x?09、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如y?? 2x?0??x?310、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）

1,则x?1?0 x?1②偶次方根的被开方数大于或等于零；如:y?5?x,则5?x?0 ③对数的底数大于０且不等于１；如:y?loga(x?2),则a?0且a?1

①分式的分母不为零；如:y?④对数的真数大于０；如:y?loga(x?2),则x?2?0

⑤指数为０的底不能为零；如:y?(m?1),则m?1?0 11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）

（1）奇函数满足f(?x)??f(x)， 奇函数的图象关于原点对称； （2）偶函数满足f(?x)?f(x)， 偶函数的图象关于y轴对称；

注：①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则f(0)?0

③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）

当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，则f(x)在该区间上是增函数，图象从左到右上升； 当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，则f(x)在该区间上是减函数，图象从左到右下降。 函数f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么说f(x)在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间

13、一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)

x?b?b2?4ac2 （1）求根公式:x1,2? （2）判别式：??b?4ac

2a（3）??0时方程有两个不等实根；??0时方程有一个实根；??0时方程无实根。

bc（4）根与系数的关系——韦达定理:x1?x2??，x1?x2?

aa14、二次函数：一般式y?ax?bx?c(a?0)； 两根式y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)

2 2

（1）顶点坐标为(?bb4ac?b（2）对称轴方程为：x=?； ,)；

2a2a4a2y x 0 4ac?b2b（3）当a?0时，图象是开口向上的抛物线，在x=?处取得最小值

4a2a4ac?b2b 当a?0时，图象是开口向下的抛物线，在x=?处取得最大值

4a2a（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式?的关系：

??0时，有两个交点；??0时，有一个交点（即顶点）；??0时，无交点。 15、函数的零点

2使f(x)?0的实数x0叫做函数的零点。例如x0??1是函数f(x)?x?1的一个零点。

注：函数y?f?x?有零点 ? 函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ? 方程f?x??0有实根 16、函数零点的判定：

如果函数y?f?x?在区间?a,b?上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0。那

么，函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?,使得f?c??0。 17、分数指数幂 （a?0,m,n?N，且n?1） （1）amn??a.如x?x；(2) anm332?mn?1man?1nam. 如

1x3?x?32n；（3）(na)?a；

（4）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??18、有理指数幂的运算性质（a?0,r,s?Q） （1）a?a?arsr?s?a,a?0.

??a,a?0rrr； （2）(a)?a； （3）(ab)?ab

rsrs19、指数函数y?a（a?0且a?1），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R

x 图 象 性 质 y 1 0 a?1 x 0?a?1 y 1 0 x （1）定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 3

20、若a?N，则

b叫做以

为底N的对数。记作：logaN?b（a?0,a?1，N?0）

其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。

注：指数式与对数式的互化公式：logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0) 21、对数的性质

（1）零和负数没有对数，即logaN中N?0；

（2）1的对数等于0，即 loga1?0 ；底数的对数等于1，即logaa?1 22、常用对数lgN：以10为底的对数叫做常用对数，记为：log10N?lgN

自然对数lnN：以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记为：logeN?lnN 23、对数恒等式：alogaN?N

24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

(1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) logaM?logaM?logaN; Nn(3)logaM?nlogaM(n?R) （注意公式的逆用）

25、对数的换底公式 logaN?推论①

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logma1nn或logab?； ②logamb?logab.

logbam26、对数函数y?logax（a?0，且a?1）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是(0,??)

图像 y a?1 0?a?1 x 0 1 x 0 1 定义域：(0, ∞) 性质 值域：R 过定点（1，0） 增函数 取值范围 01时，y>0 减函数 00 x>1时，y<0 x27、指数函数y?a与对数函数y?logax互为反函数；它们图象关于直线y?x对称.

4

28、幂函数y?x（??R），其中x是自变量。要求掌握???1,,1,2,3这五种情况(如下图) 29、幂函数y?x的性质及图象变化规律：

（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（Ⅱ）当??0时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间[0,??)上是增函数． （Ⅲ）当??0时，幂函数的图象在区间(0,??)上是减函数． 3?12? -232y?x 2y?x 211 2y?x3 y?x?1 1 -1-221 11 1 y?1 2x -21 -1-22-2 -1-3必修2

30、边长为a的等边三角形面积S正??32a 431、柱体体积：V柱＝S底h， 锥体体积：V锥＝S底h

13432球表面积公式：S球?4?R， 球体积公式：V??R（上述四个公式不要求记忆）

332、四个公理：

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ② 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。

③ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 ④ 平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。 33、等角定理：

1 2 3 空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)

?（在同一平面内，没有公共点） 平行：?共面直线??34、两条直线的位置关系：? （在同一平面内，有一个公共点） ?相交：

?：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点） ?异面直线　　直线与平面的位置关系：

（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交） 两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交 35、直线与平面平行：

定义 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。 判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。

性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 36、平面与平面平行：

5

定义 两个平面没有公共点，则这两平面平行。

判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。 性质 ① 如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 ② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。 37、直线与平面垂直：

定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。 性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。

②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。 38、平面与平面垂直：

定义 两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。 判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 39、三角形的五“心”

（1）O为?ABC的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等 （2）O为?ABC的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段 （3）O为?ABC的垂心（各边高的交点）.

（4）O为?ABC的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的距离相等 （5）O为?ABC的?A的旁心（各外角平分线的交点）. 40、直线的斜率：

(1) 过A?x1,y1?,B?x2,y2?两点的直线，斜率k?y2?y1x?x，（x1?x2）

21（2）已知倾斜角为?的直线，斜率k?tan?（??900) （3）曲线y?f(x)在点（x0,y0)处的切线，其斜率k?f?(x0) 41、直线位置关系：已知两直线l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2，则

l1//l2?k1?k2且b1?b2　　　　l1?l2?k1k2??1

特殊情况：（1）当k1,k2都不存在时，l1//l2；（2）当k1不存在而k2?0时，l1?l2 42、直线的五种方程 ： ①点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点(x1,y1)，斜率为k)． ②斜截式 y?kx?b (直线l在y轴上的截距为b，斜率为k). ③两点式 y?y1yy?x?x1 (直线过两点(x1,y1)与(x2,y2)).

2?1x2?x1

④截距式

xa?yb?1（a,b分别是直线在x轴和y轴上的截距，均不为0）

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⑤一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0)；可化为斜截式：y??ACx? BB43、（1）平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式：|AB|=(x1?x2)2?(y1?y2)2 （2）空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)距离公式|AB|=(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2 （3）点到直线的距离d?|Ax0?By0?C|A?B22 (点P(x0,y0)，直线l：Ax?By?C?0).

44、两条平行直线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0间的距离公式：d?C1?C2A?B22

注：求直线Ax?By?C?0的平行线，可设平行线为Ax?By?m?0，求出m即得。

Ax?B1y?C1?045、求两相交直线A1x?B1y?C1?0与A2x?B2y?C2?0的交点：解方程组??A1x?By?C?0

?22246、圆的方程：

①圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r. 其中圆心为(a,b)，半径为r ②圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0.

22222D2?E2?4FDE 其中圆心为(?,?)，半径为r?，其中D2?E2?4F＞0

22222247、直线Ax?By?C?0与圆的(x?a)?(y?b)?r位置关系

（1）d?r?相离???0;

Aa?Bb?C （2）d?r?相切???0; 其中d是圆心到直线的距离，且d?22A?B（3）d?r?相交???0.

48、直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，求弦AB长度的公式：（1）|AB|?2r2?d2

（2）|AB|?1?k2，其中k是直线的斜率 (x1?x2)2?4x1x2（结合韦达定理使用）

49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d 1）d?r1?r2?外离?4条公切线; 2）d?r1?r2?外切?3条公切线; 3）r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; 4）d?r1?r2?内切?1条公切线; 5）0?d?r1?r2?内含?无公切线

必修③公式表

50、算法：是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和

有效的，而且能够在有限步之内完成.

51、程序框图及结构

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程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法输入、输出框 中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公处理框 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。 判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。 52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

53、三种抽样方法的区别与联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 简单随机抽从总体中逐个抽取 样 各层抽样可采用分层 抽取过程将总体分成几层简单随机抽样或抽样 中每个个体进行抽取 系统抽样 被抽取的概将总体平均分成率相等 在起始部分抽样几部分，按事先确系统抽样 时采用简单随机定的规则分别在各抽样 部分抽取 54、（1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距）

适用范围 总体中个体数较少 总体有差异明显的几部分组成 总体中的个体较多 频数频率?极差?频率?小矩形面积?组距??频率。 组数??， ，?组距样本容量组距??（2）数字特征 众数：一组数据中，出现次数最多的数。

中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数）。 平均数：x?标准差：s?11?x1?x2???xn? 方差: s2=[(x1?x)2nn?(x2?x)2?(x3?x)2??(xn?x)2]

2221?x1?x?x2?x???xn?x? 注：通过标准差或方差可以判断一组数

???n???????据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。

??bx?a，其中b?回归直线方程：y?xyii?1nni?nxy，a?y?bx

?xi?12i?nx2 8

55、事件的分类：

（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P（必然事件）=1

（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P（不可能事件）=0 （3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件 基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。

56、在n次重复实验中，事件A发生的次数为m，则事件A发生的频率为m/n，当n很大时，m总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件A的概率。（概率范围：0?P?A??1） 57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。 如果事件A、B是互斥事件，则P（A+B）=P（A）+P（B） 图1 B 58、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。 A 对立事件性质：P（A）+P（A）=1，其中A表示事件A的对立事件。

A B 59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征： （1）基本事件个数是有限的；

图（2）

（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．

60、设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)公式为

mA包含的基本事件的个数 P?A??=

n基本事件的总数运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。

构成事件A的区域长度(面积或体积)61、几何概型的概率公式：P?A??

试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积)

必修④公式表

62、终边相同角构成的集合：??|????2k?,k?Z?

l63、弧度计算公式：??

rr )?

l

64、扇形面积公式：S?65、三角函数的定义：已知P?x,y?是?的终边上除原点外的任一点 则sin??11lr???r2(?为弧度) 22yxy，cos??，tan??,其中r2?x2?y2 rrxP(x,y) r y )? x 66、三角函数值的符号 + — — + + +

+ — — + — —

sin? cos? tan?

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67、特殊角的三角函数值：

? sin? 0 ? 61 23 23 32? 42 22 21 2? 33 2? 21 2? 33 2-3? 42 25? 61 2? 0 3? 2-1 0 cos? 1 1 23 0 123 - - 222-1 --1 0 tan? 0 不存在 -3 3 30 不存在 68、同角三角函数的关系：sin??cos??1,tan??sin? cos?69、和角与差角公式： 二倍角公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?; sin2??2sin?cos?

cos(???)?cos?cos?sin?sin?; cos2??cos2??sin2??1?2sin2?

?2cos2??1 tan??tan?2tan?tan(???)?. tan2?? 21tan?tan?1?tan?70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限；其中，奇偶是指

?的个数,符号参考第66条. 2sin???2k???sin?sin???????sin?sin??????sin?sin??????sin?cos???2k???cos? cos???????cos? cos?????cos? cos???????cos?

tan??????tan?tan???????tan?tan???2k???tan?tan??????tan?????sin(??)?cos? cos(??)?sin? sin(??)?cos? cos(??)??sin?

2222b ).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如y?a?2?1?cos??1?cos?，cos2? 222?671、辅助角公式：asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限与点(a,b)的象限相同,且tan??3sinx?cosx?2sin(x?)

72、半角公式(降幂公式)：sin273、三角函数y?Asin(?x??)的性质（A?0,??0） （1）最小正周期T?2??；振幅为A；频率f?1；相位：?x??；初相：?；值域：[?A,A]； T对称轴：由?x????2?k?解得x；对称中心：由?x???k?解得x组成的点(x,0)

（2）图象平移：x左加右减、y上加下减。

例如：向左平移1个单位，解析式变为y?Asin[?(x?1)??]

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向下平移3个单位，解析式变为y?Asin(?x??)?3

（3）函数y?tan(?x??)的最小正周期T??. ?74、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。

abc???2R(R是三角形外接圆半径) sinAsinBsinC75、余弦定理：

b?c?a,2222bca?b?c?2bccosA,c2?a2?b2222b?c?a?2cacosB, 推论 cosB?,

2ca222c?a?b?2abcosC.a2?b2?c2cosC?.2abcosA?76、三角形的面积公式：S?ABC?222C b A a c B

111absinC?acsinB?bcsinA. 22277、三角函数的图象与性质和性质 三角函数 y?sinx y 1 y?cosx y 1 x y?tanx y 图象 -? 0 ? ? -1 2 x 2? -? 0 ? ? 2-1 22? -?0 ? 2 x 23? 2定义域 值域 最大值 最小值 周期 奇偶性 在[?单调性 k?Z (??,??) [-1，1] (??,??) [-1，1] (k???2,k???2) (??,??) x??2?2k?，ymax?1 x?2k?，ymax?1 x???2?2k?，ymin??1 x???2k?，ymin??1 2? 奇函数 2? 偶函数 ? 奇函数 在(??2?2k?,?2?2k?] 在[???2k?,2k?] 上是增函数 ?2?k?,?2?2k?) 上是增函数 在[上都是增函数 ?2?2k?,3??2k?] 2在[2k?,??2k?] 上是减函数 上是减函数

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78、向量的三角形法则： 79、向量的平行四边形法则：

a+b b b a+b

b b-a a a a

80、平面向量的坐标运算:设向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)

（1）加法a+b=(x1?x2,y1?y2). （2）减法a-b=(x1?x2,y1?y2). （3）数乘?a=?(x1,y1)?(?x1,?y1)

（4）数量积a·b=|a||b|cosθ=x1x2?y1y2，其中?是这两个向量的夹角 （5）已知两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则向量AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1). 81、向量a=(x,y)的模：|a|=(a)?82、两向量的夹角公式 cos??2a?a?x?y，即|a|?a ?x1x2?y1y2x?y?x?y212122222222abab

83、向量的平行与垂直 （b?0）

a||b ? b=λa ?x1y2?x2y1?0. 记法： a=(x1,y1),b=(x2,y2)

a?b ? a·b=0 ?x1x2?y1y2?0. 记法： a=(x1,y1),b=(x2,y2)

必修⑤公式表

84、数列前n项和与通项公式的关系:

，n?1;?S1 ( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2?an?? n?2.?Sn?Sn?1 ，85、等差、等比数列公式对比 n?N? 等差数列 定义式 通项公式及推广公式 中项公式 an?an?1?d ?an).

等比数列 an (qan?1?q?0) an?a1??n?1?dan?am??n?m?d an?a1qn?1 an?amqn?ma?b 2若a,A,b成等差，则A?若a,G,b成等比，则G?ab 若m?n?p?q?2r，则 anam?apaq?ar2 2运算性质 若m?n?p?q?2r，则 an?am?ap?aq?2ar n?a1?an?2 n?n?1??na1?d2Sn?前n项和公式 q?1,?na1 ?Sn??a11－qna1?anq ? ，q?1.?1?q1?q???一个性质

Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差数列 Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等比数列 12

86、解不等式 （1）、含有绝对值的不等式

当a > 0时，有x?a?x2?a??a?x?a. [小于取中间]

2x?a?x2?a2?x?a或x??a.[大于取两边]

(2)、解一元二次不等式 ax?bx?c?0,(a?0)的步骤：

①求判别式 ??b?4ac ??0 ??0 ??0 ②求一元二次方程的解： 两相异实根 一个实根 没有实根 ③画二次函数y?ax?bx?c的图象

④结合图象写出解集

222?b?ax2?bx?c?0解集 ?xx?x2或x?x1? ?xx??? R

2a??ax2?bx?c?0解集 ?xx1?x?x2? ? ?

注：ax?bx?c?0(a?0)解集为R ? ax?bx?c?0对x?R恒成立 ? ??0 （3）高次不等式：数轴标根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下)

（4）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。 如解分式不等式

22x?1x?1(x?1)?x??1 ：先移项?1?0; 通分?0; xxx再除变乘(2x?1)x?0，解出。

87、线性规划：

（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：

直线Ax?By?C?0

Ax?By?C?0 Ax?By?C?0

（2）不等式Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0

某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不 等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0）。

（3）线性规划求最值问题：一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标，代入目标函数z，最大的为最大值。

13

选修1-1

88、充要条件

（1）若p?q，则p是q充分条件，q是p必要条件.

（2）若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

89、逻辑联结词。“p或q”记作：p∨q; “p且q”记作：p∧q; 非p记作：┐p 90、四种命题： 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p

否命题：若┐p，则┐q 逆否命题：若┐q，则┐p

注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系； （2）┐p是指命题P的否定，注意区别“否命题”。例如命题P：“若a?0，则b?0”，那么P的“否命题”是：“若a?0，则b?0”，而┐p是：“若a?0，则b?0”。 91、全称命题：含有“任意”、“所有”等全称量词（记为?）的命题，如P：?x?R,(x?1)?0

特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为?）的命题，如q：?x?R,x??1 注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，

2如上述命题p和q的否定：┐p：?m?R,(m?1)?0， ┐q：?x?R,x??1

22292、椭圆

①定义：若F1，F2是两定点，P为动点，且PF 1?PF2?2a(a为常数)则P点的轨迹是椭圆。

x2y2y2x2②标准方程：焦点在x轴:2?2?1 (a?b?0)； 焦点在y轴:2?2?1 (a?b?0)；

abab 长轴长=2a，短轴长=2b 焦距：2c 恒等式：a93、双曲线

①定义：若F1，F2是两定点，PF，则动点P的轨迹是双曲线。 1?PF2?2a（a为常数）②图形：如图

③标准方程：

2

-b2=c2 离心率：e?

cax2y2焦点在x轴:2?2?1 (a?0,b?0)

aby2x2焦点在y轴:2?2?1 (a?0,b?0)

ab实轴长=2a，虚轴长=2b， 焦距：2c

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恒等式：a

2

+b2=c2 离心率：e?c

aba当焦点在y轴时，渐近线方程为y??x x；ab22渐近线方程：当焦点在x轴时，渐近线方程为y??等轴双曲线：当a?b时，双曲线称为等轴双曲线，可设为x?y??。

94、抛物线

①定义：到定点F距离与到定直线l的距离相等的点M的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH）。 ②图形： H M p F(,0) F 2

准线

2px,(p?0 ),(p?0 )2py,(p?0 )方程 y?2px,(p?0) y?? x?2py x??

焦点： F(2222p,0) 2p2 F(?p,0) F(0,p) F(0,?p)

222x?p2准线方程：x??

y??p2

y?p 2注意：几何特征：焦点到顶点的距离=

p；焦点到准线的距离=p； 2/95．导数的几何意义：f(x0)表示曲线f(x)在x?x0处的切线的斜率k； / 导数的物理意义：f(x0)表示运动物体在时刻x0处的瞬时速度。

96、几种常见函数的导数

(n?Q).

(3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx.

111xxxx (5) (lnx)??；(a)??alna. (6) (e)??e;. （7）()???2

xxx97、导数的运算法则

(1) C??0（C为常数）. (2) (x)'?nxnn?1u'u'v?uv'(v?0). （1）(u?v)?u?v. （2）(uv)?uv?uv. （3）()?vv2''''''98．函数的单调性与其导函数的正负的关系：

在某个区间（a , b）内，如果f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；

如果f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递减。

注：若函数y?f(x)在这个区间内单调递增，则f'(x)?0

15

若函数y?f(x)在这个区间内单调递减，则f'(x)?0 99、判别f(x0)是极大（小）值的方法

(1)求导f?(x)；

（2）令f?(x)=0，解方程，求出所有实根x0

（3）列表，判断每一个根x0左右两侧f'(x)的正负情况：

极大值 极小值 如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值；

如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 100、求函数在闭区间[a , b]上的最值的步骤： （1）求函数f(x)的所有极值； （2）求闭区间端点函数值f(a),f(b)；

（3）将各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。

/注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即f(x0)，千万不能写成导数值f(x0)。

（2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。

选修1-2

101、复数z?a?bi，其中a叫做实部，b叫做虚部

(1)复数的相等 a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R） (2)当a=0,b≠0时,z=bi为纯虚数; (3)当b=0时,z=a为实数;

(4)复数z的共轭复数是z?a?bi

(5)复数z?a?bi的模|z|=a2?b2. 2 2

(6)i=-1, （-i）=-1.

(7) 复数z?a?bi对应复平面上的点(a,b)， 102、复数的四则运算法则

(1)加：(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;

(2)减：(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i;

(3)乘：(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i;类似多项式相乘 (4)除：

?a?bi(a?bi)(c?di)?（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”） c?di(c?di)(c?di)22103、常用不等式：

（1）重要不等式:若a,b?R，则?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． （2）基本不等式:若a?0,b?0，则a?b?2ab (当且仅当a＝b时取“=”号)． 基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等 当ab为定值时，a?b有最小值，简称“积定和最小”

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当a?b为定值时，ab有最大值，简称“和定积最大”

104、推理：

（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）

（2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断） 105、证明：

（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）

（2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。

坐标系与参数方程

106、极坐标系：其中|OM|??

极径? · M(x,y) 点y 极轴x )极角? （1）如图，点M的极坐标为(?,?)

极点O （2）极坐标与直角坐标的互化公式：

222x ①x??cos?,y??sin?; ②??x?y，tan??y x107、参数方程形如??x?f(t),(t为参数)…………（*）

?y?g(t)参数方程是借助参数t，间接给出x,y之间的关系,而普通方程是直接给出x与y的关系，如x?y?1?0

222（1）圆x?y?r的参数方程是??x?rcos?,(?为参数)

?y?rsin??x?acos?x2y2（2）椭圆2?2?1的参数方程?,(?为参数,a?b?0)

aby?bsin??（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。 消去参数的方法有：①公式法：用公式sin??cos??1等

②代入法：方程（*）中，由x?f(t)解出t?h(x)，代入y?g(t) ③加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数t 请同学们试着将圆的参数方程?22s?x?a?rco?,(?为参数)，化为圆的标准方程??y?b?rsin__________________，说说你用的是什么方法？

提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。

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几何证明选讲

108．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰

109．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 110．判定两个三角形相似的方法：

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似

判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似

引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边 111．相似三角形的性质定理：

1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比 2）相似三角形周长的比等于相似比

3）相似三角形面积的比等于相似比的平方 112．直角三角形的射影定理 C 如图Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则

（1）CD?AD?BD （2）AC?BC?AB?CD （3）AC?AD?AB；BC?BD?AB

222A D

B

113．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角

114．圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心

圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 1（ 115．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角

如图：?1??2

2 116．与圆有关的定理：

^ （1）相交弦定理：圆内两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等； （2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

（4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线

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