考研数学线性代数强化资料-逆矩阵与初等矩阵

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2017考研已经拉开序幕，很多考生不知道如何选择适合自己的考研复习资料。中公考研辅导老师为考生准备了【线性代数-逆矩阵与初等矩阵知识点讲解和习题】，希望可以助考生一臂之力。同时中公考研特为广大学子推出考研集训营、专业课辅导、精品网课、vip1对1等课程，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，欢迎各位考生了解咨询。

模块四逆矩阵与初等矩阵

Ⅰ教学规划

【教学目标】

1、全面复习逆矩阵的基本概念和常用性质、公式

2、系统掌握矩阵可逆性的讨论及逆矩阵的计算方法

3、系统掌握伴随矩阵的概念、性质和常用公式

4、掌握初等矩阵与初等变换的基本关系

5、理解初等矩阵与逆矩阵的本质联系

【主要内容】

1、逆矩阵的概念和性质

2、伴随矩阵的概念、性质和常用公式

3、矩阵可逆性的讨论

4、逆矩阵的计算

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 5、矩阵方程的求解

6、初等变换与初等矩阵

【重难点】

1、伴随矩阵相关的计算与证明

2、矩阵可逆性的讨论

3、矩阵方程的求解

Ⅱ 知识点回顾

一．逆矩阵

1.定义

对于一个n 阶方阵A ，如果存在一个n 阶方阵B ,使得AB =BA =E ，则称矩阵A 为可逆矩阵，并称矩阵B 为矩阵A 的逆矩阵，记作-1

B =A . 2.性质

性质一：若A 可逆，则A 逆矩阵是唯一的.

性质二：若A 可逆，则1,T -A A 均可逆，且()

()()1111,T T ----==A A A A . 性质三：若A,B 为同阶可逆矩阵，则AB 可逆，且()111---AB =B A . 推广：()111112-11m m m ----A A ...A =A A ...A ，()()11n

n --=A A . 性质四：若A 可逆，且0k ≠则k A 可逆，且()

111k k ---=A A .

性质五：若A 可逆，则11-=A A . 性质六：若A,B 均可逆，则???? ? ?????A O O B ,O B A O 均可逆且111---???? ? ?????

A O A O =O

B O B ，111---???? ? ?????

O B O A =A O B O .

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 二．伴随矩阵

1.定义

设ij A 为n 阶矩阵A 的代数余子式，定义1121112222*12......()...............n n ji n

n nn A A A A A A A A A A ?? ? ?== ? ???

A 为A 的伴随矩阵. 2.性质

定理1：设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵，则有**

==AA A A A E . 3.可逆的充要条件

定理2：设A 为n 阶方阵，则A 可逆的充要条件为0≠A .

定理3：设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-A =B .

三．初等矩阵

1．初等行（列）变换

我们对矩阵可以做如下三种初等行（列）变换：

a.交换矩阵的两行（列）；

b.将一个非零数k 乘到矩阵的某一行（列）

c.将矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行上.

2．初等矩阵

对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种：

1）交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.

2）将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.

3）将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 3.矩阵的等价

如果矩阵A 经过有限次初等变换之后可以变成B ，则称矩阵,A B 等价，记作?A B .

4.重要定理

定理4：对矩阵A 左乘一个初等矩阵，等于对A 作相应的初等行变换；对矩阵A 右乘一个初等矩阵，等于对A 作相应的初等列变换.

定理5：所有初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵均为同类的初等矩阵.具体来说，我们有1ij ij -=E E ，()11()()i i k k

-=E E ，()1()()ij ij k k -=-E E . 定理6：矩阵A 可逆的充要条件是它能表示成有限个初等矩阵的乘积，即12...m =A PP P ，其中12,,...,m P P P 均为初等矩阵.

定理7：矩阵A 与矩阵B 等价的当且仅当存在可逆矩阵P,Q 使得PAQ =B . 定理8：设A 与B 均是m n ?型矩阵，则()()A B r A r B ??=.

Ⅲ 考点精讲

一．逆矩阵的计算

【例1】：计算下列矩阵的逆矩阵

（1）1234??= ???A （2）223110121?? ?=- ? ?-??

A 【答案】：（1）213122-?? ? ?-?? （2） 143153164--?? ?-- ? ?-??

●小结：对于数字型的矩阵，在求其逆矩阵的时候常用的方法是利用初等行变换和伴随矩阵.

（1）利用初等行变换：设A 为n 阶可逆矩阵，我们可以通过初等行变换来计算其逆矩阵.对分块矩阵()A E 做初等行变换，将矩阵A 化为E ，此时的E 就化为了1-A ，也即()()??→-1A E E A 行.需要注意的是只能做行变换.

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查看更多考研数学辅导资料 【例2】：已知0052002112001100A ?? ? ?= ?- ???

，求1A -. 【答案】：001/32/3001/31/312002500?? ?- ? ?- ?-??

【例3】： 设矩阵A 满足2A 40A E +-=,其中E 为单位矩阵，求()1

A E --. 【答案】：

1(2)2

A E + 【例4】：已知2A A =，求()1A E -+.

【答案】：1(2)2A E -

-

【例5】：设A 为n 阶矩阵32=A E ，22=-+B A A E ，求1-B .

【答案】：22

()A A E ++

【例6】：设ξ为3维列向量，满足1T ξξ=，E 为三阶单位矩阵，T A =E +ξξ.

（1）证明：232-+A A E =O ，（2）求()1-A +E . 【答案】：（2）1(4)6

A E --

【例7】：设A 、B 均为n 阶方阵，满足AB A B =+.证明（1）A E -可逆；（2）AB BA =.

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 【例8】：已知()()110002300,0450006

7A B E A E A -?? ?- ?==+- ?- ?-??，求()1E B -+. 【答案】：

1()2

E A + 【例9】：设-1-1A,B,A +B,A +B 均为n 阶可逆矩阵，则()-1-1-1A +B

= . （A ）-1-1A +B （B ）A+B （C ）()-1A A +B B （D ）()-1A +B

【答案】：C

●小结：对于抽象矩阵的来说，要求其逆矩阵一般的方法是利用矩阵可逆的定义及性质.

（1）利用定义：设A 为n 阶方阵，如果能得到AB E =或BA E =，则有1

A B -=.这是计算抽象矩阵逆矩阵最常用的方法，一般来说，当题目中给出了相关矩阵的等式时，就可以通过相关运算法则进行变形，从而凑出等式AB E =或BA E =.

（2）利用相关性质：一般来说，我们在利用定义计算逆矩阵时，还会结合逆矩阵的相关性质，考生要熟练掌握相关的公式，灵活运用.需要注意的是，我们没有总结的公式考生不能随便使用，例如A+B ，A-B 等矩阵的逆矩阵是没有直接的计算公式的. 二．伴随矩阵

【例10】：1）设123045006?? ?= ? ???

A ，则()1*-=A . 2）设1000010020100

208?? ? ?= ? ???B ，则()*1-=B . 【答案】：1）

124A ,2）18B

【例11】：设A 和B 分别为m 阶和n 阶可逆矩阵，?? ???

A O C =O

B ，则()*=

C （A ）?? ???A A*

O O B B* （B ）?? ???

B B*O O A A*

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 （C ）*

*?? ? ??

?A B O O B A （D ）?? ???B A*O

O A B* 【答案】：D

【例12】：已知1234012300120

001A ?? ? ?= ? ???

，求A 中所有代数余子式之和4411ij j i A ==∑∑. 【答案】：0

【例13】：已知1210000

00,00

00000i n n

a a A a a a -?? ? ? ?=≠ ? ? ??? ，求12k k kn A A A +++ . 【答案】：()11

11n n i i k a a +=-? 【例14】：设A 为n 阶方阵，证明：1*n -=A A .

【例15】：已知A 为3阶非零矩阵，T A A *=，证明：0A ≠.

【例16】：已知

A 为3阶非零矩阵，ij ij A a =-，求A .

【答案】：

1-

●小结：与伴随矩阵相关的考题是本章考试的难点之一，一般来说，我们在处理伴随矩阵的三．可逆性的讨论

【例17】：证明:奇数阶反对称矩阵不可逆.

【例18】：设A 是n 阶矩阵，≠A E 且满足2

=A A 矩阵，证明：0=A .

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【例19】：设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，其中n m <，证明：0=AB .

【例20】：设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵

?? ???T *E O P =-αA A ，b ?? ???

T A αQ =α，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵 （1）计算并化简PQ

（2）证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是b T -1αA α≠

【答案】：

（1）0A b T *α-αA αA ?? ?+??

等价的描述方式，具体的内容在讲义中有详细的介绍.从解题的角度来说，说明一个矩阵A 不满秩；证明Ax =0有非零解；说明0是矩阵A 的特征值等.证明可逆类似.

四．矩阵方程

【例21】：设矩阵101020101A ??

??=??????

，矩阵X 满足2AX +E =A +X ，试求矩阵X . 【答案】：201030102??????????

【例22】：已知*1110000100,3101003

08A ABA BA E --?? ? ?==+ ? ?-??

求矩阵B . 【答案】：6000060060600301?? ? ? ? ?-??

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【例23】：已知矩阵100011110,101.111110A B ???? ? ?

== ? ? ? ?????且矩阵X 满足

,AXA BXB AXB BXA E +=++其中E 是3阶单位阵，求X .

【答案】：125012001??

?

? ???

【例24】：假设A,B 均为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，若B =E +AB,C =A +CA ，则

B -

C =（ ）

（A ）E （B ）-E （C ）A （D ）-A

【答案】：A

●小结：一般来说，矩阵方程最终可能化为如下三种情况之一：AX =B ，XA =B ，

AXB =C .其求解方法分别为：?-1AX =B X =A B ，?-1XA =B X =BA ，

?-1-1AXB =C X =A CB .先计算出相应的逆矩阵，再做矩阵的乘法即可.

五．初等变换与初等矩阵

【例25】：设A 为3阶矩阵，将A 的第一行与第二行交换之后得到B ，再把B 的第二行加到第三行得到C ，求满足PA C =的可逆阵P .

【答案】：010100101??

?

? ???

【例26】：设

1112

13142122232431323334414243

44a a a a a a a a a a a a a a a a ??

? ?= ?

???A ，

14

13121124

2322213433

323144

43

42

41a a a a a a a a a a a a a a a a ?? ? ?

= ? ???

B ， 10001010000101

000?????

?=??

????P ，21

000001001000

001??

????=??

?

?

??

P ，则1-=Β . (A)-1

12A P P (B)-1

12P A P (C)-1

12P P A (D)-1

21P A P

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中公考研，让考研变得简单！ 查看更多考研数学辅导资料 【答案】：C

【例27】：设A 为n 阶可逆矩阵，将A 的第一行加到第二行得到B ，又设**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，则有（ ）.

(A)将*A 的第一列加到第二列得*B (B)将*A 第一列的1-倍加到第二列得*B

(C)将*A 的第二列加到第一列得*-B (D)将*A 第二列的1-倍加到第一列得*

B

【答案】：D

【例28】：设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且112?? ?= ? ???

-1P AP ，()123,,ααα=P ，()1223Q =α+α,α,α则-1Q AQ =（ ）

（A ）121?? ? ? ??? （B ）112?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ??? （D ）221?? ? ? ???

【答案】：B

Ⅳ 测试成绩

在紧张的复习中，中公考研提醒您一定要充分利用备考资料和真题，并且持之以恒，最后一定可以赢得胜利。更多考研数学复习资料欢迎关注中公考研网。

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