《大学物理》热力学基础 自学练习题

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9-1下列表述是否正确?为什么?并将错误更正． （1）?Q??E??A （2）Q?E?（3）??1??pdV

Q2Q （4）?不可逆?1?2 Q1Q1解：(1)不正确，Q??E?A

(2)不正确， Q?ΔE?(3)不正确，??1??pdV

Q2 Q1Q2 Q1(4)不正确，?不可逆?1?9-2 p?V图上封闭曲线所包围的面积表示什么?如果该面积越大，是否效率越高?

答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．由于??率不一定高，因为?还与吸热Q1有关．

A净Q1，A净面积越大，效

9-3 如题7-3图所示，有三个循环过程，指出每一循环过程所作的功是正的、负的，还是零，说明理由．

解：各图中所表示的循环过程作功都为0．因为各图中整个循环分两部分，各部分面积大小相等，而循环方向一个为逆时针，另一个为顺时针，整个循环过程作功为0．

题7-3图

9-4 用热力学第一定律和第二定律分别证明，在p?V图上一绝热线与一等温线不能有两 个交点．

题7-4图

9-1

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解：1.由热力学第一定律有

Q??E?A 若有两个交点a和b，则 经等温a?b过程有

?E1?Q1?A1?0 经绝热a?b过程

?E2?A1?0 ?E2??A2?0

从上得出?E1??E2，这与a,b两点的内能变化应该相同矛盾．

2.若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了一循环过程，这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效率为100%，违背了热力学第二定律． 9-5 一循环过程如题7-5图所示，试指出： (1)ab,bc,ca各是什么过程； (2)画出对应的p?V图；

(3)该循环是否是正循环?

(4)该循环作的功是否等于直角三角形面积?

(5)用图中的热量Qab,Qbc,Qac表述其热机效率或致冷系数． 解：(1) ab是等体过程

bc过程：从图知有V?KT，K为斜率 由pV?vRT 得

p?故bc过程为等压过程 ca是等温过程

(2)p?V图如题7?5?图

vR K题7?5?图

(3)该循环是逆循环

9-2

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(4)该循环作的功不等于直角三角形面积，因为直角三角形不是p?V图中的图形．

(5) e?Qab

Qbc?Qca?Qab

题7-5图 题7-6图

9-6 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同?

答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同． 9-7 评论下述说法正确与否?

(1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功；

(2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体．

(3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程． 答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完全变成功； (2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体．

(3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程． 9-8 热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B．如果P为可逆过程，其熵变为 ：

SB?SA??BdQdQ可逆不可逆，如果P为不可逆过程，其熵变为SB?SA??，你说对吗？

AATTB哪一个表述要修改，如何修改？

答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程P为可逆过程其熵变为：

SB?SA??dQ可逆，如果过程P为不可逆过程，其熵变为

ATBdQ不可逆SB?SA??

ATB9-3

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9-10 如题7-10图所示，一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系统作功126 J．

(1)若沿adb时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统?

(2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时，外界对系统作功为84 J，试问系统是吸热还是放热?热量传递是多少?

题7-10图

解：由abc过程可求出b态和a态的内能之差 Q??E?A

?E?Q?A?350?126?224 J

abd过程，系统作功A?42 J

Q??E?A?224?42?266J 系统吸收热量

ba过程，外界对系统作功A??84J

Q??E?A??224?84??308J 系统放热

9-11 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程

由热力学第一定律得Q??E

吸热 Q??E??CV(T2?T1)??iR(T2?T1) 23?8.31?(350?300)?623.25 J 2对外作功 A?0

Q??E?(2)等压过程

Q??CP(T2?T1)??吸热 Q?i?2R(T2?T1) 25?8.31?(350?300)?1038.75 J 2 ?E??CV(T2?T1) 内能增加 ?E?3?8.31?(350?300)?623.25 J 29-4

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.75?623.5?415.5J 对外作功 A?Q??E?10389-12 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mmol，比热容比为?的理想气体，整个容器以速度v运动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内

能)．

解：整个气体有序运动的能量为化

?E? ?T?3

1mu2，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变2m1CV?T?mu2 M2111Mmolu2?Mmolu2(??1) 2CV2R9-13 0.01 m氮气在温度为300 K时，由0.1 MPa(即1 atm)压缩到10 MPa．试分别求氮

气经等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T?300K 由p1V1?p2V2 求得体积 V2?对外作功

A?VRTlnp1V11??0.01?1?10?3 m3 p210V2p?p1Vln1 V1p25 ?1?1.013?10?0.01?ln0.01

??4.67?103J

(2)绝热压缩CV??57R ?? 25?p1V1?1/?由绝热方程 p1V1?p2V2 V2?()

p2p1V1?1/?p V2?()?(1)?V1

p2p21?()4?0.01?1.93?10?3m 10由绝热方程T1p1???1?? 得 ?T2??p2119-5

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所以得到 ??

?p1?p0?V0?V1?V0?p0

9-8已知1mol固体的状态方程为v?v0?aT?bp，内能E?cT?apT，式中v0、a、b、c均为常量，求该固体的Cp、CV。

[解] 由热力学第一定律可得 dQ?dE?dA?dE?pdV (1) 由已知条件可得 dV?adT?bdp (2) dE?CdT?aTdp?apdT (3) 将(2)、(3)代入(1)得 dQ?CdT?aTdp?apdT?p?adT?bdp? (4) 在等压过程中，dp?0

所以 dQ??C?2ap?dT 因此 Cp?C?2ap 在等容过程中 dV?0

代入(2)式得 adT?bdp?0 因此 dp??代入(4)式得

adT b?a? dQ?CdT?aT???dT?apdT??b??a2T??a???p??adT?b??b?dT?????c?ap?b??dT

??????a2T所以 CV?c?ap?

b

9-9 如图所示是氮气循环过程，求：(1)一次循环气体对外作的功；(2)循环效率。

[解] (1) 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为

S??p2?p1??V4?V1?

??10?5???5?1??105?10?3?2.0?103?J?

该循环对外作功为正，所以 A?2.0?103?J? (2) 该循环过程中，从2→3，1→2为吸收热量过程 其中2→3为等压过程，吸收热量为 Q1??Cp?T3?T2???7?p3V3p2V2?7R?????p3V3?p2V2? 2??R?R?29-11

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?7?10?5?10?1??105?10?3?1.4?104?J? 25?p2V23p1V1?5?R????2?p2V2?p1V1? 2??R?R??1→2为等容过程，吸收热量为 Q1??CV?T2?T1????5?10?1?5?1??105?10?3?1.25?103?J? 2因此吸收的总热量为 Q?Q1?Q2?1.525?104?J?

A2.0?103该循环的效率为 ????100%?13.1%

Q1.525?104

9-10 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca为绝热过程，点 a的状态参量为?T1,V1?，点b的状态参量为?T2,V2?，理想气体的热容比为?，求(1)气体在ab、bc过程中与外界是否有热交换?数量是多少?(2)点c的状态参量；(3)循环的效率。

[解] (1) ab过程是等温过程，系统吸收热量为

QT?A??RT1lnV2 V1bc过程是等容过程，系统吸收热量为 QV??CV?Tc?T2? 因 Tc

?V1?又 ac为绝热过程，故根据绝热方程 Tc???V???c?又有 pcVc?p1V1

????1?V1T1???V?2??????1T1

?V1??V1??RT1?RT1得到 pc?p1??V?????V??V?V12?2??2????V1???V???2???1

????1?C1??VV???1?QV?CV?T2?TC?CVT2??V1V2?T112? ?1??1??1??V?(3) ??1?VVVQT?R?2?RT1ln2RT1ln2ln??V1V1V1????

cd9-11 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab、9-12

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为绝热线，bc为等体(积)线，da为等压线，试证明其效率为

??1??Td?Ta

Tc?Tb式中了Ta、Tb、Tc、Td分别为a、b、c、d各状态的温度，??CpCv。 [证明] da为放热过程，其放出的热量为 Q2??Cp?Td?Ta? bc为吸热过程，其吸收的热量为 Q1??CV?Tc?Tb? 所以其效率为 ??1??Cp?Td?Ta?T?TaQ2 ?1??1??dQ1?CV?Tc?Tb?Tc?Tb

cd分9-12 一致冷机进行如图所示的循环过程，其中ab、别是温度为T1、T2的等温线，bc、da为等压过程，设工作物质为理想气体。证明这致冷机致冷系数为：

??T1i?2 ?p2T2?T12lnp1 [证明] ab为等温过程，吸收热量为

Q1?A1??RT1lnp2 p1cd 为等温过程，其放出的热量大小为

Q2?A2??RT2lnp2 p1bc为等压过程，吸收的热量为 Q3??Cp?T2?T1? da为等压过程，放出的热量大小为 Q4??Cp?T2?T1? 所以致冷系数 ??Q吸A?Q吸Q放?Q吸?Q1?Q3T1i?2??

?Q2?Q4???Q1?Q3?T2?T12lnp2p1

9-13 1mol理想气体，初态压强为P1，体积为V1，经等温膨胀使体积增加一倍，然后保持压强不变，使其压缩到原来的体积，最后保持体积不变，使其回到初态。 (1)试在P?V图上画出过程曲线；

(2)求在整个过程中内能的改变，系统对外作的净功、从外界吸收的热量以及循环效率。

9-13

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[解] (1) 过程曲线

p

a p1

cb p2 0V2V1V

(2) 系统经过循环又回到初态，所以其内能改变量?E?0 a→b为等温过程，系统对外作正功A1??RTlnV2?p1V1ln2 V1p1V1?V2?V1? V2b→c为等压过程，系统对外作负功，其数值大小为A2?p2?V2?V1??过程中总功 A?A?A2?p1V1ln2?p1V1?V2?V1??0.19p1V1 V2系统从外界吸收的净热量 Q?A?0.19p1V1 a→b过程吸热为 Q1?A1?p1V1ln2

pV??pVc→a 过程中吸收的热量为 Q2??CV?Ta?Tc???CV?11?21?

?R???R??p1V1?33??p1?p2?V1?3?p?V?p1V 11?22?V42??所以 ??A?Q1?Q20.19p1V1?0.132?13.2% 3p1V1ln2?p1V14

9-14 一可逆卡诺热机低温热源的温度为27℃，热机效率为 40％，它的高温热源的温度是多少?今欲将热机效率提高到50％，若低温热源保持不变，则高温热源的温度应增加多少度?

[解] 可逆卡诺循环的效率为??1?T2 T1所以 T1?T2300??500?K? 1??1?0.4T2300??600?K? 1???1?0.59-14

若 ???50%，则 T1??《大学物理》热力学基础 自学练习题

所以 ?T?T1??T1?600?500?100?K?

9-15 有一卡诺热机，用29kg空气为工作物质，高温热源和低温热源的温度分别为27℃和-73℃，求此热机的效率。若在等温膨胀过程中工作物质的体积增大到2.718倍，则此热机每一循环所作的功是多少?

[解] 此热机的效率为 ??1?T2200?1??33.3% T1300在等温膨胀过程中，吸收的热量为

V229?103Q1??RT1ln??8.31?300?ln2.718?2.49?104?J?

V129又 ??A Q1所以 A?1?2.49?104?8.31?105?J? 3

9-16 在高温热源为127℃、低温热源为27℃之间工作的卡诺机，一次循环对外作净功为8000J，今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其一次循环对外作功10000J，若两次循环该热机都工作在相同的两条绝热线之间，试求： (1)后一卡诺循环的效率。

(2)后一卡诺循环的高温热源的温度。

[解] (1) 设前一卡诺循环从高温热源吸收热量为Q1，则有??A1 Q1又 ??1?T23001?1?? T14004?J0? 04?3200所以 Q1?A1??800?后一卡挪循环从高温热源吸收热量为

Q1??Q1?A2?A1?32000?10000?8000?34000?J?

所以第二个卡诺循环的效率为 ???A210000??100%?29.4% Q1?34000T2300??425?K? 1???1?0.294(2) 第二个卡诺循环的高温热源温度为 T1??

9-17 一台家用冰箱，放在气温为300K的房间内，做一盘-13℃的冰需从冷冻室取走

2.09?105J的热量。设冰箱为理想卡诺致冷机。

9-15

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(1)求做一盘冰所需要的功；

(2)若此冰箱能以2.09?105J的速率取走热量，求所要求的电功率是多少瓦? (3)做一盘冰需时若干?

[解] (1) 致冷系数为 ??Q2T2? AT1?T2Q2?T1?T2?2.09?105??300?260?得到 A???3.22?104?J?

T22602.09?1053?s? ?10(2) 取走制一盘冰的热量所需要的时间为 t?2.09?102A3.22?104?32.2?s? 所以电功率为 P??t103(3) 做一盘冰所需要的时间为 103s。

9-18 绝热容器中间有一无摩擦、绝热的可动活塞，如图所示，活塞两侧各有?mol的理想

气体，??1.5，其初态均为P0，V0 、T0。现将一通电线圈置入左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体吸热膨胀推动活塞向右移，使右侧气体压强增加为3.375P0，求； (1)左侧气体作了多少功?

(2)右侧气体的终态温度是多少? (3)左侧气体的终态温度是多少? (4)左侧气体吸收了多少热量?

[解] (1) 右侧气体所发生的过程为绝热过程。它对外所做的功的负值就是左侧气体所作的功。所以左侧气体作功为A??A???p0V0?p2V2

??1又对右侧气体：p0V0??p2V2??3.375p0V2? 因此 V2?V0 1?3.3753.375pV?p0V0p0V0?p2V23.3751?00所以 A????p0V0

??1??1??1?(2) 对右侧气体，由绝热方程知 p0T0??3.375p0?T2??

??1得到 T2?33.375?T0?1.5T0

(3) 左侧气体末态体积为 V1?V0?V0?V2?2V0?V01

3.375?9-16

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1??3.375p0?2V0?V0?1?pV3.375???3.375??2?1?T?5.25T得到 T1?11???00

?Rp0V0T02.25??(4) 左侧气体吸收热量

Q1??E1?A??CV?T1?T0??A??CV?5.25T0?T0??p0V0

由p0V0??RT0 知 T0?又由 ??p0V0 ?RCpCV?CV?R?1.5，得到CV?2R CV所以 Q1???2R?4.25?p0V0?p0V0?9.5p0V0 ?R

9-19 如图所示，在刚性绝热容器中有一可无摩擦移动而且不漏气的导热隔板，将容器分为A、B两部分，各盛有1mol的He气和O2气。初态He、O2 的温度各为TA?300K，TB?600K；压强均为1atm。求： (1)整个系统达到平衡时的温度T、压强P (氧气可视为刚性理想气体)； (2) He气和O2气各自熵的变化。

[解] (1) 因中间是导热隔板，过程中两部分气体热量变化和作功的数值都相等，所以内能变化量的数值也相等，且由于初温度不同而末温度相同所以一正一负。

因此 ?ACVA?T??TA???BCVB?TB?T??

3RT?CVATA?CVBTB2A?解得 T??3CVA?CVBR?25RTB3?300?5?6002??487.5K

53?5R2因平衡时温度、压强都相等，且都是1mol，所以体积也相等。

??VB??VAVA?VB1??ARTA?BRTB????22?pApB?1RR??? ?T?T?450AB?2ppAA?根据理想气体状态方程得到压强为

p???RT?V??RT?478.5?pA??1?1.08?atm? 450450T??VdTV??RdVdQHedE?pdV ??He??AVA??ATVTTTT?AAA(2) He气熵变

?SHe???T?TB3T?Rln?RlnA?9.45?JK? 2TA2TA9-17

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氧气熵变 ?SO??2dQOT2??dEO?pdV2T??T??BVVBdTTTB???VB?BRdVT?VB

?T?TB3T?Rln?RlnA??6.68?JK? 2TB2TB

9-20 已知在0℃1mol的冰溶化为0℃的水需要吸收热量 6000 J，求：

(1)在0℃条件下这些冰化为水时的熵变；

(2) 0℃时这些水的微观状态数与冰的微观状态数的比。

[解] (1) 温度不变时，熵变为 ?S??dQ1?TT0?dQ?6000?22.0?JK? 273(2) 根据波尔兹曼熵公式 S冰?kln?冰 S水?kln?水

?S?S水?S冰?kln?水?kln?冰?kln?水?冰

根据上问结果，得

?水?冰?e?Sk22.0?e1.38?10?23?e1.6?10

249-18

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