7 二次函数与幂函数

7.二次函数与幂函数

二次函数见【附录】 1．幂函数的概念 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2.常用幂函数的图像与性质

1．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(

)

2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝( )

4ac－b2bb

A．－ B．－ C．c

2aa4a

3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( ) A．[1，＋∞] B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2]

3

4．已知点M ，3 在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( )

3

A．f(x)＝x B．f(x)＝x

2

－2

1

C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2

－

1

1

5．设α∈ －1，1，23 ，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

【例1】 (2014年浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b. 其中正确的是( )

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 【练1】．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)( ) A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B．在(－∞，3)上递增 C．在[1,3]上递增 D．单调性不能确定 【例2】 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.

(1)若函数f(x)的最小值为f(－

1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围． 【例3】 下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )

1

A．①y＝3，②y＝x，③y＝x2y＝xC．①y＝x，②y＝x，③y＝x2y＝x

2

3

1

2

1

－1

B．①y＝x，②y＝x，③y＝2，④y＝x1

－

32

1

－1

D．①y＝3，②y＝x2y＝x2，④y＝x1

－

11

【练2】．当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x

－2

的大小关系是________．

【例4】 已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．

【例5】 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值． 【练3】设函数y＝x2－2x；x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．

1．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2

2．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为( ) A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b

3．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( )

A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2) C．f(0)<f(2)<f(－2) D．f(2)<f(0)<f(－2) 14．(2014年惠州模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点 ，则log4f(2)的值为( )

2211

A. B．－ C．2 D．－2 44

5.幂函数y＝xm2－2m－3(m

∈Z)的图象如图所示，则m的值为( )

A．－1<m<3 B．0 C．1

2

D．2

g x ＋x＋4，x<g x ，6．设函数g(x)＝x－2(x∈R)，f(x)＝ 则f(x)的值域是( )

g x －x，x≥g x ，

99

－，0 ∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C. －，＋∞ A. 4 4 二、填空题

9

－，0 ∪(2，＋∞) D. 4

7．若二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c的值域是[0，＋∞)，则a＋c的最小值为________． 8．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________． 9．当x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，那么2x＋3y2的最小值为________． 三、解答题

10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x

－5m－3

，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？

11．(2014年玉林模拟)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

12．(能力提升)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．

附录

一元二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x) ax2 bx c(a 0) ②顶点式：f(x) a(x h)2 k(a 0) ③两根式：f(x) a(x x1)(x x2)(a 0)

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便． （3）二次函数图象的性质

①二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x

b

,顶点坐标是2a

b4ac b2( ,)． 2a4a

②当a 0时，抛物线开口向上，函数在( ,

bbb

]上递减，在[ , )上递增，当x 时，2a2a2a

4ac b2bb

]上递增，在[ , )上递减，fmin(x) ；当a 0时，抛物线开口向下，函数在( , 2a2a4a4ac b2b

当x 时，fmax(x) ．

2a4a

2

③二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)当 b 4ac 0时，图象与x

轴有两个交点

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2| |x1 x2|

． |a|

（4）一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程ax bx c 0(a 0)的两实根为x1,x2，且x1 x2．令f(x) ax bx c，从以

下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x 符号．

△＝b－4ac≥0af(k)＞0

①k＜x1≤x2 b

－＞k2a

2

2

b

③判别式： ④端点函数值2a

2

2

△＝b－4ac≥0af(k)＞0

②x1≤x2＜k

b

－k2a

③x

1＜k＜x2 af(k)＜0

④k＜x≤x＜k

1

1

2

2

△＝b－4ac≥0a＞0f(k1)＞0f(k2)＞0

bk1＜－k2

2a

2

或

△＝b－4ac≥0a＜0f(k1)＜0

f(k2)＜0

bk1＜－k2

2a

2

⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2) 0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

a＞0 f(k)＞0

⑥k＜x＜k≤p＜x＜p f(k)＜0

f(p)＜0 f(p)＞0

1

1

1

2

1

2

2

212

a＜0

f(k)＜0

0或 f(k)＞

f(p)＞0 f(p)＜0

1212

此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)在闭区间[p,q]上的最值 设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0

（Ⅰ）当a 0时（开口向上）

最小值

① 若

1

(p q)． 2

bbb p，则m f(p) ②若p q，则m f( ) 2a2a2a

x

x

f(q)

2a

x

最大值

① 若 bb x0，则M f(q) ② x0，则M f(p) 2a

x

(Ⅱ)当a 0时(开口向下)

①若 b2a p，则M f(p) x

f

③若 b

2a

q，则M f(q) x

①若 b2a x0，则m f(q)

x

f

2a

x

最大值

②若p b2a q，则M f( b2a

)x

f

最小值

② b2a

x0，则m f(p)． x

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