博弈论书后习题

第一章

1．下图是两人博弈的标准式表述形式，其中参与者1的战略空间S1?{U,D}，参与者2的战略空间S2?{L,R}。

参与者2 RLU参与者1 De,fg,h

这里a,b,c,d,e,f,g,h为参数。

（1） 设S*?(U,L)是此博弈的占优战略均衡，问：上述参数之间应满足哪些条件？ （2） 设S*?(U,R)是此博弈的逐步剔除严格劣战略均衡，问：上述参数之间应满

足哪些条件？（用两种剔除顺序讨论）

（3） 设S*?(D,R)是此博弈的纳什均衡，问：上述参数之间应满足哪些条件？ （4） 设S1?(U,L)和S2?(D,R)是此博弈的纳什均衡，问：上述参数之间应满

足什么条件？这时两个参与者有无严格劣战略？

2．在下图所示的标准式表述的博弈中，找出逐步剔除严格劣战略均衡。

**a,bc,dLU参与者1 MD4，32，13，0参与者2 M5，18，49，6R6，23，62，8 3.在下图所示的标准式表述的博弈中，哪些战略不会被重复剔除严格劣战略所剔除？纯战略纳什均衡又是什么？

LT参与者1 MB2，03，41，3参与者2 C1，11，20，2R4，22，33，0 4.下图所示的标准式表述的三人博弈中，参与者1的战略空间S1?{U,D}，参与者2的战略空间S2?{L,R}，参与者3的战略空间S3?{A,B,C}。参与者1选择两行中的某一行，参与者2选择两列中的某一列，参与者3选择三个矩阵的某矩阵。找出此博弈的纯战略纳什均衡。

LUD0,1,31,1,1AR0,0,01,0,0LUD2,2,22,2,0BR0,0,02,2,2LUD0,1,01,1,0CR0,0,01,0,3

5.(投票博弈)设有三个参与者(i?1,2,3)要在三个项目（A,B和C）中投票选出一个。三个参与者同时投票，不允许弃权。因此，三个参与者的战略空间为

Si?{A,B,C}(i?1,2,3)。得票最多的项目被选中。如果没有任何项目得到多票数，那么项

目A就被选中。某个项目被选中后三个参与者的收益函数如下：

u1(A)?u2(B)?u3(C)?2 u1(A)?u2(C)?u3(A)?1 u1(C)?u2(A)?u3(B)?0

（1） 写出此博弈的标准式表达； （2） 求出此博弈的纯战略纳什均衡。

6.两个人分5只乒乓球，每个人独立地提出自己想得到的数量。设参与者1想得到s1只

乒乓球，参与者2想得到s2只。两人的战略空间为Si?{1,2,?，5}，i?1,2。分配规则是：如果s1?s2?1，那么每个参与者均能得到自己想要的数量；如果s1?s2?5，那么两个参与者将什么也得不到。

（1）画出此博弈的标准式表述； （2）找出此博弈的纯战略纳什均衡。

7.俩人分一块蛋糕，每个人独立地提出自己想要的份额。设s1为参与者1想要的份额，

s2为参与者2想要的份额，s1，s2的可行集为[0，1]。分配规则是，如果s1?s2?1，那

么每人均能得到自己想要的份额，如果s1?s2?1，那么俩人什么也得不到，试证明：在此博弈中，任何满足关系式s1?s2?1的战略组合（s1，s2）都是博弈的纯战略纳什均衡。

8.假定库诺特寡头竞争模型中有n个企业，设企业i的产量为qi(i?1,2,?，n)，总供

给

为

****Q?q1?q2???qn。假设市场逆需求函数为

p(Q)?a?Q[当Q?a时，有p(Q)?a?Q；当Q?a时，p(Q)?0]。企业i生产qi的

总成本ci(qi)?cqi(i?1，2，?，n)，即不存在固定成本，且各企业的边际成本相同，均为c（设c?a）。假定各企业同时选择各自的产量。

（1）求出此博弈的纳什均衡；

（2）问：当n趋向无穷大时，均衡结果会时怎样？

9.考虑库诺特双寡头垄断竞争模型的战略空间有限的情况。每个企业要么选择生产垄断产量的一半s1?q/2?(a?c)/4，要么选择生产库诺特均衡产量

*s2?q1?q2?(a?c)/3，其他任何产量都是不允许的。

（1）画出此博弈的标准式表述形式；

（2）检验这一非此即彼的博弈是一个囚徒困境型的问题，即每一个企业都有一个严格劣战略，并且在均衡状态下，每个企业的利润都比他们相互合作时要小。

10.在库诺特双寡头垄断竞争模型中，如果两企业的边际成本不同，设企业1为c1，企业2为c2，其它条件不变。

（1）当0?ci?a/2(i?1,2)时，求出两企业的纳什均衡产量；

**（2）当c1?c2?a,而2c2?a?c1时,纳什均衡还存在吗？试就

a?4，c1?1，c2?3，画出两个企业的反应函数，并加以解释。

11.考虑伯川德双寡头垄断竞争模型中的两个企业之间进行的是价格竞争，而不是产量竞争的情况。假定两个企业生产的产品是完全替代的，并且无固定成本，边际成本为c。企业1选择的价格为p1，企业2选择的价格为p2。如果p1?p2，这时1企业的市场需求函数是Q1?a?p1，企业2的市场需求为0；如果p1?p2，这时企业1的市场需求为0，企业2的市场需求函数为Q2?a?p2；如果p1?p2?p，这时市场需求在两个企业之间平分，即Q1?Q2?(a?p)/2。问：纳什均衡价格是什么？

12.考虑产品有差异时的价格竞争。假定两个企业的产品并不完全相同，企业1和企业2的产品单位成本分别为c1和c2，他们选择的价格分别为p1和p2。设企业1的市场需求函数为Q1(p1,p2)?a?p1?p2，这表明Q1随着p1的上升而减少，随着p2的上升而增加；企业2的市场需求函数为Q2(p1,p2)?a?p2?p1。两个企业同时选择价格。求此价格竞争博弈的纳什均衡。

13.求下图所示标准式表述的博弈的混合战略纳什均衡。

参与者2LU参与者1R0，23，0C

2，11，2D14.求第3题给出博弈的混合战略纳什均衡。

15.斗鸡博弈故事的一种版本是，两个人相遇在一个独木桥上，每个人要选择是自己先过还是让对方先过。如果两个人选择T（表示“强硬”，自己要先过），那么他们将在桥中间顶牛，甚至掉如水中，这时每个人得到的效用为-1；如果两个人均选择W（表示“软弱”，让对方先过），那么他们都将在桥头等待，这时每个人得到的效用为0；如果一个人选择T而另一个人选择W，那么选择T的人将先过河，得到的效用为2，选择W的人将后过河，得

到的效用为1。（有人又称这一博弈为“鹰鸽博弈”。他们将战略T解释为“鹰派”，将战略W解释为“鸽派”）

（1）求此博弈的混合战略纳什均衡；

（2）如果再补充一个信息：两个人是一男一女。你认为此博弈的两个纯战略纳什均衡，哪一个应作为聚焦均衡？

16.(空袭博弈)A军有一架轰炸机，它可以接受指令选择摧毁两个目标中的任一个。B军有一门防空导弹，它可以选择保护两个目标中的任一个。如果目标不设防且A去打击它，该目标就一定被摧毁；如果目标配备导弹防御且A去打击它，那么导弹将击落飞机，目标受保护。设飞机价值为a，导弹价值为d，目标1与目标2的价值分别为u1与u2。双方收益以战果计算。求此博弈的混合战略纳什均衡，并就四个参数a,d,u1,u2相对大小（即飞机、导弹、目标1和目标2的相对重要性）对均衡结果作一些讨论。

17.针对猜硬币博弈，解答下列问题：

（1）建立参与者1与参与者2的最优反应对应关系； （2）分别画出两个参与者的最优反应对应图形；

（3）观察两个参与者的最优反应对应图形的交点，找出博弈的纳什均衡（包括纯战略的和混合战略的）。

18.针对性别战博弈，解答下列问题：

（1）建立参与者1与参与者2的最优反应对应关系； （2）分别画出两个参与者的最优反应对应图形；

（3）观察两个参与者的最优反应对应图形的交点，找出博弈的纳什均衡（包括纯战略的和混合战略的）。

19.证明：在n个参与者的标准式博弈G?{s1,?,sn；u1,?,un}中，如果战略组合为（提示：用反证(s1,?,sn)是一个纳什均衡，那么它不会被逐步剔除严格劣战略所剔除。法。）

20.证明：有n个参与者的标准式博弈G?{S1,?,Sn；u1,?,un}，且G为有限博弈。如果逐步剔除严格劣战略后剩下的战略组合为(s1,?,sn)，那么这一战略组合是博弈的唯一的纳什均衡。（提示：惟一性已由第19题得到证明，证明(s1,?,sn)是纳什均衡仍用反

******

证法。）

第二章

1.参与者1(丈夫)和参与者2(妻子)必须独立地决定出门郊游时是否带上雨伞。他们知道下雨的概率是50%。每个人的收益如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带伞者（沾点光）的效用为-3；不下雨时带伞者的效用为-1,不带伞者的效用为0。如果两个都带伞，下雨时每人的效应为-2，不下雨时每人的效用为-1。如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。试就下列三种情况给出博弈的扩展式表述（博弈树）和标准式表述（收益的双变量矩阵）。

(1)

两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞，即每一方在决策时都不知道对方的决策；

(2)

两人出门前都不知道是否会下雨，但参与者1先决策，参与者2在观察到参与者1是否带伞后再决定自己是否带伞；

(3)

参与者1出门前知道是否会下雨，参与和2不知道，但参与者1先决策，参与者2决策。

2.下图所示的博弈树表示一个动态博弈。 （1）分别写出参与者1和参与者2的战略；

（2）写出此博弈的标准式表述（双变量矩阵），并找出纳什均衡；

（3）如果将图中参与者2的三个决策结用虚线连接连结起来，也就是参与者2只有一个信息集，写出这时参与者2的战略，并找出纳什均衡。

1ABC2L(5,3)RL2RL(3,3)(6,2)2R(2,3)(2,4)(3,2) 3.下面是一个有两个参考者的三阶段动态博弈。

（1）设a?100,b?150,试用逆向归纳法求此博弈的子博弈精炼纳什均衡（写出均衡战略、均衡路径与均衡收益）；

（2）要使参与者2能获得不低于300的收益， a,b应满足什么条件？

1AB2(300,0)1(200,200)(50,300)(a,b) 4.用逆向归纳法的思想，求下图所示的扩展式表述博弈的子博弈纳什均衡（写出各阶段均衡战略、均衡收益）

1L(2,2)L'R2R'1(3,1)A2ＣＤＣＤB(２,－２)(－２,２)（－２,２）(２,－２) 5.在一个由三寡头垄断竞争的市场中，市场需求函数由P?100?Q给出，这里。已知三个企业生产的边际成本Q?q1?q2?q3，其中qi表示企业i的产量（i?1,2,3）为2，并且没有固定成本。

（1）各企业按下述顺序进行产量决策：①企业1和企业2先同时选择产量q1、q2；②企业3观测到q1、q2，再选择产量q3。求此博弈的子博弈精炼解（各企业均衡产量和利润）。

（2）各企业按下述顺序进行产出决策：①企业1选择产量q1；②企业2和企业3观测到q1，并同时选择产量q2、q3。求此博弈的子博弈精炼解。

6.双寡头垄断价格竞争博弈：企业1选择的价格为p，企业2选择的价格为q。企业1的利润函数是?1??(p?aq?c)2?q 企业2的利润函数是?2??(q?b)2?p求解

（1）两个企业同时决策时的纯战略纳什均衡； （2）企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡； （3）企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡；

（4）是否存在参数a,b,c的特定值或区域，使两个企业都希望自己先决策？ 7.考虑如下双寡头垄断市场带战略性投资博弈：企业1和企业2目前情况下的单位生产成本都是c?2。企业1筹划引进一项新技术可以使单位生产成本降低到c?1，但引进该项目技术需要的投资为f。第一阶段，企业1选择是否投资；第二阶段，企业2可以观察到企业1的决策，这时两企业同时选择产量（库诺特博弈）。假定市场逆需求函数为

p?14?(q1?q2)，这里q1,q2分别是企业1、2选择的产量，p是市场价格。问投资f处

于什么水平，企业1将会投资引进新技术？

8.假设一个工会是一完全垄断市场中所有企业的惟一的劳动力供给者。令博弈各方行动的时间顺序类似于3.4.2小结的模型。①工会确定单一的工资水平w，适用于所有企业。②每家企业i了解到并接受w，然后同时分别选择各自的雇佣人数Li。③工会的收益为

(w?w0)L，其中w0为工会成员到另外行业谋职可取得的收入，L?L1???Ln为工会在

本行业企业的总就业水平；企业i的利润为?(w,Li)，而决定企业i利润水平的因素如下：所有的企业都有同样的生产函数，即产出等于劳动投入，亦即qi?Li。市场总产量为

Q?q1???qn时市场逆需求函数P(Q)?a?Q.为使问题简化，假设企业除工资支出外

美元另外的成本。

（1）求此博弈的子博弈精炼纳什均衡；

（2）在子博弈精炼解中，企业的数量对工会收益有何影响？

9.某人正准备打一场官司，不请律师肯定要输掉这场官司，请律师的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）有0.5的概率能赢，而当律师不努力工作（10

小时）则只有0.15的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有任何赔偿。由于委托方无法监督律师工作，因此双方签订付费标准：赢官司时律师可获得赔偿金额的10%，输官司时律师只能拿到2万元固定的律师费。如果律师的效应函数为m?0.05e，其中m为报酬，e为工作小时数，且律师有机会成本5万元。

（1）试用扩展式表述（博弈树）描述这一动态博弈（提示：在努力与不努力的枝上，可以引入随机性参与者0，再生出输赢概率枝）；

（2）求此博弈的子博弈精炼纳什均衡。

10.将下图所示博弈作为阶段博弈重复二次，第二阶段博弈开始时第一次的行动能被双方观察到。假定贴现因子??1，并且参与者只选择纯战略。

LT参与者2 MB3，12，11，2参与者1 C0，01，20，1R5，03，14，4 （1）收益向量（4，4）能否作为子博弈精炼纳什均衡的战略组成出现在博弈的第一阶段？如果能，请给出双方的战略；如果不能，解释为什么。

（2）如果战略组合（B，L）的收益改为（1，5），问题（1）中的结论会发生什么变化？ 11.下图是我们早已熟悉的囚徒困境博弈。现将此博弈重复无限次，问贴现因子?满足什么条件，两个囚徒都采取触发战略[即在第一阶段选择“沉默”，且在第t阶段，如果所有前面t?1阶段的结果都是（沉默，沉默），则选择“沉默”；否则选择“坦白”]是无限次重复囚徒困境博弈的一个子博弈精炼纳什均衡。

12.两个人合作开发一项产品，开发工作能否获得成功与两人的工作态度有关，设成功概率如下：

参与者2 努力 努力 偷懒 9/16 3/8 偷懒 3/8 1/4 参与者1

假设成功时每人的收益为4，失败时每人收益为0。偷懒者的机会成本为1。 （1）构造此博弈的收益矩阵；

（2）将上述博弈重复无限次，双方采取触发战略：开始时努力，一旦发现对方偷懒，则自己业偷懒。问贴现因子?满足什么条件，能使触发战略组合构成一个子博弈精炼纳什均衡。

13.现将3.6.2小节讨论的无限次重复库诺特模型博弈稍加改变：将两个企业扩充为n个企业，其他条件不变。

（1）如果在某一阶段博弈中，除了企业i之外，其余n?1个企业都生产垄断产量

qm?(a?c)/2的 平均产量qm/n?(a?c)/2n，企业i为了追求最大利润，它的最优产

量qi是多少？相应的最大利润是多少？

（2）在无限次重复博弈中，n个企业采取触发战略：首先生产量qm/n?(a?c)/2n，此后继续选择生产qm/n，直到有一个企业选择偏离qm/n，然后永远选择阶段博弈的均衡产量（参见第2章思考题第8题）。问贴现因子?满足什么条件，能使触发战略组合构成一个子博弈精炼纳什均衡？

（3）当n充分大时，试就?的变化趋势，分析各个企业采取触发战略产生的默契合作难易程度。

第三章

1.考虑如下静态贝叶斯博弈：①自然决定收益情况，由下图(a)或(b)给出，选择(a)或

(b)的概率分别为p或1?p；②参与者1知道自然选择了(a)还是(b)，但参与者2不知道；

③参与者1和参与者2同时行动（参与者1选择T或B，同时参与者2选择L或R）。

（1）给出此博弈的扩展式表述（博弈树）； （2）求此博弈纯战略贝叶斯纳什均衡。

参与者2参与者2LT参与者1R0，0参与者1LTB0，00，0R0，0２,２（b）1，10，0B0，0（a）

2.考虑一个静态贝叶斯博弈G?{A1,A2;T1,T2;p1,p2;u1,u2}，其中行动空间为

A1?{U(t1),D(t2)}，这里t1?T1;A2?{L(t2),R(t2)}，这里t2?T2。类型T1?{t11,t22}，

即参与者1有两种类型；T2?{t21}，即参与者2只有一种类型，因此A2又可简化为

A2?{L,R}。推断p1?(1/2,1/2),p2?1。参与者1和2的收益函数由下图(a)和(b)给

出。

参与者2参与者2LU(t11)R5，412,10 U(t12)L6，010，12R0，103，10 10，68，0参与者1D(t11)参与者1D(t12)（a）参与者1的类型t1= t11（1）写出参与者1的战略空间S1；

（b）参与者1的类型t1= t12（2）找出参与者1的严格战占优略（提示：仿照4.1.4小节图4-3的方法），并由此结果求出该博弈的贝叶斯纳什均衡；

（3）如果p1?(0.6,0.4)，该博弈的贝叶斯纳什均衡有无变化？

3.对4.2.1小节的不完全信息库诺特模型博弈稍加扩充，假定企业1也有高低两种成本（类型）。设企业1的单位成本可能是高成本CH?5,也可能是低成本CL?4,推断

12p1?P(C1?CH)?2/3；企业2的单位成本可能是高成本CH?6，也可能是低成本22推断p2?P(C2?CH)?1/2，且a?10。每个企业知道自己的成本是高还是低，CL?3，

11但对方不知道，所有这些都是共同知识。试求此博弈的贝叶斯纳什均衡产量。

4.考虑下面的贝特兰德双寡头垄断模型在非对称信息下的情况，两企业的产品存在差异。对企业i的需求是qi(pi,pj)?a?pi?bipj(i,j?1,2,i?j)，两企业的成本都是0。企业i的需求对企业j的价格pi的敏感程度bi有高低两种类型：bi可能等于bH，也可能是

bL，这里

bH?bL?0(i,j?1,2,i?j)。对于每一个企业有

P(bi?bH)?p,P(bi?bL)?1?p，并与bi的值无关。每个企业i知道自己的bi，但不知

道对方的，所有这些都是共同知识。

（1）此博弈中的企业1和企业2的行动空间、类型空间、推断以及收益函数各是什么？ （2）双方的战略空间各是什么？

（3）此博弈对称的纯战略贝叶斯纳什均衡应满足哪些条件按？求出均衡解。 5.下图所示完全信息静态博弈是第2章2.3节所示的猜硬币博弈，该博弈不存在纯战略纳什均衡，但有一个混合战略纳什均衡，即每个参与者都以1/2概率选择正面。

参与者2正面正面参与者1反面1，-1-1，1 -1，11，-1反面试设计一个与该博弈相对应的不完全信息的静态贝叶斯博弈，验证海萨尼论断，即该完全信息静态博弈的混合战略纳什均衡是不完全信息（微扰动）博弈的贝叶斯纯战略均衡的极限。

6.两个企业同时决定是否进入某个市场。两个企业的进入成本为ci?[0,c]是企业

i(i?1,2)的私人信息，另一个企业只知道ci在[0,c]上均匀分布。只有一个企业i进入市场

时其收益为H?ci；两个企业都进入市场时各自的收益为L?ci(i?1,2)；两个企业都不进入市场时各自收益为0，这里H?L?0。求此博弈的贝叶斯纳什均衡。

第四章

1.对下列两个扩展式博弈，分别写出其标准式表述形式，并且找出所有的纯战略纳什均

衡、子博弈精炼纳什均衡以及贝叶斯均衡。

1L[p]L′R′RM(2,2)2L′[1-p]R′(4,1)(0,0)（3,0）(a)1L[p]2R′L′M′(0,1)

RM[1-p]R′(2,4)L′M′(1,3)(1,2)(4,0)(4,0)(0,2)(b)(3,3) 2.检验在下图所示扩展式博弈中不存在纯战略精炼贝叶斯均衡，并求出其混合战略精炼贝叶斯均衡。

1L[p]L′R′RM(2,2)2L′[1-p]R′(3,0)3.考察下图所示博弈。

(0,1)（0,1）(3,0) 1D2L[p]L′R′A(2,0,0)R3L′[1-p]R′(1,2,1)(3,3,3)（0,1,2）(0,1,1)

（1）验证（D，L，R′）是惟一的子博弈精炼纳什均衡；

（2）运用精炼贝叶斯均衡定义体现的要求1～4，检验均衡战略（D，L，R′）和均衡推断p?1共同构成博弈的精炼贝叶斯均衡；

（3）验证（A，L，L′）和p?0是博弈的一个纳什均衡；

（4）验证（A，L，L′）和p?0满足精炼贝叶斯均衡定义体现的要求1～３，但不满足要求4，因此，（A，L，L′）和p?0不能构成精炼贝叶斯均衡。

4.求出下图所示信号博弈d额一个共用战略精炼贝叶斯均衡，其中两种类型的发送者都选择信号R。问：该信号博弈有分离战略精炼贝叶斯均衡吗？

~(1,2)uLu1R1/2N(0,1)(2,0)(0,0)d2uLt1t212du（3,0）(1,0)1/2R(3,1)dd(2,2) 5.下图所示3种类型信号博弈由是自然（N）开始行动(图上没有表示出来)，N以同样的概率1/3赋予发送者3种类型，即P(ti)?1/3(i?1,2,3)。求出一个共用精炼贝叶斯均衡，其中3种类型的发送者都选择信号L。

(1,1)ud2ududLt1Rud2(0,1)(1,0)(2,1)(0,0)(1,1)Lt2Rud(0,0)(1,1)2Lt3R2ud(1,0)(0,0)(0,0)(2,1) 6.下图所示信号博弈和本章图5-10所示博弈同属于一类的完全非完美信息动态博弈（类型t1和t2可以看成图5-10中参与者1的行动L和M。如果信号博弈中发送者选择了R，则事实上博弈已经结束，与图5-10中参与者1选择R的情况类似）。

（1）求出此信号博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡； （2）求出此信号博弈的纯战略精炼贝叶斯均衡；

（3）分别将上述（1）和（2）的结果与图5-10中纳什均衡及精炼贝叶斯均衡相比较。

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