点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系

● 知识梳理 （一）.平面

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线的三点确定一个平面. ．．．

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面

1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

1.4异面直线所成的角：（1）范围：???0?,90??；（2）作异面直线所成的角：平移法. 2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行 3.平面与平面的位置关系：平行，相交

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.

a//??a//b??②判定定理：a????a//?③性质定理：a?? ??a//b?????b?b?????2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：???0?,90??

3.面面平行：①定义：???????//?；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：a,b??,a?b?O,a//?,b//???//?

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：a??,a????//?.

?//???//???????a?a//?③面面平行的性质：（1）；（2）??a//b ?a???????b??（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意a??,都有l?a，且l??，则l??.

a,b???a?b?O???②判定：l??（1）l??,a???l?a；??l??③性质：

?l?a?l?b??（2）

a??,b???a//b；

3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】OB?l,OA?l??AOB是二面角?－l??的平面角 范围：?AOB?[0?,180?]

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角??l??的平面角为90?，则???；

（2）判定定理：

a???????? a???????a???AB??（3）性质：①若???，二面角的一个平面角为?MON，则?MON?90?；②??a??

a???a?AB??● 热点例析

【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断

若a，b是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a?α，b?β，α∩β＝l，则( )． A．l与a，b分别相交 B．l与a，b都不相交

C．l至多与a，b中一条相交 D．l至少与a，b中的一条相交

解析：假设l与a，b均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交．选D.

热点二 线线、线面平行与垂直的证明

【例2】如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

(1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD．

(1)方法一：因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD. 又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos 60°＝3AD2，

222

所以AD＋BD＝AB.所以AD⊥BD.又AD∩D1D＝D， 所以BD⊥平面ADD1A1.

又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD.

方法二：因为D1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD(如图)， 所以BD⊥D1D.

取AB的中点G，连接DG(如图)．

在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD. 又∠BAD＝60°，

所以△ADG为等边三角形，因此GD＝GB， 故∠DBG＝∠GDB.

又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，

故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°， 所以BD⊥AD.

又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD. (2)如图，连接AC，A1C1.

设AC∩BD＝E，连接EA1.

1

因为四边形ABCD为平行四边形，所以EC＝AC.

2

由棱台定义及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC， 所以四边形A1ECC1为平行四边形． 因此CC1∥EA1.

又因为EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD， 所以CC1∥平面A1BD.

热点三 面面平行与垂直的证明

【例3】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝4，P为平面ABCD外一点，且PA＝PB，PD＝PC，N为CD的中点．

(1)求证：平面PCD⊥平面ABCD；

(2)在线段PC上是否存在一点E使得NE∥平面ABP？若存在，说明理由并确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明：取AB中点M，连接PM，PN，MN， 则PM⊥AB，PN⊥CD.

又ABCD为直角梯形，AB⊥BC，∴MN⊥AB. ∵PM∩MN＝M，∴AB⊥平面PMN. 又PN?平面PMN，∴AB⊥PN.

∵AB与CD相交，∴PN⊥平面ABCD.

又PN?平面 PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD.

11

(2)解：假设存在．在PC，PB上分别取点E，F，使BF＝BP，CE＝CP，连接EF，MF，NE，

44

3

则EF∥BC且可求得EF＝BC＝3.

4

∵MN＝3且MN∥BC，∴EF∥MN且EF＝MN. ∴四边形MNEF为平行四边形，∴EN∥FM. 又∵FM?平面PAB，

1

∴在线段PC上存在一点E使得NE∥平面ABP，此时CE＝PC.

4

热点四 折叠问题

例4如图所示，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP?AB， AB=BC=

1AP?2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将?PCD沿CD折起，使2得PD?平面ABCD． （Ⅰ）求证：AP//平面EFG；

P (Ⅱ) 求二面角G?EF?D的大小．

F P D A A

E B G C

解:(Ⅰ) 证明:连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．

∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//F E D B G

C 11CD,同理GO//CD, ?EF// GO 22?四边形EFOG是平行四边形, ?EO?平面EFOG．

又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,?PA//EO

EO?平面EFOG,PA?平面EFOG,

?PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．

方法二) 连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO． ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF//又CD//AB,?EF//11CD,同理GE//PB 221AB 2EG?EF?E,PB?AB?B,?平面EFG//平面PAB,

又PA?平面PAB,?PA//平面EFG．

方法三)如图以D为原点,以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系D?xyz． 则有关点及向量的坐标为:

P?0,0,2?,C?0,2,0?,G?1,2,0?,E?0,1,1?,F?0,0,1?,A?2,00?.

AP???2,0,2?,EF??0,?1,0?,EG??1,1,?1?

设平面EFG的法向量为n??x,y,z?

???y?0?x?z?n?EF?0??????.

x?y?z?0y?0???n?EG?0?取n??1,0,1?．

∵n?AP?1???2??0?0?1?2?0,?n?AP, 又AP?平面EFG． ? AP//平面EFG．

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形 ?AD?DC,又∵PD?面ABCD

?AD?PD 又PD?CD?D

?AD?平面PCD,?向量DA是平面PCD的一个法向量, DA=?2,0,0?

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为n??1,0,1?

?cosDA,n?DA?nDA?n?222?2. 20结合图知二面角G?EF?D的平面角为45.

● 热点五 线线角线面角面面角

例5正四棱锥P?ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为

6。 2（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；

（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；

（3）在侧面PAD上寻找一点F，使得EF?侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。 （1）连AC,BD交于点O，连PO，则PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，

∴ tan∠PAO=

6。 2

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