不等式1----用均值不等式求最值的类型及方法

用均值不等式求最值的类型及方法

均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式

a2?b2①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； (a、b?R)，222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，2??2a3?b3?c3(a、b、c?R?)，③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”号成立；

3333?a?b?c??④a?b?c?3abc?abc???(a、b、c?R) ,当且仅当a = b = c时,“=”号成

3??33立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；

a?b② 熟悉一个重要的不等式链：?ab??112?ab二、函数f(x)?ax?2a2?b2。 2b(a、b?0)图象及性质 xy?b2aba(1)函数f(x)?ax?bx?a、b?0?图象如图： ?a、b?0?性质：

o?2abxbab(2)函数f(x)?ax?x①值域：(??,?2ab]?[2ab,??)；

②单调递增区间：(??,?

bb]，[,??)；单调递减区间：(0,aabb,0). ]，[?aa- 1 -

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数y?x?1(x?1)的最小值。

2(x?1)2解析：y?x?11x?1x?11(x?1)?(x?1)??1(x?1)????1(x?1) 2222(x?1)2(x?1)222(x?1)x?1x?1135???1， ??1?2222(x?1)22?33当且仅当

x?115即时，“=”号成立，故此函数最小值是。 ?(x?1)x?222(x?1)22评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通

常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：

①y?x2(3?2x)(0?x?) ②y?sin2xcosx(0?x?解析：①?0?x?32?2)

3,∴3?2x?0， 23x?x?(3?2x)3∴y?x2(3?2x)(0?x?)?x?x?(3?2x)?[]?1，

23当且仅当x?3?2x即x?1时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

②?0?x?值。

?2,∴sinx?0,cosx?0，则y?0，欲求y的最大值，可先求y2的最大

1?(sin2x?sin2x?2cos2x)2y2?sin4x?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x1sin2x?sin2x?2cos2x34??()?, 2327当且仅当sinx?2cosx(0?x?22?2)?tanx?2，即x?arctan2时，

23。 9不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常

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要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。

4(0?x?1)的最小值。 xb解法一：（单调性法）由函数f(x)?ax?(a、b?0)图象及性质知，当x?(0,1]时，函数

x4f(x)?x?是减函数。证明：任取x1,x2?(0,1]且0?x1?x2?1，

x例3、若x、y?R?，求f(x)?x?则

f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?(x?xxx?444， ?)?(x1?x2)?4?21?(x1?x2)?12x1x2x1x2x1x2，

∴

∵

0?x1?x2?1?f(x1?x2?0,?f(xx1x2?4?0x1x2)f，则

f(1?x)2x?)，

0(x)4在(0,1]上是减函数。 x4故当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最小值5。

x即f(x)?x?解法二：（配方法）因0?x?1，则有f(x)?x?24?(?x)2?4， xx易知当0?x?1时， ??减函数，

22?x?0且单调递减，则f(x)?(?x)2?4在(0,1]上也是xx44在(0,1]上是减函数，当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最小值5。 xx444解法三：（导数法）由f(x)?x?得f?(x)?1?2，当x?(0,1]时，f?(x)?1?2?0，

xxx44则函数f(x)?x?在(0,1]上是减函数。故当x?1时，f(x)?x?在(0,1]上有最

xx即f(x)?x?小值5。

解法四：（拆分法）f(x)?x?13134(0?x?1)?(x?)??2x???5，

x1xxx当且仅当x?1时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

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类型Ⅳ：条件最值问题。 例4、已知正数x、y满足

81??1，求x?2y的最小值。 xy8x1yx16yx16y?10?2??18, ?yxyx解法一：（利用均值不等式）x?2y?(?)(x?2y)?10??81?x?y?1当且仅当?即x?12,y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 ??x?16y?x?y解法二：（消元法）由

则

x81x，由y?0???1得y??0又x?0?x?8 x?8xyx?8x?2y?x?162x2(x?8)?161616?10?18。 ?x??x?2??(x?8)??10?2(x?8)?x?8x?8x?8x?8x?8当且仅当x?8?16即x?12,此时y?3时“=”号成立，故此函数最小值是18。 x?8?828??sinxx??x??sin2x 解法三：（三角换元法）令?则有?1?12??cosx?y???cos2x??y则：x?2y?82?8csc2x?2sec2x?8(1?cot2x)?2(1?tan2x)?10?8cot2x?2tan2x ?22sinxcosx?10?2(8cot2x)?(2tan2x)?18，

易求得x?12,此时y?3时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：

8181x?2y?(?)(x?2y)?2??x?2y?8。原因就是等号成立的条件不一致。

xyxy

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类型Ⅴ：利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x、y满足xy?x?y?3，试求xy、x?y的范围。 解法一：由x?0,y?0，则xy?x?y?3?xy?3?x?y?2xy，

即(xy)?2xy?3?0解得2xy??1(舍)或xy?3，

当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故xy的取值范围是[9,??)。 又x?y?3?xy?(x?y2)?(x?y)2?4(x?y)?12?0?x?y??2(舍)或x?y?6， 2当且仅当x?y且xy?x?y?3即x?y?3时取“=”号，故x?y的取值范围是[6,??)。

解法二：由x?0,y?0，xy?x?y?3?(x?1)y?x?3知x?1，

则：y?则

x?3x?3，由y?0??0?x?1， x?1x?1：

x?3x2?3x(x?1)2?5(x?1)?44xy?x????(x?1)??5?2x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?x4x?1，

4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是x?1[9,??)。

x?y?x?x?3x?1?4444?x??x??1?(x?1)??2?2(x?1)??2?6， x?1x?1x?1x?1x?1当且仅当x?1?4(x?0)即x?3，并求得y?3时取“=”号，故xy的取值范围是x?1[9,??)。

评析：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧。

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四、均值不等式易错例析： 例1. 求函数y??x?4??x?9?的最值。

x?x?4??x?9?x2?13x?363636错解：y??13?x??13?2x??25 ?xxxx 当且仅当x?36即x??6时取等号。所以当x??6时，y的最小值为25，此函数没有x最大值。

分析：上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。因为函数y?以必须对x的正负加以分类讨论。 正解：1）当x?0时，y?13?x?当且仅当x??x?4??x?9?的定义域为???，0???0，???，所

x3636?13?2x??25 xx36即x?6时取等号。所以当x?6时，ymin?25 x363636?????2??x???????12 ?0， ??x???????xxx 2）当x?0时，?x?0，??y?13?[(?x)?(?当且仅当?x??36)]?13?12?1 x36，即x??6时取等号，所以当x??6时，ymax?13?12?1. x9例2. 当x?0时，求y?4x?2的最小值。

x错解：因为x?0，y?4x?996?24x?? x2x2x3996所以当且仅当4x?2即x?时，ymin??2318。

4xx分析：用均值不等式求“和”或“积”的最值时，必须分别满足“积为定值”或“和为定值”，而上述解法中4x与

9的积不是定值，导致应用错误。 2x3999正解：因为x?0，y?4x?2?2x?2x?2?32x?2x?2?3336

xxx - 11 -

3336369当且仅当2x?2，即x?时等号成立，所以当x?时，ymin?3336。

22x例3. 求y?x2?5x?42(x?R)的最小值。

1x?42错解：因为y?x2?5x?42?x2?4??2x2?4?1x?42?2，所以ymin?2

分析：忽视了取最小值时须

x2?4?1x2?4成立的条件，而此式化解得x??3，无解，

2所以原函数y取不到最小值2。 正解：令t?1x2?4?t?2?，则y?t?(t?2)

t15又因为t?1时，y?t?是递增的。所以当t?2，即x?0时，ymin?。

t2?例4.已知x,y?R且

14??1，求u?x?y的最小值. xy错解：?1?144???xy?4 ,?u?x?y?2xy?8,?u的最小值为8. xyxy分析：解题时两次运用均值不等式，但取等号条件分别为同时成立，故取不到最小值8. 正解：u?(x?y)(14?和x?y，而这两个式子不能xy144xy?)?5???5?4?9 xyyx当且仅当

4xy?即x?3,y?6时等号成立. ?u的最小值为9. yx综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要正：各项或各因式必须为正数；

二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

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巩固练习：

1、已知：x?y?a,m?n?b且a?b，则mx?ny的最大值为( )

2222a2?b2a2?b2a?b(A)ab (B) (C) (D)

222?2、若a,x,y?R，且x?y?ax?y恒成立，则a的最小值是( )

(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式： ①x?3?2x(x?R)；

②a?b?ab?ab(a,b?R)；

③a?b?2(a?b?1). 其中正确的个数是( )

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设a,b?R，则下列不等式中不成立的是( )

?22553223?3?a2?b211?2ab (C)(A)(a?b)(?)?4 (B)

abab2ab(D)?ab

a?b22?5、设a,b?R且2a?b?1,S?2ab?4a?b的最大值是( ) 2?12?1 (C)2?1 (D) 22ab6、若实数a,b满足a?b?2，则3?3的最小值是( )

(A)2?1 (B)

(A)18 (B)6 (C)23 (D)243 7、若正数a,b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是 . 8、若x,y?R,且2x?y?1，则

?ab?1ab?2

11?的最小值为 . xy229、若0?a?1,0?b?1,且a?b，则a?b,2ab,a?b,2ab中最大的是 .

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