北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）

北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）

一、选择题（共8小题；共40分）

1. 已知集合 ??= ?? log2??≥0 ，集合 ??= ?? 0

A. ?? ??>0 B. ?? ??>1

C. ?? 01

D. ?

2. 为了得到函数 ??=2???2 的图象，可以把函数 ??=2?? 的图象上所有的点______

A. 向右平行移动 2 个单位长度 C. 向左平行移动 2 个单位长度

3. 执行如图所示的程序框图，输出的 ?? 值为______

B. 向右平行移动 1 个单位长度 D. 向左平行移动 1 个单位长度

A. 6

B. 24

C. 120

D. 720

2??,??>0,4. 已知函数 ?? ?? = 则 ??=2 是 ?? ?? =4 成立的______

???,??<0,

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

??+??≥3,

5. 若实数 ??,?? 满足 2?????≤0, 则 ??=????? 的最小值为______

??≥0,

A. 0 B. 1 C. 2 6. 已知 0

A. ?7

B. ?1

C. 4

3

π

4

π

D. 3

D. 7

第1页（共6页）

7. 若双曲线 ??:2??2???2=?? ??>0 与抛物线 ??2=16?? 的准线交于 ??,?? 两点，且 ???? =4 3，则 ?? 的值是______

A. 116

B. 80

C. 52

D. 20

8. 函数 ?? ?? =??2?3?? 的图象为曲线 ??1，函数 ?? ?? =4???2 的图象为曲线 ??2，过 ?? 轴上的动点 ?? ??,0 0≤??≤3 作垂直于 ?? 轴的直线分别交曲线 ??1，??2 于 ??,?? 两点，则线段 ???? 长度的最大值为______

A. 2

B. 4

C. 5

D. 8 41

二、填空题（共6小题；共30分）

9. 已知数列 ???? 为等差数列，若 ??1+??3+??5=8，??2+??4+??6=20，则公差 ??= ______． 10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______；表面积是______．

11. 某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了 100 名同学某一周的阅读时间，绘制

了频率分布直方图（如图所示），那么这 100 名学生中阅读时间在 4,8 小时内的人数为______．

12. 直线 ??:3??????6=0 被圆 ??: ???1 2+ ???2 2=5 截得的弦 ???? 的长是______． ????? =?1，则 13. 在 △?????? 中，∠??=120°，???? ???? ???? = ______； ???? 的最小值是______． 14. 用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的______．（写出满足条件的图形序

号）

①正三角形；②梯形；③直角三角形；④矩形．

三、解答题（共6小题；共78分）

15. 已知函数 ?? ?? =3sin2??+2sin??cos??+cos2???2．

第2页（共6页）

（1）求 ?? 的值；

4

（2）求函数 ?? ?? 的最小正周期及单调递增区间．

16. 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人 5 次测试的成绩

（单位：分）如下表：

第1次第2次第3次第4次第5次

甲乙

5865

5582

7687

9285

88 95

π

（1）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好?说明理由（不用计算）； （2）若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，求抽到的两个成绩中至少有

一个高于 90 分的概率．

17. 如图，在三棱锥 ????????? 中，平面??????⊥平面??????，????⊥????，????⊥????．设 ??，?? 分别为 ????，

???? 中点．

（1）求证：????∥平面??????； （2）求证：????⊥平面??????；

（3）试问在线段 ???? 上是否存在点 ??，使得过三点 ??，??，?? 的平面内的任一条直线都与平面

?????? 平行?若存在，指出点 ?? 的位置并证明；若不存在，请说明理由．

18. 已知函数 ?? ?? =??3?????2???2??，其中 ??≥0．

（1）若 ??? 0 =?4，求 ?? 的值，并求此时曲线 ??=?? ?? 在点 1,?? 1 处的切线方程； （2）求函数 ?? ?? 在区间 0,2 上的最小值．

19. 已知椭圆 ?? 两焦点坐标分别为 ??1 ? 2,0 ，??2 2,0 ，一个顶点为 ?? 0,?1 ．

（1）求椭圆 ?? 的标准方程；

（2）是否存在斜率为 ?? ??≠0 的直线 ??，使直线 ?? 与椭圆 ?? 交于不同的两点 ??，??，满足

???? = ???? ．若存在，求出 ?? 的取值范围；若不存在，说明理由．

20. 已知数列 ???? 的通项 ????= ???2 ? 10 ，??∈???．

（1）求 ??1，??2；

（2）判断数列 ???? 的增减性，并说明理由； （3）设 ????=????+1?????，求数列

????+1????1

9??

的最大项和最小项．

第3页（共6页）

答案

第一部分 1. A 6. D 9. 4 10. ；

61

3+ 3 2

2. B 7. D 3. C 8. D 4. A

5. B

第二部分

11. 54 12. 10 13. 2； 6 14. ①②④ 第三部分

15. （1） 依题意 ?? ?? =2sin2??+sin2???1=sin2???cos2??= 2sin 2??? ．

4则 ?? 4 = 2sin 2×4?4 =1． （2） ?? ?? 的最小正周期 ??=

π

π

π

2π2

π

π

π

π

=π．

π

3π8

当 2??π?2≤2???4≤2??π+2 时，即 ??π?8≤??≤??π+则函数 ?? ?? 的单调增区间为 ??π?,??π+

8π

3π8

时，?? ?? 为增函数．

，??∈??．

16. （1） 茎叶图如图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好．

（2） 设事件 ??：抽到的成绩中至少有一个高于 90 分．

从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下： 58,65 ， 58,82 ， 58,87 ， 58,85 ， 58,95 ， 55,65 ， 55,82 ， 55,87 ， 55,85 ， 55,95 ， 76,65 ， 76,82 ， 76,87 ， 76,85 ， 76,95 ， 88,65 ， 88,82 ， 88,87 ， 88,85 ， 88,95 ， 92,65 ， 92,82 ， 92,87 ， 92,85 ， 92,95 ， 共 25 个．

事件 ?? 包含的基本事件有

第4页（共6页）

58,95 ， 55,95 ， 76,95 ， 88,95 ， 92,65 ， 92,82 ， 92,87 ， 92,85 ， 92,95 ， 共 9 个．

所以 ?? ?? =25，即抽到的成绩中至少有一个高于 90 分的概率为 25． 17. （1） 因为点 ?? 是 ???? 中点，点 ?? 为 ???? 的中点， 所以 ????∥????．

又因为 ?????面??????，?????面??????， 所以 ????∥平面??????．

（2） 因为 平面??????⊥面??????，平面??????∩平面??????=????， 又 ?????平面??????，????⊥????， 所以 ????⊥面??????． 所以 ????⊥????．

又因为 ????⊥????，且 ????∩????=??， 所以 ????⊥平面??????．

（3） 当点 ?? 是线段 ???? 中点时，过点 ??，??，?? 的平面内的任一条直线都与平面 ?????? 平行． 取 ???? 中点 ??，连 ????，连 ????． ????∥平面??????．

因为点 ?? 是 ???? 中点，点 ?? 为 ???? 的中点， 所以 ????∥????．

又因为 ?????平面??????，?????平面??????， 所以 ????∥平面??????． 又因为 ????∩????=??， 所以 平面??????∥平面??????，

所以平面 ?????? 内的任一条直线都与平面 ?????? 平行．

故当点 ?? 是线段 ???? 中点时，过点 ??，??，?? 所在平面内的任一条直线都与 平面?????? 平行． 18. （1） 已知函数 ?? ?? =??3?????2???2??， 所以 ??? ?? =3??2?2???????2，??? 0 =???2=?4， 又 ??≥0，所以 ??=2． 又 ??? 1 =?5,?? 1 =?5，

所以曲线 ??=?? ?? 在点 1,?? 1 处的切线方程为 5??+??=0． （2） ??∈ 0,2 ，??? ?? =3??2?2???????2= ????? 3??+?? ． 令 ??? ?? =0，则 ??1=?,??2=??．

3??

9

9

①当 ??=0 时，??? ?? =3??2≥0 在 0,2 上恒成立，

所以函数 ?? ?? 在区间 0,2 上单调递增，所以 ?? ?? min=?? 0 =0；

② 当 00，

所以函数 ?? ?? 在区间 0,?? 上单调递减，在区间 ??,2 上单调递增，且 ??=?? 是 0,2 上唯一的极小值点，

所以 ?? ?? min=?? ?? =???3；

第5页（共6页）

③ 当 ??≥2 时，在区间 0,2 上，??? ?? ≤0（当且仅当 ??=2 时，??? 2 =0）， 所以 ?? ?? 在区间 0,2 上单调递减． 所以函数 ?? ?? min=?? 2 =8?4???2??2．

综上所述，当 0≤??<2 时，函数 ?? ?? 的最小值为 ???3；??≥2 时，函数 ?? ?? 的最小值为 8?4???2??2．

19. （1） 设椭圆方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 ． 则依题意 ??= 2，??=1，

所以 ??2=??2+??2=3，于是椭圆 ?? 的方程为 （2） 存在这样的直线 ??． 依题意，直线 ?? 的斜率存在．

+??2=1,设直线 ?? 的方程为 ??=????+??，则由 3 得 3??2+1 ??2+6??????+3??2?3=0.因为

??=????+????=36??2??2?4 3??2+1 3??2?3 >0 得3??2???2+1>0,???①设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，线段 ??1+??2=?2,3??????3??+1???? 中点为 ?? ??0,??0 ，则 于是??=?,???=????+??=.因为 ???? = ???? ，200023???33??+13??2+1

??1??2=3??2+1.所以 ?? 在线段 ???? 的垂直平分线上．

因为 ??≠0，所以 ???? 的直线方程为 ??=??? ??+3??2+1 +3??2+1，

?? 0,?1 在直线上，所以代入直线方程整理得2??=3??2+1,???②由 ①② 知，??2<1，所以 ?1

又 ??≠0，，所以 ??∈ ?1,0 ∪ 0,1 ． 20. （1） ??1=0.45，??2=1.215．

（2） ????+1?????= ??+0.5 ?0.9??+1? ???0.5 ?0.9??=0.9?? 0.9??+0.45???+0.5 =?0.1×0.9??× ???9.5 ．

则当 1≤??≤9 时，????+1?????>0，则 1≤??≤10 时，数列 ???? 为递增数列，??∈???； 当 ??≥10 时，????+1?????<0，数列 ???? 为递减数列，??∈???．

（3） 由上问可得，????=????+1?????=?0.1×0.9??× ???9.5 ，??∈???． 令 ????=则 ????=

????+1????????+1????

1

3????

??

6??????2

??23

??2

??2

+??2=1．

，即求数列 ???? 的最大项和最小项． =0.9?

???8.5???9.5

=0.9 1+

1???9.5

．

则数列 ???? 在 1≤??≤9 时递减，此时 ??9≤????<0.9，即 ?0.9≤????<0.9； 数列 ???? 在 ??≥10 时递减，此时 0.9

第6页（共6页）

③ 当 ??≥2 时，在区间 0,2 上，??? ?? ≤0（当且仅当 ??=2 时，??? 2 =0）， 所以 ?? ?? 在区间 0,2 上单调递减． 所以函数 ?? ?? min=?? 2 =8?4???2??2．

综上所述，当 0≤??<2 时，函数 ?? ?? 的最小值为 ???3；??≥2 时，函数 ?? ?? 的最小值为 8?4???2??2．

19. （1） 设椭圆方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 ． 则依题意 ??= 2，??=1，

所以 ??2=??2+??2=3，于是椭圆 ?? 的方程为 （2） 存在这样的直线 ??． 依题意，直线 ?? 的斜率存在．

+??2=1,设直线 ?? 的方程为 ??=????+??，则由 3 得 3??2+1 ??2+6??????+3??2?3=0.因为

??=????+????=36??2??2?4 3??2+1 3??2?3 >0 得3??2???2+1>0,???①设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，线段 ??1+??2=?2,3??????3??+1???? 中点为 ?? ??0,??0 ，则 于是??=?,???=????+??=.因为 ???? = ???? ，200023???33??+13??2+1

??1??2=3??2+1.所以 ?? 在线段 ???? 的垂直平分线上．

因为 ??≠0，所以 ???? 的直线方程为 ??=??? ??+3??2+1 +3??2+1，

?? 0,?1 在直线上，所以代入直线方程整理得2??=3??2+1,???②由 ①② 知，??2<1，所以 ?1

又 ??≠0，，所以 ??∈ ?1,0 ∪ 0,1 ． 20. （1） ??1=0.45，??2=1.215．

（2） ????+1?????= ??+0.5 ?0.9??+1? ???0.5 ?0.9??=0.9?? 0.9??+0.45???+0.5 =?0.1×0.9??× ???9.5 ．

则当 1≤??≤9 时，????+1?????>0，则 1≤??≤10 时，数列 ???? 为递增数列，??∈???； 当 ??≥10 时，????+1?????<0，数列 ???? 为递减数列，??∈???．

（3） 由上问可得，????=????+1?????=?0.1×0.9??× ???9.5 ，??∈???． 令 ????=则 ????=

????+1????????+1????

1

3????

??

6??????2

??23

??2

??2

+??2=1．

，即求数列 ???? 的最大项和最小项． =0.9?

???8.5???9.5

=0.9 1+

1???9.5

．

则数列 ???? 在 1≤??≤9 时递减，此时 ??9≤????<0.9，即 ?0.9≤????<0.9； 数列 ???? 在 ??≥10 时递减，此时 0.9

第6页（共6页）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/z2b.html