调和不等式及均值不等式

第1篇：不等式证明,均值不等式

1、设a,b?R，求证：ab?(ab)?aba?b2?abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)＞6abc

3、(a?b?c)(1119??)? a?bb?cc?a

24、设a,b?R?，且a?b?1，求证：(a?)?(b?)?

5、若a?b?1，求证：asinx?bcosx?

16、已知a?b?1，求证：a?b?

7、a,b,c,d?R求证：1＜?441a21b225 2221 8abcd+++＜2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

111

18、求证2?2?2???2＜2 123n

1111????＜1

9、求证：?2n?1n?22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y?2?x?

（2） 已知x＞2，求y?x?4的最大值（-2） x1的最小值（4） x?

2111（3） 已知0＜x＜，求y?x(1?2x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab?(a?b)?1则a?b的最小值是（）

（2?2333）

12、已知正数a,b求使不等式(a?b)?k(a?b)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y?

14、二次函数f(x)?x?ax?x?a的两根x1,x2

均值不等式的应用

刘艺

【摘要】摘要：本文旨在探究均值不等式的应用.即利用均值不等式去解决一类关于n次多项式的不等式证明问题。

【期刊名称】教育教学论坛

【年(卷),期】2011(000)017

【总页数】3

【关键词】均值不等式；n次多项式；基本元素

设a1，a2，…，an∈R+，n∈N且n＞1，则

（当且仅当a1=a2=…=an，时，“=”成立）

利用（*）式，能解决数学中许多诸如不等式、函数最值等问题。本文重在探究如何应用（*）式去解决一类关于n次多项式的不等式的证明问题.

为研究问题方便，不妨称满足（*）式中的a1，a2，…，an为基本元素，由这些元素构成的和式a1+a2+…+an与积式a1a2…an称为基本式.

一、所涉及的命题中，明显含有a1+a2+…+an和a1a2…an等基本式，可选用a1，a2，…，an为基本元素，直接利用（*）式证明例1：设a1，a2，…，an∈R+求证（a1+a2+…+an）

分析：由于题目中明显含有和式（a1+a2+…+an）与，故可选ai和为基本元素，由（*）式着手解决。

简证：选ai和为基本元素，由均值不等式可得

证毕.

例2：设a1，a2，…，an为不相等的正数，且S=a1+a2+…+an，

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是An Gn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1 x2 ... xn

n

x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

a b c d (a b) (c d) 2ab 2cd 4八维时:

(a b c d) (e f g h) 4abcd 4efgh 8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1 x2 ... x2n

2

n

2

n

x1x2...x2n

令x1 x1,...,xn xn;xn 1 xn 2 ... x2

n

x1 x2 ... xn

n

A

由这个不等式有

A

nA (2 n)A

2

nn

1

2

n

x1x2..xnA

2 n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1 x2 ... xn

n

n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0 ai 1(i 1,2,...,n)证明

i 1

11 ai

n

1

1 (a1a2...an)n

例2：

均值

高中均值不等式讲解及习题

一．均值不等式

a2?b21.（1）若a,b?R，则a?b?2ab (2)若a,b?R，则ab?（当且仅当a?b222时取“=”） 2. (1)若a,b?R*，则

a?b时取“=”）

a?b? (当且仅当a?b时取“=”(3)若a,b?R，则ab??） ???2?*2a?b*?ab (2)若a,b?R，则a?b?2ab（当且仅当23.若x?0，则x?11?2 (当且仅当x?1时取“=”）;若x?0，则x???2 (当xx且仅当x??1时取“=”）

若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=”）

xxx3.若ab?0，则a?b?2 (当且仅当a?b时取“=”）

ba若ab?0，则

ababab） ??2即??2或??-2 (当且仅当a?b时取“=”

bababaa?b2a2?b24.若a,b?R，则(（当且仅当a?b时取“=”） )?22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和

为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

均值不等式的应用

均值不等式应用

一．均值不等式

1.（1）若a,b R，则a2 b2 2ab (2)若a,b R，则ab

2. (1)若a,b R*，则

a b2

*

a b2

22

a b时取“=”）

ab (2)若a,b R，则a b 2

2

ab（当且仅当a b时取“=”）

a b (3)若a,b R，则ab ） (当且仅当a b时取“=”

2

*

3.若x 0，则x

1x

“=”）;若x 0，则x 2 (当且仅当x 1时取

1x

“=”） 2 (当且仅当x 1时取

若x 0，则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (当且仅当a b时取“=”）

x

x

x

3.若ab 0，则a b 2 (当且仅当a b时取“=”）

b

a

若ab 0，则

ab

ba

2即

2

ab

ba

2

2或

ab

ba

） -2 (当且仅当a b时取“=”

4.若a,b R，则(

a b2

)

2

a b2

（当且仅当a b时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应