高中数学人教A版选修2-1选修2-1综合检测(A卷)及详细解答

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选修2-1综合检测（A 卷）

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a)2＋(y －b)2＝2相切”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

[答案] A

[解析] 圆心(a ，b)，半径r ＝2，若a ＝b ，则圆心(a ，b)到直线y ＝x ＋2的距离d ＝2

＝r.∴直线与圆相切；若直线与圆相切，则|a －b ＋2|2

＝2，此时a ＝b 或a －b ＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A .

2．设直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则直线l 1、l 2的夹角是( )

A ．arccos

1515 B ．π－arcsin 21015 C ．arcsin

21015 D ．arccos(－1515) [答案] A

[解析] a ·b ＝－4，|a |＝23，|b |＝25，

cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－1515

， ∴l 1与l 2夹角为arcocs 1515.

3．(2010·陕西文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )

A.12

B ．1

C ．2

D ．4 [答案] C

[解析] 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．

抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p 2，由题意知，3＋p 2

＝4，p ＝2. 4．设P 为双曲线x 2

－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( )

A ．6 3

B ．12

C ．12 3

D ．24 [答案] B

[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，

又有|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4

又∵|F 1F 2|＝2c ＝213

∵(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90°

∴S △PF 1F 2＝12

×6×4＝12. 5．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B 是A 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )

A ．[－3,3]

B ．[3，＋∞)

C ．[0,3]

D ．(－∞，3] [答案] D

[解析] A ＝{x |－2≤x ≤5}，由条件知B ?A ，

当B ＝?时显然适合题意，即m ＋1>2m －1得m <2

当B ≠?时需????? m ≥2m ＋1≥－2

2m －1≤5

解得2≤m ≤3， 故m ∈(－∞，3]，选D.

6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1→的是( )

①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；

②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；

③(AD →－AB →)－2DD 1→；

④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

[答案] A

[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；

②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→

＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；

③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→＝－(DB →＋DD 1→)－DD 1→＝－DB 1→－DD 1→＝－(DB 1→＋DD 1→)≠BD 1→；

④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝(B 1D 1→＋B 1B →)＋DD 1→

＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→.

7．(2010·上海文，16)“x ＝2k π＋π4

(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] A

[解析] 本题考查了任意角的三角函数值及充要条件问题．

∵tan(2k π＋π4)＝1，而tan x ＝1?x ＝k π＋π4

k ∈Z ，故选A. 8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，A 、B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率是( )

A.12

B.55

C.13

D.22 [答案] B

[解析] 点P 的坐标(－c ，b 2a )，于是k AB ＝－b a ，kPF 2＝－b 2

2ac

，由k AB ＝kPF 2得b ＝2c ，故e ＝c a ＝55

. 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )

A ．4

B ．4或－4

C ．－2

D ．－2或2 [答案] B

[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p

∵|PF |＝4∴p 2

＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4. 10．设有语句p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，则下面给出的命题中是真命题的一个是( )

A ．若p 则q

B ．若綈p 则綈q

C ．若q 则綈p

D ．若綈p 则q [答案] C

[解析] p ：x ＝－9，綈q ：x 2＋8x －9＝0，

即綈q ：x ＝1或x ＝－9.

∴p ?綈q ，即q ?綈p .

11．如图，在正三棱锥P —ABC 中，D 是侧棱P A 的中心，O 是底

面ABC 的中点，则下列四个结论中正确的是( )

A ．OD ∥平面PBC

B ．OD ⊥P A

C ．O

D ⊥AC

D ．P A ＝2OD

[答案] D

[解析] PO ⊥底面ABC ，即△P AO 为直角三角形．又D 为P A 中点，则P A ＝2OD .

12．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F 1，点P 在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF 1的斜率为( )

A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B ．(－∞，0)∪(1＋∞)

C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)

[答案] B

[解析] 如图l 1与渐近线平行，l 2与x 轴垂直，当过F 1的直线由l 1逆时针转到l 2时，与左下支相交，此时k >1；当过F 1的直线逆时针由l 2转到x 轴时，与左下支相交，此时k <0，故选B.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．

[答案] ②

[解析] ①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面． 我们用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三点都不共线，但A 1B 1C 1D 1四点共面．所以①中逆命题不真．

②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．

由异面直线的定义可知，成异面直线的这两条直线不会有公共点．

所以②中逆命题是真命题．

14．如图所示，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________．

[答案] 24

[解析] 解法一：∵四边形ABCD 与四边形ABEF 都是正方形，∴CB ⊥AB ，EB ⊥AB ， ∴∠CBE ＝60°.

连结CE ，如图所示，设正方形的边长为1，

∵BC ＝BE ，∠CBE ＝60°，

∴△CEB 为正三角形，CE ＝BC ＝1.

连结CF ，∵BC ∥AD ，

∴∠CBF 就是两异面直线AD 与BF 所成的角．

又∵AB ⊥平面CBE ，∴AB ⊥CE .

又FE ∥AB ，∴FE ⊥CE ，∴CF ＝CE 2＋EF 2＝ 2.

又在△CBF 中，CB ＝1，BF ＝2，

∴cos ∠CBF ＝CB 2＋BF 2－CF 22CB ·BF ＝122＝24

. 解法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AF →＝c ，设正方形边长为1，则由题意知a ·b ＝0，a ·c ＝0，

|a |＝|b |＝|c |＝1，

∵AD ⊥AB ，AF ⊥AB ，∴∠DAF ＝60°，∴b ·c ＝12

. |BF →|2＝(c －a )2＝|c |2＋|a |2－2a ·c ＝2，

∴|BF →|＝2，

BF →·AD →＝(c －a )·b ＝b ·c －a ·b ＝12

， ∴cos 〈BF →，AD →〉＝BF →·AD →|BF →|·|AD →|

＝24， 即异面直线AD 与BF 所成角的余弦值为24

. 15．椭圆x 24＋y 2

3

＝1上有n 个不同的点P 1，P 2，……，P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于1100

的等差数列，则n 的最大值为________． [答案] 200

[解析] 欲使n 取最大值，则|P 1F |应取最小值|P n F |应取最大值，∴|P 1F |＝a －c ＝1，|P n F |＝a ＋c ＝3，

|P n F |＝|P 1F |＋(n －1)·d ，

当d ＝1100时，n ＝201.而d >1100

，∴n 的最大值为200. 16．与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________． [答案] x 2－y 2＝52

[解析] 椭圆焦点(±5，0)，由条件知，双曲线的焦点为(±5，0)，渐近线方程为y ＝±x ， 故设双曲线方程为x 2－y 2＝λ (λ>0)，

∴2λ＝5，∴λ＝52

. 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2

－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．

[解析] 设△ABC 重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)由重心坐标公式得

??? x ＝－2＋

0＋x 13y ＝0－2＋y 13，∴?????

x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2. 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.

∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．

18．(本小题满分12分)四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，PB 与平面ABC 成30°角．

(1)求证：CM ∥平面P AD ；

(2)求证：平面P AB ⊥平面P AD .

[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C －xyz .

(1)∵PC ⊥平面ABCD ，

∴∠PBC 为PB 与平面ABC 所成的角，∠PBC ＝30°.

∵|PC |＝2，∴|BC |＝23，

∴|PB |＝4，得D (0,1,0)、B (23，0,0，)、A (23，4,0)、P (0,0,2)，

又|PB |＝4|PM |，∴|PM |＝1，M (32，0，32

)， ∴CM →＝(32，0，32

)，DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)， 设CM →＝λDP →＋μDA →， 则23μ＝32，－λ＋3μ＝0,2λ＝32

， ∴λ＝34，μ＝14，即CM →＝34DP →＋14

DA →， ∴CM →，DP →，DA →共面．

∵C ?平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .

(2)作BE ⊥P A 于E ，|PB |＝|AB |＝4，

∴E 为P A 的中点，∴E (3，2,1)，

∴BE →＝(－3，2,1)．

∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0，

BE →·DP →＝(－3，2,1)·(0，－1,2)＝0，

∴BE ⊥DA ，又BE ⊥DP ，

∴BE ⊥平面P AD ，由于BE ?平面P AB ，则平面P AB ⊥平面P AD .

[点评] ①证明线面平行，既可以用判定定理直接求证，也可以用向量证，用向量证明时，既可以证明两向量共线，也可以证明向量共面，还可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．

②证明面面垂直，既可以应用判定定理直接证，也可以用向量证用向量证明时，可证明其法向量垂直．

③常常将几何证明方法与代数证明方法结合使用．

19．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .

(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；

(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且P A →＝512

PB →，求a 的值． [解析] (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组????? x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1

有两组不同的实数解，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①

所以????? 1－a 2≠0，4a 2＋8a 2(1－a 2)>0.解得0

a ＝1a 2＋1， ∵062

，且e ≠2， 即离心率e 的取值范围为(

62，2)∪(2，＋∞) (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，

∵P A →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512

(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512

x 22＝－2a 2

1－a 2

. 消去x 2得，－2a 21－a

2＝28960.由a >0，所以a ＝1713. 20．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1

>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B .使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．

[解析] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a 5

. 已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12

或x >1. 令a ＝4，则p 即x <－35

或x >1，此时必有p ?q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4.由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题的假命题．

[点评] 只要使P Q 的a 的值都满足题设要求，

∴???

1－a 5≤121＋a 5≥1，(等号不同时成立)∴a ≥4.

因此选取的a 的值满足a ≥4的都可以．

21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，面A 1ACC 1⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C ，求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成的锐二面角的大小．

[解析] 过A 1作A 1O ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥平

面ABC ，以O 为原点，OC 、OA 1分别为y 轴、z 轴建立坐标系，易证A (0，－3，0)，B (263，33，0)，A 1(0,0，3)，则AB →＝(263，433

，0)，AA 1→＝(0，3，3)，则平面ABC 的法向量n 1＝(0,0，3)．

则平面A 1ABB 1的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则

n 2·AB →＝(263，433，0)·(x ，y ，z )＝263x ＋433

y ＝0，∴x ＝－2y . ∵n 2·AA 1→＝(0，3，3)·(x ，y ，z )＝3y ＋3z ＝0，

∴y ＝－z .

令z ＝1，则x ＝2，y ＝－1，∴n 2＝(2，－1,1)．

又设平面A 1ABB 1与平面ABC 所成的二面角的大小为θ，

则cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12

，∴θ＝60°. ∴面ABC 与面A 1ABB 1所成的锐二面角的大小为60°.

22．(本小题满分14分)(2010·安徽理，19)已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，

焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12

. (1)求椭圆E 的方程；

(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程；

[解析] 本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与

一般方程，点到直线的距离公式．点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识．

解题思路是：(1)利用待定系数法求标准方程．(2)利用向量法或角平分线的性质求直线方程．(3)利用平方差法或代数法判定是否存在这样一点．

解：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1，(a >b >0) 由e ＝12，即

c a ＝12

，a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2. ∴椭圆的方程具有形式x 24c 2＋y 2

3c 2＝1. 将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212

＝1. (2)解法1：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以

直线AF 1的方程为：y ＝34

(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.直线AF 2的方程为：x ＝2. 由点A 的椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数．

设P (x ，y )为l 上任一点，则

|3x －4y ＋6|5

＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)．

于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10得2x －y －1＝0，

所以直线l 的方程为：2x －y －1＝0.

解法2：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，

∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)．

∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|

＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)． ∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6lbl.html